数学竞赛筑阶系列讲座02—初等数论之二

数学竞赛筑阶系列讲座——初等数论之二

讲解人：凌 彬

姓名__________

专题二：奇数与偶数

一、基本知识

奇数的特征：它被2除得的余数是1；即任何奇数都是21n +的形式，其中n Z ∈． 偶数的特征：它被2除得的余数是0；即任何偶数都是2n 的形式，其中n Z ∈． 奇数与偶数的一个最明显的性质是：任何奇数决不会与一个偶数相等． 奇数与偶数还有几条运算性质：

1．奇数与奇数的和是偶数；2．奇数与偶数的和是奇数；3．偶数与偶数的和是偶数； 4．奇数与奇数的积是奇数；5．奇数与偶数的积是偶数；6．偶数与偶数的积是偶数． 几个常用的结论：

1．两个连续整数的积(1)n n +是偶数； 2．整数a 的幂n a 与a 奇偶性相同； 3．整数a 和b 有“a b ±”与“n n a b ±”的奇偶性相同．

这些性质都是很平凡的，但灵活地应用它们却能解决许多问题，包括看上去“无从下手”的问题；下面给出的一些例子，解答除了应用奇偶性之外，还包含了一些非常有用的解题思想；利用奇偶性解题的方法叫奇偶性分析法．这个方法是数学竞赛中特别活跃的方法之一． 二、例题选讲

例1．证明：不存在整数x 、y 满足：221990y x =+．

例22

例3．证明：不存在这样的整数a 、b 、c 、d ，使得abcd a -、abcd b -、abcd c -、abcd d -

都是奇数．

例4．证明：改变一个自然数各位数码的顺序后得到的数，与原数之和不能等于1989

99

9．

例5．设129, ,

, a a a 是正整数，任意改变这九个数顺序后记为129, ,

, b b b ；

证明：112299()()()A a b a b a b =---是偶数．

例6．平面上有15个点，任意三点都不在一条直线上，试问：能不能从每个点都引三条线段，

且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论．

例7．已知一奇数β，使得整系数二次三项式2ax bx c ++的值2a b c ββ++也是奇数，其中c 是

奇数；求证：方程20ax bx c ++=没有奇数根．

例8．圆周上有1989个点，给每一个点染两次颜色：或红、蓝，或全红，或全蓝；最后统计知；

染红色1989次，染蓝色1989次．试证：至少有一点被染上红、蓝两种颜色．

例9．黑板上写着三个整数，任意擦去其中的一个，将它改写成为其它两数的和减去1；这样继

续下去，最后得到19，2007，2009，问原来的三个数能否是2，2，2．

例10．桌上有7只茶杯，杯口全部朝上，每次“运动”是指将其中的4只茶杯同时翻转；

问：能否经过若干次运动使杯口全部朝下？

例11．一个展览馆有26间展览室（如图），图中每个方格代表一间展览室，每相邻的两间展览室都有门相通，出口入口在图中所示之处；问能否找到一条入口到出口的参观路线，使得不遗漏又不重复地走过每一间展览室？

入口出口 的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．例12．设有一张88

下面对涂了色的方格纸实施“操作”；每次操作都是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色；问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

例13．若两人互相握手，则每人都记握手一次，求证：握手是奇数次的人的总数一定是偶数．

三、巩固练习

1．设, , a b c 都是整数，2|a b c ++，求证：, , a b c a c b b c a +-+-+-都是偶数．

2．若某正整数n 的各位数码在适当改变顺序后所得的数与n 之和等于1010，证明：10|n ．

3．设有整数12, , , n x x x ，使120n x x x +++=，12n x x x n =，求证：4|n ．

4．如图，给定两张33?方格纸，并且在每一方格内填上“+”或“-”号．如图，现在对方格

纸中任何一行或一列作全部变号的操作，问可否经过若干次操作，使图（1）变成图（2）？

(1)

(2)

++-++---+

--++---

-+

5．试证：找不到两个正整数，使其差与和的乘积等于2010．

6．设有n 盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动1n -个拉线开关；试问：能否把所有的灯都

关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．