半偏法测电表内阻

假定电源的电动势为 ，内阻为 ，电压表的满偏电压为 。
当 ，开关 闭合，调节滑动变阻器 的滑片 ，使电压表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得 ,其中 （1）
调节电阻箱 的阻值，使电压表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及串联分压公式得
—
（2）
方法一：
联立（1）和（2），消除 和 得 （3）
显然 ，且 与 的相对误差
由（3）可知 ，且当 ，即 时， 近似成立。
由（4）可知 与 的相对误差 （5）
由（5）可知，电源的电动势 越大，相对误差越小。
结论：用半偏法测电流表的内阻时，测量值比真实值小，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即 ，而要做到这一点，必须使用电动势较大的电源，且为防止电流表过载，必须用大阻值的滑动变阻器与之匹配，可见电源的电动势的大小对误差起主导作用。二、半偏法测源自压表的内阻实验系统误差分析，
半偏法测电压表的内阻实验电路原理图如图2所示，实验操作步骤如下：
图2
第一步：开关 闭合前，将电阻箱 的阻值调到零，滑动变阻器 的滑片 调到最左端 。
第二步：闭合开关 ，调节滑动变阻器 的滑片 的位置，使电压表满偏。
第三步：保持滑动变阻器 的滑片 的位置不变，调节电阻箱 的阻值，使电压表半偏。
半偏法测电流表和电压表的内阻实验系统误差分析
湖北省监利县朱河中学 黄尚鹏
摘要：本文从理论上运用严格的数学方法对半偏法测电流表和电压表的内阻实验的系统误差进行了分析，从而给出半偏法测电流表和电压表内阻的实验条件，以供大家参考。
关键词：半偏法 系统误差 相对误差 闭合电路欧姆定律 并联分流 串联分压
一、半偏法测电流表的内阻实验系统误差分析
结论：显然上述两种方法得出的结论是一致的，由此可知用半偏法测电压表的内阻时，测量值比真实值大，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻且应该选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。
将（13）代入（8）解得 （16）
根据 及（15）和（16）得 与 的相对误差 的取值范围
（17）
注意：由于 ，可知（17）式的右边
由（17）式的左边可知， ，由（17）式的右边可知，为减小相对误差，应选择小阻值的滑动变阻器 ，且电源的电动势要适当小一些，也可以减小相对误差，当然为使电压表指针能达到满偏，必须满足 ，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。
,
假定电源的电动势为 ，内阻为 ，电流表的满偏电流为 。
闭合开关 ，调节滑动变阻器 ，使电流表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得
（1）
闭合开关 ，调节电阻箱 的阻值，使电流表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及并联分流公式得 （2）
联立（1）和（2），消除 和 得 （3）
—
由（1）解得 ，将其代入（3）得 （4）
半偏法测电流表的内阻实验电路原理图如图1所示，实验操作步骤如下：
(
图1
第一步：开关 、 闭合前，将滑动变阻器 的阻值调到最大。
第二步：闭合开关 ，调节滑动变阻器 ，使电流表满偏。
第三步：保持开关 闭合，滑动变阻器不动，闭合开关 ，调节电阻箱 的阻值，使电流表半偏。
第四步：记下此时电阻箱 的阻值，则电流表的内阻 。
】
第四步：记下此时电阻箱 的阻值，则电压表的内阻 。
本实验要求滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻，即 ，这样就可近似认为调节电阻箱 的阻值后，滑动变阻器的左端电阻 分得的电压仍然为满偏电压。但事实上调节 的阻值后， 分得的电压增大，当电压表半偏时，电阻箱 两端电压比电压表两端电压要大，根据串联分压规律可知，半偏法测出的电压表的内阻要比电压表的实际内阻大。下面笔者从两个不同的角度运用两种方法对该实验的系统误差进行分析。
：
（5）
将（2）式整理成关于 的一元二次方程得
（6）
方程（5）和（6）有公共根，记为 ， 即为 的阻值。设方程（5）的另一根为 ，方程（6）的另一根为 ，根据韦达定理即一元二次方程的根与系数的关系得
（7） （8）
（9） （10）
\
（11） （12）
联立（11）和（12）解得 （13） （14）
将（13）代入（7）解得 （15）
本实验要求滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即 ，这样就可近似认为开关 闭合前后干路中的总电流是不变的。但事实上，当开关 闭合后，干路中的总电流是变大的，当电流表半偏时，通过电阻箱 的电流比通过电流表的电流要大，根据并联分流规律可知，半偏法测出的电流表的内阻要比电流表的实际内阻小。下面笔者从理论上运用严格的数学方法对该实验的系统误差进行分析。
根据平均值不等式 ，故
又根据分式不等式 及
；
则由（1）可知 （最后一步用到 ）
于是有 ，故 （4）
由（4）可知，当 时， 近似成立，且选择电动势较小的电源也可以减小相对误差，当然为使电压表指针能达到满偏，必须满足 ，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。
方法二：
将（1）式整理成关于 的一元二次方程得