选修2-2第三章-复数全套学案
高中数学人教B版选修2-2《复数概念》优秀教案设计
概念深化 1. 当b ＝0时，复数就成为实数;当b ≠0时，a+bi 叫做虚数.当b ≠0且a ＝0时，bi 叫做纯虚数。
2.复数所构成的集合叫做复数集，常用C 表示，复数集即C ＝｛z|z ＝a+bi ，a ∈R ，b ∈R ｝。
3复数的分类：复数实数（b=0） 纯虚数 虚数（b ≠0）(a=0,b ≠0)非纯虚数(a ≠0，b ≠0)注意分清复数分类中的界限：设z ＝a+bi(a ，b ∈R)，(1)z ∈R b ＝0(2)z 是虚数b ≠0;(3)z 为纯虚数a ＝0且b ≠0;(4)z ＝0a ＝0且b ＝01.强调复数的实部与虚部都是实数2.两个复数相等:当且仅当它们实部和虚部分别相等.3.强调两个实数之间可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小1:启发学生对实部与虚部分别等于0时进行分析，看复数的变化.2.由实数的分类启发学生对复数尝试分类，教师总结补充3.探讨复数的构成，明了两要素:实部，虚部4.教师提问:实部、虚部一定为实数吗?什么时候两复数相等?学生思考后回答，教师补充5.由于实数可以表示在数轴上，所以两实数可以比较大小.教师提问:两复数间能比较大小吗?为什么?学生小组讨论后，由组长发言，教师提炼总结.学生初步接触复数,会造成认识上的空白,而这些内容正是为填补这些空白而预设的.这样安排,有利于学生循序渐进地从多方位认识复数、理解复数；符合学生的认知规律。
练习巩固 1.求下列复数的实部与虚部，并判断它们中哪些是实数、虚数、纯虚数?3+4i, -0.5i, 3， 02.求方程013=-x 的根，归纳代数基本定理1.学生练习2.教师启发:使用因式分解法转化为一次方程和二次方程分而解之.进一步联想和引申:是否四次方程在复数集内有四个根呢?五次方程呢?......1.巩固所学基本概念.2.了解代数基本定理.应用举例 例1实数x 取何值时，复 1.学生完成解答，教对重点的概念强化。
苏教版高中数学选修2-2第3章 3.3 复数的几何意义 学案
学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题．知识点一 复平面思考 实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应．梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点二 复数的几何意义 1．复数与点、向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )． 知识点三 复数加、减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.梳理 (1)复数加减法的几何意义(2)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．类型一 复数的几何意义命题角度1 复数与复平面内点的关系例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在： (1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方；(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 命题角度2 复数与复平面内的向量的关系例2 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是________．(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是________．答案 (1)0 (2)5－5i解析 (1)由复数的几何意义，可得 OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)，所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练2 (1)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为________．(2)复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________． 答案 (1)2－i (2)43解析 (1)复数2＋i 表示的点A (2,1)关于实轴对称的点为B (2，－1)，∴OB →对应的复数为2－i.(2)∵复数z 对应点Z (3,4)， ∴向量OZ →所在的直线的斜率为43.类型二 复数模及其几何意义的应用 例3 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形？ 解 (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝|－12＋32i|＝(－12)2＋(32)2＝1， 所以|z 1|>|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．反思与感悟 (1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．跟踪训练3 设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？解 方法一 由|z |＝|3＋4i|，得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 方法二 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|，得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆． 类型三 复数加、减法的几何意义例4 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数；②CA →表示的复数；③OB →表示的复数．解 ∵A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i. ①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i. ②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. (2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形．如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3. 在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3，∴∠AOC ＝30°. 同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1. 引申探究若将本例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，求|z 1＋z 2|. 解 如图，向量BA →表示的复数为z 1－z 2，∴|BA →|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC ＝30°，则OD →＝32，∴|OC →|＝3，OC →表示的复数为z 1＋z 2，∴|z 1＋z 2|＝ 3.反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则①四边形OACB 为平行四边形．②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形． ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形．④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练4 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)10 (2)(－∞，1) 解析 (1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ， ∴|OB →|＝12＋32＝10. (2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ， 由题意知a －1<0，即a <1.1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为________． 答案 －3i解析 OZ →＝(0，－3)，∴Z (0，－3)，复数Z ＝0＋(－3)i ＝－3i.2．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m ＝________. 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解得m ＝9.3．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________________． 答案 |1－5i|>|x －y i|>|y ＋2i| 解析 由3－4i ＝x ＋y i ， ∴x ＝3，y ＝－4.则|1－5i|＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝25， ∴|1－5i|>|x －y i|>|y ＋2i|.4．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于第________象限． 答案 四解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在平面内对应的点位于第四象限．5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________． 答案 5－2i解析 设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为(52，－1)，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．课时作业一、填空题1．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－3,1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.2．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于第________象限． 答案 二解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．3．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是3＋i ，点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB →对应的复数是________． 答案 －3＋i解析 向量OA →对应的复数是3＋i ，即A (3,1)，点A 关于虚轴的对称点为B (－3,1)，则向量OB →对应的复数是－3＋i.4．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →的坐标是________． 答案 (3,4)解析 复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →的坐标是(3,4)．5．若复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [－3，3]解析 复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2， 即1＋a 2≤4，即a 2≤3，可得a ∈[－3，3]．6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z ＝________. 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 答案 2 5解析 z 1＝1－i 对应的点为Z 1(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点为Z 2(3，－5)，由两点间距离公式，得|Z 1Z 2|＝(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.8．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－4a ＋5)＋(－b 2＋2b －6)i 所对应的点一定落在第________象限． 答案 四解析 复数对应点的坐标为(a 2－4a ＋5，－b 2＋2b －6)，∵a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1>0，－b 2＋2b －6＝－(b －1)2－5<0，∴复数对应点的坐标在第四象限．9．若复数z ＝(m ＋1)－(m －3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－1,3)解析 若z ＝(m ＋1)－(m －3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限，则(m ＋1)[－(m －3)]>0，即(m ＋1)(m －3)<0，解得－1<m <3.∴实数m 的取值范围是(－1,3)．10．在复平面内，AO →对应的复数是2＋i ，CO →对应的复数是－1－3i ，则CA →对应的复数为________． 答案 －3－4i解析 由复数的几何意义知AO →＝(2,1)， ∴OA →＝(－2，－1)，又CO →＝(－1，－3)，∴CA →＝CO →＋OA →＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)， ∴CA →对应的复数为－3－4i.11．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是____________． 答案 [322，3)解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2 ＝ 2a 2－2a ＋5 ＝ 2(a 2－a ＋14)＋92＝2(a －12)2＋92，因为－1<a <2. 所以|z |∈[322，3)． 二、解答题12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )， 则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ；BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ；AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2. 三、探究与拓展14．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面所对应的图形的面积为________． 答案 2π解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －i ＝x ＋y i －i ＝x ＋(y －1)i ，∴|z －i|＝x 2＋(y －1)2，由|z －i|≤2知x 2＋(y －1)2≤2，x 2＋(y －1)2≤2.∴复数z 对应的点(x ，y )构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积S ＝2π.故填2π.15．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. 所以点D 对应的复数为5.(2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210， 所以0<B <π2， 所以sin B ＝7210. 所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 所以平行四边形ABCD 的面积为7.。
人教B版高中数学选修2-2 第三章3.1.3复数的几何意义-教案
3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.3 复数的几何意义【提出问题】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．这说明了我们研究问题时要学会从代数和几何两个方面考虑问题。
我们知道，z=a+bi （a ，b ∈R ）这种代数形式表示复数。
那么，从几何的角度怎样表示复数呢？【解决问题】根据复数相等的定义，复数z=a+bi 被一个有序实数对（a ，b ）所唯一确定，而每一个有序实数对（a ，b ），在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z （a ，b ）（或一个向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）。
这就是说每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对。
【获得新知】这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi 和点Z （a ，b ）（或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）之间的一一对应关系。
点Z （a ，b ）或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 是复数z 的几何表示（图一）。
复数z=a+bi 一一对应↔ 有序实数对（a ，b ）一一对应↔ 点Z （a ，b ）图一建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。
在复平面内x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0，0）对应复数0。
设复数z=a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度叫做复数a+bi 的模（或绝对值），记作|a+bi|，如果b=0，则|a+bi|=|a|，这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。
由向量长度的计算公式，|a+bi|=√a 2+b 2.如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。
复数z 的共轭复数z̅表示。
当z=a+bi 时，则z̅=a-bi 。
当复数z=a+bi 的虚部b=0时有z=z̅。
也就是说，任意实数的共轭复数仍是它本身。
【教育资料】人教版高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学案3.1：数系的扩充与复数的概念(学生
数系的扩充与复数的概念__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部3．理解复平面、实轴、虚轴等概念．4．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．5．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．一．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C ＝{a ＋bi|a ，b ∈R|}中的数，即形如a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫做复数．其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝___________．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的___________与___________．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C ＝___________．二．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C ＝{a ＋bi|a ，b ∈R}中任取两个复数a ＋bi ，c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋bi 与c ＋di 相等的充要条件是___________．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．三．复数的分类(1)复数a ＋bi(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a≠0）. (2)集合表示：四．复平面、实轴、虚轴点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)可用点___________表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做___________，y 轴叫做___________，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0),它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示___________．五．复数的几何意义六．复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|且|z|＝___________．类型一.复数的概念例1：请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 练习1：复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？练习2：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？类型二.复数相等的条件例2：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .练习1：满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______. 类型三.复数的分类例3：设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R)，如果z 是纯虚数，求m 的值.练习1：已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i . 类型四.复数的几何意义例4：复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________________．练习1：实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：(1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．类型五.复数的模例5：已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．1.若复数2-b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数,则b 的值为( )A .-2B .1C .-1D .22.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则( )A .M ∪R=I B.(∁I M )∪R=IC.(∁I M )∩R=RD.M ∩(∁I R )=⌀3.若复数(x 2+y 2-4)+(x-y )i 是纯虚数,则点(x ,y )的轨迹是( )A .以原点为圆心,以2为半径的圆B .两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C .以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D .以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点,)[来源:14.若复数z=(m+2)+(m 2-9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( )A.-2B.3C.-3D.±35.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i6.已知0<a<2,复数z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是( )A.(1,) ) C.(1,3) D.(1,5)7. 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限８． 复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --９． 设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 １０．已知z 1=-4a+1+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R,z 1>z 2,则a 的值为____________.１１.已知复数z 1=x+yi,z 2=x+(x-3y)i,x,y ∈R.若z 1=z 2,且|z 1|=,则z 1=____________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.若(x+y)i=x-1(x,y ∈R),则2x+y的值为( )A. B.2 C.0 D.12.已知集合M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},N={-1,3},且M ∩N={3},则实数m 的值为( )A.4B.-1C.-1或4D.-1或63.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i 2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i5.已知复数z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z 对应点的轨迹为( )A .一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆6.已知在△ABC 中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.7.在复平面内,若复数z=(m 2-m-2)+(m 2-3m+2)i 的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.14．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．。
实验部高二数学选修2-2第三章学案 精品
3.1.1 3.1.2 实数系与复数的概念理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解1.问题一：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？ 3.问题二：虚数i 的含义________________4.问题三：复数的概念________________________________________________5.问题四：两个复数能比较大小吗？6.问题五：如何定义两个复数相等？7．数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
())4,80,6,,291,7,0i i i i i -+--⨯2．若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？3.已知i 是虚数单位，复数i m m m m z )43()82(22--+--=，当m 取何实数时，z 是： （1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零题型1 复数的概念运用实数m 取什么值时，复数 （1） 是实数 （2） 是虚数 （3） 是纯虚数题型2 两个复数相等[例2 ] 求适合下列方程的x ，y （1）（x+2y ）-i=6x+（x-y ）i; （2）（x+y+1）-（x-y+2）i=01实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是: (1) 实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？2 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .()()22815514z m m m m i =-++--3.解方程040102=+-x x1. a=0是“复数a+bi （a ，b ∈R ）为纯虚数”的 [ ] A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2. 设全集I={复数}，集合R={实数}，M={纯虚数}，则下列各式中正确的是3. 复数a+bi(a ，b ∈R)为纯虚数是a=0的[ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 如果虚数2+x+6)+(lgx)i 的实部为正数，则x 的取值区间是 [ ]A ．，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，3) 5. 如果x ，y ∈R 且(2x 则x=______， y=_____．6. 复数y+(y 2+y-2)i(y ∈R)，当y_______时为虚数，当y_______时为实数．7. _______叫做虚数单位，i 2=_______．8. 设A={实数}，B={复数}，则A ∩B=_______；A ∪B=_______． 9. 若复数z ＝sin2α－i(1－cos2α)是纯虚数，则α＝________. k π＋π2(k ∈Z)10. 当实数m 取什么值时，复数(2m 2+3m-1)+(m 2+5m+8)i 的 (1)实部等于1? (2)虚部等于2?(3)实部与虚部的和是8m?11. 设m ∈R ，复数z ＝2m 2－3m －2＋(m 2－3m ＋2)i.试求m 为何值时，z 分别为：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．12.求适合下列方程的x 和y （x ，y 都是实数）的值 (1)i i y x y x 33)32(2-=++-）（ (2)(3x+y+3)=(x-y-3)i (3)(x+y-3)+(x-y-1)i=0A M R =IB M R =IC R M =ID R M =I ．∪ ．∪．∪ ．∪3.1.3 复数的几何意义了解复数的代数表示法及其几何意义教学重点：了解复数的代数表示法及其几何意义。
人教版高二数学选修2-2：3.1.1数系的扩充和复数的概念学案(学生用)全面版
数系的扩大和复数的观点【学习目标】1．理解复数的相关观点以及符号表示；2．认识复数的代数表示方法及几何意义；3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件.【要点难点】要点：复数的相关观点以及符号表示.难点：认识复数的代数表示方法及几何意义，复数的分类及复数相等的充要条件．【使用说明与学法指导】1. 课前用 20 分钟预习课本P102- 104内容 . 并达成书籍上练、习题及导教案上的问题导学.2.独立思虑，仔细限时达成，规范书写. 课上小组合作研究，答疑解惑 .【问题导学】1．怎样引入数i？2．复数的观点？3.相等复数？注意：两个复数中如有一个是虚数，则它们不可以比较大小.【合作研究】问题 1：请说出复数(1)-3+2 i , (2)-5 i , (3)- 3 - 5 i的实部和虚部.问题 2：a分别取什么值时，复数za 6a22a 15 i是（1）实数；（ 2）虚数；（ 3）实数a2a3纯虚数 .问题 3：设z1m22m 3 m24m 3 im R ，z2 5 3i，当m 取何值时，（ 1）z1z2；（2） z10 .【深入提升】1. 已知 M= 1,(m22m)(m2 m 2)i ，P=1,1,4i ，若 M P P ，务实数 m 的值 .2.实数 m 为什么值时，复数z lg(m 2 2 m 1)(m23m2)i是:(1)实数 ?(2)虚数 ?(3)纯虚数?3.若复数zx 1 i lg( x 2 2 x)(x R) 是虚数，则实数x 的取值范围是（）x32A., 1 1,B.2,0 C.2, 11,0D.-2,33, 11,0224.已知复数z a 2 a 6a 2 3a 10 i aR 知足 zi ＞ 0 或 zi ＜0，求的 a 值 .a 3【学习评论】●自我评论 你达成本节导教案的状况为（ ） .A. 很好B. 较好C.一般 D.较差●当堂检测A 组（你必定行） ：1. 实数 m 取什么数值时，复数z m 1 (m 1)i 是实数（）A ．0B ．1C ． 2D ． 32. 假如复数 a bi 与 c di 的和是纯虚数，则有（）A ． b d 0 且 a c 0B ． b d 0 且 a c 0C ． a d 0 且 b d 0D ． b c 0 且 b d3. 假如 za 2a2(a 2 3a 2)i 为实数 , 那么实数 a 的值为（）A ．1或 2B． 1或2C ．1或 2D ． 1或 2 B 组（你深信你能行） ：4. 21)23x 2)i 是纯虚数，则实数x 的值是 .若 ( x (x5. 若 ( x y) ( y 1)i (2 x 3y) (2 y 1)i ，则实数 x = ； y =.C 组（我对你很有吸引力哟） ：6. 已知 i 是虚数单位，复数 z m 2 (1 i) m(23i ) 4(2i ) ，当 m 取何实数时， z 是：（ 1）实数；（ 2） 虚数；（ 3）纯虚数；（4）零.【小结与反省】你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
人教版高中选修(B版)2-2第三章数系的扩充与复数教学设计
人教版高中选修(B版)2-2第三章数系的扩充与复数教学设计一、教学目标通过本章教学，学生应该能够：1.了解有理数系、实数系、和复数系的概念及其性质；2.掌握复数的基本概念和运算法则；3.学会解一元二次方程，并能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容2.1 数系的扩充1.实数系的性质及其表示方法2.有理数与无理数的定义3.实数系的扩充2.2 复数的概念1.复数的定义2.复数的表示3.复数的实部、虚部、共轭和模2.3 复数的运算1.复数的四则运算2.复数的乘法法则3.复数的除法法则2.4 一元二次方程1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的解法3.使用一元二次方程解决实际问题三、教学方法本章教学以问题导向式为主导，通过引入问题的方式调动学生的学习兴趣。
同时，采用师生互动、小组合作、课堂演示等方式使学生主动参与教学过程，增强学生的学习积极性。
四、教学重点和难点4.1 教学重点1.复数的概念及其运算法则2.一元二次方程的解法4.2 教学难点1.复数概念的理解与掌握2.一元二次方程解法的灵活运用五、课时安排本章教学共分为5节课，分别安排为：课时教学内容授课方式第一节课数系的扩充讲授第二节课复数的基本概念讲授与小组讨论第三节课复数的运算讲授与课堂演示第四节课一元二次方程的解法讲授与课堂练习第五节课实际问题的解决学生小组探究与课堂汇报六、教学资源1.电子课件2.实验器材七、教学评估1.课堂表现2.课后作业3.期末考试。
高中数学教案选修2-2《第3章 数系的扩充与复数的引入》最新修正版
目标定位：数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需要．复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充．《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练，从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用，有助于发展学生的创新意识．引进虚数，把实数集扩充到复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩充．虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后，在解决实际问题中才得到广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固了下来．复数与平面向量有着密切的联系．复数的向量形式是它的几何意义之一；借助向量，我们可以得到复数的加法法则，并赋予其几何意义；复数减法的几何意义与向量减法也是一致的．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．同时，复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能．数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容，突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义．教材解读：复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．它们是数学思维能力的具体体现．数系的扩充与复数的引入具体地综合体现了上述数学思维过程．这些使得学生可以在以往具体经历各种数学思维方式的基础上，在更高层次上加以理解．本章教学内容虽然不多，但中学阶段重要的数学思想方法都有所体现．时，常用到待定系数法建立相应的方程组来解决．这充分体现了转化化归思想和方程思想．复数包括实数和虚数两部分，虚数还分纯虚数和非纯虚数．解决与复数概念有关的问题时，对虚部b的讨论十分关键．要合理地加以分类讨论，要注意不重复且不遗漏．复数的四则运算可类比实数运算来学习，但它不是实数运算合情推理的结果，而是一种“规定”，是新的定义．复数的四则运算本身也是一个建构的过程，其前提是对虚数单位i的两个规定，从而形成了一个具有公理化结构特点的小系统．公理化思想的有机渗透，对学生体会数学精神，感悟数学本质很有教育价值．对本章的教学提出以下建议：1．数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．教学中，应突出数系的扩充过程，让学生通过回忆以往的学习历程，了解数集的每一次扩充，既是客观实际的需要，又是数学内部发展的需要．从数的运算和解方程的角度感悟“实数不够用了”，从而理解引入虚数的必要性．2．复数的运算是一种新的规定，它是数学体系建构过程中的重要组成部分．学生通过类比归纳、运算求解，进一步体会在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾，有利于形成对数学较为完整的认识．3．在复数运算的教学中，可以类比多项式的运算法则来理解和记忆．应注意避免烦琐的计算与技巧训练．对于有兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3＝1的根，介绍代数学基本定理等．4．复数的几何意义和复数加减法的几何意义，可结合平面解析几何和平面向量中的有关知识来学习，这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．。
人教版高中数学高二选修2-2第三章《数系的扩充与复数的概念》导学案(复习)
第三章《数系的扩充与复数的概念》导学案（复习） 考试大纲1．了解复数的基本概念；2．理解复数的几何意义，并且会灵活运用；3．掌握复数的四则运算，会复数的运算律和加减法的几何意义.典型例题精析专题一、复数的基本概念复数的分类和复数的实虚部的概念，要区分清楚，特别是虚数和纯虚数的区分，注意 复数不能比较大小的，如果两个复数能够比较大小，那么这两个复数一定都是实数.结合已有的知识做出灵活处理.注意格式和书写的规范.例1（1） 设复数z ＝(a ＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1 C. 2 D ．－ 3（2）若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－2例2 设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，试求a 的取值范围．例3 .已知R m ∈，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+-+--，当m 为何值时；（1）R z ∈；（2）零；（3）虚数；（4）纯虚数；（5）z 对应的点在直线x+y=0上.专题二、复数的四则运算及其灵活运用灵活运用复数的四则运算，掌握复数的加法和减法的几何意义，并且会灵活运用于解题. 例4 已知23||()2i z z z i i -++=+，其中z 是z 的共轭复数，求复数z .例 5(1)已知关于x 方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b ，求实数b a ,的值；(2)已知f(z)=|1+z |－z ，且f(－z )=10+3i ，求复数z .．专题三、综合运用例6 等差数列{}n a 的前n 项和为13193n S a i S i =+=+，，．(i 是虚数单位) （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()n n S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．达标练习一、选择题1．200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝（ ）A ．2ｉB ．－1＋ｉC ．1＋ｉD ．12．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）.A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －2 3．若cos isin z θθ=-（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ）A ．0B ．2π C ．π D ．2π 4．若∈+=-b a i b ii a ,,2其中R ，i 是虚数单位，则a b -的值为（ ） A. －1 B. －3 C. 3 D. 15.复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A. 23m < B. 1m < C. 213m << D. 1m >6.已知复数1z i =+，则2z =（ ） A ． i 2- B ．i 2 C ． i -1 D ． i +17． “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A.必要不充分条件 B .充分不必要条件C .充要条件D .不充分不必要条件8.在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点,则=（ ） A.2 B.2 C.10 D. 4 二、填空题9．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ． 10.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于第 象限.11.在复平面内, 复数1 + i 与31+-i 分别对应向量和, 其中O 为坐标原点,则= .12.设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于 2z 3z 613z 1i,_______.z 1-+=++.已知复数则复数的模为 14. i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）15 . 已知复数3||,121=-=z i z ，那么||21z z -的最大值是 .参考答案例 1 （1） z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，据条件有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝02a ＜0，∴a ＝－1. A（2） 解法1：由x 2－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A.解法2：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；x ＝－1时，原复数为0不满足，排除B ，故选A.A例2 解：设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，由(1)得x <0，y >0.由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝8＋a i.即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.由复数相等得，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 解得－6≤a ＜0.例3 解：（1）当(m+3)(m-1)=0，即m=-3或m=1时，R z ∈（2）当0)1)(3()1)(2(=-++--m m m m 时，z 对应的点在直线x+y=0上 解得211-==m m 或 例4 解：由已知得 2||()1z z z i i ++=-设,(,)z x yi x y R =+∈，代入上式得2221x y xi i ++=- 22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 故复数z为122-± 例5 解：（1）∵ 关于x 方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b ，∴ 2(6)90b i b ai -+++=,即269()0b b a b i -++-=∴ 26900b b a b ⎧-+=⎨-=⎩，解得：3a b ==（2）设z x yi =+(x 、)y R ∈,代入,2z bi a z =--得：|33|2||x yi i x yi ---=+ ∴=化简，整理得：22(1)(1)8x y ++-=∴ 复数z 对应的点的轨迹是以(1,1)P -为圆心，,OP =∴min ||z R OP =-22(1)(1)80y x x y x =-⎧⎪++-=⎨⎪>⎩解得：11x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 当1z i =-时，min ||z例6 解：（Ⅰ）由已知得1113393a i a d i =+⎧⎨+=+⎩，，2d ∴=， 故21()n n a n i S n n i =-+=+，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S b n i n==+． 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2()()()q i p i r i +=++． 2()(2)0q pr q p r i ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾． 所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列． 达标练习1． D 2. A 3 .B 4 .A 5 .A 6.C 7.A 8.B9．310．四 解析：因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限. 11．2212．解析 ：可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===± 13．214．答案：238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++= 15．23+。
人教版数学高一选修2-2第三章第二节《复数》教案
复数【考纲要求】1.复数的概念(B)2.复数的四则运算(B)3.复数的几何意义(A)【备考方向】1.了解数系的扩充过程，理解i 的含义，掌握复数相等的充要条件及复数的四则运算，注意与实数的四则运算进行比较.2.了解复数的几何表示以及两个代数形式的复数的加法和减法运算的几何意义，并能用几何意义对问题做初步的分析.3.理解复数的模的概念及其几何意义，并会简单运用.4.类比思想和数形结合思想的运用.【高考风向标】1.(08年2)ii -+11表示为),(R b a bi a ∈+的形式，则b a += . 2.(09年1)若复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 .3.(10年2)设复数z 满足i i z 46)32(+=-（其中i 是虚数单位），则z 的模为 .4.(11年3)设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是 .5.(12年3)设a b ∈R ，，i i bi a 21711--=+（i 是虚数单位），则a b +的值为 . 6. (13年2)设2)2(i z -=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 .7.(14年2)已知复数2)25(i z +=(i 是虚数单位),则z 的实部为 . 8.(13年全国卷/考纲题)若复数z 满足i z i 34)43(+=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为 .【例题讲解】例1已知复数)()32(1)2(2R m i m m m m m z ∈-++--=,当m 为何值时, (1)R z ∈;(2)z 是纯虚数;(3)z 对应的点位于复平面的第二象限;(4)z 对应的点在直线03=++y x 上.例2(1)若复数i z R a ai z 43),(221-=∈+=，且21z z +是实数，则21z z = .(2)若复数i z R a ai z 43),(221-=∈+=，且21z z 是纯虚数，则1z = . (3)若复数),(11,122R b a i z z b az z i z ∈-=+-+++=，则a = ，b = . (4)复数201211i ii +-+（i 是虚数单位）对应的点位于复平面的第 象限.例3(1)已知复数z 满足1=z ，则max 22i z --= .变 (1)已知复数z 满足122=-+i z ，则min 22i z --= .(2)已知复数z 满足122≤-+i z ，则min 22i z --= .(2)若平行四边形ABCD 中,点C B A ,,分别对应复数i i i 53,43,4-++,则点D 对应的复数为 .【巩固练习】1.设R y x ∈,,在复数集内因式分解22y x += .2.若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则bc = .3.设复数i +2与i+31在复平面内对应的点分别是点B A ,，则AOB ∠= . 4.已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且32=-z ，则max )(x y = . 5.在复平面内，若复数z 满足i z z -=+1，则z 所对应的点的集合构成的图形是什么？。
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§3.1.1 数系的扩充与复数的概念理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.6062 复习1：实数系、数系的扩充脉络是：→ → → ， 用集合符号表示为： ⊆ ⊆ ⊆复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）： （1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复数的定义 问题：方程210x +=的解是什么？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.a bi +=c di + ⇔ ； a bi +=0 ⇔ .注意:两复数 比较大小.※ 典型例题例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？小结：数集的关系：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.变式：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．0a =B ．0a =且0b ≠C ．0a ≠且0b =D ．0a ≠且0b ≠小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.※ 动手试试练1. 若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，求,x y 的值.练2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.三、总结提升※ 学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.※ 知识拓展复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =-++是实数（ ）A ．0B ．1-C ． 2-D ．3- 2. 如果复数a bi +与c di +的和是纯虚数，则有（ ）A ．0b d +=且0a c +≠B ．0b d +≠且0a c +=C ．0a d +=且0b d +≠D ．0b c +=且0b d +≠3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,那么实数a 的值为（ ）A ．1或2-B ．1-或2C ．1或2D ．1-或2-4.若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，则实数 x = ；y =.1. 求适合下列方程的实数与的值: (1)(32)(5)172x y x y i i ++-=- (2)(3)(4)0xy x i +-+-=2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.(1)实部为 (2)虚部为 (3)虚部为§3.1.2 复数的几何意义理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.6264复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应. 新知：1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u rOZ ，规定相等的向量表示同一复数.3. 复数的模向量OZ u u u r的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知: 22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.※ 典型例题例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b .例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？ 小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r.※ 动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.练 2. 在复平面内指出与复数112z i =+，2z =，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z .试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.三、总结提升 ※ 学习小结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义； 3．复数的模.※ 知识拓展※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ） A ．a bi +是实数 B ．a bi +是虚数 C ．a bi +是复数 D ．0a bi +≠3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形4. 若1z =，则||z =5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点，分别指出下列条件下点P 的位置：（1）0,0a b >> （2）0,0a b <> （3）0,0a b =≤ （4）0b >1．实数取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？2. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r对应的复数是2i +（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB u u u r对应的复数.（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 学习过程一、课前准备6667 复习1：试判断下列复数14,72,6,,20,7,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.复习2：求复数2log 23z i =+的模二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复数代数形式的加减运算 规定：复数的加法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么。
()()()()a bi c di a c b d i +++=+++很明显，两个复数的和仍然是 . 问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z +=+123123()()z z z z z z ++=++探究任务二：复数加法的几何意义问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？由平面向量的坐标运算，有OZ u u u r=12OZ OZ +u u u u r u u u u r =（ ） 新知：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）试试：计算（1）(14)(72)i i +-+= （2）(72)(14)i i -++= （3）[(32)(43)](5)i i i --++++= （4）(32)(43)(5)]i i i --++++[= 反思：复数的加法运算即是：探究任务三：复数减法的几何意义问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？ 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.新知：复数的减法法则为： ()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-由此可见，两个复数的差是一个确定的复数. 复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.※ 典型例题例1 计算 (56)(2)(34)i i i -+---+变式：计算（1）()845i -+（2）()543i i -- （3())29i i +---小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求：（1）AO u u u r 表示的复数；（2）CA u u u r 表示的复数； （3）B 点对应的复数.变式： ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：B A AB z z =-u u u r※ 动手试试练1. 计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）5(32)i -+； （3）(34)(2)(15)i i i --++--； （4）(2)(23)4i i i --++练2. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA u u u r 与OB u u u r ，其中O 是原点，求向量AB u u u r ，BA u u u r对应的复数.三、总结提升※ 学习小结两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.※ 知识拓展复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件2. 设O 是原点，向量OA u u u r ，OB u u ur 对应的复数分别为23i -，32i-+，那么向量BA u u u r对应的复数是（ ） A ．55i -+ B ．55i -- C ．55i + D ．55i - 3. 当213m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4. 2i i +在复平面内表示的点在第 象限. 5. 已知134z i =+，点2z 和点1z 关于实轴对称，点3z 和点2z 关于虚轴对称，点4z 和点2z 关于原点对称，则2z = ；3z = ；4z = 课后作业1. 计算：（1）(65)(32)i i -++；（2）5(22)i i -+；（3）2213()(1)()3324i i i ++--+；（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-2. 如图的向量OZ u u u r对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量：（1）1z +；（2）z i -；（3）(2)z i +-§3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算. 学习过程一、课前准备（预习教材P 68~ P 70，找出疑惑之处） 复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-= (32)(3)a b a b +--=二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算 规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么 2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++=()()ac bd ad bc i -++即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。