晶格的对称性
晶体一般特点
晶体一般特点晶体是由原子、分子或离子按照一定的规则排列而形成的固态物质。
晶体具有一些特点，下面将从多个方面进行描述。
1. 有序性：晶体的原子、分子或离子呈现规则的排列方式，形成有序的晶格结构。
这种有序性使晶体具有规则的外形和内部结构。
2. 高度对称性：晶体的晶格结构具有高度对称性，即晶体中的各个部分呈现出相同的形态和性质。
这种高度对称性使得晶体在三维空间中具有特定的几何形状。
3. 物理性质的各向同性：晶体的物理性质在各个方向上基本相同，即具有各向同性。
例如，晶体的热导率、电导率和光学性质在各个方向上基本相等。
4. 具有周期性：晶体的晶格结构具有周期性，即晶体中的原子、分子或离子在空间中周期性重复出现。
这种周期性使晶体具有特定的晶格常数和晶胞。
5. 明确的熔点：晶体具有明确的熔点，即在一定的温度下，晶体经过熔化转变为液体。
这是因为晶体的有序结构在熔化时被破坏，原子、分子或离子之间的相互作用减弱。
6. 具有特定的光学性质：晶体对入射的光具有特定的反射、折射和吸收特性。
这是由于晶体中的原子、分子或离子的排列方式对光的传播产生特定的影响。
7. 具有特定的电学性质：晶体在外加电场下会表现出特定的电学性质，如电导率、介电常数和压电效应等。
这是由于晶体中的原子、分子或离子之间的电荷分布和相互作用的特点。
8. 具有特定的磁学性质：晶体在外加磁场下会表现出特定的磁学性质，如磁化强度、磁导率和磁各向异性等。
这是由于晶体中的原子、分子或离子之间的磁矩相互作用的特点。
9. 具有特定的力学性质：晶体在外力作用下会表现出特定的力学性质，如弹性、塑性和脆性等。
这是由于晶体中的原子、分子或离子之间的键合强度和排列方式的特点。
晶体具有有序性、高度对称性、各向同性、周期性和特定的物理、光学、电学、磁学和力学性质。
这些特点使晶体成为研究材料科学、凝聚态物理和固体化学等领域的重要对象，也使晶体在生活和工业中有着广泛的应用。
12晶格及其平移对称性.
Solid State Physics
1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正 方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如 果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。 用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
体心立方晶格结构金属 —— Iron
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面 内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式， 称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶
体结构； 若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同
的晶体结构。 下面是常见的几种晶体结构：
Solid State Physics
§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
第一章 课时六 点群 空间群 晶格对称性
13
四面体点群
E+8C3 + 3C2； 绕3个立方轴（红色）旋转π/2, 3π/2，接着做水平面镜像，共6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共6个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用T d表示，称为正四面体点群。
47
钙钛矿(BaTiO3)结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
48
钙钛矿(BaTiO3)结构
Barium titanate can exist in five phases, listing from high temperature to low temperature: (1) hexagonal (2) Cubic (Pm-3m, 221) (3) Tetragonal (P4mm, 99) (4) Orthorhombic (5) Rhombohedral
1.12
63
64
65
66
67
68
69
C1群：只含有一个元素（不动），表示没有任何对称性
Cn群：只含有一个旋转轴的点群，共4个，C2, C3, C4, C6 Cnv群：Cn群加上包含n重轴的镜面，共4个 Cnh群：Cn群加上垂直于n重轴的镜面，共4个 Cs群：C1群加上镜面
Ci群：C1群加上中心反演
horizontal vertical inversion
space group table: /wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimension4s0
41
12 晶体的对称性一 对称性的概念二 晶体中允许的对称操作三 晶体
1.2 晶体的对称性一. 对称性的概念二. 晶体中允许的对称操作三. 晶体宏观对称性的表述：点群四. 七个晶系和14种晶体点阵五. 晶体的微观对称性：空间群六. 二维情形七. 点群对称性和晶体的物理性质参考：黄昆书1.5－1.7 节阎守胜书 2.2 节一.对称性的概念：一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。
即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。
点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。
有限大小的物体，只能有点对称操作。
对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素：点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
●●如何科学地概括和区别四种图形的对称性？从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形只能旋转才保持不变；后2个图形只有3,,πππ2π以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：111213212223313233'''x a a a x y a a a y z a a a z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=∙ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111213212223313233i j a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 其中A ij 为正交矩阵从解析几何知道，符合正交变换的是：绕固定轴的转动(Rotation about an axis) 绕z 轴旋转θ角cos sin 0sin cos 0001i j A θθθθ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭数学上可以写作：如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。
一个物体可能的对称操作越多，它的对称性就越高。
立方体具有较高的对称性，它有48个对称操作：绕4 条体对角线可以旋转共8个对称操作；绕3 个立方边可以旋转共9个对称操作；绕6 条棱对角线可以转动π，共 6 个对称操作；加上恒等操作共24个。
第一章 晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
1.3 倒格子、晶格的宏观对称性
uu r
ur
b 3 = 2π uu r r r a1 ⋅ ( a 2 × a 3 )
a1 × a 2
称为倒格子基矢量
Primitive vectors of the reciprocal lattice
对于简单立方晶格
r r r 2 a1 × a2 = a k r r r 2 a2 × a3 = a i r r r 2 a3 × a1 = a j
r r a1 = ai r r a2 = a j r r a3 = ak
2π r r b1 = a i r 2π r j b2 = a 2π r r b3 = a k
r r r 3 a1 ⋅ a2 × a3 = a
(
)
简单立方晶格的倒格子仍然是简单立方
以 b1、b2、b3 为基矢可以构成一个倒格子，其中每个 格点的位置为
§1-4 倒格子 Reciprocal lattice
1. 倒格子 由于周期性，晶格中 x 点和 x+l1 a1+l2 a2+l3a3 的情 况完全相同，因为它们表示两个原胞中相对应的点 如V(x) 表示 x点某一物理量 r r r r r V ( x) = V ( x + l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) V(x) 是以 a1、a2、a3 为 周期的三维周期函数
圆形对任意的直径做反射都不改变； 正方形只有对于对边中心的连线以及对角线作反射才 保持不变； 等腰梯形只有对两底中心连线反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右对称的线
分析宏观对称就是考查在一定几何变换下物体的不变性 前面考虑的几何变换都是正交变换(保持两点距离不变) 概括宏观对称性的系统方法就是 考查在正交变换下的不变性 考查在正交变换下的不变性
材料物理课件12晶体的宏观对称性
对称性与物理性质的关系
对称性与物理性质密切相关， 不同对称性的晶体表现出不同 的物理性质。
点对称性决定了晶体的光学、 电磁学等性质，镜面对称性则 影响晶体的热学、力学等性质 。
对称性越高，晶体的物理性质 越稳定，对称性破缺可能导致 某些物理性质的变化或异常。
02
晶体宏观对称性的表现形式
晶体宏观对称操作的种类
02
在晶体中，对称性表现为晶体在 不同方向上具有相同的晶格结构 和物理性质。
对称性的分类
晶体宏观对称性分为点对称性和 镜面对称性两类。
点对称性是指晶体在三维空间中 具有旋转、反演、倒转等对称元 素，如立方晶系的旋转轴、四方
晶系的四重轴等。
镜面对称性是指晶体在某一方向 上具有对称的平面，如单斜晶系
的b轴和c轴构成的平面。
理论计算方法
密度泛函理论
通过计算电子密度分布，推导出晶体的电子结构 和对称性。
分子力学计算
基于分子力学的原理，模拟晶体分子在平衡状态 下的构型和对称性。
群论分析方法
利用群论的原理，对晶体对称性进行分类和描述 。
计算机模拟方法
分子动力学模拟
通过模拟大量原子或分子的运动，预测晶体的结构和对称性。
蒙特卡洛模拟
材料物理课件12晶体的宏观对称 性
contents
目录
• 晶体宏观对称性的基本概念 • 晶体宏观对称性的表现形式 • 晶体宏观对称性的应用 • 晶体宏观对称性的研究方法 • 晶体宏观对称性的未来发展
01
晶体宏观对称性的基本概念
对称性的定义
01
对称性是指一个物体或系统在不 同方向上保持相同或相似形态的 性质。
对称性破缺会导致晶体物理性质的变 化，例如光学、电学、热学等方面的 性质改变。
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
晶体的结构与性质
晶体的结构与性质晶体是由原子、分子或离子结构规则地排列而成的物质。
晶体的结构与性质密切相关，本文将就这两方面进行探讨。
一、晶体的结构晶体的结构由周期性的、有序的结构单元构成。
晶格是指晶体中原子、分子或离子的空间排列方式。
晶格是重复的，且具有平移对称性。
晶体的结构构成有三个要素：结构单元、晶体晶格和晶体对称性。
1.结构单元结构单元是指晶体中以晶格为单位所重复出现的最小结构单元，通常由几个原子、离子或分子构成。
例如，金刚石晶体中的结构单元是一个碳原子与四个相邻的碳原子方向而成的四面体。
2.晶体晶格晶体晶格是指结构单元通过平移而得到的三维有序排列方式。
晶体中的晶格具有特殊的对称性，可以被描述为点阵、面阵或空间群。
点阵是晶体中已知单胞的基本单位，它在三维空间中重复排列构成晶体。
面阵是晶体中由重出现排列的单胞面所构成的排列，通常用于描述平面电声晶体。
空间群则是晶体中单胞的空间重复排列方式，具有丰富的对称性和分子结构信息。
3.晶体对称性晶体对称性包括点群对称性、平面群对称性和空间群对称性。
点群对称性是指晶体中一个晶格单元的一系列对称操作所具有的对称性。
平面群是指晶体中具有一定晶面对称性的平面所对应的对称操作，通常用于描述平面电声晶体。
空间群则是晶体中单胞的空间重复排列方式所具有的对称性。
二、晶体的性质晶体的性质受到晶体结构、原子、分子或离子的排列方式以及化学键的强度等因素的影响。
晶体的性质表现为热学性质、光学性质、电学性质、磁学性质等。
1.热学性质晶体的热学性质随温度变化而变化，包括热膨胀系数、热传导率、热导率、热容等。
晶体的热膨胀系数与晶体的结构紧密相关，晶体结构相对稳定的晶体热膨胀系数较低。
2.光学性质晶体的光学性质是晶体中分子或离子吸收、散射、透过或折射光线的方式和规律。
光学性质包括吸收谱、荧光谱、紫外线谱等。
每一种晶体的光学性质都有独特的特点，其差异体现在某些颜色或光谱信息上。
3.电学性质电学性质与晶体的结构、化学键的特点等密切相关。
晶格与晶胞的名词解释
晶格与晶胞的名词解释1.引言1.1 概述晶格和晶胞是材料科学中非常重要的概念，用于描述晶体的结构和性质。
晶格是指晶体内部原子、离子或分子排列成有序、重复的结构。
晶胞则是晶格的最小重复单元，它可以完整地再现整个晶格的结构。
在材料科学领域，研究晶格和晶胞的性质是为了理解和解释材料的结构、性能和行为。
晶格的特征决定了晶体的物理、化学和电子性质，包括导电性、热导性、光学性质等。
晶胞的结构决定了晶体的晶体学性质，如晶胞的形状、尺寸和对称性。
通过对晶格和晶胞的研究，科学家能够更好地理解材料的内部结构，并预测和设计新材料的性能。
例如，在固态物理和材料科学中，晶格常常用于描述金属、半导体、陶瓷和晶体材料的结构和性能。
同时，晶格和晶胞的概念也广泛应用于其他领域，如光学、凝聚态物理和无机化学等。
本文将详细介绍晶格和晶胞的定义、特征以及它们之间的关系。
通过深入理解这些概念，我们可以更好地理解材料的微观结构与宏观性质之间的关联，为材料科学和工程领域的研究和应用提供指导。
希望本文可以帮助读者对晶格和晶胞的概念有一个清晰而全面的了解，并对材料世界有更深入的认识。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述晶格与晶胞的名词解释。
首先，在引言部分，我们将简要概述晶格和晶胞的概念以及它们在材料科学中的重要性。
同时，我们将介绍本文的目的和意义，以便读者能够更好地理解本文所要传达的内容。
接下来，在正文部分，我们将详细解释晶格的定义和特征。
我们会介绍晶格是指由晶体内的原子、离子或分子排列所形成的规则三维结构。
同时，我们还会探讨晶格的一些重要特性，如晶胞的常见形状、晶体的晶型和晶系分类等。
然后，我们将进一步讨论晶胞的定义和构成。
晶胞是指在晶格中所选取的最小重复单元，它由原子、离子或分子构成。
我们将介绍晶胞的几何形状和晶格常量等关键概念，并解释晶胞在描述晶体结构中的重要性。
在结论部分，我们将对晶格和晶胞的理解与应用进行深入讨论。
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简单立方 体心立方 面心立方
六角
简单四方 体心四方
三角
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
简单单斜 底心单斜
简单三斜
每一晶系按 其晶胞的底 心、面心或 体心是否有 格点可分为 几种不同的 形式，每种 形式为一种 布拉伐格子， 则七个晶系 共计包含 14种布拉 伐格子。
具有一个特征转轴的晶系
晶系
三斜 单斜 三角 四方 六角
考虑晶格的平移对称性后，增加两类对称操 作：
n度螺旋轴
滑移反映面
(1) n度螺旋轴
A4
定义：一个n度螺旋轴u表示绕轴每
4
A3
转2π/n角度后，再沿该 轴的方向平移 T/ n的l倍，则晶体中原子和相同的原
子重合（l为小于n 的整数；T为沿u轴
3
方向上的周期矢量）。
A2
A1
2
A
1
4度螺旋轴
晶体只能有1、2、3、4、6度螺旋轴。
面心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
立方晶系
立方晶系 简单立方
a1 a2 a3
90
立方晶系 体心立方
a1 a2 a3
90
立方晶系 面心立方
a1 a2 a3
90
3、空间群
晶格的周期性，
所有布拉伐格子晶
也称平移对称性， 格矢量对应的平移
空间群的描述
空间群
简单空间群或点空间群
复杂空间群或非点空间群
说明
( R tl1l2l3 )
(Rt)
说明
R：点群对称操作； t：对称操作（不一定是平移对称操作）;
tl1l2l3 :一个平移对称操作;
t l1l 2 l3
l1a1 l2a2
l3a3
:晶格平移矢量.
单斜晶系
简单单斜
a1 a2 a3 a2 a1, a3
单斜晶系
底心单斜
a1 a2 a3 a2 a1, a3
三角晶系、四方晶系、六角晶系
三角晶系
三角
a1 a2 a3
120
90
四方晶系 简单四方
a1 a2 a3
90
四方晶系 体心四方
a1 a2 a3
90
特征 对称操作
对晶胞要求
C1
a1 a2 a3 ,夹角不等
C2
a1 a2 a3 , a2 a1, a3
C3
a1 a2 a3 , 120 90
C4
a1 a2 a3 , 90
C6
a1 a2 a3 , a3 a1和a2 , a1, a2夹角120
具有多个二度转轴的晶系
C
C’
Bond angle = 109.5ºC(C’)(2)滑反映面A2T/n
A1
T/n
A2 A1
A
M A
定义：经该面镜像操作后，
再沿平行于该面的某个方 向平移T/n的距离(T为该方 向上周期矢量)，则晶体中 的原子和相同的原子重合。 氯化钠结构具有这样的滑 移反映面。
“空间群”定义
定义：晶格全部对称操作的集合，称为空 间群。其元素是点群操作和平移操作的组 合。已知共有230种晶体空间群，所以所 有的晶格结构有230个类型，每个对称类 型由一个空间群描述。
例：金刚石结构上下底面心到该一个
棱的垂线的中点，联接这两个中点的 直线是4度螺旋轴；晶体沿该轴转90度， 再沿该轴平移a/4，能自身重合。
例：金刚石结构上下底面心到该一个棱的垂线的中点，联
接这两个中点的直线是4度螺旋轴；晶体沿该轴转90度，再 沿该轴平移a/4，能自身重合。
Diamond Tetrahedral sp3 bonding (very hard!)
晶系 正交
特征 对称操作
三个互相 垂直的C2
对晶胞要求
a1 a2 a3;a1, a2 , a3互相垂直
具有多个高度转轴的晶系
晶系 立方
特征 对称操作
4个C3
对晶胞要求
a1 a2 a3;a1, a2 , a3互相垂直
2、14种布拉伐格子—三斜、单斜晶系
三斜晶系 简单三斜
a1 a2 a3
夹角不等
六角晶系
六角
a1 a2 a3 a3 a1, a2 a1, a2夹角120
正交晶系
正交晶系
简单正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
正交晶系
底心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
正交晶系
体心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
正交晶系
§1-4 晶格的对称性(symmetry)
1、七个晶系 2、十四种布拉伐格子 3、空间群
七个晶系与十四个布拉伐格子关系图
晶体的32种 宏观对称性 类型可以分 成七类，即 七个晶系。 其中每个晶 系包含若干 种点群，它 们具有某些 共同的对称 素。
立方晶系 六角晶系 四方晶系 三角晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
用布拉伐格子来
对称操作的集合，
表征，平移一个
称为平移群。
布拉伐格子的晶 格矢量
空
晶格的对称性也可用一
间
tl1l2l3 l1a1 l2a2 l3a3
系列转动（或转动加反
群
后，晶体自身重 合，称为平移对 称操作。
演）对称操作来描述， 这些对称操作的集合组 成点群。
增加的两类对称操作
对于布拉伐格子，在点群操作和平移操作下 都是不变的，但对于基元内多于一个原子的复 式晶格来说，晶格在点群操作后接着平移操作 才是不变的，单独的一种都不是独立的对称操 作。因此，全面分析晶格对称性，必须考虑平 移对称性。