圆锥曲线中焦点三角形
圆锥曲线焦点三角形的三大问题(解析版)
圆锥曲线焦点三角形的三大问题一、焦点三角形定义：椭圆与双曲线有对称中心，称为有心圆锥曲线.有心圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形叫做有心圆锥曲线的焦点三角形.其中我们把椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的等腰三角形称之为椭圆的特征焦点三角形1.焦点三角形的角度与离心率问题离心率是椭圆的一个非常重要的定型的量，椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系：图1图2图3图4结论1：如图1，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的角平分线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率2211PF MF PF MF e ==证明：由角平分线定理及和比定理得==2211PF MF PF MF e ac PF PF MF MF ==++222121结论2：如图2，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，I 为21F PF ∆的内心，PI 的延长线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率IPIM e =证明：在M PF 1∆和M PF 2∆中由角平分线定理的2211,PF MF IPIM PF MF IPIM ==所以e acPF PF MF MF PF MF PF MF IPIM ==++===2221212211结论3：如图3，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121++=+==PF PF F F a c e 结论4：如图4，设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则双曲线的离心率βαβαsin sin )sin(-+=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121-+=-==PF PF F F a c e 结论5：如图5，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的外角平分线交x 轴于点M ，α=∠2MPF ，β=∠2PMF ，则椭圆的离心率βαcos cos =e 证明：由正弦定理得βαβαααβαβααcos cos cos sin 2cos sin 2)sin()sin(2sin 222121==-++=+==PF PF F F a c e 结论6：圆锥曲线中，过焦点F 且不垂直于坐标轴的弦为AB ，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R ，则ABFR e 2=证明：设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，则02122)(2ex a x x e a AB +=++=由点差法（过程略）得02022200y a x b k a b x y k k k AB AB OMAB -=⇒-=⋅=所以AB 的中垂线：)(002020x x x b y a y y -=-，令0=y 得022020x e ax b x x R =-=，所以c x e c x FR R +=+=02，所以222002eex a c x e AB FR=++=，所以ABFR e 2=典例分析例1.设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，以21F F 为直径的圆与椭圆交于点P ，且=∠12F PF 215F PF ∠，则椭圆的离心率为（）A.22B.23 C.32 D.36解析：由题意01202102175,15,90=∠=∠=∠F PF F PF PF F 所以3662426426175sin 15sin 90sin 000==++-=+=e ，故选D 例2.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，若椭圆上存在点P 使21PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.)1,55[B.)1,22[C.]55,0( D.]22,0(解析：要使存在点P 使得21PF PF ⊥，只需当点P 在短轴端点时021902≥=∠θPF F 所以22sin ≥=θe ，所以122<≤e ，故选B 例3.已知椭圆192522=+y x 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有共同焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，则双曲线的离心率为解法1：由题意知椭圆的离心率541=e ，又1434116cos 6sin 2221222212=+⇒=+e e e e ππ所以131341436425222=⇒=+e e 解法2：由题意知4=c ，由330cot 30tan 92221=⇒==b b S F PF ，所以13222=-=b c a所以13134134===a c e 例4.（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的B A ,两点反射后，分别经过点C 和D ，且53cos -=∠BAC ，BD AB ⊥，则E 的离心率为（）A.25 B.317 C.210 D.5解析：由题意知53cos 1=∠BAF ，AB B F ⊥1，可设4,3,511===BF AB AF ，由双曲线定义知3264434511=⇒=⇒=-+=-+a a a AB BF AF 所以1,222==BF AF ，由勾股定理得172=c ，所以==a c e 22317，故选B 例5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则离心率的取值范围为（）A.)12,0(-B.)1,12(- C.)12,1(+ D.),12(+∞+解析：由正弦定理及1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠得a c a PF a a c PF c PF a -=⇒-==221222又a c PF ->2，所以a c ac a ->-221221+<<-⇒e ，又1>e ，所以121+<<r 故选C例6.（2022·河南开封·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分21MF F ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.)1,21( B.)21,0( C.)1,31( D.)31,0(解析：由角平分线定理得321232121===c c MF MF PF PF ，又a PF PF 221=+，所以a PF 212=又c a PF c a +<<-2，所以2121>⇒+<<-e c a a c a ，又1<e ，所以121<<e ，选A二、焦点三角形面积公式及其应用有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点与有心圆锥曲线的两个焦点构成的三角形，称为有心圆锥曲线的焦点三角形．接下来利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式，并举例说明其应用结论7：椭圆的焦点三角形面积公式：设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为r c a b y c PF PF S F PF )(2tan sin 21202121+====∆θθ（其中r 为21F PF ∆的内切圆半径）证明：略结论8：双曲线焦点三角形面积公式：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为双曲线上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2cot sin 21202121θθb y c PF PF S F PF ===∆证明：略典型例题例1.设P 为椭圆16410022=+y x 上一点，21,F F 是其左右焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为解析：33646tan6421==∆πF PF S 例2.已知双曲线116922=-y x 的左、右集点分别为21,F F ，若双曲线上点P 使02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积是（）A.12B.16C.24D.32解析：1645cot 16021==∆F PF S ，故选B例3.（2020新课标Ⅰ）设21,F F 是双曲线C ：1322=-y x 的两个焦点，O 坐标原点，点P在C 上且2=OP ，则21F PF ∆的面积为（）A.27 B.3C.25 D.2解析：由题意知221===OP OF OF ，所以02190=∠PF F ，所以345cot 3021==∆F PF S 故选B例4.（2022城厢区校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，若321π=∠PF F ，且21F PF ∆的面积为33，则=b （）A.2B.3C.6D.9解析：9336tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例5.（2022连城县校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，3221π=∠PF F ，若21F PF ∆的面积为39，则=b （）A.9B.3C.4D.8解析：9393tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例6.（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为5，P 是C 上的一点，且21PF PF ⊥，若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A.1B.2C.4D.8解析：由2445cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又1541)(122=⇒=+=+=a a ab e ，故选A 例7.（2022·安徽省亳州市第一中学高月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过原点的直线与双曲线交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5解析：连接11,BF AF ，易知BF AF 1为平行四边形，又090=∠AFB ，所以0190=∠AF F 所以2245cot 22221=⇒==∆ab a b S FAF ，所以5)(12=+=a b e ，故选D例8.（2022·吉林吉林·高三期末）已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一动点，21,F F 是椭圆的左、右焦点，当321π=∠PF F 时，3421=∆F PF S ，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，34tan 21=∠PF F ，则点P 运动过程中，2111PF PF +的取值范围是（）A.]32,21[ B.]32,158(C.158,21[ D.)32,21[解析：由12346tan2221=⇒==∆b b S F PF π，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，x PF ⊥2轴，所以a b PF 22=，所以342tan 222121===∠b ac PF F F PF F 8=⇒ac ，又2212c a +=所以162=a ，所以21212121811PF PF PF PF PF PF PF PF =+=+，而]6,2[1∈PF ，所以]16,12[16)4()8(211121∈+--=-=PF PF PF PF PF ，所以∈=+2121811PF PF PF PF 32,21[，故选A例9.已知点F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，P 为C 右支上一点.以C 的实轴为直径的圆与线段PF 交于B A ,两点，且B A ,是线段PF 的三等分点，则C 的渐近线方程为（）A.x y 31±= B.x y 526±= C.x y 1225±= D.x y 597±=解析：设AB 的中点为M ，t BM AM ==，则t PB A F 21==，22t a OM -=所以2222t a PF -=，21PF PF ⊥，所以a t a t PF PF 2262221=--=-a t 53=⇒由勾股定理得2597257292222222212=⇒+=-+=+=e a a t a t OM M F c 又5262597)(122=⇒=+=a b abe ，故选B 三、焦点三角形内切圆的性质在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．接下来归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：如图1，设21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21F PF ∆的内切圆圆心为),(I I y x I ，且圆I 与21F PF ∆三边相切于点H E D ,,，设),(00y x P ，则有如下性质：性质1：ca PE PD -==证明：由切线长定理得PE PD =，H F D F 11=，EF PE 2=ca H F H F E F PE D F PD c a F F PF PF 222221212121-=--+++⇒-=-+所以ca PE PD -==性质2：0ex x I =，eey y I +=10，其中e 的椭圆的离心率证法1：⇒-=+-+⇒-==-c a c x ex a c a PD H F PF I )(0110ex x I =eeyc a cy y y c a y c S I I F PF +=+=⇒+==∆1)(00021证法2：设),(00y x P ，则0101,ex a PF ex a PF -=+=由内心的坐标公式得000022)()()(2ex c a c ex a c ex a cx x I =+-⨯-+⨯++=，eeyc a cy y I +=+=122200性质3：椭圆焦点三角形21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点（当点P 点位于y 轴左侧时，切于左顶点，当点P 点位于y 轴右侧时，切于右顶点）证明：设旁切圆与x 轴切于点T ，则由切线长定理得PN PM =，T F N F 22=，TF M F 11=所以TF F F PM PF T F M F 221111+=+⇒=TF c PN PF a 2222+=+-⇒=-⇒N F a 22T F c 22+c a N F T F -==⇒22，所以点T 的横坐标为a ，所以T 为右顶点，即21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点双曲线焦点三角形内切圆的重要性质性质1：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，则21F PF ∆的内切圆与x 轴切于双曲线的顶点（当点P 在双曲线的右支上时，切点为右顶点，当点P 在双曲线的左支上时，切点为左顶点）证明：由切线长定理得C F A F B F A F PC PB 2211,,===所以a A F A F B F PB C F PC PF PF 2211221=-=--+=-又cA F A F 221=+两式相加得c a A F +=2，所以c a OA O F +=+2，所以a OA =，所以点A 是双曲线的右顶点性质2：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点),(00y x P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，),(I I y x I 是21F PF ∆的内切圆圆心为，且圆I 与21F PF ∆的三边切于点H E D ,,，则c a H F D F +==11，a x I =证明：由性质1可知内切圆与x 轴切于右顶点，所以a x I =由切线长定理得ca H F D F +==11性质3：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过右焦点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线于B A ,两点，若2121,F BF F AF ∆∆的内切圆圆心为21,I I ，半径分别为21,r r ，则（1）21,I I 在直线a x =上；（2）221)(a c r r -=；（3）2cot 221θ=r r 证明：由性质1可知21,I I 在直线a x =上因为21,I I 分别为2121,F BF F AF ∆∆的内心，所以2212,I F I F 分别平分1212,F BF F AF ∠∠，所以022190=∠I F I 所以2122θ=∠F F I ，221θ=∠F HI ，又a c H F -=2所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2cot )(2tan )(2cot )(22122121θθθr r a c r r a c r a c r 从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查学生对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点典型例题（一）定值问题例1.已知椭圆1162522=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，21F PF ∆的内心为I =PF PI 解析：设21F PF ∆内切圆切2PF 于M ，则=PF PI 235=-=-=c a PM 例2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点任意一点，点G I ,分别为21F PF ∆的内心、重心．当IG 恒与x 轴垂直时，椭圆的离心率是解析：设点),(00y x P ，则)3,3(00y x G ，)1,(00e ey ex I +，因为当IG 恒与x 轴垂直，所以300xex =解得31=e 注：若IG 恒与y 轴垂直，则3100y e ey =+，解得21=e 例3.已知椭圆1162522=+y x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上一点，21F PF ∆的内心为I ，若内切圆半径为1，则=PI 解析：由题知53=e ，设),(00y x P ，则381831000=⇒==+y y e ey ，代入椭圆方程得3550=x 即点)38,355(P ，所以50==ex x I ，即)1,5(I ，所以=PI 22)138()5355(-+-5=（二）轨迹问题例4.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点的动点，21F PF ∆的内心为I ，则点I 的轨迹方程为解析：设点),(),,(00y x P y x I ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==y c c a y x ca x e ey y ex x 00001，因为点P 在椭圆上，所以1)(1)(22222222222222=++⇒=++bc y c a c x b c y c a a c x a ，所以点I 的轨迹方程为1)(222222=++b c y c a c x )0(≠y 例5.双曲线191622=-y x 的左、右焦点分别21,F F ，P 为双曲线右支上的点，21F PF ∆内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：因为4==a x I ，所以圆心I 到y 轴的距离为4，故选D例6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则点B 的轨迹是（）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PI 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，所以点B 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，故选B 例7.已知)5,22(P 在双曲线14222=-by x 上，其左、右焦点分别为21,F F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，则2MF MP ⋅的值为（）A.122- B.122+ C.222- D.222+解析：将)5,22(P 代入双曲线方程得5=b ，所以3=c ，)0,3(2F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，所以M 为双曲线的右顶点，所以)0,2(M ，所以)5,222(-=MP ，)0,1(2=MF ，所以=⋅2MF MP 222-，故选C例8.点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为左、右焦点，21F PF ∆的内切圆与x 轴相切于点N ，若点N 为线段2OF 中点，则双曲线离心率为（）A.12+ B.2C.2D.3解析：易知点N 为右顶点，又点N 为线段2OF 中点，所以22=⇒=e a c ，故选B 提升训练1.已知21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，P 是以21F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，则这个椭圆的离心率为（）A.13- B.13+ C.213- D.213+解析：易知02190=∠PF F ，又12212F PF F PF ∠=∠，所以01202130,60=∠=∠F PF F PF 所以1330sin 60sin 90sin 000-=+=e ，故选A2.（2022·重庆一中高一期末）已知B A ,为椭圆E 的左，右焦点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E 的离心率为（）A.23 B.36 C.23或36 D.23或313-解析：若0120=∠AMB ，则2360sin 0==e 若0120=∠ABM ，则c MA c MB 32,2==，所以213322222-=+==c c c a c e 故选D3.（2022·贵州遵义·高二期末）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 左右焦点分别为21,F F ，P为C 上除左右端点外一点，若21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF ，则椭圆C 的离心率为A.634- B.7325- C.5337- D.5627-解析：由21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF 得23sin 21=∠F PF ，322sin 12=∠F PF 所以6223322213123)sin(sin 122121+=⨯+⨯=∠+∠=∠F PF F PF PF F 所以5627322236223sin sin sin 122121-=++=∠+∠∠=F PF F PF PF F e ，故选D4.（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为A.34 B.334 C.4D.364解析：因为130cos 30sin 22022102=+e e 即4312221=+e e ，所以由柯西不等式得31643431311()33111(11(2221221221=⨯=++≤⋅+⋅=+e e e e e e ⇒3341121≤+e e ，故选B 5.（2022·四川成都·模拟预测）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，右顶点为B ，点A 在椭圆上，满足022160=∠=∠ABF AF F ，则椭圆的离心率为（）A.23 B.313- C.332- D.13-解析：因为221ABF AF F ∠=∠，所以21AF F ∆∽BA F 1∆，所以=⇒=2112111AF AF F F BF AF )(2121c a c BF F F +=⋅，所以)(21c a c AF +=，所以)(222c a c a AF +-=所以02030tan 60sin ))(22()(22121b c a c a c a c S F PF =⨯+-⨯+⨯=∆)1(4))1(2)1(22(3)(33))(2)(22(43222e e e e e c a c a c c a c a -=+-+⇒-=+-+⇒0410523=+-+⇒e e e 0)46)(1(2=-+-⇒e e e =⇒e 313-，故选B6.（2022·江西上饶·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为C 上一点，且02160=∠PF F ，213PF PF =，则C 的离心率为（）A.22 B.621 C.47 D.32解析：因为213PF PF =，又a PF PF 221=+，所以2,2321a PF a PF ==所以16930tan 60sin 223212202021=⇒=⨯⨯⨯=∆a b b a a S F PF ，所以47)(12=-=a b e ，故选C 7.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，Q F BQ 1=，则C 的离心率=e （）A.21 B.32 C.22 D.33解析：不妨设221===a BF BF ，t QF =2，θ221=∠BF F ，则t QF -=41，又Q F BQ 1=，所以12242=⇒=-=t t BF ，所以31==QF BQ ，所以312cos =θ所以33sin 31sin 212=⇒=-θθ，所以==θsin e 33，故选D 8.已知椭圆1422=+y x 上一动点P 到两个焦点21,F F 的距离之积取最大值时，21F PF ∆的面积为（）A.1B.3C.2D.32解析：4)2(22121=+≤⋅PF PF PF PF ，当且仅当21PF PF =即点P 为短轴端点时等号成立，此时321==∆bc S F PF ，故选B9.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则=21PF PF （）A.2B.4C.6D.8解法1：434330cot 60sin 2121210202121=⋅⇒=⋅⇒=⋅=∆PF PF PF PF b PF PF S F PF ，选B 解法2：4211260cos 120221=-=-=b PF PF ，故选B 10.（2019·新课标Ⅲ）已知F 是双曲线C ：15422=-y x 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OF OP =，则OPF ∆的面积为（）A.23B.25 C.27 D.29解析：OF OP =，所以02190=∠PF F ，所以2545cot 52121021=⨯⨯==∆∆F PF OPF S S ，选B 11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.5B.2C.25 D.1解析：145cot 0221==∆b S F PF ，故选D12.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则P 到x 轴的距离为（）A.23 B.26 C.3 D.6解析：26230cot 100021=⇒⨯=⨯=∆y y S F PF ，故选B13.（2022攀枝花市第十五中学校高二期中（理））设21,F F 为椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在此椭圆上，且221-=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.1B.2C.3D.2解析：设θ=∠21PF F ，则21cos 2cos cos 12cos 221-=⇒-=+==⋅θθθθb PF PF 0120=⇒θ，所以36tan 12tan0221=⨯==∆θb S F PF ，故选C 14.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解析：516545cot 0221=⇒⨯==∆P P F PF y y b S ，所以点P 到x 轴的距离为51615.如图，21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2OPF ∆是面积为3的正三角形，则=2b 解析：由题意知02190=∠PF F 且3221=∆F PF S ，所以323245tan 22=⇒=b b 16.已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，21,F F 为椭圆的左、右焦点，若21PF F ∠060=，且21F PF ∆的面积为243a ，则椭圆的离心率是解析：434330tan 2220221=⇒==∆a b a b S F PF ，所以21)(12=-=a b e 17.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，21F PF ∆内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是（）A.OBOA > B.OBOA < C.OBOA = D.OB OA ,大小关系不确定解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PQ 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，而A 为双曲线的顶点，所以a OA =，所以OB OA =，故选C 18.已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上除顶点外的一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，,,1221βα=∠=∠F PF F PF ，双曲线离心率为e ，则=2tan2tanβα（）A.11+-e e B.11-+e e C.1122-+e e D.1122+-e e 解法1：2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 2sin2sin sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+-=-+=-+++=-+=e 2tan 2tan 2tan 2tan βαβα+-=⇒=2tan2tanβα11-+e e ，故选B 解法2：易知21F PF ∆的内切圆切x 轴于点)0,(a A -，设内切圆半径为r ，则ac r-=2tan αa c r +=2tan β，所以=2tan 2tanβα11-+=-+e e a c a c ，故选B 18.已知点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于左、右顶点的任意一点，21,F F 是左、右焦点，连接21,PF PF ，作21F PF ∆的旁切圆（与线段P F PF 12,延长线及21F F 延长线均相切），其圆心为'O ，则动圆圆心'O 的轨迹所在曲线是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析：因为21F PF ∆的旁切圆与x 轴切于椭圆的右顶点，即圆心'O 在x 轴上射影为椭圆的右顶点，所以圆心'O 的轨迹为直线a x =，故选B19.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，经过1F 的直线交椭圆于B A ,，2ABF ∆的内切圆的圆心为I ，若05432=++IF IA IB ，则该椭圆的离心率是（）A.55 B.32 C.43 D.21解析：由05432=++IF IA IB 及奔驰定理可知，不妨设5,4,322===AB BF AF ，则3125434=⇒=++=a a ，所以点A 为椭圆的短轴的端点，设θ221=∠AF F ，则=⇒=-⇒=θθθsin 53sin 21532cos 255，所以=e =θsin 55，故选A 20.（2022·江苏苏州·模拟预测）已知21,F F 是椭圆)1(1122>=-+m m y m x 的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若21F AF ∆的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为A.12- B.21 C.22 D.13-解析：设),(00y x A ，则ey e r +=10，可知当点A 在短轴端点时21F AF ∆的内切圆半径最大，此时433113311=⇒=+-⇒=+-⨯m m m e m e ，所以21=e ，故选B21.（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是双曲线上一点，且0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），若21F PF ∆内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（）A.13+ B.213+ C.216+ D.16+解析：由0)(22=⋅+P F OF OP 可知21PF PF ⊥，又21F PF ∆内切圆的半径为2a，所以2321a c a a c PF +=++=，222ac a a c PF -=+-=，由勾股定理得=⇒=--⇒-++=e e e ac a c c 0544)2()23(42222216+，故选C 22.（2022·江西·上高二中模拟预测）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上的一点，I 为21F PF ∆的内心，且PI IF IF 2221=+，则双曲线的离心率为（）A.31B.52 C.33 D.2解析：022222121=++⇒=+IP IF IF PI IF IF ，结合奔驰定理不妨设12=PF ，21=PF ，221=F F ，所以212222=-==a c e ，故选D 23.（2022·湖北·高二月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A.2B.3C.35 D.47解析：由题意知21F AF ∆的内切圆圆心)4,(b a I ，设渐近线的倾斜角为θ2，则ab =θ2tan 且)(4tan a c b -=θ，所以350583))(4(1)(4222=⇒=+-⇒=---e e e a b a c b a c b，故选C 24.椭圆1C ：)0(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，曲线1C ,2C 在第一象限交于点P ,I 是21F PF ∆内切圆圆心，O 为坐标原点，H F 2垂直射线PI 于H 点，2=OH ，则I 点坐标是解析：由题意知2==m OH ，所以3=c ，2=a ，点I 的横坐标为2，设θ=∠21PF F由0902cot 12tan121=⇒⨯=⨯=∆θθθF PF S ，所以3232(45tan 1021-=⇒+=⨯=∆r r S F PF 所以I 点坐标是)32,2(-25.已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，满足2tan22tan1221F PF F PF ∠=∠，该双曲线的离心率为解析：设21F PF ∆内切圆半径为r ，易知内切圆与x 轴切于点)0,(a -，所以32tan 2tan 2tan 22tan12211221=⇒+⨯=-⇒∠=∠⇒∠=∠e ac ra c r F IF F IF F PF F PF 26.（2022·四川达州·高二期末）已知点)0,3(),0,3(21F F -分别是双曲线C ：12222=-b y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=PQ ，则C 的离心率为解析：设2MPF ∆的内切圆分别与21,MF MF 切于点B A ,，则由切线长定理得MBMA =Q F B F 22=，PQ P A =，所以P A MA MF PF MP MF MF a +=-+=-=2221224222=⇒==--++a PQ Q F MB Q F PQ ，又3=c ，所以23=e 27.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左､右焦点，P 为曲线上一点，02160=∠PF F ，21F PF ∆的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e ，则=2e 解析：设21F PF ∆的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则3260sin 220cR c R ===，所以32c r =，设βα=∠=∠1221,F IF F IF ，则0601806022=+⇒=++βαβα所以)(32)(321)(32)(32tan tan 1tan tan )tan(3a c c a c c a c ca c c -⋅+--++=-+=+=βαβαβα7122=⇒e 28.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）已知双曲线C ：)0,0(18222>>=-b a y a x 的左､右焦点为21,F F ，若点P 在双曲线的右支上，且21F PF ∆的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为解析：易知1=a ，所以3=e 综合训练1.（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若61=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.8B.28 C.16D.216解析：由题知42=PF ，621=F F ，所以211F F PF =，所以2843642121=-⨯⨯=∆F PF S 故选B2.（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，动点P 在椭圆上，若21F PF ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有（）A.0个B.1个C.2个D.4个解析：由题意知3412=>=⇒=c b bc ，所以当点P 在短轴端点处时0245<∠OPF ，所以02190<∠PF F ，所以椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有0个，故选A3.（2022·江西鹰潭·高二期末）椭圆C ：1244922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若81=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.48B.40C.28D.24解析：由题知62=PF ，1021=F F ，所以21PF PF ⊥，所以24862121=⨯⨯=∆F PF S ，选D 4.（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设21,F F 是椭圆1241222=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且31cos 21=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.6B.26 C.8D.28解析：设θ221=∠PF F ，则22tan 36cos 311cos 2cos 221=⇒=⇒=-=∠θθθPF F 所以26tan 1221==∆θF PF S ，故选B5.（2022北京市第五十七中学高月考）已知椭圆C ：192522=+y x 的左右焦点为21,F F ，BA ,分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A.离心率54=e B.若02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为8C.21F PF ∆的周长为18D.直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值259-解析：4,3,5===c b a ，离心率54=e ，A 正确；若02190=∠PF F ，则945tan 9021==∆F PF S B 错；21F PF ∆的周长为1822=+c a ，C 正确；由第三定义知259-=⋅PB P A k k ，D 正确，选B6.（2022黑龙江·大庆中学高二期末）已知21,F F 分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得212F F OP =，设21F PF ∆的面积为S ，若221)(PF PF S -=，则该椭圆的离心率为（）A.31 B.21 C.23 D.35解析：由212F F OP =知21PF PF ⊥，所以2121PF PF S =，所以221)(PF PF S -=9445tan 94844)(22022221221=⇒==⇒-=-+a b b a S S a PF PF PF PF 所以=-=2)(1abe 35，故选D 7.（2022·山西运城·高二期末）已知点21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则A.1PF 与双曲线的实轴长相等 B.21F PF ∆的面积为223a C.双曲线的离心率为23D.直线023=+y x 是双曲线的一条渐近线解析：由题意21PF PF ⊥，又213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，所以A 错；23321221a a a S F PF =⨯=∆，B 正确；由勾股定理得21094222=⇒+=e a a c ，所以C 错；2612=-=e a b ，所以渐近线方程为x y 26±=即026=±y x ，D 错；故选B 8.（2022·内蒙古赤峰·高三期末）已知双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，211F F PF ⊥，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，则=PI （）A.3342 B.334 C.3343 D.234解析：设内切圆切1PF 于点M ，则31621==a b PF ，334612=+=PF PF ，所以内切圆半径222211=-+=PF F F PF r ，所以3101=-=r PF PM ，所以在PMI ∆中由勾股定理得=+=+=4910022r PM PI 33429.（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 的离心率为3，21,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若21F PF ∆的面积为2，则双曲线C 的实轴长为A.1B.2C.3D.4解析：因为213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，又a c ace 33=⇒==所以3132129cos 22221-=⨯⨯-+=∠a a a a a PF F 322sin 21=∠⇒PF F ，所以1232232121=⇒=⨯⨯⨯=∆a a a S F PF ，所以双曲线C 的实轴长为2，故选B 10.（2022·广西玉林·模拟预测）已知双曲线C ：1222=-y x 的左、右焦点为21,F F ，P为双曲线右支上的一点，02130=∠F PF ，I 是21F PF ∆的内心，则下列结论错误的是A.21F PF ∆是直角三角形B.点I 的横坐标为1C.232-=PI D.21F PF ∆的内切圆的面积为π解析：设t PF =2，则t PF +=21，由余弦定理得2)2(32212)2(30cos 220=⇒+⨯⨯-++=t t t t 所以22=PF ，41=PF ，3221=F F ，所以02290=∠F PF ，A 正确；P 在右支上，所以点I 的横坐标为1=a ，B 正确；内切圆半径1321212-=-+=PF F F PF r ，D 错；所以232)13())13(2(22-=-+--=PI ，C 正确；故选D11.（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线M ：15422=-y x 右支上的一点，21,F F 是左、右焦点，42=PF ，则21F PF ∆的内切圆半径为（）A.9154 B.3152 C.9152 D.315解析：42=PF ，81=PF ，621=F F ，所以1611842366416cos 21=⨯⨯-+=∠PF F ，所以16153sin 21=∠PF F ，所以=⇒⨯⨯⨯=++=∆r r S F PF 161538421)684(2121315，故选D 12.设P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的点，21,F F 是焦点，双曲线的离心率是34，且02190=∠PF F ，21F PF ∆的面积是7，则=+b a （）A.73+ B.79+ C.10D.16解析：7745cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又33471)(122=⇒=+=+=a a a b e 所以=+b a 73+，故选A13.在直角坐标系xOy 中，)0,(),0,(21c F c F -分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，位于第一象限上的点),(00y x P 是双曲线C 上的一点，21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，21F PF ∆的面积为232a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.xy ±= B.x y 22±= C.x y 21±= D.xy 2±=解析：21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，所以33tan tan 1221=∠=∠F MF F MF 0122130=∠=∠⇒F MF F MF ，所以021********1,120=∠=∠=∠MF F PF F MF F 所以23230cot 2221=⇒==∆aba b S F PF ，所以渐近线方程为x y 2±=，故选D 二、多选题14.已知P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 是21F PF ∆的内心，双曲线的离心率为e ，2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积分别为,,21S S 3S ，且321kS S S +=，下列结论正确的为（）A.ek = B.ek 1=C.I 在定直线a x =上D.若m PF =1，则a m PF 22-=或am PF 22+=解析：321kS S S +=ke kc a r c k r PF r PF 1221212121=⇒=⇒⋅⋅⋅+=⇒，A 错；B 正确；点P 在右支上，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点)0,(a A ，所以I 在定直线a x =上，C 正确；因为点P 在右支上，所以a m a PF PF 2212-=-=，D 错；故选BC15.（2022福建福州·高三）已知P 是双曲线E ：15422=-y x 在第一象限上一点，21,F F 分别是E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为215．则以下结论正确的是（）A.点P 的横坐标为25B.2321ππ<∠<PF F C.21F PF ∆的内切圆半径为1 D.21PF F ∠平分线所在的直线方程为0423=--y x 解析：设),(00y x P ，3,5,2===c b a ，2521530021=⇒=⨯=∆y y S F PF ，代入双曲线方程得30=x ，A 错；232tan 2152cot 5212121=∠⇒=∠=∆PF F PF F S F PF =∠⇒21tan PF F35122tan 12tan221221>=∠-∠=PF F PF F ，所以2321ππ<∠<PF F ，B 正确；13225200=+⨯=+=x a ay y I 所以21F PF ∆的内切圆半径为1，C 正确；内心)1,2(I ，)25,3(P ，所以21PF F ∠平分线所在的直线方程为)2(231-=-x y ，即0423=--y x ，D 正确；故选BCD16.（2022江苏省天一中学高三）已知点P 是双曲线E ：191622=-y x 的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是（）A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.21PF F ∠大于3πD.21F PF ∆的内切圆半径为23解析：42050021=⇒==∆y y S F PF ，代入双曲线方程得3200=x ，A 正确；21F PF ∆的周长为38052320452200=⨯+⨯⨯=+-++c a ex a ex ，B 正确；202cot 92121=∠=∆PF F S F PF 2092tan 21=∠⇒PF F 3319360)209(12092tan 221<=-⨯=∠⇒PF F ，所以321π<∠PF F ，C 错；23203802121=⇒=⨯⨯=∆r r S F PF ，D 正确；故选ABD三、填空题17.设21,F F 是椭圆C ：)20(14222<<=+m m y x 的两个焦点，),(00y x P 是C 上一点，且满足21F PF ∆的面积为3，则0x 的取值范围是解析：由340221=-=∆y m S F PF 22043m y -=⇒，所以1)4(342220=-+m m x )4(1242220m m x --=⇒，又20<<m ，所以]4,0()4(22∈-m m ，所以]1,0[]1,0[020∈⇒∈⇒x x 18.设21,F F 为椭圆C ：1422=+y x 的两个焦点．M 为C 上点，21F MF ∆的内心I 的纵坐标为32-，则21PF F ∠的余弦值为解析：02121902tan132)(32(21=∠⇒∠⨯=-+=∆PF F PF F S F PF ，所以0cos 21=∠PF F 19.双曲线C ：1322=-y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在C 上且34tan 21=∠PF F ，O 为坐标原点，则=OP 解析：71cos 34tan 2121=∠⇒=∠PF F PF F ，所以771132cos 1221221=-⨯=∠-=PF F b PF PF 又2221==-a PF PF ，所以182221=+PF PF，由平行四边形的性质得536164)(2)2(222212212=⇒=+⇒+=+OP OP PF PF F F OP 20.已知椭圆C 的焦点为)0,(),0,(21c F c F -，过点2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且01120=∠B AF ，3321=∆AB F S ，则此椭圆的标准方程为解析：由题意知四边形21BF AF 为平行四边形，且02130=∠F AF ，02160=∠AF F ，所以233230tan 202211=⇒===∆∆b b S S F AF AB F ，133232211=⇒=⨯==∆∆c c c S S F AF AB F 所以32=a ，所以椭圆的方程为12322=+y x。
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线中的焦点三角形是指在椭圆、双曲线和抛物线上取三个焦点，并以这三个焦
点为顶点构成的三角形。
下面将分别盘点这三个圆锥曲线中的焦点三角形。
1.椭圆的焦点三角形：
椭圆是一个闭合的曲线，它的焦点三角形有一些特点。
椭圆的焦点在椭圆的中心处，即三个焦点共线且在一条直线上。
椭圆的焦点三角形是等腰三角形，即三条边的长度相等，这是因为椭圆的定义就是到
焦点的距离之和等于常数。
3.抛物线的焦点三角形：
抛物线是一个开放的曲线，它的焦点三角形也有一些特点。
抛物线只有一个焦点，因此抛物线的焦点三角形只有两个顶点是焦点。
抛物线的焦点三角形的底边是抛物线的准线，即与焦点垂直的直线。
抛物线的焦点三角形的底边长度是常数，而顶点到底边的距离相等，这是因为抛物线
的定义就是焦点到顶点的距离等于准线的长度。
总结：
圆锥曲线中的焦点三角形在椭圆和双曲线中具有相同的特点，即焦点共线、等腰三角形，而在抛物线中有一些特殊的特点，即只有两个顶点是焦点，并且底边是抛物线的准线。
在数学研究和应用中，焦点三角形广泛应用于几何学和物理学等领域。
圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析
圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧1.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点为F1和F2，点M为椭圆上一点。
如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求a^2的值。
解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=F1F2.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π。
根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=9a^2/4，p=3a，代入公式可得到a^2=16.2.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1，F1、F2为其左、右焦点。
如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求满足条件的点M的个数。
解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=10.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π=9/5.根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=27/5，p=15/2.代入公式可得到MF1+MF2=8或12，即点M恰好有2个。
3.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=√3/2，右焦点到右顶点的距离为3-2，求椭圆C的标准方程；设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆C于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值。
解析：由椭圆的性质，可得到椭圆的长轴为2a=2(3-2)=2，离心率为e=√3/2，所以短轴为b=a√3/2=√3.因此，椭圆C的标准方程为x^2+y^2/3=1.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则F2到直线PQ的距离为2b/3=2√3/3，即y1+y2=4√3/3.根据△PQF1的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△PQF1的面积，p为△PQF1的半周长，可得到r=2S/（2p-2a-b）。
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称之为焦三角。
焦三角的面积只与b 和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。
假设这个视角为θ，F 1、F 2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积S=b 2tan 2θ,在双曲线里焦三角的面积S=b 2cot 2θ。
下面我们给出证明：若P 是椭圆22221x y a b +=（a>b>0）上一点，F 1、F 2是两个焦点，设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,三角形PF 1F 2的面积为S ，则S=121sin 2r r θ……（1） 在三角形PF 1F 2中，由余弦定理（2c ）2=222121212122cos ()2cos r r r r r r r r θθ+-=+-, (2)又r 1+r 2=2a ,……(3)代入（2）得：4c 2=4a 2-θcos 221r r ∴r 1r 2=θcos 22b 代入（1）中可得S=b 2tan2θ，同理可得双曲线中焦三角的面积S= b 2cot 2θ。
在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下面举例予以说明。
例1（2004年高考福州）已知P 是椭圆2214x y +=的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=600，则△PF 1F 2的面积是___________。
由椭圆的焦三角面积公式，这里θ=600，2θ=300得△PF 1F 2的面积是3。
例2.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. C. 32 D. 42 解：由三角形外角性质可得∠F 1PF 2=3π，即θ=3π，再由双曲线的焦三角面积公式，S=b 2cot2θ=16cot 6π,故选A 。
例3.在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两焦点F 1、F 2的连线互相垂直。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
圆锥曲线焦点三角形专题篇
圆锥曲线——焦点三角形问题焦点三角形的边角关系 如下：三条边：122F F c = 122PF PF a += =22a c +三角形周长ce a=222a b c =+ 三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠， 利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大 1sin 2S ab c = 面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围， 前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c -≤≤+例1 椭圆22221x y a b+= 的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线 过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则 椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量 之间的大小关系。
学+科网 题目中：2122PF F F c ==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是 常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c>≥- 1e ≤< 例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________. 方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
焦点三角形问题(解析版)
第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。
题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题指的是在一个圆锥曲线上，给定焦点和一个点P 的坐标，求得由焦点和该点P构成的三角形的面积。
首先，我们需要了解圆锥曲线和焦点的概念。
圆锥曲线是指在三维空间中一个由直线与一个射线共用一个端点且直线在射线上方的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
焦点是指在一个几何图形或曲线上与该图形或曲线中的点有特殊关系的点。
要计算由焦点和点P构成的三角形的面积，我们可以利用三角形的面积公式。
三角形的面积可以用其底边和高来计算。
在这个问题中，底边是焦点和点P之间的距离，高是点P到焦点所在的直线的垂直距离。
首先，我们可以使用两点间距离公式计算焦点和点P之间的距离。
假设焦点的坐标为F(x1, y1, z1)，点P的坐标为P(x2, y2, z2)，则焦点和点P之间的距离为
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
然后，我们需要计算点P到焦点所在的直线的垂直距离。
这个垂直距离也可以被称为焦距。
焦距可以通过焦点到点P之间的线段与焦点所在的直线的垂直距离来计算。
最后，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高，来计算出由焦点和点P构成的三角形的面积。
需要注意的是，在计算过程中，我们要保证点P在圆锥曲线上，以确保三角形的存在。
综上所述，通过给定焦点和点P的坐标，我们可以计算出由这两 points 构成的三角形的面积。
这个问题涉及到了圆锥曲线的性质和三角形面积的计算方法，通过运用相关的几何知识，我们可以解决这个问题。
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焦点三角形焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。
常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。
一：椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点12,F F 与椭圆上任意一点P 为顶点组成的三角形。
)0(12222>>=+b a by a x性质有：（1）12||||2PF PF a +=（2）2221212124||||2||||cos c PF PF PF PF F PF =+-∠（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大.证明：设P 是椭圆22221x y a b+= （0a b >>，c 为半焦距）上的一点，O 为原点，E 、F 是椭圆的两焦点，PE m =，PF n =则222222244222cos 1122m n c b mn b b EPF mn mn mn a+--∠===-≥-，由余弦函数图象性质知EPF ∠有最大值，当且仅当P 在短轴端点时取到该最大值。
（4）设P 为椭圆上的任意一点，角12F F P α∠=，21F F P β∠=，21F PF θ∠=，则有离心率sin()sin sin e αβαβ+=+，122sin 1cos PF F S b θθ∆=+2=b tan 2θ证明：由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PF PF F F o==--由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PF F F而)sin(2)sin(21βαβα+=+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++aPF PF ∴βαβαsin sin )sin(++==a c e 。
例题：1、椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点12,F F ，点P 在椭圆上，且1212414,||,||33PF PF PF PF ⊥==.求椭圆的方程22194x y +=2、设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果 7521=∠F PF ，1512=∠F PF ，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．23 C ．32 D ．36 3、1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 12AF F ∆的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27D ．2574、1F 、2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且1290,F AF ∠=，则A 到x 轴的距离为A ．163B ．165C ．161635or D ．非上述答案5、设21F F ，分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ， 是直角三角形的一个顶点，则P 点到x 轴的距离是 A.163 B . 165 C. 161653或 D. 非上述答案 6、设21F F ，分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ， 是是直角三角形的三个顶点，则P 点到x 轴的距离是A.94 B. 95 C . 9954或 D. 非上述答案 7、过椭圆左焦点F ，倾斜角为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）8、已知Rt ABC ∆，1,AB AC ==点C 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，且AB 为经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。
9、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A .)1,12(- B. )1,13(- C. )1,23(-D. )1,22(二：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点12,F F 与双曲线上任意一点P 为顶点组成的三角形。
22221(0,0) x ya ba b-=>>性质有：（1）12||||2PF PF a+=（2）2221212124||||2||||cosc PF PF PF PF F PF=+-∠（3）设P为椭圆上的任意一点，角12F F Pα∠=，21F F Pβ∠=，21F PFθ∠=，则有离心率sin()sin sineαβαβ+=-(αβ>)，122sin1cosPF FS bθθ∆=-2=tan2bθ（4）例题：1、设P为双曲线22112yx-=上的一点，12F F，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF=，则12PF F△的面积为（）A．B．12C．D．242、已知12,F F为双曲线22:2C x y-=的左右焦点，点P在C上，12||2||PF PF=，则12cos F PF∠=A．14B．35C．34D．453、双曲线2212yx-=的焦点为1F、2F，点M在双曲线上且12MF MF⋅=，则点M到x 轴的距离为（）A.43B.53D.34、已知1F、2F为双曲线C:221x y-=的左、右焦点，点P在C上，∠1F P2F=060，则P到x轴的距离为(A) ((C)(D)5、设F1，F2分别是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使22()0OP OF F P+⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF=，则该双曲线的离心率为A1+B．C+D6、设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率A B C D 7、过双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左焦点F (-c,0)作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为原点，若12OE (OF OP )=+，则双曲线的离心率8、已知1F 、2F 分别为双曲线2222C :1x y a b-=()0a b >>的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 539、已知1F 、2F 分别为双曲线2222C :1x y a b-=()0a b >>的左、右焦点，若双曲线上存在一点P ，满足12||2||PF PF =，则该双曲线的离心率范围为 (1,3]10、已知12,F F 为离心率为2的双曲线的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则21cos PF F ∠=A ．14B ．1335C ．4D ．311、设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ∙=，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．12、设12F F ，分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，,A B 是圆2222x y a b +=+与双曲线左支的两个交点，且2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率A B C 1 D ．213、已知P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+成立，则该双曲线的离心率为14、已知P 是双曲线22143x y -=上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||5PF =则2||PF = 19or15、已知P 是双曲线221412x y -=上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||5PF =则2||PF = 9练习：已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1(,0)F c -、2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 满足1221sin ,sin PF F aPF F c ∠=∠则该双曲线的离心率的取值范围是(1,116、已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 17、设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则2e =5-18、设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 的直线与双曲线的左右支交于,A B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =19、如图设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，12||4F F =，P 为双曲线右支上一点，2F P 与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若||1PQ =，则双曲线的离心率是(A)3 (B )2椭圆与双曲线的焦点三角形例题：若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线221x y s t-=)0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ).A m s - B.)(21s m - C.22s m - D.s m -例题：若椭圆()2211x y m m +=>与双曲线()2210x y n n-=>有相同的焦点，点P 是两曲线的一个公共点，则12F PF ∆的面积是 1例题：设1F 与2F 是曲线1:C 22162x y +=的两个焦点，点M 是曲线1C 与曲线2:C 2213x y -=的一个交点，求12MF F ∆的面积．例题：如图,21,F F 是椭圆14:221=+y xC 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是B 3.2CD例题：已知点P 是以12,F F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且12PF PF ⊥，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，则12.2A e e ≥ 2212.4B e e +≥12.C e e ≥ 221211.2D e e += 例题：已知点P 是以12,F F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且1260,F PF ∠=，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为.3A .3B .3C .2D 例题：已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，点P 为它们的一个公共点，1260,F PF ∠=则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是（ ）A .3 B.3C.3D.2 提示：12222sin 60sin sin sin sin sin sin m n a m n a c m nαβαβαβ+=-=====+-例题：。