1固体物理-晶体结构2
固体物理(第2课)常见晶格结构
钙钛矿晶格结构（2）
C60分子晶体
C60是由60个碳原子构成的球形32面体，即由12个五边 形和20个六边形构成。其中五边形彼此不相连，只与六 边形相连。每个碳原子以sp2杂化轨道和相邻的3个碳原 子相连，剩余的p轨道在C60分子的外围和内腔形成键。
纤锌矿晶格结构（3-1）
纤锌矿晶格结构（3-2）
立方晶系中一些常用的晶向指数
说明：
晶向指数代表一族晶列，而不指某一特 定晶列。(示意图) 负晶向指数表示： u v w 。
等效晶向表示：<u v w> 六方晶系的表示方法。（示意图）
1.6.2 晶面与密勒指数
晶面：同一平面上的格点构成一个晶面。 晶格由无数互相平行且等距分布的晶面构成。 截距方程： x y z 1 a, b, c为截距 a b c 密勒指数：用以标志晶面的参数。
纤维锌矿是一种较少见的硫化锌的矿物形式，以法国化 学家Charles-Adolphe Wurtz的名字命名。 其晶体结构是六角形晶体系统的一员且包含有四面等位 的锌和硫原子形成ABABAB型结构。这种结构与 of 六方 碳或者六角的钻石的结构有很大程度的关联。 纤维锌矿单胞常数为： a = b = 3.81 Å = 381 pm c = 6.23 Å = 623 pm
Cu 1s22s22p63s23p63d104s1
1.5.2 立方晶系的复式格子
a) b) c) d) e) 氯化钠型结构（示意图） 氯化铯型结构（示意图） 金刚石结构(演示) （示意图） 闪锌矿结构(演示) （示意图） 钙钛矿结构: （示意图） f) C60结构 （示意图）
1.5.3 六方密积结构
淡黄色透明 闪锌矿(金刚 石光泽)...
晶体结构笔记-固体物理学
晶体结构一、晶体、准晶体和非晶体材料结构特征与差别（1）晶体结构：整个晶体是一个完整的单一结构，即结晶体内部的微粒在三维空间呈高度有规律地、周期性地排列，或者说晶体的整体在三维方向上由同一空间格子构成，整个晶体中质点在空间的排列为长程有序，且具有各向异性。
（2）准晶体结构：既不同于晶体，也不同于非晶态，原子分布不具有平移对称性，但仍有一定的规则，且呈长程的取向性有序分布，可认为是一种准周期性排列。
一位准晶：原子有二维是周期分布的，一维是准晶周期分布。
一维准晶模型————菲博纳奇（fibonacci）序列。
其序列以L→L+S S →L(L,S分别代表长短两段线段）的规律增长，若以L为起始项，则会发现学列中L可以成双或成单出现，而S 只能成单出现，序列的任意项均为前两项之和，相邻的比值逐渐逼近i，当n →∞时，i=（1+√5）/2。
二维准晶，一种典型的准晶结构是三维空间的彭罗斯拼图(Penrose)。
二维空间的彭罗斯拼图由内，角为36度、144度和72度、108度的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面。
这种拼图没有平移对称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性。
三维准晶，原子在三维上的都是准周期分布包括二十面体准晶，立方准晶。
准晶体质点在空间排列为长程取向，没有长程平移周期性。
（3）非晶体结构：非晶体是内部质点在三维空间不成周期性重复排列的固体，具有近程有序，但不具有长程有序。
外形为无规则形状的固体。
非晶体具有各向同性，非晶体无固定的熔点，它的熔化过程中温度随加热不断升高。
二、原胞、基矢的概念，晶面晶向的表示，对称性和点阵基本类型（1）原胞与基矢：能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布之化学-结构特征的平行六面体单元，最小的周期重复单元称作点阵的原胞。
以原胞的边长为点阵基矢构成平移矢量为基矢。
任意格矢为R=m1a1+m2a2+m3a3,定义表明，晶体在不同方向上，晶体的物理性质不同，也表明点阵是无限大的。
固体物理第一章(2)
例2解答：
c
b
0a （101）
c
b
0a （1-22）
c
b
0a （021）
c
b
a （2-10）
例3、在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示， 它们代表一个晶面的基矢的截距分别为a1/h，a2/k， a3/m，在c轴上的截距为c/l。
证明（1）h+k=-m；
（2）求出O’A1A3、A1A3B3B1、A2B2B5A5和 A1A3A5四个面的面指数。
例1解答：
晶面族（123）截a1、a2和a3分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近 的晶面，OA长度等于a1的长度，OB长度等于a2长度的1/2，OC长度等于a3 长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则 A、B和C都不是格点。
例2、在简立方晶胞中，画出（101）、（021）、（1-22）和（2-10）晶面。
ra1 n ra1 cos a1, n d
sa2 n sa2 cos a2 , n d
ta3 n tas cos a3 , n d
由此得： c o sa 1 ,n:c o sa 2 ,n:c o sa 3 ,n1:1:1
r a 1 s a 2 ta 3
与上式相比较，有
cos
h1h2k1k2l1l2
h12k12l12 h22k22l22
指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。 这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶 体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石 的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（110）面。
立方晶格的等效晶面
固体物理 晶体结构
第一布里渊区:
以任一倒格点为原点， 共有八个最近邻，即八 个中垂面，围成一个八 面体，但其六个顶角却 被对应于六个次近邻倒 格点的中垂面所截。， 故其第一布里渊区是十 四面体。
例3 体心立方晶格第一布里渊区
倒格子：面心立方结构
第一布里渊区
以任一倒格点为原 点，考虑到离原点最近 的倒格点共有12个，即 作出相应的12个中垂面， 围成一个12面体，因次 近邻倒格点的中垂面并 不切割它，所以其第一 布里渊区的形状就是12 面体。
七个晶系与十四个布拉菲格子关系图
立方晶系
晶体的32种 宏观对称性 类型可以分 成七类，即 七个晶系。 其中每个晶 系包含若干 种点群，它 们具有某些 共同的对称 素。
简单立方 体心立方 面心立方 六角 简单四方 体心四方
六角晶系 四方晶系 三角晶系
三角
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 简单单斜 底心单斜 简单三斜
a1 a2 a3 a2 a1 , a3
三角晶系、四方晶系、六角晶系
三角晶系 三角
四方晶系 简单四方
四方晶系 体心四方
六角晶系 六角 a1 a 2 a 3
a1 a2 a3
120
90
a1 a2 a3
a1 a2 a3
90
C 1 2 3
O
a
1
a
2
OA' 晶向
B
[100]
A
OB' 晶向 [110]
晶向指数
晶向指数
某些晶向只是方向不同，而周期却是相同的，这类 晶向称为等效晶向，用<l1l2l3>表示。如立方晶格中的
固体物理
第一章晶体结构⏹布拉菲点阵概念⏹惯用晶胞（单胞）概念⏹初基晶胞（原胞）概念⏹Wigner-Seize晶胞⏹晶体结构基元+点阵=晶体结构⏹简单的晶体结构（1）sc，bcc，fcc结构的特征（2）金刚石结构（3）六角密堆积结构（4）NaCl结构（5）CsCl结构⏹晶列, 晶向, 晶面, 晶面族, 晶面指数, 密勒指数, 晶面间距晶面指数（hkl)的定义和求法方向指数[abc]的定义和求法⏹对称操作⏹7种晶系和14种布拉菲点阵1以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的简立方和面心立方晶体中的原子数之比。
2证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交3某元素晶体的结构为体心立方布拉菲格子，试指出其格点面密度最大的晶面系的密勒指数，并求出该晶面系相邻晶面的面间距4在立方晶胞中画出（122），（001），（10），（210）晶面和[122]5晶体中可以独立存在的8种对称元素是：、、、、、、、。
⏹布拉格定理⏹倒易点阵初基矢量公式⏹布里渊区的求法（二维正方格子和长方格子）⏹实验衍射方法（劳厄法、转动晶体法和粉末法）⏹倒易点阵矢量和晶面指数间的关系1考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl），（a）证明倒易点阵矢量G（hkl）=hb1+kb2+lb3垂直于这组平面（hkl）；（b）证明两个相邻的点阵平面间的距离d（hkl）为2从体心立方铁的（110）平面来的X-射线反射的布喇格角为22º，X-射线波长λ=1.54Å。
试计算铁的立方晶胞边长；(b）从体心立方结构铁的(111)平面来的反射的布喇格角是多少？答案：a）a=2.91Å；b）θ=27.28º3对于点阵常数为a的二维六角点阵，（a）写出正点阵的初基矢量；（b ）计算倒易点阵的初基矢量；（c ）画出第一、第二、第三布里渊区；（d ）计算第一布里渊区的体积。
4半导体材料Si 和Ge 单晶的晶体点阵类型为 ，倒易点阵类型为 ，第一布里渊区的形状为 ，每个 原子的最近邻原子数为 。
固体物理1-2晶体的周期性
②平行六面体形原胞 — 固体物理学原胞，有时难 反映晶格的全部宏观对称性→Wigner-Seitz 取法
Wigner-Seitz原胞（对称原胞）—— 由某 一个格点为中心做出最近各点和次 近各点连线 的中垂面，这些包围的空间为维格纳—塞茨原 胞
vvv i j k
ar2
a 2
vvv i jk
ar3
a 2
vvv i jk
体心立方晶格的原胞
原胞
av1
av2
av3
a3 2
1 原胞 2 bcc
bcc
a1 a2
0
a3
∴只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元
原胞：
基矢
av1 av2
a 2 a 2
r (i
r (i
v j
晶胞的特点：
（1）晶胞的选择反映晶体的对称性， （2）晶胞中格点不仅出现在顶角上，还会出现在体心或面心 （3）晶胞体积为原胞体积的整数倍， （4）每个晶胞中平均包含不止1个格点。
sc
sc 格子的一个立方单元 体积中含的原子数：1
sc格子的立方单元是最小 的周期性单元 — 选取其 本身为原胞。
由立方体的顶点到三个近 邻的格点引三个基矢：
v j
v k)
v k)
av3
Байду номын сангаас
a 2
r (i
v j
v k)
体积
V
av1 av2
av3
a3 2
原子个数 1
固体物理
C H 1、2 晶体结构 原子的周期性排列:• 晶体的定义和表示晶体：具有一定熔点的固体称为晶体，晶体可以看成由相同的格点在三维空间做周期性无限分布所构成的的系统，这些格点的总和称为点阵，晶体的内部结构可以用空间点阵描述晶格、格点和基元晶体结构：晶体结构=点阵+基元 晶格晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称为晶格格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）基元：在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元元胞：初基元胞（固体物理学元胞）和非初基元胞（结晶学元胞）固体物理学元胞 ：取一个以结点为顶点、边长分别为3个不同方向上的平行六面体作为重复单元来反映晶格的周期性，这个体积最小的重复单元称为固体物理学元胞结晶学元胞 ：体积通常较固体物理学元胞大为了反映周期性的同时，还要反映每种晶体的对称性，因而所选取的重复单元的体积不一定最小，结点不仅可以在顶角上，通常还可以在体心或面心上，这种重复单元称为结晶学元胞（布拉维原胞）简称晶胞简单晶格（布拉菲晶格）：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。
复式晶格（非布拉菲晶格）：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。
晶格的基本类型二维晶格 :三维晶格:7 大晶系：三斜、单斜、正交、三方、四方、六方、立方（简单立方、体心立方、面心立方） 14种布拉菲元胞晶面和晶向的标定Miller 指数: 如何确定 Miller 指数在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数 设某一晶面在基矢a 、b 、c 的方向的截距为ra ，sb ， tc ，将系数r ，s ，t 的倒数1/r ，1/s ，1/t 约化为互质的整数h ，k ，l 即h:k:l=1/r ：1/s ：1/t 并用圆括号写成（hkl ）,即为晶面指数，也称米勒指数简单的晶体结构sc, bcc, fcc, hcp, diamond and zinc sulfide简立方：原子位于边长为a 的8个顶角上这种布拉维晶胞只包含一个原子a1=ai a2=aj a3=ak V=a^3面心立方：4个格点。
固体物理课件 第一章 晶体结构
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。
在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)
金刚石
c
c
面心立方
钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
至今为止，晶体内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。
（1）X射线 -由高速电子撞击物质的原子所产生的电磁波。 早在1895年伦琴发现x射线之后不久，劳厄等在1912年就意识到X射线的 波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相同，晶体中的原子如果按点阵排 列，晶体必可成为X射线的天然三维衍射光栅，会发生衍射现象。在 Friedrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜晶体的衍射斑，并作出了正确 的理论解释。随后,1913年布拉格父子建立了X射线衍射理论，并制造了第 一台X射线摄谱仪，建立了晶体结构研究的第一个实验分析方法，先后测定 了氯化钠、氯化钾、金刚石、石英等晶体的结构。从而历史性地一举奠定 了用X射线衍射测定晶体的原子周期性长程序结构的地位。 时至今日，X射线衍射(XRD)仍为确定晶体结构，包括只具有短程序的无 定型材料结构的重要工具。
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反演中心 按对称中心反演 inversion center of symmetry or inversion center n-重旋转轴 绕轴旋转 rotation n-fold proper axis of rotation 镜面 镜像 plane of symmetry reflection
绕轴旋转后镜像 n-重旋转镜像轴 rotates counterclockwise n-fold improper axis rotation followed 360o/n degrees about the axis of rotation by reflection and then reflects across a plane perpendicular to the axis
对称元素
为了简明概括一个物体的对称性，不一一列举所有对 称操作，而是描述它所具有的“对称元素” ； 在对称操作下固定不变的点、直线及平面称为对称元 素(symmetry element) 一个物体绕某一个转轴转动2π/n以及其倍数保持不变 时，称该轴为n重（次，度）旋转轴，用n表示；
所属点群
Bravais格子 P P、C P、C、I、F R
a b c
a b c ==90º a b c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º
C1 、 Ci
C2、CS、C2h D2、C2V、D2h C 3 、 S6 、 D 3 C3V、D3d C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
将晶体平移布拉维格子的任一格矢，晶体与自 身重合，称为平移对称操作。
问题 平移对称操作是正交变换吗？ 平移对称操作是点对称操作吗？
空间群
布拉维所有格矢对应的平移对称操作的集合， 称为平移群； 使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合， 构成空间群。
空间群 (1)简单空间群（点空间群），由一个平移群和一 个点群对称操作组合而成，共73个； (2)复杂空间群，晶格全部对称操作的集合，共有 230个。
ห้องสมุดไป่ตู้
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
正二十面体所属对称群为I和Ih群 I群的对称元素包含有二、三、五重轴，共 60个元素 Ih群由I群+中心反演得到，共120个元素 I和Ih群不属于32个晶体点群
C60的对称性
/furuti/MapProj/Dither/ProjPoly/Foldout/foldout.html
点对称操作
对称元素
在晶体中，由于平移对称性的限制，转动 对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴，对称元素 只能有
1, 2, 3, 4, 6
1 , 2 , 3 , 4, 6
作业！
点群
1, 2, 3, 4, 6 1 , 2 , 3 , 4, 6
晶体学点群 (Crystallographic point group)
镜面、镜像
二维正方形的对称操作
立方体的对称操作
正四面体
正四面体
正四面体
正四面体的对称操作
群和点群(point group)
群 (group) 是一种集合，其元素称为群元，这种 集合满足四个条件；（1）封闭性;（2）存在单 位元;（3）存在逆元;（4）结合律成立. 更具体定义请参考群论书籍资料。 一个系统拥有的全部对称操作可以组成一个对 称群，每种对称操作是其中一个群元。 旋转、镜像、中心反演这些对称操作都可以保 持空间至少一点固定不动，称为点对称操作； 由点对称操作组成的群，称为点群。
Schoenflies Symmetry Notation
符号标 记Label
E i Cn σ/m Sn
对称元素 Symmetry element
恒等操作 identity
对称操作 Symmetry operation 不变 nothing
What does it do
Nothing projects through the center an equal distance rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis reflects across a plane
Schoenflies Point Group C1, Ci C2, Cs, C2h D2, C2v, D2h C3, S6, D3, C3v, D3d C6, C3h, C4h, D6, C6v, D3h, D6h C4, S4, C4h, D4, C4v, D2d, D4h T, Th, O,Td, Oh
space group table: /wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimensions
晶系 三斜 单斜 正交 三方
对称性特征 只有1或 i 唯一2或 m 三个2或 m 唯一3 或 3
晶胞参数
四面体点群
4 个三重轴（蓝色），共 8 个对称操作，记为8C3 ； 3 个两重轴（红色），共 3 个对称操作，记为3C2； 保持不动，1个对称操作， 用E表示； 共8+3+1=12个对称操作
由如上所示的12个点对称操作{E, 3C2, 8C3}组成 的点群，用T表示。
四面体点群
四方
唯一4 或 4 唯一6 或 6 四个3
P、I
六方
a=b c C6、C3h、C6h、D6、 = ＝ 90º =120º C6V、D3h、D6h a=b=c = ＝＝ 90º T、Th、Td O、Oh
/rotation-symmetry.html
32个点群
Cn (for cyclic)
n 主轴的重（次，度）数 h 含有水平镜面 （垂直于主轴） v 含有垂直镜面（包含主轴） i 含有中心反演
32个点群
Sn (Spiegel, German for mirror)
plang.tuwien.ac.at/schani/supermag/archimedean/index.html /polyhedra/
平移(translation)对称性
布拉维格子的格矢
Rn n1a1 n2 a2 n3a3
7个晶系和14个布拉维格子
空间群国际符号
空间群的国际符号包括两个组成部分，前一部 分为大写英文字母，表示格子类型（P、C（A、 B）、I、F）；后一部分与点群的国际符号基 本相同，只是其中晶体的某些宏观对称要素的 符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。 例如：P23，I432，Fm3m 对应的点群是什么？晶格类型是什么？
两种群标记符号
固体物理中常用熊夫利符号(Schönflies notation) ; 晶体学中常用国际符号(International notation/Hermann-Mauguin notation)
（国际符号的具体解释见阎守胜《固体物理基础》）
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
对称元素
一个物体绕某一个转轴转动2π/n再加上中心反演， 以及其联合操作的倍数保持不变时，称该轴为 n 重 旋转-反演轴，用n 表示
对称元素 2的含义：先转动π， 再作中心反演。如右图中A点转 动π后变为 A’，再作中心反演后 变为A”。 A”实际上是A点在通过中心垂直 于转轴的平面 M 的镜像。说明 如果有对称元素 2，则存在一个 对称面 M 。所以也称对称元素 2 为镜面，用m或者σ表示。
8C3 + 3C2； 绕 3 个立方轴（红色）旋转 π/2, 3π/2 ，接着做水平面镜像，共 6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共 6 个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用Td表示，称为正四面体点群。
Dn (dihedral, or two-sided)
d 含有对角镜面 （包含主轴，并过两垂直二重轴的平分线）
32个点群
O (octahedron)
T (tetrahedron)
32个点群
Crystal System Triclinic Monoclinic Orthorhombic Trigonal Hexagonal Tetragonal Cubic
element symmetry plane operation reflection through plane symbol σ/m
σh - horizontal reflection plane (perpendicular to the principal axis) ** σv - vertical reflection plane (contains the principal axis) σd - diagonal reflection plane (contains the rotatation axis and bisect the angle between two C2 axes perpendicular to the rotatation axis ) * - n is an integer ** - principal axis is a Cn axis with the biggest n.
参考 Mildred S. Dresselhaus,Gene Dresselhaus,Ado Jorio. Group theory: Application in the physics of condensed matter. Springer (2008) P44