证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子
固体物理阎守胜第二章晶体的结构
原胞只含一个格点，是体积最小的周期性重复单元。 单胞可含一个或数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
2.1.4 几种常见的布拉维格子
1. 简单立方布拉维格子 3个基矢等长并相互垂直。
c b a
a1 aiˆ a2 aˆj a3 akˆ
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格点。
简单立方布拉维格子的配位数为6。
1. 群G中任意两元素的“乘积”仍为群G内的元素，这个 性质称为群的闭合性。 2. 存在单位元素E，使得对所有元素PG ，有PE EP P
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方 简单格子的选取方法相同。
基元由一个Cl-和一个Na+组成。
2、氯化铯结构
由两个简单立方格子套构而成。 具有氯化铯结构的化合物有：
CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子， 其布拉维晶格为简单立方，氯化铯结构属简单立方。
过一格点可以有无数晶列。
晶向的特点：
(1)平行晶列组成晶列族， 晶列族包含所有的格点
(2)晶列上格点分布是周期性的 (3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的 (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
如沿晶向方向的最短格矢 为 l1a1 l2a2 l3a3 ，该晶向 可记为 l1 l2 l3 。l1 l2 l3 称 为晶向指数。
习惯上用三个截距
h1'
、h2'
、h2'
(以
a1
、a2
、a3
为单位）倒数的互质整数比
1 h1'
习题——精选推荐
固体物理练习题其中带* 的为附加题第1讲晶体结构1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。
（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石；（2）体心立方金属、氯化铯。
1.2利用钢球密堆模型，求致密度：（1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。
1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。
又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。
1.4画出正四面体的所有基本对称操作。
1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109º28'。
1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。
1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。
1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明（1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数；（2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。
1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。
1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为12322a a c =+=-+=a i j a i j a k试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。
1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl（1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面；（2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d hkl π=G ，对于简单立方晶格有22222()/()d hkl a h k l =++。
1.13 证明第一Brillouin 的体积为3(2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。
北工大固体物理期末复习
王 XX 整理
第五章（2）
电子运动的半经典模型：电子的速度是在 k 空间能量的梯度 有效质量张量 能带底和能带顶的有效质量特征 能带、速率、有效质量随 k 的变化规律
第四章
自由电子气体模型（两个基本假设、仅有的一个独立参量—电子密度 n） 每个电子平均占据的体积，等效球半径 单电子本征能量，单电子的动量 由边界条件得出 k 的量子化取值 k 空间的态密度 Fermi 能， Fermi 动量，Fermi 速度，Fermi 温度 Fermi 面处的态密度 化学势和费米能 电子的比热容（包括晶格比热容，知道低温时变化规律） 弛予时间 电子的漂移速度 Vd , 电导率和热导率
维单原子链色散关系（会推导） ，长波极限情况，短波极限情况 一维双原子链，声、光学支色散关系（会推导） ，长波极限情况，短波极限情况 q 的取值 三维多原子晶体的声学支和光学支，横、纵声学支和光学支，模式数目等
王 XX 整理
声子概念
第五章（1）
能带理论的三条假设：绝热近似、单电子近似、周期场近似 Bloch 定理（了解）及能带（三种图示：简约、扩展和周期 BZ） Bloch 波的形式，波矢的取值与物理意义， Bloch 电子的状态由两个量子数标记，第 n 个能
第二章
结合能（定性了解） 几种价键及形成晶体的特点（定性了解） 离子键和离子晶体 共价键和共价晶体 金属键和金属晶体 氢键、分子键和分子固体
王 XX 整理
测试一
1. 2. 3. 4.
原胞是晶体中体积最小的重复单元，填满空间，没有重叠。 以一个格点为中心，与邻近格点连线的垂直平分面包围的最小体积原胞—WS 原胞。 单胞常用基失 adc 构成的平行六面体作为周期重复排列的最小单元，可含一个或多个 原胞。 写出对晶格常数为 a 的简立方晶体，与正格矢 Rn=ai+2aj+2ak 正交的倒格子晶面族的晶 面指数并求镜面距。 求简单六角布拉维格子的原胞体积、倒格矢、画出前两个布里渊区。 体积=a1*(a2Xa3)=根号 3a^2c/2
(完整word版)阎守胜答案
固体物理基础习题解答第一章 金属自由电子气体模型思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-Tk E E BF e gn ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-Tk E E BF e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=Tk i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?[解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低?[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n:()3/222032πn mE F=,()3/2220310353πn mE EF ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系?[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移)(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式xk Sxx ESv e j Fετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率E S v e k S xF ∇=⎰d 4222τπσ看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化?[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系?[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比.13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因?[解答]按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=mB mB T k pTk ce v eD V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1,作变量变换T k x B ω =,得到甚低温下333232T v Ak n p Bπ=,其中⎰∞-=021d xe x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x xe x x e x x B 。
固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类
P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了 便于大家看懂，下面给出符号的说明
Cn C1, C2 , C3, C4 , C6
900 1200
900
7个晶系(crystal system)相应的点群 S1, C2h , D2h , D4h , D3d , D6h , Oh
即：Ai G,i 1, 2,3 ,G {Ai}
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
Ai Aj Ak ,i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E
E G, EAi Ai E Ai
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对 称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素
比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z sin
z
y
sin
z
cos
a11 a12 a13 1 0
0
布拉菲点阵的证明【十分有用】
θ ＝ ０°， ６０°， ９０°， １２０°， １８０° ４ 因此晶体的宏观对称操作只能是旋转以上五种角度 其转轴分别称为 １， ６， ４， ３， ２ 重旋转 对称轴 这五种旋转对称轴加上反演组成五种象转旋转对称轴 1 , 6 , 4 , 3 , 2 称为 １０ 种对称 素 每种对称素对应一种对称操作 晶体中只可能有这 １０ 种对称素 不可能有 ５ 重 ７ 重 旋转对称轴等对称素 具体地分析证明 由于对称素组合时受到严格的限制 这 １０ 种对称素只能组成 ３２ 个不 同的点群 下面简单介绍这 ３２ 个点群 ［１］ 最简单的点群只有一个元素 Ｃ１ 就标记为 Ｃ１ 它表示没有任何对称性的晶体 只有一个旋转轴的点群称为回转群 标记为 Ｃ２ Ｃ３ Ｃ４ Ｃ６ 共有四个 Ｃｎ 表示有一个 ｎ 重旋转轴 包含一个 ｎ 重旋转轴和 ｎ 个与之垂直的二重轴的点群称为双面群 标记为 Ｄｎ 这样的点 群有 Ｄ２ ， Ｄ３ ， Ｄ４ ， Ｄ６ 四种 由上述点群增加反演中心或一些镜面 可以组成新的点群 Ｃ１ 群加上中心反演组成 Ｃｉ 群 Ｃ１ 群加上反映面组成 Ｃｓ 群 Ｃｎ 群加上与 ｎ 重旋转轴垂直的反映面组成 Ｃｎｈ 群 共有四个 Ｃｎ 群加上 ｎ 个含 ｎ 重旋转轴 的反映面组成 Ｃｎｖ 群 也有有四个 Ｄｎ 群加上与 ｎ 重旋转轴垂直的反映面组成 Ｄｎｈ 群 共有四个 Ｄｎ 群加上通过 ｎ 重旋转轴及 两根二重轴角平分线的反映面组成 Ｄｎｄ 群 仔细分析表明 这里 ｎ 只能取 ２ 和 ３ 因此只有 Ｄ２ ｄ 群和 Ｄ３ ｄ 群 还可以有只包含旋转反演轴的 Ｓｎ 点群 但其中 Ｓ１ ＝ Ｃｉ Ｓ２ ＝ Ｃｓ Ｓ３ ＝ Ｃ３ ｈ 只有 Ｓ４ Ｓ６ 群归入 Ｓｎ 群 举个实际点的例子 对立方体 存在绕立方轴转动 ９０° １８０ ° ２７０°的 ９ 个对称操作 绕面对角线转动 １８０°的 ６ 个对称操作 绕体对角线转动 １２０ ° ２４０°的 ８ 个对称操作 加上
总结固体物理作业
6 第一章 晶体结构1. 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方 52.06/≈π体心立方 68.08/3≈π面心立方 74.06/2≈π 六方密排 74.06/2≈π金刚石34.016/3≈π2. 试证：六方密排堆积结构中633.1382/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=a c 。
又：金属Na 在273K 因“马氏体相变”从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a=0.423 nm , 设六角密堆积结构相的c/a 维持理想值，试求其晶格常数。
解（1）a AC AE AO 333332===aa a AO AD OD 32312222=-=-=633.138322221≈⎪⎭⎫⎝⎛===a OD a c（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为23cc aV =， 单位体积内的格点数为.1Vc六角密堆积每个单胞（晶胞）包含6个基元，一个基元所占的体积为32122223843436/323aa a c a c a a V s =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=因为密度不变，所以 s c V V 11=，即：33222/aa c =nma a c s 377.02/61== nma c s 615.0633.1==3. 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子4. 证明：简单六角布拉伐格子的倒格子仍为简单六角布拉伐格子，并给出其倒格子的晶格常数。
2.4 倒格子
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任 意整数，则要求： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3
h1,h2,h3为整数
显然,如果令 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1,h2,h3为整数
3
3
3
2. 倒格矢与晶面 倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：
2π Gh d h1h2 h3
其中 d h1h2 h3 是正格子晶 面族(h1h2h3)的面间距
首先我们证明
倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交
可以成为倒易空间的基矢。 和 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 对比,表明 Gh h1b1 h2b2 h3b3 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格 子是倒易空间的布拉维格子。 从而 Gh h1b1 h2b2 h3b3 且 bi a j 2 ij ; i 1,2,3; j 1,2,3 也可作为以 a1 , a2 , a3 为基的某一布拉维格子的 倒格子的定义。
因而，面间距 a1 a2 a3 d h1h2h3 n n n O h1 h2 h3 a1 Gh a1 Gh 2 h1 2 h1 Gh h1 Gh h1 Gh Gh
利用 A B C A C B A B C
a3 a1 a1 a2 [ a3 a1 a2 ]a1 [ a3 a1 a1 ]a2
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《固体物理》测试卷 6
（闭/开卷时间120分钟）
一、证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子，并给出其倒格子的晶格常数。
(20分)
m 时二、从有关一维双原子链晶格振动的结果，从5.1.2式出发，说明当两原子的质量M
结果回到一维单原子链的情形（20分）
三、利用德拜模型证明一维晶体的低温热容量正比于温度。
（积分等于常数）(20分)
四、求紧束缚近似下具有体心立方结构晶体的s电子的能带函数E s(k)，并计算能带宽度和带顶与带底的电子有效质量。
（25分）
Ag Al合金（其中Al原子取代Ag原子位置形成合金，
五、将Al参杂到Ag单晶中形成
Ag和Al的晶格结构都为面心立方），假设Al为三价金属，Ag为单价金属，则合金的费米能相对于Ag单晶的费米能将增加。
请问要使得合金费米能相对于Ag单晶费米能增加，参
杂浓度应该为多少？（设Ag单晶中的电子密度为）(15分)
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