圆锥曲线中的三角形问题(含解析)
1 专题12 圆锥曲线中的三角形问题
一、题型选讲
题型一 、由面积求参数或点坐标等问题
例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22ypx（0p）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若||||3||NFEFMF，123MNES△，则p（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221xyCab：的左、右焦点F1，F2分别作斜率为22的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求12AFF△的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记OAB△与MAB△的面积分别为S1，S2，若213SS，求点M的坐标．
题型二、与面积有关的最值问题 2 例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点2,1P斜率为正的直线交椭圆221245xy于A，B两点.C，D是椭圆上相异的两点，满足CP，DP分别平分ACB，ADB.则PCD外接圆半径的最小值为（ ）
A．2155 B．655 C．2413 D．1913
例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C：22221(0)xyabab过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为12 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：PQG△是直角三角形；
（ii）求PQG△面积的最大值.
例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F，2F是椭圆2222:1xyCab的左右焦点，且椭圆C3 的离心率为63，直线:lykxm与椭圆交于A，B两点，当直线l过1F时2FAB周长为8.
（△）求椭圆C的标准方程；
（△）若0OAOB，是否存在定圆222xyr，使得动直线l与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.
例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且ACEF.
（1）证明：直线BE经过AC的中点M；
（2）求ABC面积的最小值及此时直线AC的方程.
二、达标训练 4 1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,FF是椭圆222:1(02)4xyCmm的两个焦点，00(,)Pxy是C上一点，且满足12PFF的面积为3,则0||x的取值范围是____.
2、【2018年高考全国I理数】已知双曲线22:13xCy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若OMN△为直角三角形，则||MN
A．32 B．3
C．23 D．4
3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E：24yx和直线l：40xy，P是直线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则PMN外接圆面积的最小值为______.
4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)Pst为抛物线2:2(0)Cypxp上的动点，F是抛物线的焦点，当1s时，54PF．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点P作圆M：22(2)1xy的切线1l，2l，分别交抛物线C于点,AB．当1t时，求PAB△面积的最小值．
5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O，(2,0)E，抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F5 为线段OE中点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点E的直线交抛物线C于, AB两点，4ABAM，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MNy轴，求ABN面积的最小值.
6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214yx的焦点为F. 6
1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2PFyPQF.
2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点0,4D (AB不与x轴平行)，且6AFBF.过y轴上一点E作直线//mx轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.
一、题型选讲
题型一 、由面积求参数或点坐标等问题 7
例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22ypx（0p）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若||||3||NFEFMF，123MNES△，则p（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
【答案】C
【解析】
设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，||||3||3NFEFMFa，则
||||3NFEFa，||MFa，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为,PQ，
如图，由抛物线定义知，||MPa，||3NQa，因为MP∥NQ，所以||||||||PMRMQNRN，
即||3||4aRMaRMa，解得||2RMa，同理||||||||FTRFQNRN，即||336FTaaa，解得
3||2FTa，又||FTp，所以32ap，23ap，过M作NQ的垂线，垂足为G，则
22||||||MGMNGN2216423aaa，所以1||||2MNESEFMG△
13231232aa，解得2a，故332pa.
故选：C.
例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221xyCab：的左、右焦点F1，F2分别作斜率为22的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____． 8
【答案】12
【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S21'BOFBOFS，则有11275ABySSy，
所以175AByy．
将直线AB1方程24yxc，代入椭圆方程后，2222241xycxyab，
整理可得：（b2+8a2）y2﹣42b2cy+8b4＝0，
由韦达定理解得1222428ABbcyyba，142288ABbyyba，
三式联立，可解得离心率12cea．
故答案为：12．
例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B． 9
（1）求12AFF△的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记OAB△与MAB△的面积分别为S1，S2，若213SS，求点M的坐标．
【解析】（1）椭圆22:143xyE的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则2224,3,1abc.
所以12AFF△的周长为226ac.
（2）椭圆E的右准线为4x.
设(,0),(4,)PxQy，
则(,0),(4,)OPxQPxy，
2(4)(2)44,OPQPxxx
在2x时取等号.
所以OPQP的最小值为4.
（3）因为椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为12,FF，点A在椭圆E上且在第一象限内，212AFFF⊥，
则123(1,0),(1,0),(1,)2FFA.
所以直线:3430.ABxy
设(,)Mxy，因为213SS，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍.
由此得|343||30403|355xy， 10 则34120xy或3460xy.
由2234120,143xyxy得2724320xx，此方程无解；
由223460,143xyxy得271240xx，所以2x或27x.
代入直线:3460lxy，对应分别得0y或127y.
因此点M的坐标为(2,0)或212(,)77.
题型二、与面积有关的最值问题
例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点2,1P斜率为正的直线交椭圆221245xy于A，B两点.C，D是椭圆上相异的两点，满足CP，DP分别平分ACB，ADB.则PCD外接圆半径的最小值为（ ）
A．2155 B．655 C．2413 D．1913
【答案】D
【解析】如图，
先固定直线AB，设BMfMAM，则fCfDfP，其中BPfPAP为定值，
故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑BPAP的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：
(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)
经典例题精析
类型一：求曲线的标准方程
1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.
思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.
解析： 方法一：因为有焦点为，
所以设椭圆方程为，,
由，消去得，
所以
解得
故椭圆标准方程为
方法二：设椭圆方程 ,,,
因为弦AB中点,所以，
由得,（点差法）
所以
又
故椭圆标准方程为.
举一反三：
【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.
【答案】依题意设椭圆标准方程为()，
并有，解之得，,
∴椭圆标准方程为
2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点
解析：
（1）解法一：设双曲线的方程为
由题意，得，解得，
所以双曲线的方程为
解法二：设所求双曲线方程为（），
将点代入得，
所以双曲线方程为即
（2）解法一：设双曲线方程为－=1
由题意易求
又双曲线过点，∴
又∵，∴，
故所求双曲线的方程为.
解法二：设双曲线方程为，
将点代入得， 所以双曲线方程为.
总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
数学篇圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：SΔPF1F2=b2tanθ2若椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>
0
）
，
∠F1PF
2
=
θ
，
则
三角形Δ
F
1
PF
2
的面积为
：
S
Δ
PF
1
F2=b
2
tan
θ
2.对该公式进行证明的过程如下：如
图
1
，
由
椭
圆的定义知||F1F2=2c
，||PF1+||PF2=2a，
图1可得||PF12+2||PF1||PF2+||PF22=4a2，①由余弦定理可得||PF12+||PF22-2||PF1||PF2cosθ=4c2，②①-②可得：2||PF1||PF2(1+cosθ)=4b2，所以||PF1||PF2=2b21+cosθ，则SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sinθ=12×2b21+cosθsinθ，=b22sinθ2cos2θ22cos2θ2=b2tanθ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式SΔPF1F2=b2tanθ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F1，F2是椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且||PQ=||F1F2，则四边形PF1QF2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF1、||PF2的方程，通过解方程求得四边形PF1QF2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF1QF2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S四边形PF1QF2=2SΔPF1F2=b2tanθ2=2×4×tanπ2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的两个焦点，P为曲线C上一点，O为平面直角坐标系的原点.若PF1⊥PF2，且ΔF1PF2的面积等于16，求b的值.解：由PF1⊥PF2可得∠F1PF2=π2，因为ΔF1PF2的面积等于16，所以SΔPF1F2=b2tanθ2=b2tanπ2=16，解得b=4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用孟庆林思路探寻
高中数学圆锥曲线专项训练材料(名校经典题型附问题详解)
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高中数学圆锥曲线专项训练材料（名校经典题型附答案）
1、(省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；
错误!未找到引用源。
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值围.
解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
错误!未找到引用源。
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。
∠CAB为钝角.
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值围是:
错误!未找到引用源。.
解法二： 以AB为直径的圆的方程为:
错误!未找到引用源。.
错误!未找到引用源。
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，
B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
错误!未找到引用源。.
错误!未找到引用源。.
错误!未找到引用源。
A，B，C三点共 线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值围是：
错误!未找到引用源。
2、(省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H也在该双曲线上；
圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)
1．过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为24xy，点P，Q在直线l：1y上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CD
1当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由
2当ABCD时，点P，Q在什么位置时，PQ取得最小值？
详解：
1设11,Axy，22,Bxy，0,1Px，
则2114xy，2224xy，
抛物线的方程可变形为214yx，则'2xy，
直线PA的斜率为01'|2PAxxxky，
直线PA的方程1112xyyxx，化简112xxyy，
同理可得直线PB的方程为222xxyy，
由0,1Px可得011x2102221xyxxy，
直线AB的方程为021xxy，则01xy是方程的解，
直线AB经过定点0,1．
2设,1PPx，,1QQx，
由1可知2PABxk，2QCDxk，
ABCD，
14PQABCDxxkk，即4PQxx，
Px，Qx异号， 不妨设0Px，则0Qx，且4QPxx，
44PQPQPPPQxxxxxx，当且仅当2Px，2Qx时取等号，
即当2,1P，2,1Q时，PQ取得最小值4
2．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为32，其右顶点为A，下顶点为B，定点0,2C，ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于,PQ两点，直线,BPBQ分别与x轴交于,MN两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探究,MN的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.
【详解】
（1）由已知，,AB的坐标分别是,0,0,AaBb由于ABC的面积为3，
专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版)
圆锥曲线中的三角形面积
圆锥曲线中三角形面积的求法
① 焦点三角形面积
椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的焦点三角形∆𝑃𝐹1𝐹2面积𝑆=𝑏2𝑡𝑎𝑛∠𝑃2，
双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的焦点三角形∆𝑃𝐹1𝐹2面积𝑆=𝑏2𝑡𝑎𝑛∠𝑃2 (其中点𝑃在椭圆或双曲线上).
② 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)
(1) 𝑆∆=12×底×高，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，
如图，𝑆∆𝑃𝐴𝐵=12∙AB∙𝑃𝐶 (其中底为弦长𝐴𝐵，高为点𝑃到直线𝐴𝐵的距离)
(2) 𝑆∆=12𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶，适合边角已知的题型；
(3) 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；
情况1如图，点𝑃在𝑥轴上，直线𝐴𝐵交𝑥轴于点𝐶，
当𝐴,𝐵是在𝑥轴异侧时，
𝑆∆𝑃𝐴𝐵=𝑆∆𝑃𝐴𝐶+𝑆∆𝑃𝐵𝐶=12∙𝑃𝐶∙|𝑦𝐴|+12∙𝑃𝐶∙|𝑦𝐵|=12∙𝑃𝐶∙|𝑦𝐴−𝑦𝐵|
当𝐴,𝐵是在𝑥轴同侧时，
𝑆∆𝑃𝐴𝐵=𝑆∆𝑃𝐴𝐶−𝑆∆𝑃𝐵𝐶=12∙𝑃𝐶∙|𝑦𝐴|−12∙𝑃𝐶∙|𝑦𝐵|=12∙𝑃𝐶∙|𝑦𝐴−𝑦𝐵| 注:不管𝐴,𝐵在𝑥轴同侧还是异侧，公式𝑆∆𝑃𝐴𝐵=12∙𝑃𝐶∙|𝑦𝐴−𝑦𝐵|依然成立.
若点𝑃在𝑦轴类似可得𝑆∆𝑃𝐴𝐵=12∙𝑃𝐶∙|𝑥𝐴−𝑥𝐵|.
情况2 如图，点𝑃在𝑥轴上，直线𝐴𝐵的倾斜角为𝜃，
当𝐴𝐵是在𝑥轴异侧时，
𝑆∆𝑃𝐴𝐵=𝑆∆𝑃𝐴𝐶+𝑆∆𝑃𝐵𝐶=12∙𝑃𝐶∙𝐴𝐶∙sin(𝜋−𝜃)+12∙𝑃𝐶∙𝐵𝐶∙sin𝜃=12∙𝑃𝐶∙𝐴𝐵∙sin𝜃.
当𝐴𝐵是在𝑥轴同侧时，
𝑆∆𝑃𝐴𝐵=𝑆∆𝑃𝐴𝐶−𝑆∆𝑃𝐵𝐶=12∙𝑃𝐶∙𝐴𝐶∙sin𝜃−12∙𝑃𝐶∙𝐵𝐶∙sin𝜃=12∙𝑃𝐶∙𝐴𝐵∙sin𝜃.
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常见题型
题型一：定义的应用
圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？
题型二：圆锥曲线焦点位置的判断
在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？
例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？
题型三：圆锥曲线焦点三角形问题
在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法
在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？
例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程
在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形(解析版)
第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点．若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为( )
A．2212xy B．22132xy C．22143xy D．22154xy
【解答】解：22||2||AFBF，2||3||ABBF，
又1||||ABBF，12||3||BFBF，
又12||||2BFBFa，2||2aBF，
2||AFa，13||2BFa，
12||||2AFAFa，1||AFa，
12||||AFAF，A在y轴上．
在Rt△2AFO中，21cosAFOa，
在△12BFF中，由余弦定理可得222134()()22cos222aaBFFa，
根据221coscos0AFOBFF，可得214202aaa，解得23a，3a．
222312bac．
所以椭圆C的方程为：22132xy．
故选：B．
2．若椭圆22221(0)xyabab和双曲线22221(,0)xymnmn有相同的焦点1F，2F，P是两条曲线的一个交点，则12PFPF的值是( )
A．am B．21()2am C．2am D．22am
【解答】解：设P在第一象限，1||PFs，2||PFt，
由椭圆的定义可得2sta，
由双曲线的定义可得2stm，
解得sam，tam，
则22stam，
故选：D．
3．已知1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，1260FMF，△12MFF的面积为2934a，则双曲线的离心率为( )
A．312 B．23417 C．132 D．21313
圆锥曲线(课堂讲义和例题)
第四章 圆锥曲线
38 专题1 焦长与焦比体系
【例1】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是
．
【例2】 过椭圆的一个焦点F作弦AB，若，，则 的数值为（ ）
A． B．
C． D．与、斜率有关
【例3】设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F.
（1）证明：；
（2）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．
【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积.
秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题
体:过椭圆的左焦点F1的弦与右焦点F2围成的三角形的周长是4a；
焦长公式：A是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）． 体面积：，．
证明：（1）如图所示，，故；
（2）设由余弦定理得
；整理得
；整理得
则过焦点的弦长.（焦长公式）
焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，，令，即，代入弦长公式可得． y
O F2 A
B x F1 第四章 圆锥曲线
39
【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线PA，PB的斜率之积为；
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率．
【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为 ．
【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是 ．
【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．
（1）若，的周长为16，求；
（2）若，求椭圆E的离心率． 秒杀秘籍：双曲线的焦点三角形问题
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，通过动点按一定规律绘制出来的一类曲线，其中包括椭圆、抛物线和双曲线。在这些曲线中，存在着称为焦点的特殊点，这些焦点在形成的三角形中也有着重要的作用。
1. 椭圆的焦点三角形
椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点和动点为三个顶点所组成的三角形。在椭圆中，每个焦点到动点的距离加起来相等，即有AF + BF = 2a；而每个焦点到动点的连线在这个焦点处垂直于准线。这样，我们可以将三角形的中心点设为椭圆的中心点，再根据垂心定理和勾股定理求出三角形的高、直角边和斜边长度。
综上所述，圆锥曲线的焦点三角形在各个曲线中有着不同的表现形式，但其基本规律均可由几何公式和定理进行求解。在实际应用中，这些三角形的特殊形态和性质也常常被用于数学建模和问题解决。
圆锥曲线中的面积问题(解析版)
圆锥曲线中的面积问题
一、考情分析
圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直
的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率
或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.
二、解题秘籍
(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利
用弦长公式求出AB，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离d，则SΔPAB=1
2ABd.
【例1】(2023届浙江省名校协作体高三上学期考试)如图，已知双曲线C:x2
2-y2=1，经过点T1,1且斜率为
k的直线l与C交于A,B两点，与C的渐近线交于M,N两点(从左至右的顺序依次为A,M,N,B)，其中k
∈0,2
2.
(1)若点T是MN的中点，求k的值；
(2)求△OBN面积的最小值.【解析】设A
x1,y
1,Bx
2,y
2
联立直线l与双曲线方程y=kx-1+1
x2
2-y2=0
，消去y得1-2k2x2-
4k1-kx-2(1-k)2=0，
由韦达定理可知，x1+x
2=4k-4k2
1-2k2,x
1⋅x
2=-21-k2
1-2k2
联立直线l与其中一条渐近线方程y=kx-1+1
y=2
2x
，解得x=1-k
2
2-k
即xN=1-k
2
2-k，同理可得xM=k-1
2
2+k，
则xM+x
N=4k-4k2
1-2k2=x
1+x
2，
则可知AB的中点与MN中点重合.
由于T1,1是MN的中点，所以4k1-k
1-2k2=2，解得k=1
2；
(2)y=kx-1+1与x2
2-y2=1联立，消去y得
1-2k2x2-4k1-kx-2(1-k)2-2=0
由(1)知，BN=AM=AB-MN
2.或S
△OBN=1
2S
△OAB-S
△OMN
由于AB=1+k222(1-k)2+1-2k2