2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值
本课结束
解析 f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：函数的最大值、最小值定义.
2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素. (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.
二、利用函数的单调性求最值
x－1 例 2 已知函数 f(x)＝x＋2，x∈[3,5]. (1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
解 由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数， 则 f(x)max＝f(5)＝47， f(x)min＝f(3)＝25.
反思
感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小 值为f(a). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小 值为f(b). (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各 区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的 最大(小)值. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性， 还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
解 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为 500－10(x－50)＝(1 000－10x)个， 则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即售价为70元时，利润最大值为9 000元.
3 随堂演练
PART THREE
1.函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上
√A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值
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2.函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是
A.10,5
√B.10,1
C.5,1
D.以上都不对
解析 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]， 所以当x＝1时，ymin＝1， 当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
二次函数最值分类讨论问题 典例 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值.
素养
提升 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时
要注意这两个因素.利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论.
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝1－6 x＋3(x∈[2,4])，求函数 f(x)的最大值和最小值.
三、函数最值的实际应用
例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每 生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百 台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R(x)(万元)满足：
反思
感悟 图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并 写出值域.
解 y＝－|x－1|＋2＝3x＋－1x， ，xx≥ <11，， 图象如图所示， 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2].
第三章 3.2.1 单调性与最大(小)值
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会借助单调性求最值. 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义
－0.4x2＋4.2x，x∈N，0≤x≤5， R(x)＝
11，x∈N，x>5， 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列 问题： (1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
解 当x>5时，因为函数f(x)单调递减， 所以f(x)<f(5)＝3.2(万元)， 当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)， 所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元.
最值
条件
几何意义
①对于∀x∈I，都有 f(x)≤M ，
最大值
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
②∃x0∈I，使得__f(_x_0_)＝__M__
①对于∀x∈I，都有 f(x)≥M，
最小值
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
②∃x0∈I，使得_f_(x_0_)_＝__M__
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
反思 感悟
(1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学
模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变
பைடு நூலகம்
量的取值范围.
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来
解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题
得到解决.
跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种 商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利 润为多少？
D.∅
解析 因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1. 又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立， 所以m≤－1，故m∈(－∞，－1].
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－x，－1≤x≤0， 5.已知函数 f(x)＝x2，0<x≤1，
x，1<x≤2，
则 f(x)的最大值为___2___.
2 题型探究
PART TWO
一、图象法求函数的最值
x2，－1≤x≤1，
例 1 已知函数 f(x)＝1x，x>1.
求 f(x)的最大值、最小值.
解 作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0.
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x＋7，－1≤x<1，
3.已知函数 f(x)＝
则 f(x)的最大值、最小值分别为
2x＋6，1≤x≤2，
√A.10,6
B.10,8
C.8,6
D.以上都不对
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4.已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是
A.R
√B.(－∞，－1]
C.[－1，＋∞)
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为_－__1_，最大值为__2__.
2.函数 y＝－x＋1 在区间12，2上的最大值为____12____.
3.函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是_2__. 4.函数 y＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于____32____.
知识点二 求函数最值的常用方法
1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数 的最大(小)值. 2.运用已学函数的值域. 3.运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ f(b) ，ymin＝ f(a) . (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ f(a) ，ymin＝ f(b) . 4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第2课时积、商、幂的对数课
对数及其运算第2课时积、商、幂对数课堂导学三点剖析一、利用对数运算法那么计算问题85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数运算法那么,要会正用法那么,也要会逆用法那么,更要会变形用法那么. 解：85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中真数积、商、幂、方根运用对数运算法那么将它们化为对数和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中对数和、差、积、商运用对数运算法那么将它们化为真数积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题具体需要正用及逆用法那么,灵活地运用法那么.二、对数式条件求值问题【例2】lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法那么变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法那么综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分〞方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ ==511. 解法二:采用“合〞方法. 原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯==511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),∴lgxy=lg(x -2y)2.∴xy=(x -2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4. ∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4.对数式化简两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成假设干个对数代数和,最后进展化简;二是把同底对数之和合并成一个对数,对真数进展化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲方法. 各个击破类题演练1计算:(1); (2)21lg 493243-lg 8+lg 245. 解析：(1)= ==12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2 =2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3.(2)= ==21. 类题演练2lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2.3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法那么,把log 2487,log 212,log 242拆成假设干个对数代数和,然后再化简.原式=21log 2+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数底数一样,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 2=log 221=21-. 变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。
2020版高中数学第三章概率3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式(选学)课件新人教B版必修3 (1)
解 (1)用树状图表示所有的结果为：
所以所有不同的结果是 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. (2)记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A， 则事件 A 包含的基本事件为 ac，ad，ae，bc，bd，be，共 6 个基本事件， 所以 P(A)＝160＝0.6， 即恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0.6.
(1)记事件 A 为“三次颜色恰有两次同色”. ∵A 中含有基本事件个数为 m＝6， ∴P(A)＝mn ＝68＝0.75.
(2)记事件 B 为“三次颜色全相同”. ∵B 中含基本事件个数为 m＝2， ∴P(B)＝mn ＝28＝0.25. (3)记事件 C 为“三次摸到的红球多于白球”. ∵C 中含有基本事件个数为 m＝4， ∴P(C)＝48＝0.5.
教材整理 2 概率的一般加法公式(选学) 阅读教材，完成下列问题. 1.事件 A 与 B 的交(或积)： 由事件 A 和 B 同时发生 所构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的交(或积)， 记作 D＝A∩B(或D＝AB) . 2.设 A，B 是 Ω 的两个事件，则有 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B) ，这就 是概率的一般加法公式.
率的古典定义.
随手练 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典 概型.( ) (2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件.( ) (3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型.( ) (4)一个古典概型的基本事件数为 n，则每一个基本事件出现的概率都是 1 n.( )
3.2.1 古典概型 3.2.2 概率的一般加法公式(选学)
1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.(难点) 2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)
2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3.2.1 第1课时 函数的单调性
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ 答案 不是 (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 答案 不能.
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具 有(严格的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 . 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定 义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的
任意子集上也是单调的.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围.
解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上， 对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示. 由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2， 从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).
解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).
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3.函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上
A.递减
√C.先减后增
B.递增 D.先增后减
解析 因为 y＝|x＋2|＝x－＋x2－，2x，≥x－<－2，2. 作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数.
新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
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人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章函数的概念与性质 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值课后训练巩固提升1.函数y=2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )A.1,12B.2,1C.12,14D.2,12y=2x在区间[2,4]上单调递减,所以其最大值、最小值分别是22=1,24=12.故选A.2.若函数f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为( )A.f (32),f (-32) B.f(0),f (32)C.f (-32),f(0) D.f(0),f(3)f(x)的图象知,f(x)图象最高点的纵坐标为f(0),最低点的纵坐标为f (32),故最大值为f(0),最小值为f (32).3.(多选题)下列说法正确的是( )A.若函数f(x)的值域为[a,b],则f(ain =a,则直线y=a 一定与函数f(x)的图象有且只有一个交点 C.若函数f(x)=ax+1,in =1 D.若函数f(ax =f(2),A 正确,B 不正确.根据函数的单调性知,C 不正确,D 正确.4.函数f(x)={1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为( )A.1B.2C.12D.13f(x)的图象如图.由图象知,f(x)的最大值为2.5.已知函数f(x)=x 2-6x+8,x ∈[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(1,3]C.(1,4]D.(1,5]图象的对称轴为直线x=3,因为f(x)在区间[1,a]上的最小值为f(a),所以1<a≤3,故选B.6.函数f(x)=1-3x 在区间[-6,-3]上的最大值为 .f(x)在区间[-6,-3]上单调递增,所以最大值为f(-3)=1-3-3=2.7.已知函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a= .a>0时,y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,当x=3时,y 取得最大值3a+1=4,解得a=1;当a<0时,y=ax+1在区间[1,3]上单调递减,当x=1时,y 取得最大值a+1=4,解得a=3,舍去.故a=1.8.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= ,在区间[-4,4]上的最大值是 .,得f(x)={2x +a ,x ≥-a2,-2x -a ,x <-a 2.即f(x)的单调递增区间是[-a 2,+∞),故-a2=3,a=-6.在区间[-4,4]上的最大值是14.149.已知函数f(x)={-x ,-1≤x <0,x 2,0≤x <1,x ,1≤x ≤2.(1)画出函数的图象; (2)求函数的最大值和最小值.在平面直角坐标系中分段画出函数的图象,如图所示.(2)由图象知,函数的最小值是0,最大值是2.1.已知函数f(x)=2x+m x+1,x ∈[0,1],若f(的值为( )A.32B.52C.3D.52或3f(x)=2x+m x+1,即f(>2时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,可得f(1)为最小值,且2+m 2=52,解得m=3,成立;当m-2<0,即m<2时,f(=52,不成立.综上,可得m=3.故选C.2.(多选题)已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x 2-2x,设F(x)={g (x ),f (x )≥g (x ),f (x ),f (x )<g (x ),则关于函数F(x)的说法正确的是( ) A.其最大值为3,最小值为-1 B.其最大值为7-2√7,无最小值C.其单调递增区间为(-∞,2-√7)和(1,√3),单调递减区间为(2-√7,1)和(√3,+∞)D.其单调递增区间为(-∞,0)和(1,√3),单调递减区间为(0,1)和(√3,+∞)F(x)的图象,如图中实线部分,可知F(x)有最大值而无最小值,且最大值不是3.当x≤0时,由3+2x=x 2-2x,得x=2-√7; 当x>0时,由3-2x=x 2-2x,得x=√3.结合图象,可知F(x)的单调递增区间为(-∞,2-√7)和(1,√3),单调递减区间为(2-√7,1)和(√3,+∞). 当x=2-√7时,F(x)max =7-2√7.3.函数f(x)=x+√2x -1的最小值为 .f(x)=x+√2x -1在定义域[12,+∞)内是增函数,所以f(x)≥f (12)=12,即函数的最小值为12.4.已知函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间[1,5]上的最小值为f(5),则实数a 的取值范围为 .,f(x)在区间[1,5]上单调递减,∵f(x)=x 2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2+2-(a-1)2,∴-(a-1)≥5,解得a≤-4.∞,-4]5.已知函数f(x)=2x+1x -1.若当x>0时,f(x)+a+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是 ;若对任意x ∈[12,+∞)都有f(x)≥tx恒成立,则实数t 的取值范围是 .x>0时,f(x)+a+1≥0恒成立,即2x+1x +a≥0恒成立,即x>0时,a≥-(2x +1x)恒成立.因为x>0,所以2x+1x ≥2√2x ·1x =2√2,当且仅当x=√22时,取等号,即-(2x +1x )≤-2√2,故a≥-2√2.因为x ∈[12,+∞),f(x)≥tx恒成立,所以t≤2x 2-x+1=2(x -14)2+78,因为x≥12,所以2(x -14)2+78≥1,故t≤1.√2,+∞) (-∞,1] 6.设函数f(x)=x+1-x x,(1)利用函数单调性的定义,证明:f(x)在区间(1,+∞)内单调递增; (2)若不等式f(x)-a≥0对任意的2≤x≤3恒成立,求实数a 的取值范围.f(x)=x+1-x x =x+1x-1,任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2.则f(x 1)-f(x 2)=(x 1+1x 1-1)-(x 2+1x 2-1)=(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-1x 1x 2).因为x 1,x 2∈(1,+∞),x 1<x 2,所以x 1x 2>1,x 1-x 2<0.所以x 1x 2-1>0,即f(x 1)-f(x 2)=(x 1-x 2)(x 1x 2-1x 1x 2)<0.即f(x 1)<f(x 2),故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.f(x)-a≥0,则f(x)≥a.若要使f(x)≥a 对任意的2≤in ≥a 即可,因为f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,所以f(in =f(2)=32,得a≤32,故实数a 的取值范围为(-∞,32].。
河北省2020年新高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)
2020年新高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。
2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数与之对应。
3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号f 统一表示对应关系。
【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。
4.函数定义一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。
6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是由它的定义域和对应关系决定的。
（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范围。
如y =，则默认定义域是{}0x x ≠（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t = ,隐含着0t ≥。
6.几个特殊函数的定义域和值域（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R。
（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R。
（3）反比例函数()0k y k x=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。
（4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R。
①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；②当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
高中数学3.2.1单调性与最大小值第2课时函数的最大值最小值人教A版必修第一册
第2课时函数的最大值、最小值_____ 强化•培优•通关<［A 基础达标］11.函数y = x —-在［1 , 2］上的最大值为()X3 A. 0 B・2C. 2D. 31解析：选B.函数y=-在［1 , 2］上是增函数，函数y =—-在［1 , 2］上是增函数,—1所以函数y =——-在［1 , 2］上是增函数.—当-=2时，1 3y(max= 2—==二.「1一，—> 12. (2019 •河南林州一中期末考试)函数f (-) = $-的最大值为()［——+ 2, —<1A. 1B. 21C.2 D-1解析：选B.当x》l时，函数f (—)=—为减函数，此时f (—)在—=1处取得最大值，最大ZY值为f(1) = 1;当—<1时，函数f(x) =—x2+ 2在—=0处取得最大值，最大值为f(0) = 2.综上可得，f(—)的最大值为2,故选B.3 .若函数y= ax+ 1在［1 , 2］上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A. 2B.—2C. 2 或一2D. 0解析：选C.当a> 0时，由题意得2a+ 1 —(a+ 1) = 2，即a= 2；当a v0 时，a+ 1 —(2a + 1) = 2，所以a=— 2.综上a=± 2.—€ ［0，1］，若f (—)有最小值—2，则f (—)的最大值为4.已知函数f(—) = ——2+ 4x+aA. —1B. 0C. 1D. 22 2解析：选 C.因为f (—) =—(——4—+ 4) + a+ 4 =—( ——2) + 4 +所以函数f (—)图象的对称轴为直线—=2.所以f(x)在［0,1］上单调递增.又因为f(X)min =— 2 ,所以f(0) = —2,即a=— 2.所以f ( X) max= f (1) =—1+ 4 — 2 = 1.35 .函数f (x) = 2—-在区间［1 , 3］上的最大值是 _________ .X3解析：因为f (X) = 2 —-在［1 , 3］上为单调增函数，所以f (X)的最大值为f(3) = 2— 1 = 1.X答案：126 .若函数f (X) = X —6X + m在区间［2 , +^)上的最小值是一3,则实数m的值为__________ .解析：函数f (X) = X2—6X + m的对称轴是直线X = 3,开口向上，所以函数 f ( X)在［2 , 3］上单调递减，在(3 ,+^)上单调递增，故函数在x= 3处取得最小值，2由f (3) = 3 —6X 3+ m= —3,解得m= 6.故实数m的值为6.答案：67. 用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m.24 —4x解析：设隔墙的长为x m,矩形面积为S m2，贝y S= x •— = x(12 —2x) = —2x2+12x=—2(x —3)2+ 18,所以当x= 3时，S有最大值18.答案：32x8. 求函数y= f (x)= 在区间［1 , 2］上的最大值和最小值.X—3解：？X1, X2,且K X1 <X2< 2,2 2…X1 X2则f(X1)—f(X2)=荷—戸2 小22,2X1X2 —3X1 —X1X2+ 3X2(X1 —3)( X2—3)(X2—X1)［3 (X1 + X2)—X1X2］(X1 —3) ( X2 —3) '因为K X1<X2< 2,所以2<X1 + X2<4,即6<3( X1 + X2)<12 ,又1<X1X2<4, X2 —X1 >0, X1 —3<0, X2 —3<0,故 f (X i ) -f (X 2)>0.2x所以函数y = 在区间［i , 2］上为减函数，X — 31 y max = f (1) =—2 , y min = f (2) =一 4.9•已知函数 f (x ) = x 1 2 + 2ax + 2, x € ［ — 5, 5］. (1) 当a =— 1时，求函数f (x )的最大值和最小值. (2) 若y = f (x )在区间［—5, 5］上是单调函数，求实数 a 的取值范围.解：(1)当 a =— 1 时，f (x ) = x 2— 2x + 2 = (x — 1)2+ 1. 因为x € ［ — 5, 5］，故当x = 1时，f (x )取得最小值为1 , 当x =— 5时，f (x )取得最大值为37.⑵ 函数f (x ) = (x + a )2 + 2— a 2图象的对称轴为直线 x =— a .因为f (x )在［—5, 5］上是单调的， 故—a w — 5 或—a > 5.即实数a 的取值范围是a <— 5或a >5.［B 能力提升］10. _________________________________________________________________________ 设f (x )为y = — x + 6和y = — x + 4x + 6中较小者，则函数f (x )的最大值为 _____________________解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知f (x )的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为 6.答案：611.某商场经营一批进价是每件 30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价 x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：所以 y = f (x ) =— 3x +162. 又 y >0,所以 30< x < 54,故所求函数关系式为 y =— 3x + 162, x € [30 , 54] , x € N (2)由题意得，P = (x - 30) y = (x - 30)(162 - 3x )21 确定x 与y 的一个一次函数关系式 y = f (x )(注明函数定义域)；2 若日销售利润为 P 元，根据(1)中的关系式写出 P 关于x 的函数关系式，并指出当销 售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润?设f (x ) = ax + b (a z 0),由表格得方程组，5a + b = 27，解50a + b = 12,解: (1)因为f (x )是一次函数, 得. a = — 3, b = 162,=-3x + 252x- 4 860 , x € ［30 , 54］, x€ N配方得，P=- 3(x-42) + 432,当x = 42时，最大的日销售利润P= 432，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润.12. 已知函数f (x)对任意x, y € R,总有f (x) + f (y) = f(x+ y)，且当x>0 时，f (x)<0 , 2f(1)一3-(1) 求证：f (x)是R上的单调减函数；(2) 求f (x) 在［- 3, 3］上的最小值.解：⑴证明：？X1 , X2，且X l<X2,则X2 —x>0，因为x>0 时，f (x)<0 ,所以f (X2 —xJ<0 ,又因为X2 = (X2-X1)+ X1,所以f (X2) = f ［( X2- X1)+ X1］=f (X2—X1)+ f(X1),所以f (X2) —f (X1) = f (X2—X1)<0 ,所以f (X2)<f (X1).所以f(x)是R上的单调递减函数.(2)由(1)可知f (x)在R上是减函数,所以f(x)在［-3, 3］上也是减函数，所以f(x)在［-3, 3］上的最小值为f(3).f2)而f(3) = f (1) + f (2) = 3f (1) = 3X - 3 =- 2.所以函数f (x)在［—3, 3］上的最小值是一2.［C 拓展探究］13•请先阅读下面材料，然后回答问题.一 1 一一对应问题“已知函数f(X) = 3 + 2x —x2，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由.”一个同学给出了如下解答：令u= 3 + 2x-x2,贝U u=- (x-1)2+ 4,当=1时，u有最大值，u max= 4,显然u没有最小值.1所以当x= 1时，f(x)有最小值；，没有最大值.4(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答. 1⑵ 试研究函数y = x 2+ x + 2的最值情况.1⑶ 对于函数f (x ) =2(a > 0)，试研究其最值的情况.ax + bx + c解：(1)不正确.没有考虑到 u 还可以小于0. 正确解答如下：2 2令 u = 3 + 2x — x ，贝y u =- (x — 1) + 4W 4. 1 1 1当 0v U W4 时,石》4，即即 f (x ) >4； 1当 u v 0 时，0，即 f (x ) v 0.1所以 f (x ) v 0 或 f (x ) >4即f (x )既无最大值，也无最小值. 2<1^77(2)因为 x + x + 2 = j x + 2 + 4》4，所以0v y w 4，所以函数y = x 2+：+ 2的最大值为7当x = — *时，没有最小值. 1⑶对于函数 f(x) = ax 2 + bx + c (a >0).2令 u = ax + bx + c , ①当△> 0时，u 有最小值,即f(x)W缶；当 u >0 时，即 f (x ) >0.4a所以 f (x ) > 0 或 f (x ) w 4託—b ， 即f (x )既无最大值，也无最小值.4ac — b 2 1②当△= 0时，u 有最小值，u min = = 0，结合f (x )= 知u ^ 0, 4a u1所以u >0,此时u >0,即f (x ) >0,f (x )既无最大值，也无最小值.4ac —b 24a1w u v 0时.u w4a 4ac — b 2,4ac — b 2 u min = ■ V 0 ；4a4ac — b 2 卄 4ac — b 2U min = > 0，目卩 U 》 > 0.4a 4a4a 即 0v f (x ) w 2,4ac — bb4a 、所以当x =— 亦时，f (x )有最大值4ac — b 2，没有最小值• 综上，当4》0时，f (x )既无最大值，也无最小值.4a当△ v 0时，f (x )有最大值2,4ac — bb此时x =—，没有最小值.2 a1 所以0v-wu 4a4ac —b 2， ③当△< 0时，u 有最小值,。
2020版新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修1
【思考】 能否用二分法求方程的近似解？ 提示：能，方程的根即为函数的零点.
3.用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精度ε ，用二分法求函数f(x)零点x0近似值x1，
使得|x1-x0|<ε 的一般步骤如下：
第一步，检查|b-a|<2ε 是否成立，如果成立，取
x1=
ab 2
，计算结束，如果不成立转到第二步；
5
【加练·固】 函数f(x)=2- 4 x2(x∈[-1，1])的零点个数为 _______. 【解析】令2- 4 x2 =0，解得x=0，所以函数仅有一个 零点. 答案：1
类型三 二分法的应用
角度1 二分法概念的理解
【典例】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，
不可能求出的零点是 ( )
【解析】设f(x)=x3+x2-2x-1， 则f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0， f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0， 所以f(-2)·f(-1)<0，f(-1)·f(0)<0，
Байду номын сангаас
f(1)·f(2)<0，所以∃x1∈(-2，-1)，x2∈(-1，0)， x3∈(1，2)，f(x1)=0，f(x2)=0，f(x3)=0. 则f(x)在(-2，-1)，(-1，0)，(1，2)内均有零点，即 ①②③正确. 答案：①②③
2.选B.f(1)=2-1=1，f(
1
)
1
22
2
2 2 0，
2
即f( 1 )
2
f(1)<0，所以∃x0∈
(
1 2
,1，) f(x0)=0，
高中数学必修第一册人教A版3.2.1《函数的单调性》名师课件
减函数
如果对于定义域内某个区间内的 任意 两个自变量的值1, 2,
当1 < 2时，都有 1 > 2 , 那么就说()在区间D上是减函数。
如果函数 = ()在区间上是增函数或是减
函数，那么就说函数 = ()在这一区间具有(严
格的)单调性，区间叫做 = ()的单调区间.
典例讲授
例2.根据定义，研究函数 = + ( ≠ )的单调性
思路 根据函数单调性的定义，需要考察当 < 时， < 还是 >
分析 .根据实数大小关系的基本事实，只要考察 − 与0的大小关系.
解析
函数 = + ( ≠ )的定义域是R.∀， ∈ ，且 < ，
1 −2
< 0；③
1 −2
1 − 2
< 0；⑤ 1 − 2 1 − 2
>0；
>0；
⑥ 1 − 2 1 − 2 < 0.
能判断 在[, ]上为增函数的是函数的是①③⑤
；为减函数的是②④⑥
.
分析
由增函数、减函数的定义及不等式的性质，只要能判定对任意的
探究新知
视察() = 和() = 的图象的变化趋势
思考：() = ||
和 = −各
有怎样的单调性？
1、从左至右图象一直上升
−∞, +∞
2、在区间 ________上，随着的增
大()的值随着增大.
(-∞,0]
1、在 轴左侧是降落的，在区间 ______上，
()的值随着的增大而减小.
则 1 − 2 =
1
12 −1
1− 2ຫໍສະໝຸດ −1=22 −12
高中数学人教A版必修第一册第三章3.2.1《函数的单调性》课件(21张PPT)
的单调性证明.
数学抽象
数学建模
证明:定义域为(0,+∞)，V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2
p1
p2
k
V1
k V2
kV2 kV1 V1V2
k V2 V1
V1V2
数学运算
取值 作差
∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0, ∵V1<V2 ，∴V2-V1>0，
又k>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.
在( ,0)上单调递减
证明:x ,x ∈R且x <x 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
1 2 1 [x1-x2 ][f(x1)-f(x2)]<0 D.
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,
2
x1, x2∈[0,+∞),当x1< x2时,都有
f(x )-f(x )=(kx +b)-(kx +b)=k(x -x ) 函数f(x)在(1,2)上单调递减的是( )
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
2.数学思想：转化化归、数形结合、分类讨论 类比思想、函数与方程(不等式)思想
3.学科核心 数学抽象、逻辑推理、数学建模 素养： 直观想象、数学运算、数据分析
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作业布置：
1.课本第79页练习的第2、3题；
y
yn
任意性
y3 yy21
0 x1 x2 x3 xn x
二、深度学习——精确刻画“性质”
图形语言:
y