现代光学的基础

费马原理是一个描述光线传播行为的原理：光线沿光程为平稳值的路径传播。

即：⎰-PQds r n 平均值)(数学表达式：⎰==PQl L ds r n QP L )()()( 0)(L 0)(==⎰l ds r m PQδ或2.光程性原理求由聚光纤维薄片制成的微透镜焦距公式 利用物像等光程性有()(''QOQL QMQ L =22'22''')()()(hx nh s n MQ n QM n QMQ L +∆-++∆+=+=x n ns QOQ L '')(+=由于是薄片微透镜，所以x r s ,,<<∆于是)1()(),1()(,22222222∆-+≈+∆-∆++≈+∆+∆≈xx r x h x ss r s hs r h代入光程方程 x n ns xx r x n ss r ns '2'2)1()1(+=∆-++∆++)('恰巧被消除∆∆--=∆+x xr n s s r nxx r nss r n--=+'rn n xn sn -=+''令∞→s 像方焦距或称后焦距 r nn nf -='''令∞→'s 物方焦距或称前焦距 r nnf -='222100sin .n n n A N -==θ（0θ为外界入射光束与轴线之间的最大孔径角）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t EH H t H E E 0000εεμμ平面波 )cos(),(0ϕω-⋅-=r k t A t r U)0设(),(0~=⋅=⋅-⋅ϕt k i r k i e Ae t r U复振幅 )cos cos (cos )(~,U z y x ik z k y k x k i rk i AeAeAe t r z y x γβα++++⋅===）（球面波 )cos(),(01ϕω-⋅-=r k t r a t r U )0(),(01~=⋅=-⋅ϕω设ti rk i eera t r U复振幅22222211~)(zy x k i rik ezy x a era P U ++⋅⋅++==)(发散球面波2221~)(z y x r er a P U rik ++==⋅-， )(汇聚球面波2020201~)()()()(z z y y x x r ea P U rik -+-+-==⋅±，（轴外源点）平面波 波前函数 （（z=0）平面上）xik Aey x U θsin ~),(=球面波 波前函数 ①2221~),(r y x r e r a y x U rik ++==⋅，（发散球面波） ②2221~r ),(++==⋅-y x r era y x U rik ，（汇聚球面波）例题：已知一列波长为λ的光波在（x ，y ）接受面上的波前函数为fxi Aey x U π2~),(-=其中常量f 的单位为1-mm，试分析与波前函数相联系的波的类型与特征。

解：由上式可见该波前因子是一个线性相因子，故可断定它代表了一列平面波，为了进一步确定该平面波的传播方向，现将波前函数改写为含波数k 的形式)(2~),(x f ik xf iAeAey x U λλππ--==可见这是一列传播方向平行（x ，z ）面，即0=y k 的平面波与z 轴夹角θ满足λθf -=sin 或f kxπ2-=它表示向下倾斜，倾角为θ的平行光束，由于光的波长已被确定为λ故波矢的z 分量zk 为方程2222)2(λπ==+k k k z x 确定为222212fk kk x z -=-=λπ傍轴条件 22ρ>>z 远场条件 2ρλ>>z例题1对于光波，设波长λ~500nm ，横向范围ρ~1mm,约定>>取为50倍，试分别求出傍轴条件下纵向距离p z 和远场条件的f z 解：根据上面两式分别求得cm mm z p 115050≈⨯≈≈ρm mm z f 1001)102(50)(505032=⨯⨯⨯==≈ρλρλρ显然此时f z >>p z ,这源于光波极短，以致λρ带来了高倍率。

例题2对于声波，设波长λ~1m ，横向范围ρ~10cm ，则纵向距离p z 和f z 分别为多少 507050≈≈≈fp cmzz ρ cm cm z f 5010)10010(50502=⨯≈≈λρ可见此时p z >f z 傍轴条件包含了远场条件，这源于声波长轴长以致λρ小于1例题3 一台天文望远镜，其物镜口径为2160cm ，用以观察远方星体，问多远的星体星光射到该望远镜，可以被看成是一束平行光？解：这是一个求远场距离的问题，设光波长为550nm ，即mm 610550-⨯ 于是远场距离应该是km m z f 5621024.416.21055021605050⨯≈⨯⨯≈≈-λρ这个距离与月球距离km 5108.3⨯相近解：由前函数可见波前仅含二次项因子故可以断定它代表了一列傍轴波，中心在x 轴上，由相同因子的负号断定它是汇聚球面波，为确定汇聚中心位置，将波前函数改为标准形式类似))8(2(~22),(D y xik ey x U +-∝ （准形式ikzzy x ikeeza y x U ⋅∝+21~22),(）于是断定该傍轴汇聚球面波的中心位置坐标为（0,0，8D ）杨氏双孔干涉条纹间距公式dDx λ=∆例题 在双孔干涉实验中，采用氦氖激光束，其波长为633nm ，双孔间隔d~1mm,纵向距离Ｄ～２ｍ，求条纹间距 解 带入间距公式dDx λ=∆mm mm 3.1)10633(1021102633≈⨯⨯⨯=⨯=-λ如果已知某一孔型屏的衍射场，则应用巴比涅原理，就能直接求其互补屏的衍射场1ρρk bR Rbk kk =+=bR Rb +=λρ1例题１ 设光波长nm600~λ，m R 1=，m b 3=得mm 67.01=ρnm 16.167.033≈⨯=ρ mm 7.667.0100100≈⨯=ρ 由此可见相邻两个半波带半径之差k k k ρρρ-=∆+1 随ｋ数增加而减少，亦即半波带越来越密例 题２ 设 nm 600~λ，mm 00.2=ρ m R 1~试问该圆孔包含的半波带数目至少是几个解：利用公式λρ2)11(⋅+=b R k 令∞→b 得最少半波带数为7.6)10600()101()0.2(6322≈⨯⨯⨯==-λρR k m 这个数接近一奇数７，该圆孔严格的包含７个时的纵向距离为m mm R R b 204101060074107236327≈-⨯⨯⨯-=-=-ρλρ菲涅尔波带片有若干实焦点与虚焦点,表明它既有类似会聚透镜的功能,又有类发散透镜的功能,所以,当物点发射球面波照明波带片时,就能产生若干像点.所以由公式2kb 1R 1ρλ=+当1b 满足k=1时,则1b 便是第一相距,即:211b 1R 1ρλ=+右端121f =ρλ故上111b 1R 1f =+该式与透镜物像距公式完全类似,同样的我们可以获得第二个相距2b 与物距R 的关系式如下221b 1R 1f =+例题:对一张经典菲涅尔波带片的制作提出两点设计要求:(1) 对波长为633nm 的氦氖激光,其第一焦距为400mm,(2) 主焦点的光强为自由光强的104倍问:(1) 待制作的波带片,其第一个半波带的半径为多少? (2) 这张波带片至少应该有多大的有效半径?解(1)根据第一焦距公式λρ211=f ,得第一个半波带半径为 mm mm f 50.010633400611≈⨯⨯==-λρ(3) 设焦点光强为I 为自由光强0I 的N 倍,即I=NI 0,相应的振幅倍率为102040501010A A A A A N ====,由于有半数的半波带被遮蔽,故应露出的帮波带序号为1,3,5…,99,亦即最外围的半波带序号为99或100它决定了这条半波带的有效尺寸mm mm k 0.550.01001100≈⨯==ρρ衍射强度函数 20)s in ()(ααθI I = 200A I = 0A 在公式中作为一个参考值,用以度量非等光程方向的衍射振幅(1) 最大值.当x=01sin =xx ,为最大值.这在单缝衍射中表现为0=θ时,衍射强度0)0(I I =为最大值,称其为零级衍射峰,其位置正是几何光学像点位置—等光程方位(2) 零点位置. x x sin 函数存在一系列零点,当⋯±±=,2,1,πk x ,x x sin =0,这在单缝衍射中表现为,当πθαk =sin ,2,1±±=k …,衍射强度0)I(=θ,出现暗点,上式成为单缝衍射零点条件(3) 次极大,x x sin 函数在相邻两个零点之间存在一个极大值,其位置和数值可由微分方程d(x x sin )/dx 导出(4) 半波带宽度0θ∆,零级衍射斑的角范围,其零级衍射峰与邻近暗点之间的角方位只差值给以度量,称其为零级衍射的半角宽度,即010θθθ-=∆,在平行光正入射条件下,00=θ,αλθθ=≈11sin 故得单缝夫琅禾费衍射的零级衍射半角度宽度为αλθ=∆0或λθα≈∆⋅0(5) 单缝宽度的的影响,表现为两个方面,一是影响半角宽度0θ∆,比如缝宽a 扩大为a 2则0θ∆压缩为0θ∆/2,二是影响零级衍射峰值0I ,这是因为峰值即光强参考值0I ,正比于面积)(b a ⨯的平方,比如缝宽a 扩大为a 2,则0I 增强为40I (6) 波长的影响,一是影响半波带宽度0θ∆,二是影响零级衍射峰值0I .例题 1.在单缝夫琅禾费试验中,光波长nm 600~λ透镜焦距mm f 200~单缝宽度a μ15~,求零级斑的半角宽度和屏幕上显示的零级斑的几何线宽解: 根据半角宽度公式得rad 04.0151060060=⨯==∆-αλθ用半角宽度估算屏幕上零级斑的几何线宽l ∆ mm mm f l 804.02000=⨯=∆≈∆θ例题2 在单缝夫琅禾费衍射实验中,入射的平行光中含有两种波长成分,红光nm 600~1λ,主要区别解: 只要区别有两点 一是红光与蓝光各自展开的半角宽度不等40060021212010===∆∆λλλλθθaa =1.5倍即红光图样更为扩展, 二是红光与蓝光衍射斑中心的强度不等%45)600400(22122222221212010==-=λλλλAA I I半角宽度公式D22.10θ≈∆或λθ22.1D 0≈∆人眼分辨本领与瞳孔直径决定人眼分辨本领的是瞳孔的直径θD ,它是可调的,其正常范围的2—8mm 据此,可以估算出人眼最小可分辨角eδθ设nm 550=λmm D 2≈θ,物防为空气,则 eδθ=m mm cm mm rad mmnm D 103.32508.01103.3255022.122.1'4≈≈≈⨯≈≈-θλαα2cos )(I I P = 其中200A I =当一偏振片面对一束部分偏振光而旋转时，透射光强必将变化，因为部分偏振光的偏振光不具有轴对称性，其他方向透射光强()P I α ,等于M I 、m I 按马吕斯定律在α方向贡献之和（完全非相干叠加）即22()cos cos P m M I I I ααα=+现将该式作如下改写222()(cos sin )()sin P m M m I I I I αααα=++- 即2()()cos P m M m I I I I ββ=+-其中，第一项是常数m I ，在P 旋转过程中保持不变，如同入射光为自然光那样，第二项是余弦平方项，具有入射光为线偏振光那样的马吕斯定律形式。