概率论与数理统计在数学建模中的应用
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究【摘要】本文探讨了数学建模思想如何融入概率论与数理统计教学中。
首先介绍了研究背景和研究意义，然后详细讨论了数学建模思想在概率论和数理统计教学中的运用方式。
接着通过实践案例分析和教学效果评估，验证了数学建模思想在提升教学效果和培养学生实际应用能力方面的重要性。
最后探讨了未来发展方向，强调了应用数学建模思想的必要性，并展望了未来的研究方向和对教育教学的启示。
本文的研究成果将有助于教师在教学中更好地应用数学建模思想，从而提高学生的学习兴趣和能力，培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。
【关键词】数学建模思想，概率论，数理统计，教学，实践案例分析，教学效果评估，未来发展方向，教育教学，研究方向1. 引言1.1 研究背景数、格式等。
以下是根据您的大纲要求输出的内容：随着社会的发展和应用需求的增加，传统教学方法已经不能满足学生的需求，需要更注重培养学生的实际问题解决能力和创新精神。
将数学建模思想融入概率论与数理统计教学中，不仅可以更好地激发学生学习的兴趣，提高他们的学习效果，还可以培养学生动手实践和团队合作的能力，提升他们的综合素质。
这也是本研究的重要背景和动因。
1.2 研究意义在教学实践中，将数学建模思想融入概率论与数理统计教学，不仅可以提高学生对于抽象概念的理解和应用能力，同时也可以增强他们解决实际问题的能力。
通过实际案例的分析和教学效果的评估，可以进一步验证数学建模思想在教学中的实际应用效果。
这种新颖的教学方式不仅可以激发学生学习兴趣，还可以培养他们的逻辑思维和创新能力，为他们未来从事相关行业或科研工作奠定坚实基础。
利用数学建模思想融入概率论与数理统计教学，可以帮助学生更好地理解数学与现实生活之间的联系，激发学生的实践创新意识，培养他们解决实际问题的能力。
这一教学方法也有助于加深学生对数学知识的理解和记忆，并提高他们的学习兴趣和参与度。
将数学建模思想融入概率论与数理统计教学具有重要的理论意义和实践意义，对于推动教学改革和提升教学质量具有重要的现实意义。
数学建模重要知识点总结
数学建模重要知识点总结一、微积分微积分是数学建模中最重要的数学工具之一，它包括微分和积分两大部分。
微分是求函数的导数，用于描述函数的变化率和曲线的切线。
而积分则是求函数的不定积分或定积分，用于描述函数的面积、体积等性质。
在数学建模中，微积分可以用于建立问题的数学模型，求解微分方程和积分方程，对函数进行优化等。
例如，在物理建模中，我们经常会用到微积分来描述物体的运动、速度和加速度等。
在经济学建模中，微积分可以用来描述供求关系、利润最大化等问题。
二、线性代数线性代数是研究向量空间、线性映射和矩阵等数学对象的学科。
在数学建模中，线性代数可以用于描述多维空间中的几何关系、解线性方程组、求解最小二乘问题等。
例如，在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维物体的位置和姿态。
在统计学建模中，线性代数可以用来对数据进行降维、拟合线性模型等。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和统计规律的学科。
在数学建模中，概率论与数理统计可以用于描述随机现象的概率分布、推断总体参数、假设检验等。
例如，在风险管理建模中，我们经常会用到概率论与数理统计来描述风险的分布和进行风险评估。
在机器学习建模中，概率论与数理统计可以用来对数据进行建模和推断。
四、数学优化数学优化是研究如何在给定约束条件下，找到使目标函数取得极值的方法和理论。
在数学建模中，数学优化可以用来对问题进行建模和求解。
例如，在生产调度问题中，我们可以用数学优化来寻找最优的生产计划；在投资组合优化中，我们可以用数学优化来构建最优的资产配置。
五、微分方程微分方程是研究未知函数及其导数之间关系的方程。
在数学建模中，微分方程可以用来描述系统的动力学行为、生物种群的增长规律、热传导过程等。
我们可以通过对微分方程进行数值求解、解析求解或者定性分析，来获得系统的行为特征。
六、离散数学离散数学是研究离散结构及其性质的数学学科，包括集合论、图论、逻辑和代数等内容。
在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的研究———以应用型本科院校为例
①本文系宁夏大学新华学院2014年本科教学质量工程项目，宁夏回族自治区2014年本科教学质量工程项目的研究成果。
作者简介：亢婷（1984—），女，宁夏中宁人，硕士，讲师，研究方向：应用数学、统计学、金融数学。
在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的研究①———以应用型本科院校为例亢婷（宁夏大学新华学院，宁夏银川750021）应用型本科院校是以培养应用型人才为主的院校，它既不同于普通本科院校也不同于高职高专院校，其专业设置以新兴专业或新的专业培养方向为主体，课程体系设计侧重于学科及应用，教学方法兼顾学科性与应用性，以具备应用能力的“双师型”教师为师资队伍。
概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它从量化的角度揭示了随机事件与必然事件之间的联系，是高等院校理工、经管等专业的一门主干课程，该课程最大的特点是具有较强的应用性。
比如，面对供过于求的市场环境，商家简单地采用促销手段，有的降价销售，有的买一赠一，还有的抽奖促销，对于这些活动到底参加与否？均可借助概率统计的相关知识做出决策。
为增强学生运用概率统计知识解决实际问题的能力，在应用型本科院校《概率论与数理统计》课程的教学中，运用数学建模案例教学是一种行之有效的好方法。
数学建模就是把抽象的数学概念融入具体的案例并建立起数学模型的过程。
即选择一个实际问题，按照其内在规律做出一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，借助数学的分析与计算全面探讨并求出所得模型的解，再结合相关背景知识，利用所得结果解释或回答实际问题。
数学家李大潜教授曾指出：如果数学建模的精神不能融合进数学类主干课程，仍然孤立于原有数学主干课程体系之外，数学建模的精神是不能得到充分体现和认可的。
因此，数学建模思想应与已有的课程教学内容有机地结合起来，从而为大学数学教学改革提供一种全新的思路。
随着全国大学生建模竞赛影响力的不断扩大，数学建模这一有效的教学方式被越来越多的教师与学生所认可，数学建模既能提高学生的数学运用能力，又能克服教师在教学中对复杂知识难以用语言描述以及学生难以理解的障碍。
数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用
经济研究导刊ECONOMIC RESEARCH GUIDE总第90期2010年第16期Serial No．90No．16，2010数学建模是指对现实世界的特定对象，为了某特定目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。
数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其他科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化、数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用，因此数学建模被时代赋予更为重要的意义[1]。
大学生数学建模竞赛自1985年由美国开始举办，竞赛以三名学生组成一个队，赛前有指导教师培训，赛题来源于实际问题。
比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文，它包括：问题的适当阐述；合理的假设；模型的分析、建立、求解、验证；结果的分析；模型优缺点讨论等。
数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。
以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。
他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。
这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注，逐渐有其他国家的高校参加。
中国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。
论数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用
论数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用摘要：概率统计是一门具有广泛且重要应用的数学学科，是高校各专业的一门重要数学课程。
然而，常规的教学模式却具有十分明显的缺点和不足，在某种程度上使得理论和实际之间出现了鸿沟，严重的抑制了学生们的学习兴趣和学习效果。
而数学建模的产生，为概率统计等数学课程的教学提供了一种全新的模式和方法。
基于此，在讲授《概率论与数理统计》的过程中渗透数学建模的具有十分重要的现实意义。
在这样的情况下，本文结合笔者多年的教学实践经验，就数学建模思想在概率论与数理统计课堂教学之中的应用进行了有效的思考和分析，并提出了自身的看法和观点。
关键词：数学建模；素质教育；概率统计引言：所谓数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题的一种数学方法。
具体包括问题的简化和假设，模型的建立与求解、解的分析与评价、模型的检验与应用。
在数学课程的教学中渗透这种思想，一方面能够使学生加深对知识的理解，另一方面也可以减少学生的学习障碍，使学生们做到动手和动脑的有机统一，对学生未来的发展能够产生十分深远的积极影响。
一、概率论与数理统计课程的特点概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学课程，既有丰富的数学理论，又有重要且广泛的实际应用，与人们社会生活和生产实际紧密结合。
从这个角度来说，这与数学建模的特征不谋而合。
因此，通过学生们在学习概率论与数理统计的过程之中渗透进入数学建模思想，能够显著推动学生们的学习效果，让学生们对知识的掌握更加得心应手[1]。
二、概率论与数理统计中数学建模思想應用的重要性随着社会教育观念的不断发展和进步，人们的思想与实现了重大的转变，传统的教学方式已经不能满足学生们的实际需求。
传统的概率论与数理统计教学，可以简单的概括为数学知识、举例说明、解题和考试。
此教学模式与学生的学习实际出现了较大偏差，导致学生不能很好的把学到的知识应用于日常生活之中，用数学思想解决常见的问题。
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用：
1. 随机过程建模：随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型，在概率论中有重要应用。
例如，布朗运动是一种随机过程，可以用来模拟金融市场的价格变动。
2. 概率模型建立：概率模型是用来描述随机事件发生的概率分布的数学模型。
在数理统计中，我们可以通过拟合数据来估计概率模型的参数，然后利用这些模型进行预测和推断。
常用的概率模型有正态分布、泊松分布、指数分布等。
3. 统计推断：统计推断是利用样本数据对总体特征进行估计和推断的方法。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据对总体参数进行估计，以及对总体分布进行假设检验。
4. 决策分析：决策分析是一种基于概率模型的决策方法，用于在不确定条件下进行决策。
通过建立决策模型，并考虑各种可能的结果和概率，可以选择最佳的决策方案。
5. 置信区间估计：置信区间是对总体参数的估计结果给出的一个范围，该范围内的真实值的概率称为置信度。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据计算出置信区间，从而对总体参数进行估计。
这些只是数学建模在概率论与数理统计中的一些应用，实际上数学建模在概率论与数理统计领域应用非常广泛，涉及的问题和方法非常多样化。
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究随着社会的发展和科技的进步，数学已经不再是一门孤立的学科，而是与现代科技、经济等领域紧密相关的应用性学科。
而数学建模就是数学的一种应用，它可以将数学的抽象理论与实际问题相结合，从而揭示出问题的本质规律和解决问题的有效方法。
而概率论和数理统计则是数学建模的重要工具，它们能够分析和描述现实中的不确定性问题，求解概率和统计量，并为实际应用提供科学的依据。
在数学建模中，概率论常被用于模拟随机事件，度量事件发生的不确定性，如同样大小的数据集中可能存在的差异性；而数理统计常用于处理模型中误差来源的问题，如在测量数据、实际数据中存在的随机误差，以及不完整信息带来的偏差。
可以说，在数学建模中，概率论和数理统计发挥着至关重要的作用，它们为模型提供了一个严谨的数学框架，能够通过分析事件的发生规律而预测未来的结果，并提供多种数据分析的方法，为实际问题提供了解决模型的可靠依据。
在概率论和数理统计的教学中，也应该尝试将数学建模的思想融入其中。
我作为一名学生，认为在学习概率论和数理统计时，光有纯理论的知识是不够的，需要引导学生从实际问题出发，通过建立数学模型分析实际数据，来更好地学习和掌握这两门课程。
为此，教师需要充分运用丰富而又具有挑战性的、有现代性应用价值的实际问题。
比如，在概率论中，可以引导学生从实际问题出发建模，如随机事件的事件空间的构建，一些常用的概率分布函数的应用等等。
在数理统计中，可以引导学生走向实际，分析数据的分布，技术处理和分析实际问题，包括：如何处理“悖论”、“难样本”、样本的可信度分析等等。
这样一来，就可以让学生更好地理解概率论和数理统计与实际问题之间的关联，让理论知识更加深入人心。
除了教学中的实践，还需要进行更深入和具有针对性的研究。
例如，在数学建模中，如何将概率论和数理统计的知识应用到实际问题中，如通过数据预处理、观察量选取、优化问题建模等方法，以更好地预测和分析实际问题；或者在统计推断中，如如何在实际数据中、使用最佳的参数估计方法、缩减模型、减小结构/参数不确定性等等方面进行研究，以更有效地对实际问题进行分析。
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概率在数学建模中:的应用姓名：邓洪波高强庞宁班级：文电082-2专业：电子计算机与科学技术电话：?概率论与数理统计在数学建模中的应用通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回归模型，以及马氏链模型。
通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。
下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。
首先对概率模型做一下简单的介绍。
对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问题。
在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中，抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。
比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
用到的知识是（s ，S ）存贮策略，即制丁下界s ，上界S ，当周末库存小于s 时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。
要解决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s ，S ）存贮策略，使总费用最小。
首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费0c ,每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ，每件商品缺货损失费3c （1c <3c ）；2.每周销售量r 随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x ，订货量u ，周初库存量u x +；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设，比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。
当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生率x b 与t ∆成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率x b 与人口的总数n 成正比。
通过进行各种模型的假设有利于我们在建模的过程中解决实际问题。
模型的建立，对于上题，我们考虑到两种情况，即一种是不用订货，另一种是需要订货，写出目标函数：⎩⎨⎧+++=)(),()(10x L u x L u c c u J 00=>u u ， 其中⎰⎰∞-+-=x x dr r p x r c dr r p r x c x L )()()()()(032，在此步骤中我们需要列出目标函数以及约束条件，当然目标函数的选择也是至关重要的，选择一个合适的模型是取得比赛胜利的关键，比如在《轧钢中的浪费》中我们建立的第一个模型是：]⎰⎰∞∞--=+-=l tlP m dx x xp dx x p l x W )()()(。
通过分析建立了第二个模型，得到一根成品材平均浪费长度：l Pm PN lPN mN -=-。
发现第二个模型较第一个模型较合适，因此选择第二个模型。
模型的求解，模型的求解就是利用相关的数学知识进行求解，最终得到所需结果，采用最多的数学方法是求导数，因为我们在这类问题中主要解决的往往是最值问题，因此利用导数求解是非常常见的。
比如上题中确定S 。
如下：设x <s ,求n 使J(u)最小，确定S 。
因为：⎰⎰∞--+=S S dr r p c c dr r p c c du dJ 01321)()()()( 令0=du dJ 得：2112130)()(p p c c c c dr r p dr r p S S =+-=⎰⎰∞ , 可以接的S 的值。
另外两个重要的方法是就是临界点的确定和图解法。
比如对库存x ，确定订货点s 的过程中用到了这两种方法。
对库存x ，确定订货点s,若订货u ，u+x=S ，总费用为)()(101S L x S c c J +-+=,若不订货，u=0，总费用为)(2x L J =当12J J ≤时，不订货⇔()())(10S L x S c c x L +-+≤⇒ )()(101S L S c c x L x c ++≤+记)()(1x I x L x c =+ ⇒)()(0S I c x I +≤，订货点s 是)()(0S I c x I +=的最小正根。
图解法就是利用图形对问题进行求解。
在本问题中，我们观察目标函数的图像：)(u J 在S x u =+达到最小⇒相似与)(I )(x u J ⇒)()(S I S x x I 处达到最小值在=得解。
<下面讨论一下回归统计模型，我们知道数学建模的基本方法有机理分析和测试分析两大类，由于受研究客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。
我们可以通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型，其中，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。
学习这部分涉及的几点内容：不涉及回归分析的数学原理和方法；通过实例讨论选择不同类型的模型；对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进。
运用回归分析所解决的问题主要是对未来的各个参数预测和研究各个参数之间的相互关系。
这类问题较前一个问题的不同在于目标函数是的类型是明确的，在《软件开发人员的薪金》中提到的回归模型：和ξ+++++++=426325443322110x x a x x a x a x a x a x a a y ，在《酶促反应》中提到的线性化模型xy 1121θθ+=和混合模型12221211)()(x x x x y +++=γβγβ以及在《投资额与国民生产总值和物价指数》中提到的自回归模型t t t t t t t u x x y +=+++=-122110,ρξξξβββ。
解决回归统计模型的关键就是解出模型中涉及到的回归系数，当然除此之外仍有许多问题需要注意。
1.考虑模型中某些元素间的交互作用，在《牙膏的销售量》中，我们建立两个模型ξββββ++++=22322110x x x y 和ξβββββ+++++=21422322110x x x x x y ，虽然前一个模型也能解决问题，但是我们在比较二者的结果之后发现后者预测区间长度比前者更短，因此，引入交互项之后模型的结果更准确。
同样在《软件开发人员的薪金》中，第一个模型的最终解释是不可靠的，当我们再增加管理2x 与教育43,x x 之后，残差图十分正常最终模型的结果可以应用。
2.当遇到非线性化模型的时候，将非线性化模型转化为线性模型。
在《酶促反应》中，建立了第一个模型为x xy +=21ββ，发现的对2,1ββ是非线性的，因此为了方便问题的求解我问将问题转化为xx y 111121121θθβββ+=+=，它变成了对21,θθ的线性模型，有利于问题的求解。
3.考虑随机误差的自相关性。
在《投资额与国民生产总值和物价指数》中，在不考虑随机误差的自相关性时建立了一个模型，但用此模型会有不良后果，通过“残差诊断法”判断出随机误差项存在自相关，因此需建立自回归模型：t t t t t t t u x x y +=+++=-122110,ρξξξβββ。
其中ρ为自回归系数。
通过W D -检验估计ρ，D-W 检验为：DW=)ˆ1(2)(2221ρ-≈-∑∑==-nt t n t t t ee e ，然后通过广义差分变换建立新模型。
4.最后一点就是会解释回归模型。
当模型建立出来以后我们应该会对模型进行解释和说明，在所给的各个例题中，不管最后模型建立出来是图形还是数学表达式，都要学会对模型进行说明和利用，否则，模型建立的再好也是没用的。
以上是对回归模型的讨论，下面对随机过程和马氏链模型进行讨论。
随机过程简单地说就是研究对象位于时间变化有关的随机现象。
数学定义为：E 表示随机试验，S={}e 为样本空间如果对每一个系数),(,t e x T t ∈为建立在S 上的随机变量并且对每一个t t e x S e 为),(,∈函数，那么称随机变量簇{}S e T t t e x ∈∈,),,(为一个随机过程简记为{}T t t x ∈),(或)(t x 实际的例子有布朗运动，打骰子等等。
以下做简单的注释，1.0e e =确定，),(0t e x 表示一个样本函数，看做随机过程的一次样本实现。
2.0t t =确定，),(0t e x 表示一个在S 上的随机变量。
3.如果称随机过程在,)(00,0x t e x =0t 时刻所处的状态为0x ，记为00)(t t x =。
最后看一下马尔科夫过程，马尔科夫性讲的是当过程在某时刻k t 处得状态已知的情况下，过程在时刻t （k t t >）处的状态只会与在k t 时刻的状态有关而与过程在k t 时刻的之前状态无关，即具有无后效性。
而马尔科夫过程的数学定义与之相似，讲的是在已知n n x t x x t x x t x x t x ====)(,)(,)(,)(332211的条件下，随机变量)(t x 只与n n x t x =)(有关而与2211)(,)(----==n n n n x t x x t x 1122)(,)(x t x x t x ==无关，之后又讨论了一步转移概率，即{})()(|)1(k p i k x g k x p ij ===+，同时若{}ij p i k x g k x p ===+)(|)1(与k 无关则称这样的马氏链为其次马斯链。
若将全部的一步转移概率表示成矩阵的形式则称⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 210121110020100i i i p p p p p p p p p 为一步转移概率矩阵。
实际应用中另外一个常用的工具是状态转图即：。
马氏链模型是描述随机动态系统的一类模型，系统在每个时期所处的状态是随机的，从一时期待下一时期的状态按一定概率转移，并且下一时期的状态只取决于本时期状态和转移概率，即以至现在，将来与过去无关（无后效性）。
本类问题中我们主要讨论了《健康与疾病》和《钢琴销售的存贮策略》两个问题，下面对需要注意的问题做一下陈述。
)1.利用好状态转移图。
在《健康与疾病》中，我们通过状态转移图可以很好的理解问题，同样利用状态转移图可以很快的写出转移概率矩阵。
2.马氏链模型研究的是条件概率，因此，利用条件概率解决这类问题也是很有效的，我们建立的转移概率矩阵都是有一个状态到下一个状态概率，它的形式与条件概率的形式相差无几。
3.找出马氏链的基本方程。
在《健康与疾病》中，基本方程为：∑==+kj ji j i p n a n a 1)()1(，k i ,3,2,1=。
同样，在《钢琴销售的存贮策略》中，有基本方程：p n a n a )()1(=+。