选修2-2第三章-复数全套学案

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念

理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.

6062 复习1：实数系、数系的扩充脉络是：

→ → → ， 用集合符号表示为： ? ? ?

复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与?的关系）： （1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复数的定义 问题：方程210x +=的解是什么？

为了解决此问题，我们定义21i i i ?==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .

新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为

z a bi =+（复数的代数形式）

，其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.

试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0

反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.

对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；

探究任务二：复数的相等

若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.

a bi +=c di + ? ； a bi +=0 ? .

注意:两复数 比较大小.

※ 典型例题

例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

变式：已知复数

222

76

(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）

纯虚数？

小结：数集的关系：

0,0)0)0,0)a a ??

≠≠?

?≠??≠=??

实数 (b=0)

复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b

例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的

实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：

,,a b k 的值.

变式：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z 为纯虚数的

必要不充分条件是（ ）

A ．0a =

B ．0a =且0b ≠

C ．0a ≠且0b =

D ．0a ≠且0b ≠

小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.

※ 动手试试

练1. 若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，求,x y 的值.

练2. 已知i 是虚数单位，复数

2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，

z 是：

（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 复数的有关概念；

2. 两复数相等的充要条件；

3. 数集的扩充.

※ 知识拓展

复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的

运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同

.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =-++是实数（ ）

A ．0

B ．1-

C ． 2-

D ．3- 2. 如果复数a bi +与c di +的和是纯虚数，则有（ ）

A ．0b d +=且0a c +≠

B ．0b d +≠且0a c +=

C ．0a d +=且0b d +≠

D ．0b c +=且0b d +≠

3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,那么实数a 的值为（ ）

A ．1或2-

B ．1-或2

C ．1或2

D ．1-或2-

4.若2

2

(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值

是

5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，则实数 x = ；y =

.

1. 求适合下列方程的实数与的值: (1)(32)(5)172x y x y i i ++-=- (2)(3)(4)0x

y x i +-+-=

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举

出例子；若不存在,请说明理由.

(1)实部为 (2)虚部为 (3)虚部为

§3.1.2 复数的几何意义

理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量

.

6264

复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？

复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复平面

问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？

分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.

结论：复数与平面内的点或序实数一一对应. 新知：

1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2. 复数的几何意义:

复数z a bi =+←???→一一对应

复平面内的点(,)Z a b ；

复数z a bi =+←???→一一对应

平面向量OZ u u u r ；

复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应

平面向量OZ u u u r .

注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u r

OZ ，

规定相等的向量表示同一复数.

3. 复数的模

向量OZ u u u r

的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它

的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知: 22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈

试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴

上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数

反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.

※ 典型例题

例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，

i ，29i --，7i ，0分别对应的点.

变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).

小结：

复数z a bi =+←???→一一对应

复平面内的点(,)Z a b .

例2已知复数222

76(56)()1

a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线

0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）

变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？ 小结：复数z a bi =+←???→一一对应

平面向量OZ u u u r

.

※ 动手试试

练1. 在复平面内画出

23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.

练 2. 在复平面内指出与复数112z i =+

，2z =

，3z =，42z i =-+对应的点

1Z ，2Z ，3Z ，4Z .试判断这4个点是否在同一个圆

上?并证明你的结论.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 复平面的定义；

2. 复数的几何意义； 3．复数的模.

※ 知识拓展

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

2. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ） A ．a bi +是实数 B ．a bi +是虚数 C ．a bi +是复数 D ．0a bi +≠

3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ?是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形

4. 若1z =，则||z =

5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点，分别指出下列条件下点P 的位置：

（1）0,0a b >> （2）0,0a b <> （3）0,0a b =≤ （4）0b >

1．实数取什么值时，复平面内表示复数

22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于

第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？

2. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r

对应的复数是

2i +（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求

向量OB u u u r

对应的复数.（2）如果（1）中点B 关于虚

轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.

§3.2.1 复数代数形式的加减运算

及其几何意义

学习目标

掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 学习过程

一、课前准备

6667 复习1：试判断下列复数

14,72,6,,20,7,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.

复习2：求复数2log 23z i =+的模

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复数代数形式的加减运算 规定：复数的加法法则如下：

设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么。 ()()()()a bi c di a c b d i +++=+++

很明显，两个复数的和仍然是 . 问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？

新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z +=+

123123()()z z z z z z ++=++

探究任务二：复数加法的几何意义

问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

由平面向量的坐标运算，有OZ u u u r

=12OZ OZ +u u u u r u u u u r =

（ ） 新知：

复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）