2013春西南大学《离散数学》第1次作业
离散数学课后习题答案(第一章)
f) A → ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ ¬B) → C 证明：A→(B∨C)⇔ ┐A∨(B∨C) ⇔ (┐A∨B)∨C ⇔┐(A∧┐B)∨C ⇔ (A∧┐B)→C g) ( A → D ) ∧ ( B → D ) ⇔ ( A ∨ B ) → D 证明：(A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D) ⇔(┐A∧┐B)∨D ⇔ ┐(A∨B)∨D ⇔ (A∨B)→D h) (( A ∧ B ) → C ) ∧ ( B → ( D ∨ C )) ⇔ ( B ∧ ( D → A)) → C 证明：((A∧B)→C)∧(B→(D∨C)) ⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) ⇔ (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C ⇔(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ⇔ ((A∨┐D)∧B)→C ⇔ (B∧(D→A))→C （8）化简以下各式： A）((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C 解：((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (B∨┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (┐A∨B))∧C ⇔T∧C ⇔C B）A∨(┐A∨(B∧┐B)) 解：A∨(┐A∨(B∧┐B))⇔(A∨┐A)∨(B∧┐B)⇔T∨F⇔T
离散数学第一次作业——参考答案
4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔(⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q))⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：②t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（t→q）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理○11p∧q ⑧⑩合取P59. 18. 在自然推理系统P中构造下面推理证明（1）如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园去玩，如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩，今天是周末颐和园游人太多，所以我们去圆明园玩。
证明：设p：今天是星期六，q：我们到颐和园玩，r:我们到圆明园玩，s:颐和园游人太多前提：p →(q∨r), s →⌝q ,p ,s结论：r推理：①s →⌝q 前提引入②s 前提引入③⌝q ①②假言推理④p 前提引入⑤p →(q∨r) 前提引入⑥q∨r ④⑤假言推理⑦r ③⑥析取三段论P86. 22. 在自然推理系统N￡中，构造下列推理的证明。
（1）偶数都能被2整除。
6是偶数。
所以6能被2整除。
设：F（x）:x为偶数，G（x）:x能被2整除，a：6前提：x(F(x) →G(x)), F(a)结论：G（a）证明：①任意x（F（x）—>G（x））前提引入②F（a）—>G（a）①全称量词消去规则③F（a）前提引入④G（a）假言推理。
离散数学第1次作业参考答案
甲对一半：
乙对一半：
丙对一半： ,
根据题意，只需要求出下列公式的成真赋值：
，
根据已知条件， ， ， ， ，并且根据已知有三位同学入围，因此， ， ， 。
所以，归结为 的成真赋值，可得李强为生活委员，丁金为班长，王小红为学习委员。
5 (20分)在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生三位同学被选进了班委会。该班的甲，乙，丙三名同学预言如下：
甲说：王小红为班长，李强为生活委员。
乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员。
丙说：李强为班长，王小红为学习委员。
班委分工名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半。
问：王小红、李强、丁金生各任何职(用等值演算法求解)？
离散数学第1次作业注：交纸质版作业
学号：姓名：班级：总分：
1 (5分)将下列命题符号化。
小李只能从筐里拿一个苹果或者一个梨。
1解:
设p:小李拿一个苹果，q:小李拿一个梨
原命题符号化为：
2 (25分，每题5分)将下列命题符号化，并指出各命题的真值。(1Fra bibliotek只要 ，就有 。
(2)只有 ，才有 。
(3)除非 ，才有 。
3解：
(1)原子命题符号化：
q: 3是无理数;r: 是无理数；s: 6能被2整除，t: 6能被4整除.
(2)整个论述符号化为：
(3)真值：1
4 (共30分,每题15分)求下列公式的主析取范式和主合取范式,并判断公式的类型(用等值演算法)
(1) ;
(2)
4解：
(1)
主析取范式
2013年9月份考试离散数学第一次作业
2013年9月份考试离散数学第一次作业一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分）1. 下列语句中不是命题的只有（）。
A. 鸡毛也能飞上天？ B. 人的死或重于泰山，或轻于鸿毛。
C. 不经一事，不长一智。
D. 牙好，胃口就好。
2. 设A={1，2，3，4，5}，A上二元关系R={〈1，2〉，〈3，4〉，〈2，2〉}，S={〈2，4〉，〈3，1〉，〈4，2〉}，则S-1oR-1的运算结果是（）。
A. {〈4，1〉，〈2，3〉，〈4，2〉}B. {〈2，4〉，〈2，3〉，〈4，2〉}C. {〈4，1〉，〈2，3〉，〈2，4〉}D. {〈2，2〉，〈3，1〉，〈4，4〉}3. 下列集合关于所给定的运算成为群的是（）。
A. 已给实数a的正整数次幂的全体，且a∈{0，1，-1}，关于数的乘法B. 所有非负整数的集合，关于数的加法C. 所有正有理数的集合，关于数的乘法D. 实数集，关于数的除法4. 在有n个结点的连通图中，其边数（）A. 最多有n-1条B. 至少有n-1条C. 最多有n条D. 至少有n条5. 一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条（）A. 汉密尔顿回路B. 欧拉回路C. 汉密尔顿通路D. 初级回路6. .以下命题公式中，为永假式的是（）A. .p→(p∨q∨r)B. (p→┐p)→┐pC. ┐(q→q)∧pD. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p)7. 在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
A. b∧(a∨c)B. (a∧b)∨(a∧b)C. (a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D. (b∨c)∧(a∨c)8. 所有使命题公式为真的赋值为（）。
A. 010，100，101，110，111B. 010，100，101，111C. 全体赋值D. 不存在9. 设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{i,-i,1,-1},?>是群，下列是G的子群是（）。
西南交大离散数学1_1
1）否定
定义：设P为一命题，P的否定是一个新 的命题，记作：ךP。若P为T， ךP为F； 若P为F， ךP为T。 “ ”ך是一元运算。
其运算规则表如下：
P T F
ךP P： ךP：太阳不从东边出来
注意： “”ך表示命题的否定。
2）合取
联词“∨ ”的运算法则： P T T F F Q T F T F P∨ Q T T T F
注意：“∨ ”为可兼或
例： P ：成都是中国的首都。 Q ：成都是一个故都。 P ∨Q：
P ∨ Q ：成都是中国的首都或者是一个 故都。
4）条件
定义：给定两个命题P和Q，其条件命
题是一个复合命题，记作P→ Q ,读作：
“如果P，那么Q”或“若P则Q ”。当
且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，
P→ Q的真值为F，否则P→ Q 的真值
为T。
我们称P为前件，Q为后件。
联给词“→ ”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P→Q
T F T T
例： P ：x>y
Q ：x-y>0
P→Q ：
P→Q ：如果x>y 则x-y>0
以做这件事，并且李四也可以做这 件事。若设： P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这事。 则可表示为： P ∧ Q
不能表示为： P ∨ Q
关于命题逻辑--答案
答案: 1.？ 2.如果我问你右边的路是否通向废 墟,你会说是吗?
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（6）明天是否开大会？ （7）天气多好啊！ （8）我正在说谎。 （9）我学英语，或者我学日语。
3、命题的表示
在本课程中，我们将使用大写字母A、 B、…、P、Q、…，或带下标的大写字 母，或方括号括起来的数字。来表示命 题。 如： P：太阳从西边出来。 [12]：太阳从西边出来。 即命题既可用字母也可用数字来表示
离散数学第一次作业题及答案.doc
第1次作业一、单项选择题(本大题共40分，共20小题，每小题2分)1.表达式FA (PV (QA-i S))的对偶式为 ___________ oA.FV(PA(QV-i S))B.T-(PV(QVn S))C.TV(PA(QV-| S))D.TV(PA(QAS))2.公式VxF(x) —3xG(x),下面给出的前束范式等价式中，哪一个是对的()OA.3x(F(x) V^G(x))B.VxF (x) VG(x)C.3x(-F(x) VG(x))Vx (「F(x) VG(X))3.设两个群＜乙+＞和V,•＞，,其中Z为整数集，Z x= {•••,10-3/10~2,10_1,10°,101,102,103,'-}, + 为普通加法，为普通乘法。
设(p： Z-»Z\屮(n)-io”。
则V乙+＞和＜Z-,•＞ ()A.是同构B.是单一同态C.是满同态D.不是同态4.不是命题的是()。
A.5大于3B.11是质数C.他是优秀学牛k是太阳5.对任意的公式P、Q、R,若P=>Q、Q=>R,则有A.R=>PB.P=>RC.Q=>PD.RnQ6.下列代数系统中， _________ 是群。
A.S={0, 1,3, 5}, *是模7 加法B.S=Q （有理数集），*是普通乘法C.S=Z （整数集合），*是普通减法D.S={1,3, 4, 5, 9}, *是模11 乘法7.P：今天下雨。
Q：明天下雨。
上述命题的合取为____________ o （符号表示）A.-1 PA-i QB.-I PVQC.n PV-i QD.PAQ&A.B.C.6D.39.他虽聪明单不用功。
设P：他聪明。
Q：他用功。
则命题符号化为_______ oA.PA-i QB.-I PVQC.n PVQD.QAP10.设G为至少有三个结点的连通平面图，则G中必有一个结点u,使得deg(u)<5B.deg(u)=5C.deg(u)>5D.deg(u) W511.下列关系中哪些能构成函数？()A.{ <x, y) |x, ye N, x+y<10}B.{ <x, y) |x, ye N, x+y二10}C.{ <x, y) |x, ye R, |x|=y}D.{ <x,y) |x,yG R, x=|y|}12.联结词一可以转化为由「和V表示，P-Qon PAn QB.-i PVQC.-1 PV-i QD.PAQ13.连通图G有6个顶点9条边，从G中删去___________ 条边才可能得到G的一•棵生成树T。
《离散数学》第1次作业
《离散数学》第1次作业一、填空题1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A (mn )，A 到B 的2元关系共有(mn 2)个，A 上的2元关系共有(22m )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)}，则(g )是单射，(g )是满射，(g )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有(1,2,4)(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(；(2))(q p p ∨→；(3))(q p p ∧→；(4)q q p p →∨∧⌝)(；(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元(8)，4的补元(不存在)，6的补元(不存在).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是(连通)图，且其每个面恰由(3)条边围成，G 的面数为(10).二、单选题1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( C ).(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C .(C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( A ).(A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是(B ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为(A ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为(D ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂； (2)A B B A -=-；(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.证 (1) 显然，B A A B A ⊆⇔=⋂.(2)可以证明：B A A B B A =⇔-=-.(⇐)当A = B 时，A – B = ∅且B – A = ∅, 于是A B B A -=-.(⇒)假定A B B A -=-，先证明B A ⊆: 对于任意A x ∈，若B x ∉，则B A x -∈，进而A B x -∈，根据差运算定义知B x ∈，与B x ∉矛盾. 所以B x ∈，因此B A ⊆. 同理可证A B ⊆. 故A = B .(3)容易证明：=⇔=-⋃-B A A B B A )()(∅.(⇐)显然.(⇒)(反证)若B ≠ ∅，则存在B x ∈. 分两种情况讨论：若A x ∉，则A B x -∈，由于A A B B A =-⋃-)()(，于是A x ∈，矛盾；若A x ∈，则B A x -∉且A B x -∉, 进而A x ∉，矛盾. 证毕.四、设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}， 证明: S 是R 上的等价关系. 证 1. 对于任意x ∈ R , 因为03=-x x 是整数，所以(x , x ) ∈ S ，即S 是R 上的自反关系. 2. 对于任意x , y ∈ R , 若(x , y ) ∈ S ，则3y x -是整数，而33y x x y --=-也是整数，于是(y , x ) ∈ S .3. 对于任意x , y , z ∈ R , 若(x , y ) ∈ S 且(y , z ) ∈ S ，则3y x -是整数且3z y -是整数. 由于333z y y x z x -+-=-是整数，由此得出(x , z ) ∈ S . 综上所述，知S 是R 上的等价关系.五、求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.解 )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝→→∃= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝→∃= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝∨⌝∃= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ⌝∀∧∃∨⌝∨⌝∃= )))()(()(()(x D x y yC y B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀= )))()(()(()(z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀= ))))()(()(()((z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀= ))))()(()(()((z D z y C t B x A y x ⌝∃∧∨⌝∨⌝∃∀= )))()(()()((z D y C t B x A z y x ⌝∧∨⌝∨⌝∃∃∀.六、若n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数，试证明之.证 用n 个节点代表n 个人，两个人是朋友则在相应的两个节点之间连一条无向边，于是得到一个n 阶图, 其中每个节点的度数均为3.由于每个节点度数为3, 根据握手定理知m n v Vv 23)deg(==∑∈, 其中m 为G 的边数. 于是n 必为偶数. 证毕.。
《离散数学》练习题和参考答案
《离散数学》练习题和参考答案《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝⌝（2）QQ→P⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( ) (3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
【西南大学】《0004》大作业(参考答案)
= {1，2，3，4，5，6}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.2西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：计算机教育 2019年12月课程名称【编号】：离散数学【0004】B 卷大作业满分：100分一、大作业题目134563.请给出谓词逻辑的研究对象，并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化.答：研究对象：个体词，谓词，量词，命题符号化；，1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义.设R 是实数集合，f :R ×R →R ×R ,f (x ,，y ) = (x +y ,x -y ).证明f 是双射.答：A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的任何一个元素x,在集合B 中都有唯4.利用真值表求命题公式(p →(q →r ))↔(r →(q →p ))的主析取范式和主合取范式.5.求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射.记做f:A →B.并称y 是x 的象,x 是y 答：的原象.对任意的（x,y))∈R*R,f((x,y))=(x+y,x-y),二、大作业要求假设存在另一(x1,y1,)满足f((x1,y1))=(x1+y1,x1-y1)=(x+y,x-y),大作业共需要完成三道题：第1题必做，满分30分；即:x1+y1=x+y,x1-y1=x-y第2-3题选作一题，满分30分；第4-5题选作一题，满分40分.解这个关于x1,y1的线性方程组x1=x,y1=y 对任意的(x,y)∈R*R 存在（a,b)∈R*R,( a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 )满足f((a,b))=(x,y),所以f 是满射所以f 是双射2.设R 是集合A 上的关系，请给出R 的传递闭包t (R )的定义.下图给出的是集合A所以f 是入射。
(完整版)《离散数学》试题及答案解析,推荐文档
4. 设 I 是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2) f (3)
3
2
3
2
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
WORD 整理版
一、填空题 1 设集合 A,B，其中 A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则 A - B＝____________________;
(A)
- (B)＝ __________________________ . 2. 设有限集合 A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________. 3. 设集合 A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从 A 到 B 的所有映射是 __________________________ _____________, 其中双射的是
专业资料学习参考
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0 1 1 1 1
15. 设图 G 的相邻矩阵为 1 0 1 0 0 ，则 G 的顶点数与边数分别为(
).
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
(A)4, 5 (B)5, 6 三、计算证明题
(C)4, 10
(D)5, 8.
1.设集合 A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
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《离散数学》第1次作业
一、填空题
1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( mn )，A 到B 的2元关系共有( mn 2 )个，A 上的2元关系共有( 22m )个.
2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,
1)}，则( g )是单射，( g )是满射，( g )是双射.
3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( (1),(2),(4) )(选择正确答案的番号).
(1)q q p p →→∧)(；
(2))(q p p ∨→；
(3))(q p p ∧→；
(4)q q p p →∨∧⌝)(；
(5)q q p →→)(.
4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( 8 )，4的补元( 不存在 )，6的补元( 不存在 ).
5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( 连通 )图，且其每个面恰由( 3
)条边围成，G 的面数为( 10 ).
二、单选题
1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( C ).
(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C .
(C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C .
2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( A ).
(A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.
(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的.
(C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的.
(D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.
3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( B ).
(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀
(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀
(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃
(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀
4. 域与整环的关系为( A ).
(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环
5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( D ). (A)2
n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂； (2)A B B A -=-；
(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.
证
(1) 显然，B A A B A ⊆⇔=⋂.
(2)可以证明：B A A B B A =⇔-=-.
(⇐)当A = B 时，A – B = ∅且B – A = ∅, 于是A B B A -=-.
(⇒)假定A B B A -=-，先证明B A ⊆: 对于任意A x ∈，若B x ∉，则B A x -∈，进而A B x -∈，根据差运算定义知B x ∈，与B x ∉矛盾. 所以B x ∈，因此B A ⊆. 同理可证A B ⊆. 故A = B .
(3)容易证明：=⇔=-⋃-B A A B B A )()(∅.
(⇐)显然.
(⇒)(反证)若B ≠ ∅，则存在B x ∈. 分两种情况讨论：若A x ∉，则A B x -∈，由于A A B B A =-⋃-)()(，于是A x ∈，矛盾；若A x ∈，则B A x -∉且A B x -∉, 进而A x ∉，矛盾. 证毕.
四、设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下
∈=y x y x S ,|),{(R 且是
3y x -是整数}， 证明: S 是R 上的等价关系.
证 1. 对于任意x ∈ R , 因为03
=-x x 是整数，所以(x , x ) ∈ S ，即S 是R 上的自反关系.
2. 对于任意x , y ∈ R , 若(x , y ) ∈ S ，则
3y x -是整数，而3
3y x x y --=-也是整数，于是(y , x ) ∈ S . 3. 对于任意x , y , z ∈ R , 若(x , y ) ∈ S 且(y , z ) ∈ S ，则
3y x -是整数且3z y -是整数. 由于3
33z y y x z x -+-=-是整数，由此得出(x , z ) ∈ S . 综上所述，知S 是R 上的等价关系.
五、求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.
解 )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃
= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝→→∃
= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝→∃
= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝∨⌝∃
= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ⌝∀∧∃∨⌝∨⌝∃
= )))()(()(()(x D x y yC y B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀
= )))()(()(()(z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀
= ))))()(()(()((z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀
= ))))()(()(()((z D z y C t B x A y x ⌝∃∧∨⌝∨⌝∃∀
= )))()(()()((z D y C t B x A z y x ⌝∧∨⌝∨⌝∃∃∀.
六、若n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数，试证明之.
证 用n 个节点代表n 个人，两个人是朋友则在相应的两个节点之间连一条无向边，于是得到一个n 阶图, 其中每个节点的度数均为3.
由于每个节点度数为3, 根据握手定理知
m n v V v 23)deg(==∑∈, 其中m 为G 的边数. 于是n 必为偶数. 证毕.。