〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)高考模拟检测试题及答案解析
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟(三)数学(理)试题+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点；41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()fx x =的值域为A ，且,a b A∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为A ．18B ．38 C. 78 D. 145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为A ．18- B ．1168πC ．1623π+- D ．525-7．已知()()322101210223nn x d x x x a ax a x a=+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()s i n 2c o s 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A．⎡⎣ B． C．⎭ D．)9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A．3B. 3C ．3D．311．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．2143π B ．1273π C.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷ⅡⅢ)理科数学(一)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设全集U =R ，A ={x |2x −2x >0}，B ={x |y =1x -错误!未找到引用源。
}，则A ∪U B ð=A ．(2，+∞)B ．(−∞，0)∪(2，+∞)C ．(−∞，1)∪(2，+∞)D ．(−∞，0) 2．若(1+i)z =2，则|z |=A ．2B ．3C ．2D ．13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(4)f x +=()f x ，当x ∈[−2，0]时，()f x =−2x，则(1)f +(4)f 等于 A ．32 B ．−32C ．−1D ．1 4．执行如图所示的程序框图，则输出y 的值是A ．6B ．8C ．10D ．125．已知点x ，y 满足约束条件2024020x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤错误!未找到引用源。
，则z =3x +y 的最大值与最小值之差为A ．5B ．6C ．7D ．86．已知命题p ：存在n ∈R ，使得()f x =22n nnx+是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增； 命题q ：“∃x ∈R ，2x +2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，2x +2<3x ”．则下列命题为真命题的是 A ．p ∧q B ．¬p ∧q C ．p ∧¬q D ．¬p ∧¬q7．早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 8．如图，已知P ，Q 是函数()f x =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且RP RQ ⋅u u u r=3，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线x =1对称，则函数()g x 的解析式是A ．()g x =3sin(错误!未找到引用源。
2018高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析
2018年高考数学（理科）模拟试卷（一）（本试卷分第I卷和第H卷两部分.满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2016年四川）设集合A ={x|1W x w 5}, Z为整数集，则集合A A Z中元素的个数是（）A. 6B. 5C. 4D. 31. B 解析：由题意，A A Z = {1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5•故选B.2. （2016年山东）若复数z满足2z+ "z = 3-2i,其中i为虚数单位，则z=（）A . 1 + 2i B. 1 —2iC.- 1 + 2iD. —1 —2i2. B 解析：设z= a+ bi（a, b€ R）,贝U 2z+ z = 3a+ bi = 3-2i，故a= 1, b =- 2, 则z= 1 - 2i.故选B.3. （2015年北京）某四棱锥的三视图如图M1-1,该四棱锥最长棱的棱长为（）图M1-1A. 1B. .'2C. .3 D . 23 . C 解析：四棱锥的直观图如图D188 :由三视图可知，SC丄平面ABCD , SA是四棱锥最长的棱，SA= SC2+ AC2= SC2+ AB2+ BC2= 3.故选 C.•S'4. 曲线y= x3- 2x+ 4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（）n n n nA6 B.3 C.4 D・2n4. C 解析：f' (x)= 3x2—2, f' (1) = 1,所以切线的斜率是1，倾斜角为4.5. 设x€ R, [x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t] = 1 , [t2] = 2，…，[t n] =n同时成立，则正整数n的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 65. B 解析：因为[x]表示不超过x的最大整数.由[t] = 1,得1 w t<2，由[t2] = 2，得2W t2<3. 由[t3] = 3，得3< t3<4.由[t4] = 4，得4W t4<5.所以2< t2< 5•所以6< t5<4 5•由[t5] = 5,得5< t5<6，与6<t5<4 5矛盾，故正整数n的最大值是4.6. (2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a值为1,则输出的k值为( )图M1-2A. 1B. 2C. 3D. 46. B 解析：输入a = 1，贝U k= 0, b = 1;1进入循环体，a=—2，否，k= 1, a=—2,否，k= 2, a= 1,此时a= b= 1,输出k,贝U k= 2•故选B.7. 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+ n的值是()5 m29 2 2 5A . 10B . 11C . 12D . 13别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A.12万元 B . 16万元 C . 17万元 D . 18万元& D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z = 3x + 4y.3x + 2y w 12, x + 2y w 8,由题意可得其表示如图D189阴影部分区域:x > 0, y > 0.当直线3x + 4y - z = 0过点A(2,3)时，z 取得最大值，所以 Z max = 3 X 2+ 4 X 3 = 18.故选D.9. （2016年新课标川）定义“规范01数列” ｛a n ｝如下：｛a n ｝共有2m 项，其中m 项为0, m 项为1，且对任意k w 2m , a 1, a 2,…，a k 中0的个数不少于1的个数.若 m = 4,则不同 的“规范01数列”共有（）A . 18 个B . 16 个C . 14 个D . 12 个9. C 解析：由题意，必有a 1 = 0, a 8= 1,则具体的排法列表如下：图 M1-37. C 解析: 故选C.由题意, ZR 78+ 88 + 84+ 86+ 92+ 90+ m + 95 oo 得=88,n = 9.所以 m + n = 12.& （2015年陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A ，B 两种原料.已知分别生产 1 吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示, 如果生产1吨甲、乙产品可获利润分l I]1l0 lI ll I 0 I0 L J l 0 1 l (J I，0 1 I 0 I0 I 1 l ,0 1 L 0 l 00 1 L 0x 1110. (2016 年天津)已知函数 f(x) = si 门号+ ^sin wx — ^(w >0), x € R.若 f(x)在区间(n 2 n)内没有零点，贝U w 的取值范围是( )■ nk n+ /4(n 2n) (k € Z).D.11.四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD , AB = 2，若该四棱锥的 所有顶点都在体积为Z432的同一球面上，则 PA =( )11.B 解析：如图D190,连接AC , BD 交于点E ,取PC 的中点0,连接OE ,贝U OE // PA ，所以OE 丄底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，；PC =fi C图 D190C. 0,10.D 1- 85- 8u1- 4D. 0,4'解析: f(x) =1 — cos wx+ sin wx 1 -2sin7t3X —f(x) = 0? sin n八wx — 4 = 0,所以 因此 8' 4 8'0,4，8 •故选+ 8,所以由球的体积可得 ；n 2 PA 2 + 8243 n 16，解得PA = 2.故选B. BA . 3B.|1FA 2+ AC 2=12. 已知F为抛物线y2= x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧，若OA OB =6(0为坐标原点)，则△ ABO与厶AOF面积之和的最小值为()A. 4B.3-2^C.^4"2D. 1012. B 解析：设直线AB的方程为x= ty+ m,点A(x i, y i), B(x2, y2),直线AB与x 轴的交点为M(m,0),将直线方程与抛物线方程联立，可得y2—ty- m= 0,根据韦达定理有y i y2=—m,因为OA OB = 6,所以x i X2 + y i y2= 6,从而(y i y2)2+ y i y2 —6 = 0，因为点A, B 位于x 轴的两侧，1所以y1 y2=—3，故m= 3,不妨令点A在x轴上方，则y1>0，又F 4, 0,所以&ABO+&1、/c、〃1、/1 13 913 9 1 3 13 13y1 9 前AFO= 2 X 3X (y1—y2)+ 1X鲜=§0 + 亦》2十y1 9 订=2，当且仅当8=亦，即y1 =时取等号，故其最小值为呼3故选B.13 2第H卷(非选择题满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13〜21题为必考题，每个试题考生必须作答•第22〜23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分.13. __________ 平面向量a= (1,2), b= (4,2), c= ma + b(m € R),且c与a的夹角等于c与b 的夹角，贝U m= __ .13. 2 解析：a= (1,2), b = (4,2)，则c= ma + b= (m+ 4,2m+ 2), |a|= 5, |b|= 2 5,c a c b 5m + 8 a c= 5m + 8, b c = 8m+ 20. •/ c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，二|c| |a|= |c| |b「，^5 =；+；°解得m= 2.x2 v214. 设F是双曲线C:二一七=1的一个焦点，若C上存在点P,使线段PF的中点恰 a b为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ___________ .14. 5解析：根据双曲线的对称性，不妨设F(c,0),虚轴端点为(0, b),从而可知点(一c,2b)在双曲线上，有* —晋=1，贝V e2= 5, e=/5.15. (2016年北京)在(1 —2x)6的展开式中，x2的系数为_________ .(用数字作答)15. 60解析：根据二项展开的通项公式T r +1 = C6 (—2)r x r可知，x2的系数为C6(—2)2=60,故填60.116. 在区间［0, n上随机地取一个数x,则事件"sin x<㊁”发生的概率为1 nn时，sin x< 2.16.3解析：由正弦函数的图象与性质知，当x€ 0, - U5 nn6 —0+ n—-6 1所以所求概率为=1.n 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，｛b n｝是等差数列，且a1 =1, b2+ b3= 2a3, a5—3b2= 7.(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2) 设c n= a n b n, n€ N*，求数列｛ C n｝的前n项和.2q2—3d= 2,17. 解：(1)设｛a n｝的公比为q,｛b n｝的公差为d，由题意知q>0.由已知，有4““q —3d= 10.消去d,得q4—2q2—8= 0解得q = 2, d= 2.所以｛a n｝的通项公式为a n= 2n 1, N ,｛ b n｝的通项公式为b n= 2n—1, n€ N*.(2)由(1)有c n= (2n—1)2n—1，设｛C n｝的前n 项和为S n,贝y S n= 1 x 20+ 3 X 21+ 5X 22+ …+ (2n—1) X 2n—1,2S n= 1 X 21+ 3 X 22+ 5 X 23+ …+ (2n —1) X 2n.两式相减，得一S n = 1 + 22+ 23+…+ 2n—(2n —1) X 2n=—(2n—3)X 2n— 3.所以S n= (2n—3) 2n+ 3, n € N*.18. (本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6, 0.5, 0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1) 求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.18. 解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i = 0,1,2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.(1) 因为P(B) = 0.6, P(C) = 0.4, P(A i) = C2X 0.52, i = 0,1,2,所以P(D)= P(A1 B C+ A2 B + A2 • B C)= P(A1 B C) + P(A2 B) + P(A2 • B C)=P(A1)P(B)P(C) + P(A2)P(B) + P(A2)P( B )P(C) = 0.31.(2) X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X = 0) = P( B A 0 • C ) =P( B )P(A 0)P( C )=(1 — 0.6) X 0.52X (1 — 0.4)=0.06,P(X = 1) = P(B A 0 • C + B A 0 C + B A 1 • C ) =P(B)P(A 0)P( C ) + P( B )P(A 0)P(C)+ P( B )P(A 1)P( C )=0.6X 0.52X (1 — 0.4) + (1 - 0.6) X 0.52X 0.4+ (1 - 0.6) X 2 X 0.52X (1 - 0.4) = 0.25, P (X = 4) = P(A 2 B C)= P(A 2)P(B)P(C) =0.52X 0.6X 0.4 = 0.06,P(X = 3) = P(D)-P(X = 4) = 0.25,P(X = 2) = 1- P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 3)- P(X = 4) =1 — 0.06 — 0.25 — 0.25 — 0.06 = 0.38,所以 E(X)= 0 X P(X = 0) + 1 X P(X = 1) + 2 X P(X = 2) + 3X P(X = 3) + 4 X P(X = 4) =0.25+ 2X 0.38+ 3X 0.25+ 4X 0.06= 2.19.（本小题满分 12分）（2016年四川）如图M1-4,在四棱锥 P-ABCD中，AD // BC ,/ ADC 1=/ PAB = 90° ° BC = CD = ^AD , E 为边AD 的中点，异面直线 PA 与CD 所成的角为90 °（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线 CM //平面PBE ，并说明理由;19. 解：（1）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB , DC ,相交于点 M （M €平面FAB ），点M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC // ED ，且 BC = ED , 所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以 CD // EB. 从而 CM // EB.又EB?平面PBE , CM 平面PBE , 所以CM //平面 PBE.（说明：延长 AP 至点N ,使得AP = PN ，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点） （2）方法一，由已知， CD 丄 PA , CD 丄 AD , PA A AD = A , 所以CD 丄平面PAD. 从而CD 丄PD.所以/ PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以/ PDA = 45°.设 BC = 1,则在 Rt △ PAD 中，PA = AD = 2.如图D191，过点A 作AH 丄CE ,交CE 的延长线于点 H ,连接PH. 易知PA 丄平面ABCD , 从而PA 丄CE.于是CE 丄平面PAH.所以平面PCE 丄平面PAH.过A 作AQ 丄PH 于Q ,贝U AQ 丄平面PCE.⑵若二面角P-CD-A 的大小为所以/ APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△ AEH 中，/ AEH = 45° AE = 1,所以AH = 2.2在 Rt △ PAH 中，PH=q RA 2+ AH 2 =色^2，图 D191方法二，由已知， CD 丄PA , CD 丄AD , PA A AD = A , 所以CD 丄平面PAD. 于是CD 丄PD.从而/ PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以/ PDA = 45°由PA 丄AB ，可得PA 丄平面 ABCD. 设 BC = 1,则在 Rt A PAD 中，PA = AD = 2.作Ay 丄AD ，以A 为原点，以AD , A P 的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192 所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以 PE = (1,0，- 2)，EC = (1,1,0)，AP = (0,0,2) 设平面PCE 的法向量为n = (x ，y ，z)，n PE = 0， x -2z = 0， 由得 nEC = 0，x+ y = 0.设 x = 2,解得 n = （2，- 2,1）. 设直线PA 与平面PCE 所成角为a ，1所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为320. (本小题满分12分)(2016年新课标川)设函数f(x)= In x — x + 1. (1)讨论f(x)的单调性；x 一 1⑵证明当 x € (1，+^)时，1<in _x<x ；⑶设 c>1，证明当 x € (0,1)时，1 + (c — 1)x>c x . 120.解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，+ s )，f ' (x) = 一一 1,令 f ' (x) = 0，解得 x = 1. x当 0<x<1 时，f ' (x)>0，f(x)单调递增； 当x>1时，f ' (x)<0，f(x)单调递减.⑵由(1)知，f(x)在x = 1处取得最大值，最大值为 f(1) = 0. 所以当X M 1时，In x<x — 1.则sin |n AP| a=|n| |晶22X 22+ — 2 2+ 1211 x ——1故当 x € (1,+g )时，In x<x — 1, In 丄<丄一1，即卩 1< <x x x In x '⑶由题设 c>1,设 g(x) = 1 + (c — 1)x — c x , 则 g ' (x)= c -1- c x in c.当x<x o 时，g ' (x)>0, g(x)单调递增；当X>X o 时，g ' (x)<0 , g(x)单调递减.c ——1由⑵知，1<I n c <c ,故 0<x o <1.又 g(0) = g(1)= 0，故当 0<x<1 时，g(x)>0. 所以 x € (0,1)时，1 + (c - 1)x>c x .21. (本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点， 焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1( — 2, 0),点B(2, . 2)在椭圆C 上，直线y = kx(k ^ 0) 与椭圆C 交于E , F 两点，直线AE , AF 分别与y 轴交于点M , N.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理 由.x 2 y 221. 解：(1)设椭圆C 的方程为a 2 + b 2= 1(a>b >0),因为椭圆的左焦点为 F 1( — 2,0)，所以a 2——b 2= 4•①因为点B(2, 2)在椭圆C 上，所以42+ $= 1.②a b由①②，解得a = 2 2, b = 2.所以椭圆C 的方程为:+ y = 1. 8 4⑵因为椭圆C 的左顶点为A ,则点A 的坐标为(一2 2, 0).x 2 y 2因为直线y = kx(k z 0)与椭圆° + ： = 1交于两点E , F , 8 4设点 E (X 0, y o )(不妨设 X 0>0)，则点 F(-X 0,— y o ).2百k y0 = 1+ 2k 2. y =— (x + 2 V 2). 1+ 1 + 2 k 2 因为直线AE , AF 分别与y 轴交于点M , N ,令x = 0得y =— ，即点M 0, —2卜2k 21 + ^1 +2 k 2 1 +V 1 + 2k 22 \2k同理可得点N 0,——2严 2 .1 — 0'1 +2 k 2In (x)= 0，解得 x o = c - 1 In c In cy = kx ,联立方程组x 2 y 2 消去y ,得x 2= I?.+ y = 1 1 + 2 k 2 8 4所以％0=严2亏，贝y 1 + 2k 2所以直线AE 的方程为所以 |MN|= J ------------ 2 r 2 =： 1+p 1 + 2 k 2 1—讨 1 + 2 k 2 设MN 的中点为P ,则点P 的坐标为P 0, 则以MN 为直径的圆的方程为 x 2+ y + ,2k令 y = 0,得 x 2= 4,即 x = 2 或 x =— 2.故以MN 为直径的圆经过两定点 P 1(2,0), P 2( — 2,0), |k| - 辽 k -2,即卩 x 2+ y 2 + 华y = 4. |k| 请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答•注意：只能作答在所选定的题目上•如果多 做，则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程 x = 2cos 0, 已知曲线C 的参数方程是 (0为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 y = sin 04 n 为极轴建立极坐标系， A 、B 的极坐标分别为 A(2, n 、B2,— (1)求直线AB 的直角坐标方程; ⑵设M 为曲线C 上的动点，求点 M 至煩线AB 距离的最大值.4 n 4 n 22.解：(1)将 A 、B 化为直角坐标为 A(2cos ,n 2sin n) 2cos 3 , 2sin 3，即 A , B 的直角坐标分别为 A( — 2,0), B(— 1,— 3),. -W -0 = o g = — 1 + 2 =—3, •••直线AB 的方程为y — 0=— 3(x + 2), 即直线AB 的方程为 3x + y + 2 3 = 0. (2)设M(2cos 0, sin 0),它到直线 AB 的距离 |2 %?3cos 0+ sin 0+ 2 3| | 13sin 0+$+ 2 3| d = = 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)= |x — 2|—|2x — a|, a € R. (1)当a = 3时，解不等式f(x)>0 ; ⑵当x € ( — a, 2)时，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围. 23.解：(1)当 a = 3 时，f(x)>0 ,即即 |x — 2|— |2x — 3|>0, 等价于X W 2， x — 1>0, 3 <x<2, x > 2, 或2 ， 或 ，—x + 1>0.—3x + 5>0,解得i<x w 2，或2<x<；.5所以原不等式的解集为x 1<x<5 .3(2)f(x)= 2-x—|2x—a|,所以f(x)<0可化为|2x—a|>2 —x, ①即2x—a>2 —x,或2x—a<x— 2.①式恒成立等价于(3x—2) min>a 或(X+ 2)max<a , •/ x€ (—8, 2),••• a>4.。
2018年全国普通高等学校高考高三数学模拟试卷及解析高三理科数学(一)
2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.3212.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD 上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c＝2b＝2,2bcosA＋acosC ＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AA1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.20.(12分)已知椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD＋k BD为定值？若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}【试题解答】解：A＝{x|﹣x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4},＝{x|3﹣4＜3x＜33}＝{x|﹣4＜x＜3},则A∪B＝{x|﹣4＜x≤4},C＝{x|x＝2n,n∈N},可得(A∪B)∩C＝{0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i【试题解答】解：由,得x＋yi＝＝2＋i,∴复数x＋yi的共轭复数是2﹣i.故选：A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【试题解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,∴a4＋a5＋a6＋a7＝2(a1＋a10)＝18,∴a1＋a10＝9,∴＝45.故选：D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.【试题解答】解：设AB＝2,则BC＝CD＝DE＝EF＝1,∴S＝××＝,△BCIS平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝,∴所求的概率为P＝＝＝.故选：A.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【试题解答】解：设双曲线C：的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y＝x,由x＝a代入渐近线方程可得y＝b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣＝1,可得4a2﹣2ac﹣c2＝0,由e＝,可得e2＋2e﹣4＝0,解得e＝﹣1(﹣1﹣舍去),故选：D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.【试题解答】解：∵,＝∫cos2tdt＝＝＝,∴＝()＋(﹣cosx)＝﹣2.故选：D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.【试题解答】解：第1次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2；第2次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝3；第3次循环后,S＝＝2,不满足退出循环的条件,k＝4；…第n次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝n＋1；…第2018次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2019第2019次循环后,S＝＝2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选：C8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得【试题解答】解：函数＝sin(2ωx)﹣•＋＝sin(2ωx﹣)(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•＝,∴ω＝2,f(x)＝sin(4x﹣)＝cos[(4x﹣)﹣]＝cos(4x﹣).故把函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选：B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣63【试题解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1＋1)6＝﹣64；＝(2x﹣3)(1＋＋＋…),其展开式中的常数项为﹣3＋12＝9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9＝﹣73.故选：A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.【试题解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r＝,∴,则该几何体的外接球的半径R＝,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S＝4πR2＝.故选：C.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.32【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),设直线l1：y＝k1(x﹣1),直线l2：y＝k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得：k12x2﹣(2k12＋4)x＋k12＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得：x3＋x4＝2＋,由抛物线的性质可得：丨AB丨＝x1＋x2＋p＝4＋,丨DE丨＝x3＋x4＋p＝4＋,∴|AB|＋|DE|＝8＋＝＝,当且仅当＝时,上式“＝”成立.∴|AB|＋|DE|的最小值24,故选：C.12.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【试题解答】解：根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得：当0≤x≤1时,f(x)＝﹣2x2,有最大值f(0)＝,最小值f(1)＝﹣,当1＜x＜2时,f(x)＝f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,则此时有﹣＜f(x)＜,又由函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2；则在∈[6,8)上,f(x)＝23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12；对于函数,有g′(x)＝﹣＋x＋1＝＝,分析可得：在(0,1)上,g′(x)＜0,函数g(x)为减函数,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,＋∞)上,由最小值f(1)＝＋m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即＋m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；故选：B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.【试题解答】解：根据题意,向量,,若,则•＝2sinα﹣cosα＝0,则有tanα＝,又由sin2α＋cos2α＝1,则有或,则＝(,)或(﹣,﹣),则||＝,则＝2＋2﹣2•＝；故答案为：14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),＝,令t＝5x﹣3y,化为y＝,由图可知,当直线y＝过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为：.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.【试题解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则：,整理得：,解得：.则：,﹣a2n＝＝﹣22n﹣4,所以：b n＝a2n﹣1则：T 2n ＝＝.故答案为：.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ∥BC,,点E 是线段CD上异于点C,D 的动点,EF ⊥AD 于点F,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0,) .【试题解答】解：∵PF ⊥AF,PF ⊥EF,AF ∩EF ＝F, ∴PF ⊥平面ABCD.设PF ＝x,则0＜x ＜1,且EF ＝DF ＝x.∴五边形ABCEF 的面积为S ＝S 梯形ABCD ﹣S △DEF ＝×(1＋2)×1﹣x 2＝(3﹣x 2).∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V ＝(3﹣x 2)x ＝(3x ﹣x 3),设f(x)＝(3x ﹣x 3),则f′(x)＝(3﹣3x 2)＝(1﹣x 2), ∴当0＜x ＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)＝0,f(1)＝. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边a,b,c 分别满足c ＝2b ＝2,2bcosA ＋acosC＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.【试题解答】解：(1)由2bcosA＋acosC＋ccosA＝0及正弦定理得﹣2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC,即﹣2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB,在△ABC中,sinB＞0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c＝2b＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝b2＋c2＋bc＝7,所以.(2)由,得＝,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【试题解答】解：(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB＝AA1＝AD,∠A1AB＝∠A1AD＝60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B＝A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC＝O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A 1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC＝O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E＋1,y E＋1,z E﹣1)＝λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B 1BD的一个法向量为,由得令x＝1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.【试题解答】解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P(14.55＜Z ＜38.45)＝P(26.5﹣11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.6826, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X ～B(4,),；；；；.∴X 的分布列为∴.20.(12分)已知椭圆C ：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A,B 两点,在y 轴上是否存在点D,使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在,求出点D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【试题解答】解：(1)由已知可得解得a2＝2,b2＝c2＝1,所求椭圆方程为.(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0,则△＝64k2﹣24(1＋2k2)＝16k2﹣24＞0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以＝＝.要使k AD＋k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)＝6k﹣8k＋4mk＝2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1＝0,解得,当时,k AD＋k BD＝0.综上所述,存在点,使得k AD＋k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【试题解答】解：(1)根据题意,函数f(x)＝e2﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)＝e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min＝1(其中x∈[0,1]),解得；当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max＝e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)＝g'(x).由g(0)＝g(1)＝0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意；所以.令f'(x)＝0,得x＝ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1＜x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)＝1﹣b＞0,f(1)＝e﹣2a＋2﹣b＞0.由g(1)＝0,得a＋b＝e,所以,又f(0)＝a﹣e＋1＞0,f(1)＝2﹣a＞0,所以e﹣1＜a＜2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【试题解答】解：(1)圆C1：(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2,将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1＝a；圆C 2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得；将代入C2,得,得；故.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.【试题解答】解：(1)此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4.即不等式的解集为.(2)证明：∵m＞0,n＞0,m＋2n＝mn,,即m＋2n≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)＝|2m＋1|＋|﹣4n＋1|≥|(2m＋1)﹣(﹣4n＋1)|＝|2m＋4n|＝2(m＋2n)≥16,当且仅当﹣4n＋1≤0,即时,取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)≥16.。
〖全国通用-名师推荐〗2018最新高考总复习数学(理)第三次高考模拟训练试题及答案解析五
2018年高考第三次模拟测试数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共6页，选择题部分2至3页， 非选择题部分3至6页。
满分150分， 考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径． 柱体的体积公式 Sh V =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 台体的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A ∪B R =,则a 的取值范围为 A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞2．“x ＜0”是“ln (x ＋1)＜0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则该几何体的体积是A ．2B ．4C ．6D ．124．下列命题正确的是A ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题B ．函数()62--=x x x f 的零点是()0,3或()0,2-C ．对于命题p ：R x ∈∃，使得062>--x x ，则p ⌝：R x ∈∀，均有062≤--x xD ．命题“若062=--x x ，则3=x ”的否命题为“若062=--x x ，则3≠x ”5.将函数()()x x x x x f 2sin sin 2cos 23sin +-⎪⎭⎫⎝⎛+=π的图象向左平移8π个单位长度后4俯视图2（第4题）22侧视图正视图（第3题图）得到函数()x g ，则()x g 具有性质 A ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π上单调递增，为奇函数 B ．周期为π，图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,4π对称 C ．最大值为2，图象关于直线2π=x 对称 D ．在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上单调递增，为偶函数 6．已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[)2,+∞，()f x 的值域为[)+∞,k ，则实数k 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ． 47．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为A ．2B ．10C ．510 D ．210 8．已知函数()()x a x x f +=1．设关于x 的不等式()()x f a x f <+的解集为A, 若A ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21, 则实数a 的取值范围是 A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-251,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,231 C ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,251∪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+231,0D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,251非选择题部分 (共110分)注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
【数学】2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-理科数学(三)-含解析
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·乌鲁木齐质检]若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|11x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<【答案】D【解析】根据集合的交集的概念得到{}|01A B x x =<<，故答案为：D ．2．[2018·海南期末]设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,4【答案】A【解析】()2212i 12i 144i 34i z z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ．3．[2018·赣州期末]()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160 B ．320 C ．480 D ．640【答案】B【解析】()()6622121x x x +-+，展开通项()666166C 21C 2kkk kk kk T x x ---+==⨯⨯，所以2k =时，2462C 2480⨯⨯=；3k =时，336C 2160⨯=，所以4x 的系数为480160320-=，故选B ．4．[2018·晋城一模]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为12个圆柱和14个球的组合体，其表面积为C ．5．[2018·滁州期末]过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B 【解析】设1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，所以()22222124PM PN PF PF r -=---()()()22121212464PF PF PFPF r PF PF r =-++-=++-，显然其最小值为()26254r ⨯⨯+-58=，r =B ．6．[2018·天津期末]其图象的一条对称轴在()f x 的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()1,2D ．[)1,2【答案】C【解析】k ∈Z k ∈Z ，k ∈Z ，∴3162k k ω+<<+，k ∈Z ．又()f x 的最小正周期大于π，∴02ω<<．∴ω的取值范围为()1,2．选C ．7．[2018·渭南质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ）ABCD【答案】C【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=-()0,B ∈π，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦C ． 8．[2018·荆州中学]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ） （参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．48【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 602S ==；不满足条件 3.10S ≥，12n =，6sin303S =⨯=；不满足条件 3.10S ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯=⨯=； 满足条件 3.10S≥，退出循环，输出n 的值为24．故选C ．9．[2018·昌平期末]设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】作图cos y x =，2y x =，y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2cos x x <cos x x <A ．10．[2018·济南期末]欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A BC ．19D 【答案】B【解析】如图所示，1S =正，23924S π⎛⎫=π=⎪⎝⎭圆B ．11．[2018·闽侯六中]已知()cos23,cos67AB =，()2cos68,2cos22BC =，则ABC△的面积为（ ） A ．2 BC ．1D【答案】D 【解析】根据题意,()cos23,cos67AB =,则()cos23,sin23BA =-︒︒,有|AB |=1，由于,()2cos68,2cos22BC =︒︒()=2cos68,sin 68，则|BC |=2，则()2cos 23cos68sin 23sin 682cos 452BA BC ⋅=-⋅+⋅=-⨯=-，可得：cos BA BC B BA BC⋅∠==-，则135B ∠=，则11sin 1222ABC S BA BC B =∠=⨯⨯=△，故选：D ．12．[2018·晋城一模]已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数x 均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1ey f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ）A ．(),e -∞B．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】()'g x =()g x ∴在R 上是增函数，又()1ey f x =+-是奇函数，()1ef ∴=，()11g ∴=，原不等式为()()1g x g >，∴解集为()1,+∞，故选D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)毕业班调研测试卷及答案解析
2018届高中毕业生调研测试数学理科试卷数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z ＝ii3223-+，则z 的共轭复数z = A ．1 B ．1- C ．i D ．i - (2) 已知条件1:≥x p ,条件11:<xq ，则p ⌝是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3) 已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+,0,062,0321x y x y y x 则y x z -=的最小值为A ．1B ．1-C ．3D ．3-(4) 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果=nA ．4B ．5C ．2D ．3 (5) 若等比数列{}n a 的各项均为正数，3221=+a a ，62234a a a =，则=4aA ．83B ．524C ．163D ．169(6) 将向量()1,1=OA 绕原点O 逆时针方向旋转 60得到OB ,则=OBA ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-231,231 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231,231 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---231,231 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-231,231(7) 15211⎪⎭⎫⎝⎛+x 的展开式中系数最大的项是A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项 (8) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=｛两次的点数均为奇数｝，B=｛两次的点数之和为4｝，则P （B ∣A ）=A ．121 B ．41 C ．92 D ．32(9) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．38B ．34C ．328 D ．324(10) 如图三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是A ．72B ．144C ．240D ．288 (11) 函数()32211+++++++=x x x x x x x f 的对称中心为 A ．()6,4- B ．()3,2- C ．()3,4- D ．()6,2-(12) 已知椭圆134:22=+y x C 的右焦点为F ,不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若MFN ∠的外角平分线与直线MN 交于点P ，则P 点的横坐标为A ．32B ．34C ．3D ．4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及答案解析十七
2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1．已知集合A={x|}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1）∪[2，3）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，则实数a 的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．3．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（）A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤65．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A．3 B．5 C．8 D．97．若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞）C．（1，] D．[）8．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示：方程根的个数方程根的个数f（x）﹣5=0 1 f（x）+4=0 3f（x）﹣3=0 3 f（x）+6=0 1f（x）=0 3若α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）A．﹣6＜a＜﹣4 B．﹣4＜a＜0 C．0＜a＜3 D．3＜a＜59．经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±10．若函数y=cos（ωx+）（ω＞0，x∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，则（）A．0＜ω＜ B．0＜ω＜ C．0＜ω＜D．0＜ω＜11．设曲线f（x）=在点P（x，f（x））处的切线在y轴上的截距为b，则当x∈（1，+∞）时，b的最小值为（）A．e B．C．D．12．已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．14．若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A= ．15．假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为．16．正三棱锥P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于．三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=（1﹣a n）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=na n，求证：b1+b2+…+b n＜．18．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值．19．某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．20．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，a，b∈E，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）若0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由．六、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|（I）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1．已知集合A={x|}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1）∪[2，3）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】本题是求两个集合的交集的运算，本题中的集合是数集，解此类题一般要先对所涉及到的集合进行化简，然后再依据其在数轴上的位置求公共部分．【解答】解：对于B：|x﹣1|≤2，可得﹣2≤x﹣1≤2，即﹣1≤x≤3，可得B={x|﹣1≤x≤3}，对于A：，可得（x﹣2）（x﹣3）＞0，即x＜2或x＞3，集合A={x|x＜2或x＞3}，故A∩B=[﹣1，2），故选：B．【点评】本题考点是交集及其运算，考查依据数轴计算两个集合公共部分的能力，做此类题的步骤一般是：①对涉及到的两个集合化简；②在数轴上作出两个集合的图象；③由数轴上的位置给出其交集．2．若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，则实数a 的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】直线与圆；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义可得a，再利用线性规划的有关知识即可得出a．【解答】解：（a+i）2=a2﹣1+2ai为纯虚数，∴，解得a=±1，∴纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（0，±2），∵所对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，应该满足x﹣y+1＞0，∴取（0，﹣2），∴a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、线性规划的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据直线平行的等价条件求出m，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log6m=﹣1得m=，若l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m=0或m=，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（）A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据条件，进行模拟运行，找到满足输出结果为的条件即可．【解答】解：第一次循环，i=1，满足条件，A==，i=2，第二次循环，i=2，满足条件，A=，i=3，第三次循环，i=3，满足条件，A=，i=4，第四次循环，i=4，满足条件，A==，i=5，此时i=5，不满足条件，程序终止，输出A=，即当i=1，2，3，4时，满足条件，当i=5时，不满足条件．则条件应该为i≤4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键．5．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，∴该几何体的侧视图可能是C，故选：C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．6．等差数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A．3 B．5 C．8 D．9【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，即得a5的值．再根据等差数列的性质求得a3+a5+a7的值．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1=．令6﹣3r=0，r=2，故展开式的常数项为T3=．由题意可得，等比数列{a n}的第5项为展开式的常数项，即a5=，∴a3+a5+a7=3a5=5，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．等差数列的性质应用，属于中档题．7．若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞）C．（1，] D．[）【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知得圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：圆x2+（y﹣）2=1的圆心（0，），半径r=1．∵双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线y=bx与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，化为b2≤2．∴e2=1+b2≤3，∵e＞1，∴1＜e≤，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，]．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用．8．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示：方程根的个数方程根的个数f（x）﹣5=0 1 f（x）+4=0 3f（x）﹣3=0 3 f（x）+6=0 1f（x）=0 3若α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）A．﹣6＜a＜﹣4 B．﹣4＜a＜0 C．0＜a＜3 D．3＜a＜5【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；导数的综合应用．【分析】方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极大值的取值范围．【解答】解﹕方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕（1）当a为正时，如右：（2）当a为负时，如下：因极大值点a位于水平线y=3与y=5之间﹐所以其y坐标α（即极大值）的范围为3＜α＜5﹒故选：D﹒【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题．9．经过椭圆+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则•等于（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．﹣或﹣3D ．±【考点】椭圆的应用． 【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据韦达定理求得x 1•x 2和x 1+x 2的值，进而根据直线方程求得y 1y 2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．【解答】解：由+y 2=1，得a 2=2，b 2=1，c 2=a 2﹣b 2=1，焦点为（±1，0）．直线l 不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y=x ﹣1．代入+y 2=1得x 2+2（x ﹣1）2﹣2=0，即3x 2﹣4x=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1•x 2=0，x 1+x 2=，y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=1﹣=﹣，•=x 1x 2+y 1y 2=0﹣=﹣．故选B【点评】本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．10．若函数y=cos （ωx+）（ω＞0，x ∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，则（ ）A ．0＜ω＜B ．0＜ω＜C ．0＜ω＜D ．0＜ω＜【考点】余弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】首先，化简函数解析式，得到y=﹣sin ωx ，然后，结合给定的区间，确定ω的临界值，最后确定其范围．【解答】解：∵y=cos （ωx+）=﹣sin ωx ， ∴y=﹣sin ωx ，当x=2π时，﹣sin （2πω）=，∴2πω=，∴ω=，∵函数y=cos （ωx+）（ω＞0，x ∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，∴0，故选：C ．【点评】本题重点考查了诱导公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．11．设曲线f （x ）=在点P （x ，f （x ））处的切线在y 轴上的截距为b ，则当x ∈（1，+∞）时，b 的最小值为（ ）A ．eB ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用．【分析】求出f （x ）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x ＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值．【解答】解：函数的导数f ′（x ）==，则点P（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=，则切线方程为Y﹣=（X﹣x），令X=0，则Y=•（﹣x）+，即b=•x+=，则b′===，当x＞1时，lnx＞0，由b′=＜0得1＜x＜e2，此时函数单调递减，由b′=＞0得x＞e2，此时函数单调递增，故当x=e2时，函数取得极小值同时也是最小值，此时b==，故选：D【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，主要考查运用导数判断单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．12．已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，==5.=1．由已知可得=0，，因此==﹣5，由于∈[0，π]，即可得出．【解答】解：如图所示，==5．=1．∵，∴=0，∵，∴=•=+==﹣=﹣5，∵∈[0，π]，∴∈[﹣5，5]．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的标准方程、向量三角形法则、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是 2 ．【考点】微积分基本定理．【专题】计算题．【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．14．若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A= ．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA，根据三角形的面积公式S=bcsinA和题意求出tanA，根据A的范围和特殊角的三角函数值求出A的值．【解答】解：由余弦定理得，b2+c2﹣a2=2bccosA，因为S△ABC=（b2+c2﹣a2），所以bcsinA=×2bccosA，则sinA=cosA，即tanA=1，又0＜A＜π，则A=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围．15．假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤10，0≤y≤10．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤3．则该事件即为x﹣y=3和y﹣x=3在0≤x≤10，0≤y≤10的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域，而所有事件的集合即为正方型面积102=100，阴影部分的面积2×（10﹣3）2=49，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机不受到干扰的概率为．故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．16．正三棱锥P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】导数的综合应用；空间位置关系与距离．【分析】画出图形，设三棱锥的高PO=x，底面△ABC的AB边上的高CD=y，求出x，y的关系，推出体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最小值，即可求出高的值．【解答】解：根据题意，画出图形如下，其中，立体图形只画出了半球的底面．设三棱锥的高PO=x，底面△ABC的AB边上的高CD=3•OD=3y在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，则=，而PD=，即=，整理得x2y2=x2+4y2，所以 y2=，而三棱锥P ﹣ABC 的体积等于×底面△ABC 的面积×高PO ，即V=××AB ×CD ×PO=××2y ×3y ×x=y 2x=，对体积函数求导，得V ′=，令V ′=0，解得唯一正解 x=2，由该体积函数的几何意义可知 x=2为其体积最小值点，故三棱锥体积最小时V min =6，高为2．故答案为：2．【点评】本题考查几何体的内接球的问题，函数的导数的应用，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =（1﹣a n ）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =na n ，求证：b 1+b 2+…+b n ＜． 【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式． 【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式； （2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．【解答】（1）解：∵S n =（1﹣a n ），∴n ≥2时，S n ﹣1=（1﹣a n ﹣1）．两式相减可得a n =（a n ﹣1﹣a n ），∴∵n=1时，a 1=S 1=（1﹣a 1），∴a 1=∴数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列∴a n ==；（2）证明：b n =na n =n •令T n =b 1+b 2+…+b n ，即T n =1•+2•+…+n •∴T n =1•+2•+…+（n ﹣1）•+n •两式相减可得T n =1•+1•+1•+ (1)﹣n •=﹣n •=﹣n •∴T n =﹣•，∴T n ＜．【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，属于中档题．18．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值． （3）求AF 与平面BFC 所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要证AC⊥平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD为菱形得到AC⊥BD，则由线面垂直的判定定理得到答案；（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出二面角A﹣FC﹣B的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐标，直接用向量与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO．因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为，则有，所以，取x=1，得．由图可知平面AFC的法向量为．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得=．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为；（3）解：，平面BFC的法向量，所以=．则．【点评】本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．19．某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.05，频数为2，由此能求出全体运动员总人数a，由成绩在[160，170）内的频率求出运动员人数，再减去甲队人数，能求出乙队人数b．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人．由此能求出至少有1人成绩为“优秀”的条件下两人成绩均“优秀”的概率．（Ⅲ）由题设条随机变量X所有可能取值为0，1，2．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.005×10=0.05，所以全体运动员总人数a==40（人），乙队中成绩在[160，170）内的运动员人数b=40×0.3﹣3=9．（人）．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，乙队成绩在180cm以上的没有丢失，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人．设至少有一人成绩“优秀”为事件A，两人成绩均“优秀”为事件B，则P（B|A）====．（Ⅲ）成绩“优秀”的运动员共6人，甲队4人，乙队2人．随机变量X所有可能取值为0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）===，∴X的分布列为：X 0 1 2P数学期望EX==．【点评】分布列是求出数学期望的前提，因而需写好分布列，而分布列关键是求出概率，当写完分布列，可以结合概率总和为1的特点检验分布列是否正确．20．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B在x2=2py （p＞0）上，可求抛物线E的方程；（2）由（1）知，，，设P（x0，y0），可得l：，与y=﹣1联立，求得取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，，设P（x0，y0），则x0≠0．l：即由得，∴取x0=2，此时P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ为直径的圆为（x﹣1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，﹣1）取x0=1，此时P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，﹣）故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下∵∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，a，b∈E，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）若0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，解出即可．（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，令g（x）=f′（x），g′（x）=﹣．对a分类讨论，研究函数g（x）的单调性极值与最值，进而得出函数f（x）的极值与最值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，∴1﹣b=0，解得b=1．（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，令g（x）=f′（x），g′（x）=+=﹣．①当a≤时，由于0≤x≤1，有g′（x）=﹣≥0，于是f′（x）在[0，1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有g′（x）=＜0，于是f′（x）在[0，1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递减．即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；③当时，令m=min，当0≤x≤m时，g′（x）≤0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出∠ABC=∠BAE，从而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBE为平行四边形．（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=．【解答】（1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．（2）解：∵AE与圆相切于点A，∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），解得EB=4，根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，设CF=x，由BD∥AC，得，∴，解得x=，∴CF=．【点评】本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用（1）的结论进一步联立方程组根据判别式和根和系数的关系，求出弦长．。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)毕业班学习质量检测试题及答案解析
2018届高三教学质量检测理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A ＝｛x ｜12log (1)x ＋＞－1｝，集合B ＝｛x ｜1＜3x ＜9}，则（C R A ）∩B ＝A ．（0，1]B ．[1，2）C ．（1，2）D ．（0，1） 2．实数2a ii＋－（a 为实数）的共轭复数为 A ．1 B ．－5 C ．－1 D ．－i 3．等比数列{n a }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 1与a 7的等比中项为 A ．±81 B ．81 C ．－81 D ．27 4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样， 则分段的间隔k 为40；②线性回归直线ˆy＝ˆb x ＋ˆa 恒过样本点的中心（x ，y ）； ③随机变量ξ服从正态分布N （2，2 ）（σ＞0），若在（－∞，1）内取值的概率为0．1， 则在（2，3）内的概率为0．4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若，则等于A ．3B ．4C ．5D ．66．由曲线y ＝2x －2x 与直线x ＋y ＝0所围成的封闭图形的面积为A ．23 B ．56 C ．13 D ．167．执行如图所示的程序框图，输出的n 的值为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．138．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足n S ＜0的正整数n 的最小值为A ．12B ．13C ．14D ．159．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是 A ．2 B ．8C ．83 D ．16310．设当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cosx －3sinx 取得最小值，则tan θ等于 A ．23 B ．－23 C ．－32 D ．3211．已知双曲线22221x y a b－＝的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1做圆222x y a ＋＝的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且｜BC ｜＝｜CF 2｜，则双曲线的渐近线方程为 A ．y ＝±3x B ．y ＝2±2x C ．y ＝±（3＋1）x D ．y ＝(31)x ±－ 12．定义在（－1，＋∞）上的单调函数f （x ），对于任意的x ∈（－1，＋∞），f[f （x ）－x x e ]＝0恒成立，则方程f(x)－()f x '＝x 的解所在的区间是 A ．（－1，－12） B ．（0，12） C ．（－12，0） D ．（12，1） 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f （x ）＝2lg(1)2x x a－－＋奇函数，则a 的值为___________．14．若实数x ，y 满足约束条件4,2,1,x y y x x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋≤－≤≥≥0,则1x y x ＋－的最小值为____________．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______________． 16．已知数列{n a }的通项公式n a ＝22n n ，则数列{n a }的前n 项和n S ＝__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA ＋sinB ＝（cosA ＋cosB ） sinC ．（Ⅰ）求证：△ABC 为直角三角形；（Ⅱ）若a ＋b ＋c ＝1＋2，求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，PA ⊥平面ADE ，B ，C 分别是AE ，DE 的中点， AE ⊥AD ．AD ＝AE ＝AP ＝2． （Ⅰ）求二面角A －PE －D 的余弦值；（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．19．（本小题满分12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然 后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束． （Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．（本小题满分12分）如图，F 1，F 2是椭圆C ： 22221x y a b＋＝的左、右两个焦点，｜F 1F 2｜＝4，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足1AF uuu r ＝22BF uuu r．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求直线AF 1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA 1B 1B 的面积．21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝1－x ＋lnx （Ⅰ）求f （x ）的最大值；（Ⅱ）对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞）且x 2＜x 1是否存在实数m ，使得22mx －21mx －11ln x x＋22ln x x ＞0恒成立；若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{n a }满足11n a ＋＝2(1)2n n n a a a ＋，且a 1＝12，数列{n a }的前n 项和为n S ， 试比较2n S e 与21n ＋的大小并加以证明．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分。
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2018高考模拟检测试题
数学（理）
一、选择题
1.复平面内，复数
i
i
+-221对应的点坐标为 A.（0，1）
B.（0，1-）
C.⎪⎭
⎫ ⎝⎛-53,54
D.⎪⎭
⎫
⎝⎛53,54 2.双曲线13
2
2
=-y x 的离心率为 A.2 B.3
C.2
D.3
3.要得到)3
4sin(π
-
=x y 的图象，只需将x y 4sin =的图象
A.向左平移
3π
个单位 B.向右平移
3
π
个单位 C.向左平移12
π
个单位 D.向右平移
12
π
个单位 4.已知}
{2
|x y y M == ⎩⎨⎧⎭⎬⎫
=+=12
|
22y x x N ，则M =N A.}{)1,1(),1,1(-
B.}1{
C.]2,0[
D.]1,0[
5.已知)1,(sin ),2,(cos x b x a =-=且a ∥b ，则x 2sin
A.5
4
-
B.3-
C.3
D.
5
4 6.0<x 是0)1ln(<+x 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.⊙C 18)2()4(:22=-+-y x 上到直线02:=+-y x l 的距离
为2的点个数有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图所示框图，如果输入的n 为6，则输出的2
n 为 A.16 B.5
C.4
D.25
9.ABC ∆中，B=60º,最大边与最小边的比为
2
1
3+，则ABC ∆的最大角为 A.60º
B.75 º
C.90 º
D.105 º
10.已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角
三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体的体积V 的大小为 A.
3
35
B.12
C. 16
D.
3
40 11.若dx x a 2
111
--=⎰，则6
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a
π
的展开式中的常数项
A.
2
5 B.2
5-
C.20
D.15-
12.设函数)(x f '是奇函数))((R x x f ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，
0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是
A.()1,-∞-1,0( ）
B.()0,1-),1(+∞
C.()()0,1(1,--∞-
D.()),1(1,0+∞
二.填空题
13.抛物线x y 82=的焦点到直线03=-y x 的距离是 . 14.经过)0(222>=+r r y x 上一点),(00y x M 的切线方程为)0(200>=+r r y y x x 类比
上述性质，可以得椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 类似的性质为：经过椭圆
)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点),(00y x M 的切线方程为： . 15.从一架钢琴挑出的7个音键中，分别选择3个，4个，5个，6个，7个键同时按下，
可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同和声数为 （用数字作答）
16.将一个质点随机投放在关于y x ,的不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+1119
43y x y x ，构成的三角形区域内，则
该质点到此三角形三个顶点的距离均不小于1的概率是 .
17.设}{n a 是等比数列，公比为q （10≠>q q 且），3212,34a a a ，成等差数列，且它的前4项和为154=S .
（1）求}{n a 通项公式； （2）令3,2,1(2=+=n n a b n n …），求}{n b 的前n 项和.
18.《城市规划管理意见》中提出“新建住
宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住
宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪。
各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从]55,25[岁人群中随机抽取了n 人进行问卷调查，得如下数据：
（1）完成所给频率分布直方图，并求p a n ,,.
（2）若从)50,45[),45,40[两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在)45,40[内的人数记为ξ，
求随机变量ξ的分布列和期望。
19.如图，矩形ABCD 中，2,1==BC AB ，半圆O 以BC 为直径，平面
ABCD 垂直于半圆O 所在的平面，P 为半圆周上任意一点
（与B 、C 不重合）.
（1）求证：平面PAB PAC 平面⊥；
组数
分组
认同人数
认同人数占
本组人数比
第一组
)30,25[
120 0.6
第二组
)35,30[ 195
p
第三组 )40,35[
100 0.5
第四组
)45,40[ a
0.4
第五组 )50,45[
30 0.3
第六组
)55,50[
15 0.3
（2）若P 为半圆周中点，求此时二面角D AC P --的余弦值。
20.椭圆E ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的焦点到直线03=-y x 的距离为510
，离心率为
5
5
2=
e ，抛物线：)0(22>=p px y 的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线的焦点与椭圆交于B A ,，与抛物线交于D C ,. （1）求椭圆E 及抛物线的方程；
（2）是否存在常数λ，使|
|||1CD AB λ+为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由。
21.已知函数a x x x f +=ln )(.
（1）若函数)(x f y =在e x =处的切线方程为x y 2=，求实数a 的值；
（2）设0>m ，当]2,[m m x ∈时，求)(x f 的最小值；
（3）求证：e n
n n
e
N )11(,11+>∈∀+
+.
22.几何证明选讲
如图，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB=BC 。
AD 是BC 边上的高，
AE 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F （1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅ （2）若AF=2,CF=22,求AE 的长
23.极坐标与参数方程：
在直角坐标系xoy 中，曲线1c 的参数方程为αα
α
(sin cos 3⎩⎨
⎧==y x 为参数），以原点O 为极
点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2c 的极坐标方程为24)4
sin(=+π
θρ
（1）求曲线1c 的普通方程与曲线2c 的直角坐标方程
（2）设p 为曲线1c 上的动点，求点p 到2c 上点的距离的最小值 24.不等式选讲
已知1=+b a ，对任意的|1||12|4
1),
,0(,+--≥++∞∈x x b
a b a 恒成立 （1） 求
b
a 4
1+的最小值 （2） 求x 的取值范围。