第九章 投资组合理论 portfolio selection theory

一、投资组合理论的基本假设 投资组合理论（马科雅茨）基于下述的假设发 展而成： （一）假设证券市场是有效的，投资者能得知 证券市场上多种证券收益与风险的变动及其原 因。 （二）假设投资者都是风险厌恶者，都希望得 到较高的收益率，如果要他们随承受较大的风 险则必须以得到较高的预期收益作为补偿；
投资组合理论的基本假设（续)
1.4 投资收益的概率分布
单只股票的投资收益用正态分布来描述不是很合 适。但可以假设连续复利年收益率服从正态分布。 设r为股票投资的连续复利年收益率，则有效年 收益率 r = er −1 ， re ≥ −100% ，r e 服从 e 对数正态分布，且排除了负价格的可能性。
第二节 投资组合的收益与风险
i,k 2 2 2 2
= x 12 σ = x 12 σ
+ 2 x1 x 2σ
12
+ 2 x 1 x 2 ρ 12 σ 1σ 2 ,
x 1 + x 2 = 1,
ρ ≤1
2.4 组合收益率的概率分布
即使单只股票的投资收益率不服从正态分布， 根据中心极限定理，一个有效分散化的投资组 合的投资收益率近似地服从正态分布。（但中 心极限定理要求各随机变量互不相关，然而组 合中各股票存在一定程度的相关性。） 但实证发现，对于一个有效分散化的投资组合， 若持有时间不长，其收益率近似地服从正态分 布；当持有期限在1个月以上时，其收益率近 似地服从对数正态分布。
2 σ A − ρ AB ⋅ σ A ⋅ σ B xB = 2 2 σ A + σ B − 2 ρ AB ⋅ σ A ⋅ σ B
第三节 Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ 投资组合理论
３.1 ３.2 ３.3 ３.4 ３.5 假设条件 可行集或机会集 有效边界 投资者效用与无差异曲线 最优投资组合
３.１投资组合理论的假设条件
投资组合理论的发展 发展（ 投资组合理论的发展（三）
Richard Roll（1976）对CAPM提出了批 评，认为这一模型永远无法实证检验； Stephen Ross（1976）突破了CAPM，提 Ross 1976 CAPM 出了套利定价模型（arbitrage pricing model , APT)； Fama（1970）提出了有效市场假说。 资本市场的混沌（Chaos）(分形）假说。
1.1 历史收益率
1.1.1 单期历史收益率
w 0 为期初值
T
w1 − w 0 r = × 100 % w0 , w 1 为期末值
1.1.2 多期：历史平均收益率
r = (∏ (1 + rt ))
t =1
1/ T
−1
rt为t期的单期收益率 。
1.2 预期收益率
投资者在作投资决策时，一般无法事先确切 地知道期末财富值的大小，因此投资收益率 存在着一定的不确定性。 预期收益率的衡量：收益率的期望值、中值、 众数。目前，期望值的使用最为广泛。 情景分析（scenario analysis）
i ,k
σ iσ
k
投资组合的风险（方差或标准差）并非是构成 组合的各种证券的风险（方差或标准差）的加 权平均数。
两种证券组合的风险：(n=2)
σ
=
2 p
= Var ( r p ) = Var ( ∑ x i ri )
2 2
∑∑
2 1 2 1
i =1 k =1
xi x kσ
2 + x2σ 2 + x2σ
投资组合理论的发展 发展（ 投资组合理论的发展（二）
Harry Markowiz（1952）：Portfolio Selection，标 志着现代投资组合理论（the modern portfolio theory，MPT）的开端； William Sharpe（1963）提出了均值-方差模型的简 化方法-----单指数模型（single-index model）； William Sharpe（1964）、John Lintner及（1965） Jan Mossin（1966）提出了市场处于均衡状态条件 下的定价模型—CAPM；
（三）风险以预期收益率的方差或标准差表示； （四）假定投资者根据证券的预期收益率和标 准差事选择证券组合，则在风险一定的情况下， 他们希望预期利益率最高，或在预期收益率一 定的情况下，希望风险最小； （五）假定多种证券之间的收益是相关的，在 得知一证券与其它各证券的相关系数的前提， 可以选择得最低风险的证券组合
2.1 历史收益率
设 ri为股票 i 的历史收益率，则投资组 合P的历史收益率为：
rp = ∑ xi ri ,
∑x
i
=1
xi为投向证券 i的资金比例。
2.2 期望收益率
µ p = E ( r p ) = E ( ∑ x i ri )
=
∑
x i E ( ri ) =
∑
xi µ i
投资组合的期望收益率是构成组合的各 种证券的期望收益率的加权平均数，权 数为各证券在组合中的市场价值比重。
投资组合的两种替代表示（1）不同资产的投 资比重 ；（2）“期望收益率-标 准差”图上的一个点。 P = ( x1 , x2 ,L xn ) 以（2）的表示方式，证券组合收益风险可能 的构成点，组成曲线（或面积）即为可行域。
可行域与有效； 三种或三种以上证券组合的可行集的形 状呈伞形的曲面，所有可能的组合位于 可行集的内部或边界上。证券组合投资 的可行域
五、流通风险。流通风险常与偶然事件相关联。当有 关公司的坏消息进入市场时，有时会立即引起轩然大 波，投资者争先恐后抛售股票，致使投资者无法及时 脱手持有的股票。 六、违约风险。一般发生在投资“固定收入证券”上。 发行时都承诺在规定的期限内支付约定的利息或股息， 并约定还本事宜。然而当公司现金周转不灵，财务出 现危机时，这种事先的承诺可能就无法兑现了。 七、利率风险。利率变化对股票，债券的价格都有影 响。相对而言债券价格更多地受到利率的影响。如 1998年12月7日降息，当天债市高开高走，债券价格 最多上涨了2.6元多，而股票因处于弱市，仅在开盘半 小时内有表现，以后一路走低。
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 历史收益率 期望收益率 组合的风险 组合收益率的概率分布 相关系数对投资组合风险的影响
定义：证券投资组合（Portfolio）
一、证券组合的含义:证券组合由一种以上的 有价证券组成，如包含各种股票、债券、存款 单等，是指个人或机构投资者所持有的各种有 价证券的总称。 二、构建证券投资组合的原因 (1)降低风险。 (2)实现收益最大化 三、如何确定不同证券或资产上的投资比例， 以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就 是投资组合理论要解决的问题。
2.5 相关系数对投资组合风险的影响
两种证券组合
B 收益
ρ=1
ρ=-1
B 收益
A 收益
A 收益
B 收益 ρ=0 A 收益
一般意义下的两证券最小风险组合
该组合的投资比例为xA,xB，则有： 2 σ B − ρ AB ⋅ σ A ⋅ σ B xA = 2 2 σ A + σ B − 2 ρ AB ⋅ σ A ⋅ σ B
2.3 组合的风险
σ
= = =
2 p n i=1
= Var ( r p ) = Var ( ∑ x i r i )
n k =1
∑ ∑ ∑ ∑
x i x kσ
2 i
i ,k n
x i2 σ x i2 σ
+ 2∑ + 2∑
n
i= 2
∑
k <i
xi x kσ xixk ρ
i ,k
2 i
i= 2
∑
k <i
一、市场风险：这是金融投资中最常见，也是 最普通的风险。市场风险涉及股票、债券、期 货期权、票据、外币、基金等有价证券及衍生 品，也涉及房地产、贵金属、国际贸易等有形 投资，资产投资及项目投资。这种风险来自于 市场买卖双方供求不平衡引起的价格波动，这 种波动使得投资者在投资到期时可能得不到投 资决策时所预期的收益，甚至造成本金损失。
投资的“可行集” 机会集” 3.2 投资的“可行集”或“机会集”
所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集 合。可供投资的资产众多，可供选择的投资组 合无穷。把所有可供选择的投资组合所构成的 集合，称为投资的“可行集”（feasible set） ） 可行集”
或“机会集”（opportunity set）。 ）。 机会集”
∂L ∂L ∂L = 0, (i = 1,..., n); = 0; =0 ∂xi ∂λ1 ∂λ2
有效边界的形状
1. 有效边界是一条向右上方倾斜的曲线， 反映“高风险、高收益”。 2. 有效边界是一条上凸的曲线。 3. 有效边界不可能有凹陷的地方。为什 么？ 4.构成组合的证券间的相关系数越小， 投资的有效边界就越是弯曲得厉害。
有效边界：最小方差集中位于整体最小方差组合上方的部
分。最小方差集中位于整体最小方差组合下方的的相应部 分，对于给定的风险，有最小的收益。
有效边界的构建
min σ = ∑∑ xi x jσ ij
{ x} 2 P
s.t.
µ P = ∑ xi µ i
i =1
n
n
∑x
i =1
i
=1
L = ∑∑ xi x jσ ij − λ1 ( µ p − ∑ xi µ i ) − λ2 (1 − ∑ xi )
第九章 投资组合理论
portfolio selection theory
第一节 单种证券的收益与风险衡量 第二节 投资组合的收益与风险 第三节 投资组合理论 第四节 无风险借贷的引入对有效边界的影响
引言：投资组合理论的发展 发展（ 引言：投资组合理论的发展（一）
分散投资的理念早已存在，如我们平时所说 的“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。 但传统的投资管理尽管管理的也是多种证券 构成的组合，但其关注的是证券个体，是个 体管理的简单集合。投资组合管理将组合作 为一个整体，关注的是组合整体的收益与风 险的权衡。 Hicks（1935）提出资产选择问题，投资有风 险，风险可以分散；