十四种空间格子
第2章 晶体结构
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
晶体构造的几何理论
同于对应的单位平行六面体参数。
▪一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。
例如：NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子， a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°。许许多多该晶 胞在三维空间无间隙的排列就构成了NaCl晶体。（一 个晶胞含有4个NaCl分子）
例如，下图为具有L44P的平面格子。显然，4、5、6 与对称不符，3的轮廓虽然符合对称性，但结合其内 部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在1 和2中，则以1的面积最小，故应选1作为基本单位。
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、 β、γ是表示它本身的形状、大小的一组参数， 称为单位平行六面体参数或格子常数。
四方体心格子
三
方
与本晶系
晶 系
对称不符
三方菱面体格子(标记为R)
三 、 六 方 晶 系
六方和三方原始格子
不符合六 方对称
等 轴
与本晶系
晶 系
对称不符
立方原始格子
I＝R 与空间格子 条件不符
立方体心格子
F＝I
F胞的概念
▪晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，
代表格子类型（P、C、I、F）。后一部分与对称型国际符
号基本相同，只是将宏观对称要素符号换成相应的内部结 构对称要素的符号。
Cl－ Na＋
Cl- Na+
三、晶体内部构造的对称要素
❖晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称， 不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造 的对称，而且是宏观的有限图形的对称。
晶体的微观对称的主要特点如下： ⑴在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多 的和它相同的对称要素。
⑵在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的 对称操作——平移操作。
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
空间点阵[资料]
![空间点阵[资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/086e9f5032687e21af45b307e87101f69e31fb68.png)
-空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。
这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。
空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。
当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。
在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如图1-8所示。
一般情况下单胞的选取有以图1-8 空间点阵及晶胞的不同取法图1-9面心立方阵胞中的固体物理原胞图1-10晶体学选取晶胞的原则下两种选取方式：1．固体物理选法在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。
如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征，如图1-9所示。
2．晶体学选法由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则（如图1-10所示）：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
根据以上原则，所选出的14种布拉菲点阵的单胞（见图1-12）可以分为两大类。
一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8个顶点上有结点，而每个顶点处的结点又分属于 8个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。
另一类为复合单胞(或称复杂单胞)，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。
14种布拉菲点阵中包括7个简单单胞，7个复合单胞。
图1-11 单晶胞及晶格常数根据单胞所反映出的对称性，可以选定合适的坐标系，一般以单胞中某一顶点为坐标原点，相交于原点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴，定义X、Y轴之间夹角为γ，Y、Z之间夹角为α，Z、X轴之间夹角为β，如图1-11所示。
结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称
• s：小于n的自然数
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针 右旋：右手系，逆时针
• 移距
t= (s/n)T
• t为螺距(滑移距离），T为沿螺旋轴方向的 结点间距 • 当s=n 时，即为对称轴 • 举例： •
31 43
基转角为120°， 平移距离为t=1/3T 基转角为90 ° 平移距离t =3/4T
• 为什么只有14种空间格子的原因； • 会读懂内部对称要素的各种符号： 如：31，42，65，n, d, • 空间群及其国际符号：如：Pn3m, Cmcm,
2、空间群的国际符号
• 国际符号的优点：能直观地看出空间格子的型式和 什么方向上有什么对称要素； 缺点：同一种空间群由于不同的定向以及其它原因 可以写成不同的符号。 • 空间群国际符号的组成： ①格子类型(大写英文字母) + ② 内部结构对称型的国 际符号(与宏观对称型的国符书写方式基本相同) 如:金刚石的空间群为Fd3m,属m3m对称型 • 如何看懂空间群？
3c
43m
等 立方 轴 面心
c
滑移
空间群
点群
晶 格子 对称要素方向 系 类型 及名称
1、平行Z轴有 63 螺旋轴， 垂直Z有对称面 m
2、垂直于xyu有c 滑移面 3、垂直于相邻两水平晶 轴（y u）角平分线有对称 面
P63/mc m
6/mmm 六 六方 方 原始
Abm2
mm 2
斜 斜方 1、垂直于X轴有滑移 方 底心 面 b 格子 2、垂直于y 轴有对称 面m 3、平行于 Z 轴有L2
四、 等效点系
• 等效点系（equivalent point-system）： 是 指晶体结构中由一原始点经空间群中所有 对称要素操作所推导出来的规则点系。 • 晶体结构中的空间群，对应于晶体几何外 形的对称型 ；而等效点系的概念则类似于 单形的概念。
中科大《结晶化学导论》第3章——唐凯斌2015
金刚石结构沿[001]方向的投影 滑移面在宏观尺度表现为反映面 同一方向上滑移面等距离无穷分布
滑移面
名称 对称面 轴滑移
对角滑 移 金刚石 滑移
符号
方向
m
a [010]/[001]
b [100]/[001]
c [100]/[010]/[110]
n [001]; [010]; [100]
[1-10]
e 滑移面 （double glide plane）
一个滑移面同时具有两个互相垂直的滑移分量，它只存 在于复格子中。
[100]方向
[010]方向
螺旋轴(screw axis)：晶体结构围绕一条直线旋转一定角度后， 再沿着该直线方向平移一定距离，结构中的每个质点均与相同 质点重复。相应的对称操作为旋转和平移的复合操作。
第三章 晶体的微观对称性
第一节 十四种空间格子 第二节 晶体的微观对称元素 第三节 微观对称元素组合原理 第四节 空间群 第五节 等效点系
第一节 十四种空间格子
微观晶体对称性与宏观晶体的根本区别是增加了平移对称性， 描述微观对称性首先是要表征平移对称性，这可以通过选取合 适的空间格子来反映。
• 点阵周期重复单位可能的选取方式
I格子：(a + b + c)/2
F格子：(a + b)/2, (a + c)/2, (b + c)/2
在满足布拉威法则的前提下，附加平移类型是格子类型的充要条件。
滑移面(glide plane)：晶体结构沿着某一平面进行反映，再平 行于该平面平移一定距离，结构中的每个质点均与相同的质 点重复。相应的对称操作为反映和平移的复合操作。
为什么六方平面点阵平移可以得到三方空间点阵？
晶体常识
12 简单立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
2.1.2 晶向指数和晶面指数
晶面（crystal plane）——晶体结构一系列原子所 构成的平面。
晶向（crystal directions）——通过晶体中任意两 个原子中心连成直线来表示晶体结构的空间的各个 方向。
距为负数则在指数上加一负号。
立方晶系中晶面指数示意图
立方晶系中两个晶面指数
晶面指数还有如下规律：
（1）某一晶面指数代表了在原点同一侧的一组想互平行且 无限大的晶面。
(2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点 为对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（TT0）互相 平行。
(3) 凡晶面间距和晶面上原子分布完全相同，只是空间取 向 不 同 的 晶 面 ， 可 归 为 同 一 晶 面 族 （ crystal plane group），用{hkl}表示。如{100}包括（100）、（010）、 （001）、（T00）、（0T0）、（00T）。
的
七大晶系和十四种空间格子
七大晶系：
1.三斜晶系（triclinic system）：a≠b≠c，α≠β≠γ≠ 90° 2.单斜晶系（monoclinic system ）：a≠b≠c，α＝γ＝90°≠β 3.正交(斜方)晶系（orthogonal system ）：a≠b≠c，α＝β＝γ＝ 90° 4.四(正)方晶系（tetragonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝γ＝90° 5.立方晶系（cubic system ）：a＝b＝c，α＝β＝γ＝90° 6.六方晶系（hexagonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝90°，γ＝120° 7.菱形晶系（rhombohedral system）：a＝b＝c， α＝β＝γ≠90°
《晶体结构分析》实验
实验一、晶体结构分析一一、实验目的掌握14种空间格子的几何特征与球体密堆积理论，了解配位多面体的配置。
二、实验仪器十四种空间点阵结构模型，球形模型三、实验内容1．了解14种空间格子的几何形态，分析空间格子类型；2．熟悉密堆积理论，注意观察球体堆积时，周围空隙的类型、位置与数量情况；3．了解几种配位多面体的配置情况。
四、实验方法1．观察14种空间格子模型表征14种空间格子，用晶格常数α、β、γ和a、b、c；并判断其所属晶系。
2．观察球体密堆积模型用球体模型进行面心立方紧密堆积、六方紧密堆积和体心立方近似密堆积，分析球体周围空隙的类型、数目和位置分布。
观察分析面心立方紧密堆积、六方紧密堆积和体心立方近似密堆积的单位晶胞，注意其四、八面体空隙分布，判断其数量。
3．观察配位多面体模型模型五、实验报告1．绘制14种空间格子的几何形态，并用注明晶格常数的形式表示出所有14种空间格子；2．分析三种常见的球体堆积情况，绘制出其单位晶胞，画出其（111）、（110）（100）晶面原子排布图[ 密排六方需画出（0001）晶面 ]；3．分析体心立方与面心立方单位晶胞中四、八面体空隙的位置分布与数量，并绘图；4．对不同配位多面体绘图，讨论其临界半径比。
（注：在预习报告中要将14种空间格子的几何图形画好）六、思考题面心立方结构中四面体空隙的数目有几个？他们都是如何分布的？八面体空隙有几个？如何分布？实验二、典型晶体结构分析一、实验目的掌握几种典型矿物的结构，了解晶胞的几何特征。
二、实验仪器晶体结构模型，球和短棒三、实验内容1．对照实际具体结构模型，熟悉金刚石、石墨、氯化钠、氯化铯、闪锌矿、纤锌矿、金红石、碘化镉、萤石、钙钛矿、尖晶石的晶体结构特征；2．观察层状和架状硅酸盐矿物的晶体结构模型的特点，注意观察高岭土、方石英的结构；3．标定萤石模型中所有质点的几何位置；4．组装一个晶体结构模型。
四、实验方法1．分析晶胞模型金刚石、石墨、氯化钠、氯化铯、闪锌矿、纤锌矿、金红石、碘化镉、萤石、钙钛矿、尖晶石均为一个单位晶胞，通过一个单位晶胞，分析晶胞所属空间格子类型及正负离子或原子所处的空间位置，对照模型，分析正负离子的配位数。
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同学们，再见！
的平行六面体的体积力求最小。
十四种空间格子
空间格子的划分
划分7种平行六面体
对应于7个晶系
形状及参数？
4mm
十四种空间格子
十四种空间格子
2．平行六面体中结点的分布
1）原始格子（ primitive, P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。 2）底心格子（ end-centered, C、A、B）：结点分布于平行六面体 的角顶及某一对面的中心。 3）体心格子（ body-centered, I）：结点分布于平行六面体的角顶和 体中心。
4）面心格子（ face-centered, F）：结点分布于平行六面体的角顶和
三对面的中心。
十四种空间格子
以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：
mm2(L22P) 4mm(L44P)
十四种空间格子
4mm
十四种空间格子
mm2 引出问题：空间格子可以有带心的格子； 另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体种形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有
一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因 此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravis
于1848年最先推导出来的）
举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点， 则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立 方底心格子。
十四种空间格子
3．各晶系平行六面体的形状和大小
平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、 b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。这组参数
（a、b、c；、、）即为晶胞参数。
在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的晶体常数特 点，是根据晶轴对称特点得出的。 宏观上的晶体常
数与微观的晶胞参数是对应的，但微观的晶体结构中
P
I
a1
Hexagonal Rhombohedral = = 90o = 120o = = 90o a1 = a2 = a3 a1 = a2 c
P
R
a2 a1
P
Isometric = = = 90o a1 = a2 = a3
F
I
十四种空间格子
还应指出的是：对于三、六方晶系的四轴 定向也可转换成三轴定向，变为菱面体格 子。我们一般都用四轴定向。
十四种空间格子
例1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子
十四种空间格子
例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称
思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
空间格子的划分
Why not 7 × 4 = 28 ??
十四种空间格子
请判断CsCl的格子类型
举例：金红石和石盐晶体模型
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的 行列。
我们可以得到晶胞参数的具体数值。
c
c
c
b a b Triclinic abc
c
b
P
a
P
a C Monoclinic = = 90o abc
a
b
P
C
F
I
Orthorhombic = = = 90o a b c
c
c
a2 a1
a2 Tetragonal = = = 90o a1 = a2 c a3
十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
所选取的平行六面体应能反映结点分 布固有的对称性； 在上述前提下，所选取的平行六面体 棱与棱之间的直角力求最多； 在满足以上两条件的基础上，所选取