数学竞赛筑阶系列讲座02—初等数论之二
初等数论(知识讲座)
初等数论初等数论从外表意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是电脑科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差异，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：〔ⅰ〕对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素〔或后继〕；〔ⅱ〕有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；〔ⅲ〕N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：〔第二种数学归纳法〕设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
数学竞赛筑阶系列讲座02—初等数论之二
数学竞赛筑阶系列讲座——初等数论之二讲解人：凌 彬姓名__________专题二：奇数与偶数一、基本知识奇数的特征：它被2除得的余数是1；即任何奇数都是21n +的形式，其中n Z ∈． 偶数的特征：它被2除得的余数是0；即任何偶数都是2n 的形式，其中n Z ∈． 奇数与偶数的一个最明显的性质是：任何奇数决不会与一个偶数相等． 奇数与偶数还有几条运算性质：1．奇数与奇数的和是偶数；2．奇数与偶数的和是奇数；3．偶数与偶数的和是偶数； 4．奇数与奇数的积是奇数；5．奇数与偶数的积是偶数；6．偶数与偶数的积是偶数． 几个常用的结论：1．两个连续整数的积(1)n n +是偶数； 2．整数a 的幂n a 与a 奇偶性相同； 3．整数a 和b 有“a b ±”与“n n a b ±”的奇偶性相同．这些性质都是很平凡的，但灵活地应用它们却能解决许多问题，包括看上去“无从下手”的问题；下面给出的一些例子，解答除了应用奇偶性之外，还包含了一些非常有用的解题思想；利用奇偶性解题的方法叫奇偶性分析法．这个方法是数学竞赛中特别活跃的方法之一． 二、例题选讲例1．证明：不存在整数x 、y 满足：221990y x =+．例22例3．证明：不存在这样的整数a 、b 、c 、d ，使得abcd a -、abcd b -、abcd c -、abcd d -都是奇数．例4．证明：改变一个自然数各位数码的顺序后得到的数，与原数之和不能等于1989999．例5．设129, ,, a a a 是正整数，任意改变这九个数顺序后记为129, ,, b b b ；证明：112299()()()A a b a b a b =---是偶数．例6．平面上有15个点，任意三点都不在一条直线上，试问：能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论．例7．已知一奇数β，使得整系数二次三项式2ax bx c ++的值2a b c ββ++也是奇数，其中c 是奇数；求证：方程20ax bx c ++=没有奇数根．例8．圆周上有1989个点，给每一个点染两次颜色：或红、蓝，或全红，或全蓝；最后统计知；染红色1989次，染蓝色1989次．试证：至少有一点被染上红、蓝两种颜色．例9．黑板上写着三个整数，任意擦去其中的一个，将它改写成为其它两数的和减去1；这样继续下去，最后得到19，2007，2009，问原来的三个数能否是2，2，2．例10．桌上有7只茶杯，杯口全部朝上，每次“运动”是指将其中的4只茶杯同时翻转；问：能否经过若干次运动使杯口全部朝下？例11．一个展览馆有26间展览室（如图），图中每个方格代表一间展览室，每相邻的两间展览室都有门相通，出口入口在图中所示之处；问能否找到一条入口到出口的参观路线，使得不遗漏又不重复地走过每一间展览室？入口出口 的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．例12．设有一张88下面对涂了色的方格纸实施“操作”；每次操作都是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色；问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？例13．若两人互相握手，则每人都记握手一次，求证：握手是奇数次的人的总数一定是偶数．三、巩固练习1．设, , a b c 都是整数，2|a b c ++，求证：, , a b c a c b b c a +-+-+-都是偶数．2．若某正整数n 的各位数码在适当改变顺序后所得的数与n 之和等于1010，证明：10|n ．3．设有整数12, , , n x x x ，使120n x x x +++=，12n x x x n =，求证：4|n ．4．如图，给定两张33⨯方格纸，并且在每一方格内填上“+”或“-”号．如图，现在对方格纸中任何一行或一列作全部变号的操作，问可否经过若干次操作，使图（1）变成图（2）？(1)(2)++-++---+--++----+5．试证：找不到两个正整数，使其差与和的乘积等于2010．6．设有n 盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动1n -个拉线开关；试问：能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．。
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题
解：令（）。
若中有一个数被m 整除，则结论成立。
i i a a a b +++= 21m i ,,2,1 =m b b b ,,,21 否则，各均不能被m 整除，此时可设。
这样，m 个余数i b )11(-≤≤+=m r r mq b i i i i 只能从1至m -1这m -1个数中取值，由抽屉原理知，必有，使得m r r r ,,,21 )1(,m j k j k ≤<≤，于是，故取即得到结论。
j k r r =)(k j k j q q m b b -=-)()(|21j k k k j a a a b b m +++=-++ 1+=k s 3. 互素性的条件当（a ，b ）=d >1时，我们总是作如下考虑：令，则必有。
这种互素d b b d a a 11,==1),(11=b a 条件的增置往往对解题有很大作用。
例7. （波兰64—65）设整数a ，b 满足，试证及都是完全平方数。
b b a a +=+2232b a -122++b a 解：变形可得：，故只要能证一个，则另一个必是。
我b b a a +=+22322)122)((b b a b a =++-们在排除了字母取零或相等的情况后，可设。
这时令，d b a b a b a =≠≠),(,,0,d b b d a a 11,==，从而方程变为。
显然有。
另一方面又1),(11=b a 21112132db b a da =-+)(|11b a d -212111(223d da db b a -=-=-，有。
注意到，于是有21212121211)(223db b a d da db b +--=-=2111|)(db b a -1),(),(11111==-b a b b a 。
这样就有。
至此已十分容易获得命题的结论了。
这里，由a 1与b 1互素导出d b a |)(11-||11b a d -=a 1—b 1与b 1互素，是证明的关键。
初等数论第二章同余
和
N = cin_Yan_2…①仇=a2ci[a()-10°+a5a4a3-103H。
注:一般地，在考虑使N = an_{an_2-被加除的余数时,首先 是求岀正整数匕使得
10*三 一1或1(modm),
再将N=ci叶\5_2…写成
x + y+ 1 = 9或18,
3-y + x = 0或llo
这样得到四个方程组：
j\ + y + l = a
\3- y+x = b
其中。取值9或18, b取值0或11。在0<x,y<9的条件下解这四个 方程组，得到x=8, y = 0, z = 6o
习题一
1.证明定理1和定理2。
2.证明定理4。
3.证明定理5中的结论（i ）—（iv）o
(v)由
ac=be(mod m)
得到m |c(a-b),再由(c,加)=1和鉛一章翕三节定理4得到m \a- b,即
a = b(mod m)o
证毕。
例1设N = anall_［- --aQ是整数N的十进制表示，即
N=ani0,?+an-ilO,/_1+ …+ailO+ao ,
则
(i )3|Nq3|£⑷；
x = y(modm),⑷三切(modm),0 < / <n,
则பைடு நூலகம்
工4兀’三工(mod力7)。⑵
i=0i=0
证明留作习题。
定理5下面的结论成立：
(i)a = b(mod m),d \ m, d> 0 a = b(modd)；
初等数论在中学数学竞赛中的应用
初等数论在中学数学竞赛中的应用初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的整数性质和整数之间的关系。
在中学数学竞赛中，初等数论占有极其重要的地位，这篇文章介绍了初等数论在中学数学竞赛中的应用。
1. 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是初等数论中最基础的知识点，也是数学竞赛中常出现的题型。
掌握最大公约数与最小公倍数的计算方法，在竞赛中可以迅速求得答案，提高答题速度和准确率。
考查方式：计算最大公约数与最小公倍数的值，或通过最大公约数、最小公倍数的计算求解整数方程组，适合于初赛和复赛阶段。
2. 奇偶性奇偶性是初等数论中的一个重要概念，掌握奇偶性的计算方法可以很快地帮助解决竞赛题目。
在奇偶性的计算中，最常见的有两种算法：除以2法和末位数法。
考查方式：根据给定的奇偶性，判断某个数是否满足条件；或者根据某个数的奇偶性，推导出其它性质，适合于中等水平竞赛。
3. 同余同余是初等数论中的又一个重要概念，两个整数的同余关系是指它们被某个整数整除时，得出的余数相同。
同余关系具有传递性、对称性和反身性，可以用于求解余数。
除此之外，同余关系在模运算、线性同余方程中也有广泛应用。
考查方式：根据同余关系，推导出一系列整数的性质，或通过同余关系求解余数，适合于中等和难地水平竞赛。
4. 平方数平方数是自然数的平方，平方数的性质在数学竞赛中也有广泛应用。
掌握平方数的计算方法和性质，可以快速判断某一个数是否为平方数，或求解某个正整数的平方数。
5. 数字反转数字反转是数学中的一种基本运算，也是初等数论中常出现的题型。
掌握数字反转的方法，可以帮助我们快速计算整数反转后的结果。
此外，在数字反转的基础上，还可以进一步进行数字分离、数字组合等操作，应用于解题中。
总之，初等数论在中学数学竞赛中占有非常重要的地位，掌握初等数论的知识和技巧，可以极大地提高我们的解题速度和成功率。
在备战数学竞赛的过程中，我们应该加强初等数论的学习和练习，不断提高自己的能力水平。
数论选讲
解： 又
(m + n)m ≥ mm + nm ⇒ mn ≤ 1413 。
44 = 256,53 = 3125 > 1413 ⇒ m ≤ 4 。 显然 m 为奇数。 当 m = 1时，对任何正整数 n ，不可能有 (m + n)m = n +1 = nm +1413 = n +1413 。
当 m = 3 时，由 (3 + n)3 = n3 +1413 可得 n2 + 3n −154 = 0 ，即
（1）必有自然数 k ，使得 Ak+1 = Ak 。 (2) 若 A = 1986 ，问上述的 Ak 等于多少？并说明理
由。
证明：（1）n = 0 时，对任意 k ，有 Ak = A 。当 n = 1 时，显然 A ≥ f ( A) 。 当 n ≥ 2 时，
f ( A) = 2n a0 + 2n−1 a1 +" + 2an−1 + an ≤ (2n + " + 2 + 1) ⋅ 9 = (2n+1 −1) ⋅ 9 ， A ≥ 10n an ≥ 10n = 10 ⋅10n−1 > 9 ⋅10n−1 > 9 ⋅ 23 ⋅10n−2 ≥ 9 ⋅ 23 ⋅ 2n−2 = 9 ⋅ 2n+1 > 9(2n+1 −1) ≥ f ( A)
一、基本知识
（一）整除与同余
1. 设 n 为正整数，则任意 n 个连续整数中有且仅有一个是 n 的倍数。 2. 若 p 为素数， n 为任意正整数，且 p a1 a2 "an ，则至少存在一个 ai ，使得 p ai 。
3. 若 ai ≡ bi (mod n),i = 1,2,", m ，则对任意的整数 ci (i = 1, 2,", m) ，均有
数学竞赛筑阶系列讲座03—初等数论之三
数学竞赛筑阶系列讲座——初等数论之三讲解人：凌 彬姓名__________专题三 素数与合数 余数一、基本知识1．最大公约数：a 、b 是两个正整数，能同时整除a 、b 的整数称为它们的公约数，而a 、b 的所有公约数中最大的一个称为最大公约数，记为(, )a b ，如：(6, 8)2=．2．互素（互质）：a 与b 的最大公约数为1即(, )1a b =，则称a 与b 互素（互质）．3．最小公倍数：a 、b 是两个正整数，同时为a 、b 倍数的最小正整数称为a 、b 的最小公倍数，记为[, ]a b ，如：[6, 8]24=．4．最大公约数与最小公倍数的主要性质：（1）若a 、b 是正整数，则(, )[, ]a b a b ab ⋅=．（2）假设0a b >>，a 、b 是正整数，且有a bq r =+，0r b <<，其中q 、r 是正整数，则(, )(, )a b b r =．（注：辗转相除理论依据）5．素数与合数：任意正整数1n >都至少有两个正约数，即1和n ．只有1和n 这两个正约数的数称为素数（也叫质数）．不是1，也不是素数的正整数称为合数．（注：正整数集{=1，素数，合数}）6．素数的主要性质：（1）设p 是素数，a 、b 是两个正整数，若|p ab ，则|p a ，|p b ．特别地，当a b =时，从2|p a 可推出|p a ．（2）整数的唯一分解定理：每个大于1的正整数都可以唯一地分解成素数的乘积（次序不同的分解看作一样）．（3）a 是大于1的整数，若所有不大于a ，则a 是质数．7．余数：设1n >，n 是正整数，对于任何正整数a ，a 被n 除得的余数有n 种可能，即余数为：0, 1, 2, , 1n - 之一，余数为0，即是|a n ．8．余数的作用：按照被n 除得的余数，可把全体整数分类：余数为0的全体整数作第1类，余数为1作 第2类， ，余数是1n -的作第n 类，共有n 个类．二、例题选讲例1．试证明：素数有无限多个．例2．对于任意的整数n (1)n >，试证明：总可以找到n 个连续的合数．例3．若素数5p ≥，且21p +是素数，试证：41p +是合数．例4．试求出满足等式1y x z +=的所有的素数组(, , )x y z ．例5．甲先乙后轮流在黑板上任意擦去2，3，4， ，n 这1n -个数中的一个．游戏规定最后剩下两个数互素，则甲胜；反之，则乙胜．试问：当（1）2008n =；（2）2009n =，谁能必胜？获胜的诀窍是什么？例6．对任给的正整数n ，试证明：必有无穷多个正整数a ，使4n a +是合数．例7．设289n N n =+，试证明：有无穷多个奇数n 使N 为合数．例8．在一列数a ，2a ，3a ， ，ma ， 中，a 、m 都是正整数，试问：在前m 项中共有多少个是m 的倍数？例9．已知两数之和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此两数．例10．若(,)1a b =，试证：（1）(, )1a b ab ±=；（2）(, )1a b a b +-=或(, )2a b a b +-=．（注：本题结论以后可以作为定理使用，特别在整数分析中很有作用）例11．试求(5767, 4453)．例12．试求出能使36831x y +=成立的两个整数x 与y ．例13．已知a 、b 都是正整数，求两个整数k 、s 使得0ak bs +=．（注：本题结论以后可以作为定理使用）例14．试把70表示成11个不同的正整数的和，同时要求含有素数的个数最多．例15．试证明：对任意正整数n 和k ，数32410k k n n ++都不能表示为若干个连续正整数的积．二、巩固练习1．求一个素数p ，同时使10p +，14p +都是素数，并证明满足条件的素数是惟一的．2．已知m 、n 、a 都是整数，且0m >，0n >，求证：4422m n a ++是合数．3．两数之和是432，它们的最大公约数是36，求此两数．4．已知两数的平方和是468，它们的最大公约数与最小公倍数的和是42，求此两数．5．对于正整数a ，试证分数3231a a a a +++不可约．（注：不可约即分子与分母的最大公约数是1）6．对于一个正整数n ，如果存在这样的正整数12, , , k a a a （不一定不同），使得下列等式都成立：（1）12k a a a n +++= ；（2）121111ka a a +++= ；那么称n 为“好数”．求证：若n 是“好数”，则22n +和29n +必定都是“好数”．。
高中数学竞赛课程讲座：初等数论
高中数学竞赛课程讲座：初等数论
本课程讲座旨在介绍初等数论的基础知识，帮助学生为高中数学竞赛做最好的准备。
我们将深入探讨数论中的基础概念，如质数分解和
算术难题，并探讨一些实际应用的技巧和常用方法，帮助学生在数学
竞赛中取得好成绩。
本次讲座将向您介绍初等数论，它是一门关于形式化、有限数论等术语和方法的数学分支。
简而言之，初等数论在研究有关有限结构的
问题和计算方法时是不可或缺的。
在这个课程中，我们将探讨整数质
因数分解、质数及其应用、素数概念、余数定理、线性算术等，帮助
您为数学竞赛中的第一题做准备。
我们还将深入讨论有关如何构造有
限结构的问题，利用它们来探究多项式的性质；研究几何图形；通过
图论剖析算法，及解决整数方程组等方面的相关内容。
我们相信您在
学习初等数论时会有所收获，从而在高中数学竞赛中尽显实力！
此外，我们还将为您介绍数论的发展和历史，例如，古希腊的Euclid
的元素书、中国的Sunzi的求积算，以及17世纪的Fermat的大定理等，一起探究中国数学家在数论中的贡献。
在讲座中，我们还会解释完整
的幂的概念，从中分析总结出幂的工具，比如抽象代数和提高多项式
的方法等，以帮助您从大量的幂等式中获取实质性的知识，理清思路。
最后，在考试期间，我们将重点讨论质因数分解原理、构造，以及如
何将数论应用于实际情况中，例如Cryptography，帮助您在考试中取得高分。
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数学竞赛筑阶系列讲座——初等数论之二
讲解人：凌 彬
姓名__________
专题二：奇数与偶数
一、基本知识
奇数的特征：它被2除得的余数是1；即任何奇数都是21n +的形式，其中n Z ∈． 偶数的特征：它被2除得的余数是0；即任何偶数都是2n 的形式，其中n Z ∈． 奇数与偶数的一个最明显的性质是：任何奇数决不会与一个偶数相等． 奇数与偶数还有几条运算性质：
1．奇数与奇数的和是偶数；2．奇数与偶数的和是奇数；3．偶数与偶数的和是偶数； 4．奇数与奇数的积是奇数；5．奇数与偶数的积是偶数；6．偶数与偶数的积是偶数． 几个常用的结论：
1．两个连续整数的积(1)n n +是偶数； 2．整数a 的幂n a 与a 奇偶性相同； 3．整数a 和b 有“a b ±”与“n n a b ±”的奇偶性相同．
这些性质都是很平凡的，但灵活地应用它们却能解决许多问题，包括看上去“无从下手”的问题；下面给出的一些例子，解答除了应用奇偶性之外，还包含了一些非常有用的解题思想；利用奇偶性解题的方法叫奇偶性分析法．这个方法是数学竞赛中特别活跃的方法之一． 二、例题选讲
例1．证明：不存在整数x 、y 满足：221990y x =+．
例22
例3．证明：不存在这样的整数a 、b 、c 、d ，使得abcd a -、abcd b -、abcd c -、abcd d -
都是奇数．
例4．证明：改变一个自然数各位数码的顺序后得到的数，与原数之和不能等于1989
99
9．
例5．设129, ,
, a a a 是正整数，任意改变这九个数顺序后记为129, ,
, b b b ；
证明：112299()()()A a b a b a b =---是偶数．
例6．平面上有15个点，任意三点都不在一条直线上，试问：能不能从每个点都引三条线段，
且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论．
例7．已知一奇数β，使得整系数二次三项式2ax bx c ++的值2a b c ββ++也是奇数，其中c 是
奇数；求证：方程20ax bx c ++=没有奇数根．
例8．圆周上有1989个点，给每一个点染两次颜色：或红、蓝，或全红，或全蓝；最后统计知；
染红色1989次，染蓝色1989次．试证：至少有一点被染上红、蓝两种颜色．
例9．黑板上写着三个整数，任意擦去其中的一个，将它改写成为其它两数的和减去1；这样继
续下去，最后得到19，2007，2009，问原来的三个数能否是2，2，2．
例10．桌上有7只茶杯，杯口全部朝上，每次“运动”是指将其中的4只茶杯同时翻转；
问：能否经过若干次运动使杯口全部朝下？
例11．一个展览馆有26间展览室（如图），图中每个方格代表一间展览室，每相邻的两间展览室都有门相通，出口入口在图中所示之处；问能否找到一条入口到出口的参观路线，使得不遗漏又不重复地走过每一间展览室？
入口出口 的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．例12．设有一张88
下面对涂了色的方格纸实施“操作”；每次操作都是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色；问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
例13．若两人互相握手，则每人都记握手一次，求证：握手是奇数次的人的总数一定是偶数．
三、巩固练习
1．设, , a b c 都是整数，2|a b c ++，求证：, , a b c a c b b c a +-+-+-都是偶数．
2．若某正整数n 的各位数码在适当改变顺序后所得的数与n 之和等于1010，证明：10|n ．
3．设有整数12, , , n x x x ，使120n x x x +++=，12n x x x n =，求证：4|n ．
4．如图，给定两张33⨯方格纸，并且在每一方格内填上“+”或“-”号．如图，现在对方格
纸中任何一行或一列作全部变号的操作，问可否经过若干次操作，使图（1）变成图（2）？
(1)
(2)
++-++---+
--++---
-+
5．试证：找不到两个正整数，使其差与和的乘积等于2010．
6．设有n 盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动1n -个拉线开关；试问：能否把所有的灯都
关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．。