中级奥数教程22
高斯小学奥数四年级上册含答案第22讲_数表规律计算
第二十二讲数表规律计算三年级的时候我们学习过找位置，其实就是简单的数表规律问题, 复杂的数表规律问题.数表，其实也就是把数列中的数按某种规律排列成了表格的形式. 表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行、第三行、…… 第一列、第二列、第三列、……请大家仔细观察下面几个表中的数是按照什么规律排列的.1 23 4 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 241 23 4 5612 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19今天我们来学习更为 一般地，在长方形数 从左到右竖行依次为O广我找 巻爸可一下寂叔！密码到底 咼什么IP"笊游最点令妞的那n 旬话去、 有文章！ ’东有十三IT 最东边第门个 致，“甫有百望山”杲雨边第wo 丫数. ■#•+»"是西边第1Q 个輕「北有 4达峻”超北边第呂个數，/f 戋包亠时出石r、臭箱札惊先*»吓 宝箱护-墙.囲jj几年前，翼 英和善爸、小高 到香山寻宝.走 «走着，fem 竄一个宝霜……kg 部不盘 道啊？密码野* 二我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规律排列，能不能找到它们的周期•实际上，数表中的数也构成一个数列•但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求的数在第几行第几列.我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置：1. 找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；2. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；3. 找到这个数所在的行或列.如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，可以通过三个步骤来考虑：1. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；2. 找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；3. 求出这个数具体是多少.律排列，请问：140这个数在第几行第几列？第11 行第6列是多少？「分析」首先要观察找到数表中的数列是什么.7个数一行，即一周期，求140在第几行第几列，即求140是第几个周期的第几个数•思考一下，能直接用140 7来计算吗？练习1如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，问：100这个数在第几行第几列？第21行第3列是多少?如表所示，表格中的数是按照一定规律排列的， 请问：300这个数在第几行第几列？第 3行第20列 是多少？ 「分析」数表中的数列是3，6，9, 12,…， 要求300在第几行第几列，要先求出300是 第几个数，再求出它是第几个周期的第几个数.如表所示，表格中的数是按照一定规律排列的，请问:350这个数在第几行第几列？第 71行第2列是多少？例题3如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： (1) 81在第几行、第几列？(2 )第51行第2列是多少？「分析」9个数一周期，每周期占了两行，那么第 51行第这个格子中的数是在第几个周期中呢？它又是这个周期中的第 几个数呢？如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问: (1) 100在第几行、第几列？ (2 )第40行第4列是多少？例题4如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，请问：96这个数在第几行第几列？第20行第3列是多少？「分析」两行10个数一周期，96是第几个数？在第几个周期中呢？第20行第3列是在第几个周期中呢？练习4如表所示，把从1开始连续的自然数按照一定规律排列，请问：157这个数在第几行第几列？第3行第22列是多少?如图，表格中的数是按一定规第1列第2列第3列第4列第5列第6列律排列的，第1行2468请问: 第2行16141210（1）102在第几行、第几列？第3行1820222432302826（2）第20行第3列的数是多少？第4行34「分析」两行8个数一周期，第5行102是第几个数？在第几个周期中呢？第20行第3列是在第几个周期中呢?「分析」几个数一周期呢？是数列中的第几个数？在哪一个周期中呢？第2行第40列是第几个周期中的第几个数呢?随机数表法随机数表，也称乱数表，是由随机生成的从0到9十个数字所组成的数表，每个数字在表中出现的次数是大致相同的，它们出现在表上的顺序是随机的.随机数表在实际生活中具有重大的意义. 随机数表法就是利用随机数表抽取样本的方法.比如，对银行来说，银行的ID和密码非常脆弱，如果有随机数表，就可以防备此类事件•随机数表为每个客户指定各不相同的数字列表，申请时将该随机数表分配给客户，而不是按照一定的规律给出，这就安全很多.举个例子说明：某企业要调查消费者对某产品的需求量，要从95户居民家庭中抽选10户居民，用随机数表法抽取样本.第一步：将95户居民家庭编号，即01~95 ;第二步：在附录中的随机数表里，随机确定抽样的起点和抽样的顺序•假定从第一行、第五列开始抽，抽样顺序从左往右；第三部：依次抽出号码分别是86、36、96、47、36、61、46、99、69、81 .其中96和99不在编号范围内，所以排除掉，补充后面的两个数62、74 .由此生成的10个样本单位号码为：86、36、47、36、61、46、69、81、62、74.编码为这些号码的居民家庭就是抽样调查的对象.采用随机数表法抽取样本，完全排除主观挑选样本的可能性，使得抽样调查有较强的科学性.作业1. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：(1)66在第几行，第几列？(2)第33行第4列的数是多少？2. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问:（1）91在第几行，第几列？3. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问:（1）第4行第100列的数是多少？4. 如表所示，将从2开始连续的偶数按某种规律填入方格表中，请问:（1）196在第几行，第几列？5. 如左下表所示，数阵中的数是按一定规律排列的，请问:（1）97在第几行第几列？（2）第18行第4列的数是多少？第1列第2列第3列第4列第5列第6列345第1行12678910第2行131415第3行11121617181920第4仃L第5行21L第二十二讲数表规律计算1. 例题1答案：第10 行第7列；152详解：（1）一行7个数一周期，140是整个数列中的第70个数，70 7 10 ，即是第10个周期的最后一个数，在第10 行第7 列；（2）一行7 个数一周期，第11 行第 6 列是第11 个周期的第 6 个数，即整个数列中的第10 7 6 76 个数，即为76 2 152 ．2. 例题2答案：第 4 行第25 列；237详解：（1）一列 4 个数一周期，300 是整个数列中的第100 个数，100 4 25 ，即是第25 个周期的最后一个数，在第 4 行第25 列；（2）一列 4 个数一周期，第 3 行第20 列是第20 个周期的第 3 个数，即整个数列中的第19 4 3 79 个数，即为79 3 237 ．3. 例题3答案：第18 行第6列；227详解：（1）两行9个数一周期，81是整个数列中的第81个数，81 9 9 ，即是第9 个周期的最后一个数，在第18 行第6列；（2）两行9 个数一周期，第51 行第 2 列是第26 个周期的第 2 个数，即整个数列中的第25 9 2 227 个数，即为227．4. 例题4答案：第10 行第3列；196详解：（1）两行10 个数一周期，96 是整个数列中的第48 个数，48 10 4L L 8 ，即是第 5 个周期的第8 个数，在第10行第 3 列；（2）两行10 个数一周期，第20 行第 3 列是第10 个周期的第8 个数，即整个数列中的第10 10 2 98 个数，即为98 2 196．5. 例题5答案：第13 行第5列；156详解：（1）两行8个数一周期，102是整个数列中的第51个数，51 8 6L L 3，即是第7个周期的第 3 个数，在第13 行第 5 列；（2）两行8个数一周期，第20行第3列是第10个周期的第3个数，即整个数列中的第9 8 6 78 个数，即为78 2 156 ．6. 例题6答案：第 1 行第34 列；238详解：（1）三列 9 个数一周期， 200 是整个数列中的第 100 个数， 100 期的第 1 个数，在第 1 行第 34 列；（ 2）三列 9 个数一周期，第 2 行第 40 列是第 14 个周期的第 13 9 2 119个数，即为 119 2 238 ．7. 练习 1答案：第 10 行第 5列； 206 简答：（1）一行 5个数一周期， 100是整个数列中的第 50个数， 50 5 一个数，在第 10 行第 5列；（ 2）一行 5 个数一周期，第 21 行第 3 列是第 21 个周期的第 20 5 3 103个数，即为 103 2 206 ．8. 练习 2答案：第 14 行第 5列； 1760 简答：（1）一行 5个数一周期， 350是整个数列中的第 70个数， 70 5 一个数，在第 14 行第 5列；（ 2）一行 5 个数一周期，第 71 行第 2 列是第 71 个周期的第 70 5 2 352 个数，即为 352 5 1760 ．9. 练习 3答案：第 34 行第 2列； 119 简答：（1）两行 6个数一周期， 100是整个数列中的第 100个数， 100 期的第 4个数，在第 34行第 2列；（ 2）两行 6 个数一周期，第 40 行第 4 列是第 20 个周期的第 20 6 1 119 个数，即为 119．10. 练习 4答案：第 4 行第 40 列；86 简答：（1）两列 8 个数一周期， 157 是整个数列中的第 157 个数， 157 期的第 5 个数，在第 4 行第 40 列；（ 2）两列 8 个数一周期，第 3 行第 22 列是第 11 个周期的第 11 8 2 86 个数，即为 86．11. 作业 1答案：第 14 行第 1列； 164 简答：1）一行 5个数一周期， 66是整个数列中的第 66个数， 66 5 13LL 1，即是第 14个周期的 第 1 个数，在第 14 行第 1 列；9 11L L 1 ，即是第 12 个周 2 个数，即整个数列中的第10 ，即是第 10 个周期的最后3 个数，即整个数列中的第 14 ，即是第 14 个周期的最后2 个数，即整个数列中的第 6 16L L 4 ，即是第 17 个周 5 个数，即整个数列中的第8 19L L 5 ，即是第 20 个周6 个数，即整个数列中的第（2）一行 5 个数一周期，第33 行第 4 列是第33 个周期的第 4 个数，即整个数列中的第32 5 4 164 个数，即为164．12. 作业2答案：第 3 行第23 列；175简答：（1）一列 4 个数一周期，91 是整个数列中的第91 个数，91 4 22L L 3 ，即是第23 个周期的第 3 个数，在第 3 行第23 列；（2）一列 4 个数一周期，第 3 行第44 列是第44 个周期的第 3 个数，即整个数列中的第43 4 3 175 个数，即为175．13. 作业3答案：497；第5行第15 列简答：（1）两列10 个数一周期，第 4 行第100 列是第50 个周期的第7 个数，即整个数列中的第49 10 7 497 个数，即为497；（2）两列10 个数一周期，75 是整个数列中的第75 个数，75 10 7L L 5 ，即是第8 个周期的第 5 个数，在第 5 行第15 列．14. 作业4答案：第 3 行第20 列；594简答：（1）两列10个数一周期，196是整个数列中的第98个数，98 10 9L L 8，即是第10个周期的第8 个数，在第 3 行第20 列；（2）两列10 个数一周期，第 4 行第60 列是第30 个周期的第7 个数，即整个数列中的第29 107 297 个数，即为297 2 594．15. 作业5答案：第20 行第2列；89简答：（1）两行10个数一周期，97是整个数列中的第97个数，97 10 9LL 7，即是第10个周期的第7 个数，在第20行第2列；（2）两行10 个数一周期，第18 行第 4 列是第9 个周期的第9 个数，即整个数列中的第8 10 9 89 个数，即为89．。
人教版五下数学22、五年级下册数学奥数专题讲座第七课(从不定方程的整数解)公开课课件教案
五年级下册数学奥数专题讲座第七课《从不定方程的整数解》练习题及答案五年级奥数下册：第七讲从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起五年级奥数下册：第七讲从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解习题五年级奥数下册：第七讲不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解习题解答活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。
”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。
听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。
”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。
小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。
花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。
主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。
栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。
主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。
乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。
2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。
（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。
四年级上册数学试题 奥数第22讲 图形的切拼二 全国用含答案
第22讲图形的切拼(二)学校有一块正方形的绿地（如下图所示），里面恰好有12棵小松树。
现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学认养，要求每块绿地的形状和大小都相同，并且恰好都有三棵小松树。
怎么分呢？）班的同学们。
呵，大家讨论的可热烈啦。
一下课，数学老师把这个问题交给了五（1 同学们就交给了老师两种方案，见下图。
你们知道他们是采用什么方法分割的吗？下面我们通过几个例题一起研究等分同学们，图形的技巧和一些图形的切拼问题。
面积相等把梯形分成形状相同、1下图是一个直角梯形，请在它内部画一条直线段，例的两部分。
（平方厘米）。
60÷2=1800=分析与解答：从计算图形面积开始。
梯形面积（20+40）×900平方厘米。
所以分成两部分后，每一部分的面积为ABCD把梯形2=30（厘米），这样MN的中位线，设MN为梯形ABCDMN=（20+40）÷（平方厘米）；梯）×30÷2=105030+40分成了两部分，如图：梯形ABNM的面积是：（两个梯形的面积一大一小相差：2=750（平方厘米）。
的面积是：MNCD（20+30）×30÷形的面积的面积应增MNCD的原理，所以梯形1050-750=300（平方厘米），根据”移多补少”MN=30150平方厘米.因为ABNM300加÷2=150（平方厘米），梯形的面积也就相应减少MPN，使三角形PMN（厘米），比较简单的方法是：以为三角形的高，在NB 上找一点就把梯形分成了面30=102150NP150面积为平方厘米，所以线段：×÷（厘米），这样NP 积相等的两部分。
．ABCD分成了面积相等的两部分。
具体分法见上图，线段MP把梯形垂直点作MEABPM中，过M说明：下面我们来验证这两部分形状完全一样.在四边形因为EBPM.AEM分成了两部分：直角三角形和直角梯形于E，则ME把四边形ABPMABAEM所以三角形ME=NB=30（厘米），，所以AE=10（厘米）。
应用同余解题
中级奥数教程同余解题【知识点与基本方法】讲同余之前，我们来思考这样一个问题：2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。
7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是1043周以后的那4天，因为经过1043周以后那天的是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。
生活中我会经常遇到与余数有关的问题，再比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；同学们你们知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
1、同余的定义:两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b（modm）研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题，下面给出同余一般理论。
2、同余的重要性质:〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，......（奇数）；0，2，4，6，8，......（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，......（被3除余数是0）1，4，7，10，13，......（被3除余数是1）2，5，8，11，14，......（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，......1（mod6）：1，7，13，19，25，......2（mod6）：2，8，14，20，26，......3（mod6）：3，9，15，21，27，......4（mod6）：4，10，16，22，29，......5（mod6）：5，11，17，23，29，......我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．【例题精选】例1：求437×309×1993被7除的余数。
2013年中级奥数教程9：分解质因数
2013年中级奥数教程9：分解质因数一、解答题（共32小题，满分0分）1．有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？2．求100以内有6个约数的数有那些？3．下面的算式中，不同字母代表不同的数字，求算式×d=1995．4．将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？5．A=61×62×63×…×86×87×88．问A能否被6188整除？6．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？7．有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？8．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少各两位数的约数（1）146；（2）255；（3）360；（4）400．9．已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？10．165有多少个约数？这些约数的和是的多少？11．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？12．三个连续自然数的乘积是120，这三个数是_________．13．小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”．你能算出小明的名次、年龄与他这次考试分数吗？14．学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大1岁，四个人的年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少？15．在算式AB×CD=1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和．16．自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值．17．如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数．18．一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？19．五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄．20．求1155的两位约数中最大的一个是多少？21．三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？22．将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数．23．将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自乘积相等．2、5、14、24、27、55、56、99．24．若一个自然数N分解质因数得N=2r×3p×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数？25．自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身）26．四个连续自然数的积为1680，则这四个数中最小的是_________．27．a、b、c三个数都是两位整数，且a＜b＜c，已知它们的和是偶数，它们的积是3960，则a，b，c三个数分别为_________．28．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？29．555555的约数中，最大的三位数是_________．30．设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰好有75个自然数因数（包括1和本身），求的最小值．31．求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）32．已知（++++）+=1，且a，b，c，d正好是四个连续的自然数，则b+d等于多少？2013年中级奥数教程9：分解质因数参考答案与试题解析一、解答题（共32小题，满分0分）1．有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？2．求100以内有6个约数的数有那些？3．下面的算式中，不同字母代表不同的数字，求算式×d=1995．4．将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？5．A=61×62×63×…×86×87×88．问A能否被6188整除？6．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？7．有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？8．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少各两位数的约数（1）146；（2）255；（3）360；（4）400．9．已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？10．165有多少个约数？这些约数的和是的多少？11．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？12．三个连续自然数的乘积是120，这三个数是4、5、6．13．小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”．你能算出小明的名次、年龄与他这次考试分数吗？14．学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大1岁，四个人的年龄的乘积是11880，这四个同学的15．在算式AB×CD=1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和．16．自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值．17．如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数．18．一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？19．五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄．20．求1155的两位约数中最大的一个是多少？21．三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？22．将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数．23．将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自乘积相等．2、5、14、24、27、55、56、99．24．若一个自然数N分解质因数得N=2r×3p×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数？25．自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身）26．四个连续自然数的积为1680，则这四个数中最小的是5．27．a、b、c三个数都是两位整数，且a＜b＜c，已知它们的和是偶数，它们的积是3960，则a，b，c三个数分别为10，18，22或者11，15，24．28．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？、、、．29．555555的约数中，最大的三位数是777．30．设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰好有75个自然数因数（包括1和本身），求的最小值．=43231．求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）32．已知（++++）+=1，且a，b，c，d正好是四个连续的自然数，则b+d等于多少？则++=1﹣=，因为+++ ++，也就是++=1﹣=，++＜++=，4。
五年级奥数第二十二次课
文武个性化教案
学生姓名 课 题 年级五年级 授课时间 年 月 日 教师姓名 课时 2
数的整除特征
1. 让同学对数的整除有个了解，同时明白他们也有些规律可寻 2. 通过举一反三，多做练习题来真正掌握 数的整除，除数、被除数，商和积之间的关系 根据题意推测出除数和被除数之间的一个数
教学目标 重 难 点 点
6．商店有三种油漆，牌子和颜色都不同，红色的每桶 1.5 千克，黄色的每桶 2 千克，白 色的每桶 2.5 千克。为了方便顾客，商店把这三种油漆改装成每桶 0.5 千克油漆的小桶。结 果“球光牌”装了 280 桶， “江海牌”装了 255 桶， “前进牌”装了 292 桶。请问：每种牌子 的油漆各是什么颜色？
例 5．一个六位数 12□34□是 88 的倍数，这个数除以 88 所得的商是多少？
中级奥数教程圆的周长面积
中级奥数教程：圆的周长和面积1．上海外滩海关大钟钟面的直径是米，钟面的面积是多少平方米？时针长米，时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是多少米？（得数保留一位小数）2．如图是个半圆（单位厘米），其阴影部分的周长是多少？3．如图所示是三个同心圆，圆心为P，且PQ=QR=RS，S1是中间圆与外圆之间的圆环面积，S2是中间圆与小圆之间的圆环面积．求．4．如图中，ABCD是边长为A的正方形，分别以AB、BC、CD、DA为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．S2S15．如图是对称图形，红色部分的面积大还是阴影部分的面积大？6．如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积．（π取）一、填空题：7．一个直径6厘米的圆，它的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米．8．半径为厘米的圆周长是（）厘米，面积（）平方厘米。
9．周长为毫米的圆的半径（）毫米，面积（）。
10．一张三角形铁片与一张半径是50毫米的圆形铁片的面积相等，已知三角形铁片的底边长250毫米，则这个三角形在这条底边上的高是（）毫米．11．如图，大小两个圆重叠部分的面积是20平方厘米，是大圆面积的18，是小圆面积的16，则大圆面积比小圆面积多（）平方厘米。
二、选择题：12．如果圆的周长等于正方形的周长，那么圆的面积（）正方形的面积．A．大于B．等于C．小于13．直径是4的半圆面的周长与面积分别是（）A．，B．，C．，D．，14．一张长方形纸片长8厘米，宽6厘米，在这张长方形纸片中剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米．A．B．C．D．15．一个圆的半径扩大3倍，周长与面积分别扩大到（）A．3倍与3倍B．3倍与6倍C．6倍与3倍D．3倍与9倍16．将一根长10厘米的绳子绕一根细管10圈，还余下厘米，这根细管的外直径是（）毫米．A．3 B．6 C．D．四、解答题（共6小题，满分0分）17．如图，图中大圆面积为7平方厘米，小圆面积为4平方厘米，阴影部分为两圆相互重叠部分，那么两圆空白部分的面积差是多少平方厘米？18．如图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6厘米，角BOA为直角，阴影部分的面积是平方厘米．19．如图，在半径为1的圆中内接一个矩形，矩形中有一个菱形，求菱形的边长．20．如图，图中有半径分别为5厘米，4厘米，3厘米，的三个圆，两小圆重叠部A的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？21．如图，试求图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比．22．如图，图中圆的半径是4厘米，求阴影部分的面积之和．九、填空题：23．等腰梯形的面积是54平方厘米，上底是5厘米，下底是13厘米．若要在这个等腰梯形内剪下一个面积最大的圆．这个梯形剩下的面积多大？24．大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方米，小圆面积是（）平方米．25．在边长是20厘米的正方形铅板上，剪出一个最大的圆，剪去的面积是（）平方厘米．26．如图，大小两圆相交，重叠部分的面积占小圆面积的512，占大圆面积的18，小圆的面积是大圆面积的（）十、选择题：27．有相同周长的长方形、正方形和圆，它们的面积大小关系是（）A．S正方形＞S长方形＞S圆B．S长方形＞S正方形＞S圆C．S圆＞S长方形＞S正方形D．S圆＞S正方形＞S长方形28．半径是1的半圆面积的周长与面积分别是（）A．和B．和C．和D．和29．一张长方形纸片长5厘米，宽4厘米，在这张长方形纸片中剪一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米．A．B．C．D．30．一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小（）A．2倍与4倍B．2倍与2倍C．4倍与4倍D．4倍与2倍31．将一根长100米的绳子绕一棵大树20圈少48cm，这棵大树的横截面面积是（）cm2．A．B．C．20096 D．19625七、解答题（共20小题，满分0分）32．如图中，一个半圆的周长是厘米，它的直径是多少厘米？33．有八个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形（如图）．图中黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π=，那么花瓣图形的面积平方厘米．34．在如图所示的长方形ABCO 中，三角形ABD 的面积比三角形BCD 的面积大10平方厘米，求阴影部分的面积．35．如图中正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积．36．如图，长方形的宽正好是大扇形的半径一半，求阴影部分的面积．（单位：厘米）37．如图，A 、B 是两个圆（只画出圆 ）的圆心，那么，两个阴影部分的面积差是多少？（π）1438．如图，圆的周长是厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是多少厘米？39．如图，阴影部分的面积是10平方分米，则以OA为直径的半圆的面积是平方分米．40．如图中的曲线是用半径长度的比为4：3：1的7条半圆曲线连成的．涂有阴影的部分与未涂阴影部分的面积比是多少？41．如图，三角形OAC的面积为5平方厘米，求阴影部分的面积．42．有一个边长1厘米的正方形．如图所示，在它外面画一个圆（外接圆），然后在这个圆外面再画一个正方形（外切正方形），这算一次操作．要使最后画出的正方形的面积超过1平方公里，至少要连续进行多少次操作？43．如图所示，扇形ABD的半径是4厘米，阴影部分②比阴影部分①大平方厘米．求直角梯形ABCD的面积．44．某开发区的大标语牌上要画出如图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号，已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r，若均匀用料，则谁的油漆用得多．45．如图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积．46．如图，在4×7的方格纸上画有如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧，则阴影面积占纸板面积的1928．47．如图，线段AB的长相等，问：哪个图中阴影部分的面积大？48．如图，在半径为4厘米的圆中有两条互相垂直的线段，把圆分成A、B、C、D四块．圆心O落在C 中，O到M点的距离为1厘米，M点到N点的距离为2厘米，那么A+C与B+D相比较，哪个面积大，大多少平方厘米？49．已知图中正方形的面积是12平方厘米，求图中里外两个圆的面积．50．有七根直径是10毫米的塑料管，（如图），用一根橡皮筋把它们勒成一捆，此时橡皮筋的长度是多少毫米？51．如图，三个圆的半径是5厘米，这三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积之和．。
2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第22课时 相似三角形(含位似)(课件)
比例线段
比例的性质
黄金分割 平行线分 段成比例
比例线段 及性质
概念 性质 判定方法
相似三角 形的性质 及判定
相似多边 形及其性质
相似三角形
图形的位似
概念 性质
概念 性质
考点精讲
【对接教材】北师：九上第四章P75～P123； 人教：九下第二十七章P23～P59.
多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做_相__似__比__
1. 相似多边形对应角_相__等__，对应边_成__比__例__； 性质
2. 相似多边形的周长比等于_相__似__比__，面积比等于_相__似__比__的__平__方___
针对训练
9. 如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4∶1，则AE∶ED的值为_3_∶__1_．
(3)有两边对应成比例，找 第三边也对应成比例 一对直角
针对训练
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，则DE∶BC＝_2_∶__5_，△ADE的 周长与△ABC的周长之比为_2_∶__5_，△ADE的面积与△ABC的面积之比为_4_∶__2_5__．
第7题图
8. 如图，在△ABC和△ADE中，∠1＝∠2，有以下四个条件，①∠B＝∠D，②∠C
，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与
AB的比叫黄金比，AA即CB
5 1 2
BC
＝≈0.61A8，B
≈0.382
【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点
4. 平行线分线段成比例
ห้องสมุดไป่ตู้
图示
图2
图3
图4
基本 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，如图2，当l3∥l4∥l5时
第二十二单元奥数新思维导引
第22讲 长度与角度的计算兴趣篇1. 如图22-1，用16个周长为8厘米的小正方形拼成了一个大正方形。
大正方形的周长是多少厘米？图22-12. 20个边长为3厘米的小正三角形按如图22-2中的方式拼成一个平行四边形。
这个平行四边形的周长是多少厘米？图22-23. 如图22-3所示，内部正方形的周长为24厘米。
请根据图中给出的数，求出长方形的周长。
（单位：厘米）图22-34. 长方形的院子里有一条“6”字形的小路，路宽1米。
具体情况如图22-4所示，现要在小路上铺满砖，其余地方种草，那么砖地的周长是多少米？图22-45. 如图22-5所示，在一个大长方形的右上角挖去一个小长方形。
如果大长方形的长是7厘米，宽是5厘米。
小长方形的长是5厘米，宽是3厘米。
那么该图形的周长是多少厘米？图22-56. 如图22-6所示，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。
请根据图中所给出的数，求出这个多边形的周长。
（单位：厘米）图22-67.如图22-7所示，将3个边长为8厘米的正方形叠放在一起。
后一个正方形的顶点恰好落在前一个正方形的正中心。
那么它们覆盖住的图形周长是多少厘米？图22-78.（1）如图22-8所示，从一个大长方形的边上挖去一个正方形得到一个多边形。
大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，正方形的边长是2厘米。
这个图形的周长是多少厘米？图22-8（2）如图22-9所示，四个长方形组成了一个多边形，如果图中所标数值的单位都是厘米，那么这个多边形的周长是多少厘米？图22-99.如图22-10所示，∠1等于130度，∠2等于110度，那么∠3等于多少度？图22-1010. 如图22-11所示，在长方形ABCD中，∠ACB等于34度。
现在将其沿对角线AC折起，形成如图22-12所示的图形。
那么∠OCD的度数是多少？图22-11 图22-12拓展篇1.如图22-13所示，5个同样大小的小长方形拼成了一个大长方形。
已知小长方形的长是12厘米，求大长方形的周长。
中级奥数教程27
标准中级奥数教程经济问题【知识点与基本方法】商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得40％的利润.因此利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％.卖价=成本×（1+利润的百分数）.成本=卖价÷（1+利润的百分数）.商品的定价按照期望的利润来确定：定价=成本×（1+期望利润的百分数）.定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价25％，就是按定价的（1-25％）＝75％出售，通常就称为75折.因此:卖价=定价×折扣的百分数.【例题精选】例1某商品按20%的利润定价，然后又打八折出售，结果亏损64元，每个这种商品的成本是多少元？解：设成本为x元则：x－(x＋x×20%)×0.8=640.04x=64x=1600答：商品的成本是1600元。
例2某商店进了一批笔记本，按30％的利润定价.当售出这批笔记本的80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售. 问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中80％的卖价是1.3×80％，20％的卖价是1.3÷2×20％.因此全部卖价是：1.3×80％＋1.3 ÷ 2×20％＝1.17.实际获得利润的百分数是：1.17－1＝0.17＝17％.答：这批笔记本商店实际获得利润是17％.例3有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10％.甲店按20％的利润来定价，乙店按15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是多少元？解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.乙店的定价是1×（1＋15％），甲店的定价就是0.9×（1＋20％）.因此乙店的进货价是：11.2÷（1.15- 0.9×1.2）=160（元）.甲店的进货价是：160× 0.9= 144（元）.答：甲店的进货价是144元.设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.例4开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：设去年的利润是“1”.利润下降了40％，转变成去年成本的10％，因此去年成本是40％÷10％＝4.在售价中，去年成本占因此今年占80％×（1+10％）＝88％.答：今年书的成本在售价中占88％.因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.例5一批商品，按期望获得50％的利润来定价.结果只销掉70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.现在出售70％商品已获得利润0.5×70％＝0.35.剩下的30％商品将要获得利润0.5×82％-0.35＝0.06.因此这剩下30％商品的售价是1×30％＋0.06＝0.36.原来定价是1×30％×（1+50％）＝0.45.因此所打的折扣百分数是0.36÷0.45＝80％.答：剩下商品打8折出售.从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例6某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12 个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润（45-35）×12＝120（元）.出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润120÷8＝15（元）.不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是（45-15）÷（1-85％）＝200（元）. 答：每个商品的定价是200元.例7张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购4×3＝12（件）.由于60件每件减价4元，就少获得利润：4×60＝240（元）.这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润：240÷12＝20（元）.这种商品每件成本是：100-4-20＝76 （元）.答：这种商品每件成本76元.【课后练习题】1、个体户小张，把某种商品按标价的九折出售，仍可获利20%，若按货物的进价为每件24元，求每件的标价是多少元？2、某种商品的利润是20%，如果进货价降低20%，售出价保持不变，那么商品的利润是百分之几？3、商品甲的定价中含30%的利润，乙的定价中含40%的利润，甲、乙两种商品的定价相加得470元，甲的定价比乙的定价多50元。
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中级奥数教程
分式（整式）计算难点方法大全
计算是最能体现你细心程度，灵活运用运算技巧的能力。
在这之前同学们都多多少少学过计算方面的方法技巧，我们根据计算题的特点，分了若干小类，把最近、最流行的较难赛题编入讲义中，以培养学生对计算方面的应变能力。
一、.作差法：
在下列数中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1/1000 ？
1/3 ，3/5 ，5/7 ，7/9 ，9/11 ，11/13 ………
解答：1001/1003>999/1000>999/1001，所以从1001/1003开始，1与每个数之差都小于1/1000
二、运用倒数转化。
巧算（35×46×57）÷（24×35×46＋35×46×57＋46×57×68）= 。
解答：除数除以被除数
三、变换找规律，注意相同数字的个数。
设N=66…6×9×77…7，则N 的各位数字之和为= 。
四、分组裂项 化简131⨯+241⨯+351⨯+461⨯+…+199719991⨯+199820001⨯= 。
五、按特点与要求分拆
=++++++++88
3842977537241633756293678371 六、活用法则定律化简繁分数 化简=+-1234567891
1123456789011234567891123456789012345678901234567891 。
七、整体考虑换元法
=+⨯+++-++⨯++)975
753357579()531135975753357579135531()531135975753357579()975753357579135531( 八、逆向思维与相关联想
2003×□□□□=□99999□（□内只填一个数字），则四位数□□□□= 。
同类练习：1.计算 3001×2999的值． 2.计算 103×97×10 009的值．
九、等比数列扩倍与错位相减 巧算=-----1005
41254254541 。
十、扩缩估算法求近似值
2
22210001.......121111101++++的误差小于0.006的近似值是 。
十一、巧妙构造比大小
21⨯⨯⨯⨯876543…×10000
9999与100
1相比，哪个更大，为什么？ 十二、循环小数中的等式变换
十三、取整计算（［a ］表示不超过数a 的最大整数，称为a 的整数部分。
）
个6 2000个7
求下式约简后的分母：
十四、借来还去法 10
4329543244323322 ⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯= 十五、分组比较法
试比较18529632与哪一个大？
十六、分子是分母中两个因数部分的差符合裂项的要求
和式()()()+++++⨯+++++⨯+++⨯ )
4321(3214321)21(32112 ())
100321(99321100++++⨯++++ 计算化简后得到一个最简分数，它的分母与分子之差为 。
十七、提取相同部分
2005
200520002005200520052005200520052005200020002000200020002000个个++++ 十八、整数裂项添项分拆法：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+……98×99×100
十九、乘法分配律是常用工具。
计算41.2×8.1＋11×9.25＋537×0.19.
二十、统一法 计算：27
212721321321212111222222222＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 二十一、对应法
=++-++++)686
99686768656863()34398343634343432( 二十二、观察法约分 352551855612590921934833344807
÷÷计算：
二十三、逐式扫描
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++2008141312112008120081200712008141312008141312120081413121122222
二十四：幂运算
在下面算式添上运算符号或括号，使等式成立。
77 67 57 37 17=2002
二十五：构造法
请选出60以内的8个偶数，使得他们的倒数之和为1。
二十六：倒除法：
如果16位数5555555△△6666666=77×□，□是整数，中间的两个△代表的两个数字可以相同也可以不同，则□= 。
二十七：极致运用分配律：
由非零数字组成的四位数有很多，每个这样四位数的四个数码相乘都能得到一个积，求所有这样的积的和是多少？
二十八：渐近分数 =+++
++
+
21
61
8411
151713
二十九：公式证明： ()()4121212
22333+=++=+++n n n n 总述：当然计算题的方法、形式多样，还有算式谜，定义运算等，我们不可能在一节课内把它全包括，最重要的是掌握一些运算的技巧，能通过观察、演化发现题中的精髓部分，去消化吸收。
当然除了巧妙的方法，计算时的细心也必不可少，看错符号，抄漏数字，没看清要求等都是常见的错误。
计算是关系到绝大多数数学题能否正确最起决定作用，同学们不要小看它。
常用数据、公式记忆总结，请大家务必牢记！
1、圆周率常取数据3.14的1到9倍, 11的平方到19的平方的结果,2的10次方为1024. 3的6次方729，从1加到100的和是5050，1可拆成1/2+1/3+1/6这三个分数的和等等。
2、()2
1321+=++n n n 3、)()6
12121222++=+++n n n n 4、()()412121222333+=
++=+++n n n n ()()()1921192112222 ++++++=∴+=+=原式n n n n a n
5、131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc
6006610016131177877=⨯=⨯⨯⨯=⨯⇒如： 6、()()b a b a b a -+=-22
7、742851.07
1 = 七分之几与十三分之几化成循环小数后取段求和常考。
8、()()2
2412343211231-n 1-n +3+2+1 =++++++=++++++即，n n
课后练习题：
题1： 13 + 34 + 25 + 57 + 78 + 920 + 1021 + 1124 + 1935
=（ ）
题2: .)(800.2400.2:结果用最简分数表示计算 ⨯
题3：1+
211++3211+++43211++++ ……+100043211+++++ = . 题4：下面是两个2006位整数相乘:
1111111111 ⨯ 问:乘积的各位数字之和是多少?
题6：333⨯332332333-332⨯333333332=
题7：计算：
5650515212454647495051524546475051524647515247521⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+ 题8：11110.125?330144720
++++= 题9：计算.....11114377910.070.10.13
++=++？ 题10：1×1+2×3+3×5+4×7+…＋99×197=。