(新)高中数学第一章常用逻辑用语1_1命题及其关系浅谈命题的否定及其应用素材新人教A版选修2-11
2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版
【解】 (1)为假命题，如 a＝1，b＝－2 时， 有 a>b，但 a2<b2. (2)为真命题，由方程的根的定义，将 x＝1 代入方程，即可作 出判断． (3)为真命题，令 a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)， 则 ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1， 显然 2k1k2＋k1＋k2 是一个整数，故 ab 是奇数． (4)为假命题，圆心到直线的距离 d＝ 22小于圆的半径 1，直 线与圆相交．
解析：①是命题，能判断其真假． ②不是命题．该语句为疑问句，没有对垂直于同一直线的两 直线是否平行作出判断． ③是命题.0 既不是正数，也不是负数，判断其为假． ④是命题．取 x＝ 3，y＝－ 3知其是假命题． 答案：①③④
命题真假的判断 判断下列命题的真假． (1)若 a>b，则 a2>b2； (2)x＝1 是方程(x－2)(x－1)＝0 的根； (3)若 a，b 都是奇数，则 ab 必是奇数； (4)直线 y＝x 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切．
判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、 感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否 判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
下列语句是命题的有________．(填序号) ①x2－1＝0 有一个根是－1； ②垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ ③一个数不是正数就是负数； ④若 x＋y 为有理数，则 x，y 也是有理数．
■名师点拨 (1)“若 p，则 q”只是命题的一种形式，另外，“如果 p，那 么 q”“只要 p，就有 q”也是常见的命题形式． (2)数学中有一些命题虽然表面上不是“若 p，则 q”的形式， 但是把它的表述进行适当改变，就可以写成“若 p，则 q”的 形式，这样条件 p 和结论 q 就明确了． (3)将含有大前提的命题改写为“若 p，则 q”的形式时，大前 提应保持不变，改写后仍作为大前提，不要写在条件 p 中． (4)改写前后命题的真假性不发生变化． (5)还有一些命题不能写成“若 p，则 q”的形式，如“某些三 角形没有外接圆”．
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系欧几里得几何原本素材新人教A版选修2-1(2021学年)
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欧几里得几何原本1 基本信息作者：欧凡里得著兰纪正,朱恩宽译欧几里得几何原本出版社：陕西科学技术出版社ISＢN:９78７53690３579出版时间：200３—06-０1版次:2ﻫ页数：6７3装帧：精装ﻫ开本:32开2 内容简介《欧几里得几何原本》的重要性并不在于书中提出的哪一条定理。
书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此.欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理,并在书中作了全面的系统阐述。
这包括首次对公理和公设作了适当的选择(这是非常困难的工作,需要超乎寻常的判断力和洞察力）.然后,他仔细地将这些定理做了安排,使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致。
在需要的地方,他对缺少的步骤和木足的证明也作了补充.值得一提的是,《欧几里得几何原本》虽然基本上是平面和立体几何的发展,也包括大量代数和数论的内容。
《欧几里得几何原本》作为教科书使用了两千多年。
在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。
欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。
该书问世之后,很快取代了以前的几何教科书,而后者也就很快在人们的记忆中消失了。
《欧几里得几何原本》是用希腊文写成的,后来被翻译成多种文字．它首版于１482年，即谷登堡发明活字印刷术3O多年之后。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 逆否命题素材 新人教A版选修2-1
逆否命题原命题为：若a，则b。
逆否命题为：若非b，则非a如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。
命题的否定只否结论。
一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．名称定义命题：可以判断真假的语句叫做命题。
原命题为：若a，则b逆命题为：若b，则a否命题为：若非a，则非b逆否命题为：若非b，则非a互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。
命题的否定只否结论。
性质一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命题也真。
命题同它的逆否命题等价是作为公理存在的，你既不能证明它正确也不能证明它错误。
其实这个东西可以认为是公理。
它和公理“排中律”是等价的。
我们数学的体系就是建立在这些公理之上。
2逆否命题的滥用现实生活中存在许多对逆否逻辑的滥用，使用时须注意以下几点：1、逆否命题、逆命题、否命题概念适用的前提是原命题为复合命题，而非简单命题。
复合命题是由简单命题通过逻辑连接词互相连接而组成的。
简单命题难以区分前提和结论，其真假只能通过生活经验和客观事实加以判断。
例如：“我爱你”。
这个句子不能算作命题。
因为是否“爱”的真假没有一个明确的判断标准。
如果“我爱你”是命题，那么它是一个简单命题。
我们可以把它等价转换为“若p，则q”的形式。
再谈论其逆否命题。
（”我爱你“不具有排他性）等价转换为：若我存在，则至少存在一个爱你的人（或”若我存在，则存在我爱你“）。
逆否命题为：若不存在一个爱你的人，则我不存在（如果所有人都不爱你了，那么我也不存在了）。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。
高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教B版选修2_1
命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0. [思路探究] 真命题的判断一般需要经过严格的推理论证，而 假命题的判断只需举出一个反例即可．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是 菱形．
(1)②③⑤ (2)②③ [(1)①不是命题，因为它不是陈述句； ②是命题，是假命题，因为负数没有算术平方根； ③是命题，是假命题，例如－ 2＋ 2＝0,0不是无理数； ④不是命题，因为它不是陈述句； ⑤是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．
(2)①疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作 出判断，不是命题．
3·(－ 3)都是有理数，但 3，－ 3都是无理数，所以该陈述语句
为假，是命题．⑦不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取 值是否使不等式恒成立无法确定，不能判断其真假，所以它不是命 题．⑧是命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，对于x∈R，不等式 恒成立，所以该陈述语句为真，是命题．故填②④⑤⑥⑧.]
[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命 题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真 命题． (4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假 命题．
当堂达标 固双基
合作探究 提素养
命题的概念
【例1】 (1)下列语句： ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ ②一个数的算术平方根一定是非负数； ③x，y都是无理数，则x＋y是无理数； ④请完成第九题； ⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行． 其中是命题的是________(填序号)．
高中数学选修1-1知识点及课本例题
第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。
2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。
（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。
（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。
3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。
>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。
例4证明：若022=x，则0=+yx。
-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。
这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版选修1-1
2．命题的分类 (1)真命题：_判__断__为__真__的语句叫做真命题； (2)假命题：_判__断__为__假__的语句叫做假命题．
命题真假的判断
判断下列命题的真假： (1)若 a＞b，则 a2＞b2； (2)x＝1 是方程(x－2)(x－1)＝0 的根； (3)当 x＝4 时，2x＋1＜0； (4)直线 y＝x 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切． 【精彩点拨】 语句 ―命 定―题 义→ 判断是否是命题 证明―举 ―→反例 真假命题
(1)若整数 a 能被 2 整除，则 a 是偶数； (2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分． 【提示】 (1)条件 p：整数 a 能被 2 整除，结论 q：整数 a 是偶数． (2)条件 p：四边形是菱形，结论 q：四边形的对角线互相垂直且平分．
把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若 条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结 论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“指数函数的图象真漂亮”是命题．( ) (2)语句“陈述句都是命题”不是命题．( ) (3)命题“实数的平方是非负数”是真命题．( ) (4)“mx2＋2x－1＝0 是一元 P3 第 4 段，完成下列问题． 命题的结构 1．结构形式：_若__p_，__则__q_. 2．命题的条件是：命题中的__p__；命题的结论是：命题中的__q_.
判断命题真假的两个技巧 1．真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、 法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学地推理论证得出要证 的结论． 2．假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可．
高中数学第一章常用逻辑用语1基本逻辑联结词1“非”(否定)素材11
1。
2.2“非"(否定）课堂探究探究一“⌝p”形式的命题及其真假判断“非"是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．U A＝{x∈U|⌝(x∈A）}＝｛x∈U|x A}．“p"与“⌝p"真假不同,一个为真，另一个必定为假,它们互为否定，且有⌝(⌝p)＝p.【典型例题1】写出下列命题p的否定,并判断其真假：（1）p:周期函数都是三角函数;（2)p:偶函数的图象关于y轴对称；(3）p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1。
思路分析：要写出命题的非（否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．解：（1）⌝p：周期函数不都是三角函数．命题p是假命题，⌝p是真命题．(2)⌝p:偶函数的图象不关于y轴对称，命题p是真命题,⌝p是假命题．（3)⌝p：若x2－x≠0,则x＝0或x＝1.命题p是真命题，⌝p是假命题．规律小结下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助。
解答存在性命题与全称命题的否定问题:(1）改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x）成立”改为“⌝p（x）成立”．【典型例题2】写出下列命题的否定，并判断其真假:(1)p：∃x∈R,x2＋1＜0；(2)q：每一个对角互补的四边形有外接圆；（3)r：有些菱形的对角线互相垂直；（4）s:所有能被3整除的整数是奇数．思路分析：命题p，r是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．命题q，s是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可．解:(1)⌝p:∀x∈R,x2＋1≥0。
(真)（2)⌝q：有些对角互补的四边形没有外接圆．（假)(3)⌝r：所有菱形的对角线不互相垂直．(假）(4）⌝s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真）探究三易错辨析易错点否定不全面【典型例题3】若“∃x∈错误!,sin x＋错误!cos x＜m”为假命题，则实数m的取值范围是__________．错解:由于“∃x∈错误!，sin x＋错误!cos x＜m"为假命题,则其否定“∀x∈错误!，sin x＋错误!cos x＞m”为真命题．令f(x）＝sin x＋错误!cos x＝2sin错误!,x∈错误!，可知f(x）在错误!上是增函数,在错误!上是减函数，且f（0）＝错误!，f错误!＝1，所以f(x)min ＝1。
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浅谈命题的否定及其应用
简易逻辑的引入，给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具，否命题的应用及处理常被同学们忽视.下面就解题过程中，对常见命题否定的理解及应用问题举例如下.
一、常见语句的否定
①联言命题“1p 且2p 且…且n p ”的否定是“1p 或2p 或…或n p ”.
②选言命题“1p 或2p 或…或n p ”的否定是“1p 且2p 且…且n p ”
③“都是(所有的)”的否定是“不都是(存在一个)”而不是“都不是”
④“至少有一个(n 个)” 的否定是“一个也没有(至多有n -1个)”
⑤“至多有一个(n 个)” 的否定是“至少有两个(至少有n +1个)”
⑥ “对任意x ∈A ,使P (x )成立”的否定是“存在x ∈A ,使P (x )不成立”
⑦“存在x ∈A ,使P (x )成立” 的否定是“对任意x ∈A ,使P (x )不成立”
二、常见否定命题的应用
例1． 写出下列命题的否命题
(1)有些三角形是直角三角形;
(2)所有的质数都是奇数 .
分析:(1) 学生常易错误回答为“有些三角形不是直角三角形”.这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.
(2) 学生常易错误回答为“所有质数都不是奇数”.这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的质数不都是奇数”.
例2．若()22
f x x ax a a =++-在[-1,1]上至少存在一点C 使()0f C >,求实数a 的取值范围.
解：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: ()22
f x x ax a a =++-在[-1,1]不存在点C 使()0f C >即对任意x ∈[-1,1], ()f x ≤0 .
∴有()()
1010f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩
解之得11a a ≥≤-或. 故实数a
的取值范围为()
1a ∈- .
注:利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.
例3.设数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列, n n n c a b =+ .
证明:数列{}n c 不是等比数列.
分析:以下是一部份学生的解法,
设数列{}n a 、{}n b 是公比分别为p 、q ，p ≠q ，则
()()2
2211222222111111112n n n n n n n n n c a b a p b q a p b q a b p q ------=+=+=++ 而 ()()22111111n n n n n n c c a p b q a p b q ---+=++
()222222222222111111n n n n n n a p a p b q a p a b p q p q ------=+++++
∵p ≠q 22112,0p q pq a b +>≠ ∴211n n n c c c -+≠
故数列{}n c 不是等比数列.
评析:“ {}n c 是等比数列”的含义是数列{}n c 中如果从第二项起每一项与前一项的比均等于同一个常数，则称{}n c 是等比数列.要证明数列{}n c 不是等比数列,只需破坏命题中
的 “都是”即可.即需证明存在连续三项11,,n n n c c c -+使211n n n c c c -+≠ .为此只需首先验证
2213c c c ≠,而标准答案就是如此.本题的证明主要考察学生对否命题的理解 .
例4. 有三位运动员参加跳高比赛,他们能顺利跳过某个高度的概率依次是23、12、25
，求这三人中至少有一人跳过这一高度的概率. 解:“三人中至少有一人跳过这一高度”的对立事件(命题的否定)是“三人中没有一个跳过这一高度”，由于3个人跳高是相互独立事件， 故所求概率为21219111113251010
p ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=----=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 例5.已知: A ={}2|(2)240,x x a x a x R ---+=∈,
B={}22|(23)230,x x a x a a x R +-+--=∈,若A
B ≠∅,求实数a 的取值范围. 分析:由题意, A B ≠∅即两个方程2(2)240x a x a ---+=,与22(23)230x a x a a +-+--=中,至少有一个方程有实数解.设全集为I=R,所求实数a 的集合为A ,则使上述两个方程均设无实数解的实数a 的集合为I ()A B .
由2(2)240x a x a ---+=，得()2
2124(24)412a a a a ∆=---+=+- 由22(23)230x a x a a +-+--=,得()2
222234(23)4821a a a a a ∆=----=--+ ∴22412048210
a a a a ⎧+-<⎪⎨--+<⎪⎩解得:762a -<<-或322a << . 即当762a -<<-或322a <<时,A B ≠∅. ∴所以所求A B ≠∅的a 的取值范围是(][)73,6,2,22⎡⎤-∞-⋃-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
. 规律概括:由于I I ,
,A A I A A ⋃=⋂=∅以及()I I A A =,因此在分析集合A 的性质时,也可以通过分析
I A 的性质即通过间接法来实现对问题的解决,这也反映了否命题应
用的基本思想实质.。