内蒙古呼伦贝尔市尼一中2018届高三上学期期中数学(理科)试卷 Word版含解析

尼尔基第一中学2018届高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知三次函数f（x）=ax3﹣x2+x在（0，+∞）存在极大值点，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．“k=1”是“函数y=sin2kx﹣cos2kx+1的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，，，则AB边的长度为（）A．1．B．3 C．5 D．94．函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，5] C．[0，5）D．（0，5）5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =λ+μ，则的值为（）A．1 B．C．2 D．6．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD在△ABC的内部，且BD：DC：AD=2：3：6，则∠BAC的大小为（）A．B．C．D．或7．下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）A．sinA+cosA=B．•＞0C．tanA+tanB+tanC＞0 D．b=3，c=3，B=30°8．已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小值为（）A．B．C．D．9．函数有零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．B）∩A=（）10．已知集合，则（CRA．（1，+∞）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（1，2）二.填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知（xlnx）′=lnx+1，则∫lnxdx= ．12．对于任意的实数k，关于x的方程x2﹣5x+4=k（x﹣a）恒有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．13．飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地．则丙地相对于甲地的方向角为；丙地距甲地的距离为．14．给出下列五个命题：①命题∀x∈R，cosx＞0的否定是∃x∈R，cosx≤0；②函数的单调递增区间是（﹣∞，0）；③已知命题p：∀x∈R，sin（π﹣x）=sinx；命题q：α，β均是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ，则p∧¬q是真命题；④定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有，则f（x）为周期函数；⑤命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是真命题．则其正确的命题为．（填上所有正确的序号）15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线ρcos2θ=4sinθ的焦点的极坐标是．三.解答题本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数，且．（1）求f（x）的最大值及最小值；（2）若条件；条件q：|f（x）﹣m|＜2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．17．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若角，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的内切圆半径r与外接圆半径R的比值．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点．（1）求二面角O1﹣BC﹣D的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离．19．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台，当笔记本的销售价为6000元/台时，月销售量为a 台，市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x （0＜x ＜1），那么月销售量减少的百分率为x 2，记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元（1）写出月利润y 与x 的函数关系式（2）如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．20．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是F 1，F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于E ，G 两点，且△EGF 2的周长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，且A ，B 两点都在y 轴的右侧，设P 为椭圆上一点，且满足为坐标原点），求实数t 的取值范围．21．已知f （x ）=|x ﹣1|﹣lnx ．（1）求曲线y=f （x ）在点P （2，f （2））处的切线方程；（2）求f （x ）的单调区间及f （x ）的最小值；（3）根据（2）的结论推出当x ＞1时：与1﹣的大小关系，并由此比较与的大小，且证明你的结论．尼尔基第一中学2018届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知三次函数f（x）=ax3﹣x2+x在（0，+∞）存在极大值点，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】先求出f′（x）=ax2﹣2x+1，由题意得到f′（x）=0有两个不同的正实数根或一正一负根，对a ＞0，a＜0讨论，列出等价条件别忘了△＞0且a≠0，再进行求解．【解答】解：f（x）=ax3﹣x2+x的导数f′（x）=ax2﹣2x+1，由于三次函数f（x）在（0，+∞）存在极大值点，则f′（x）=0有两个不同的正实数根或一正一负根，①当a＞0时，此时ax2﹣2x+1=0有两个不同的正实数根，∴，即0＜a＜1，②当a＜0时，此时3ax2﹣2x+1=0有一正一负根，只须△＞0，即4﹣4a＞0，⇒a＜1，∴a＜0；综上，则a的范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．故选D．【点评】本题考查了导数与函数的单调性的关系，以及极值的判断，本题的易错点是容易忽略二次项的系数不为零．2．“k=1”是“函数y=sin2kx﹣cos2kx+1的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】利用三角函数的二倍角公式化简y=sin2kx﹣cos2kx+1=﹣2cos2kx+1，，先判断前者成立能否推出后者，反之利用三角函数的周期公式，判断后者是否能推出前者，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：因为y=sin2kx﹣cos2kx+1=﹣2cos2kx+1，当k=1成立，则y=sin2kx﹣cos2kx+1=﹣2cos2kx+1=2cos2x+1，其周期为；反之，当函数y=sin2kx﹣cos2kx+1=﹣2cos2kx+1，的最小正周期为π，所以，所以k=±1所以“k=1”是“函数y=sin2kx﹣cos2kx+1的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A．【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再双推，利用充要条件的有关定义进行判断．3．在△ABC中，，，则AB边的长度为（）A．1．B．3 C．5 D．9【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将向量用，表示，代入第二个等式，利用向量分配律展开出现第一个等式，将其值代入求出．【解答】解：∵ ==+||=﹣1+||=2，∴||=3，故选B．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，将一个向量用另一个表示，考查向量的运算律，属于中档题．4．函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，5] C．[0，5）D．（0，5）【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式得0＜5x≤25，所以﹣25≤﹣5x＜0，，这样便求出了函数y的值域：[0，5）．【解答】解：解25﹣5x≥0得：x≤2；∴0＜5x≤52=25，∴﹣25≤﹣5x＜0，0≤25﹣5x＜25；；∴函数y的值域是[0，5）．故选C．【点评】考查函数值域的概念，指数函数的值域，被开方数满足大于等于0．5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =λ+μ，则的值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由=2，可得，即=，与=λ+μ比较即可得出λ，μ．【解答】解：由=2，可得，化为=，与=λ+μ比较可得：，．则=2．故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形运算法则、共面向量基本定理，属于基础题．6．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD在△ABC的内部，且BD：DC：AD=2：3：6，则∠BAC的大小为（）A．B．C．D．或【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】设BD=2x，则DC=3x，AD=6x，利用直角三角形中的边角关系求得tan∠BAD和tan∠CAD的值，再利用两角和的正切公式求得tan∠BAC的值，可得∠BAC的值．【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD在△ABC的内部，且BD：DC：AD=2：3：6，设BD=2x，则DC=3x，AD=6x，故tan∠BAD===，tan∠CAD=，故tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）==，再结合∠BAC∈（0，π），求得∠BAC=，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式，属于基础题．7．下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）A．sinA+cosA=B．•＞0C．tanA+tanB+tanC＞0 D．b=3，c=3，B=30°【考点】三角函数值的符号．【专题】证明题；压轴题．【分析】将各个选项中的条件进行等价转化，结合三角函数在各个象限的符号，考查三角形是否为锐角三角形．【解答】解：由sinA+cosA=，得2sinAcosA=﹣＜0，∴A为钝角，故选项A不满足条件．由•＞0，得•＜0，∴cos＜，＞＜0．∴B为钝角，故选项B不满足条件．由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）•（1﹣tanAtanB）+tanC＞0．即tanC[﹣（1﹣tanAtanB）+1]＞0，即tanAtanBtanC＞0，故有A、B、C都为锐角，故选项C满足条件．由=，得sinC=，∴C=或，故选项D不满足条件．【点评】锐角的三角函数都是正数；钝角的余弦和正切是负数，只有正弦是正数；体现了转化的数学思想．8．已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小值为（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】求出点的坐标，利用正切函数，即可求出角x的最小值．【解答】解：角x的终边上一点坐标为，即（，﹣），∴tanx=﹣，∴角x的最小值为．故选：D．【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．9．函数有零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由=0，得，设函数，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：要使函数有意义，则，解得﹣1≤x≤1．由=0，得，设函数，分别作出两个函数对应的函数图象，要使函数有零点，则两个图象有交点，当直线y=m（x+3），与半圆相切时，m＞0，此时圆心（0，0）到直线mx﹣y+3m=0的距离d=，解得m=，所以要使函数有零点，则m满足0，故选C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用函数零点定义将函数转化为两个基本函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．B）∩A=（）10．已知集合，则（CRA．（1，+∞）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】直接求根式不等式得到集合A，然后分类讨论当x＞0时，x＜0时得到集合B，再求出CB，则答案R可求．【解答】解：由集合A中的函数y=，得到x﹣1＞0，即x＞1，∴集合A=（1，+∞）．由集合B中的函数y=x+，当x＞0时，x+≥2；当x＜0时，﹣x＞0，﹣（x+）=（﹣x）+（﹣）≥2，此时x+≤﹣2，综上，集合B=（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），又全集为R，B=（﹣2，2），∴CR则（CB）∩A=（﹣2，2）∩（1，+∞）=（1，2）．R故选：D．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础题．二.填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知（xlnx）′=lnx+1，则∫lnxdx= 1 ．【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据微积分基本定理，将∫lnxdx=是本题的技巧，然后计算即可．【解答】解：∫ lnxdx===（xlnx）﹣=e ﹣（e﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了了微积分基本定理，关键是将∫lnxdx转化为，属于基础题．12．对于任意的实数k，关于x的方程x2﹣5x+4=k（x﹣a）恒有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为1＜a＜4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；判别式法；函数的性质及应用．【分析】根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：若方程x2﹣5x+4=k（x﹣a）恒有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（5+k）x+4+ka=0恒有两个不相等的实数根，即判别式△=（5+k）2﹣4（4+ka）＞0恒成立，即k2+（10﹣4a）k+9＞0恒成立，即判别式△′=（10﹣4a）2﹣4×9＜0恒成立，即（4a﹣10）2＜36，即﹣6＜4a﹣10＜6，即4＜4a＜16，解得1＜a＜4，故答案为：1＜a＜4【点评】本题主要考查一元二次方程根与判别式△之间的关系，连续使用两次判别式△是解决本题的关键．13．飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地．则丙地相对于甲地的方向角为北偏东45°；丙地距甲地的距离为1400m ．【考点】解三角形的实际应用．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】作出方位示意图，构造等腰三角形，解这个三角形即可得出答案．【解答】解：设甲地为A，乙地为B，丙地为C，作出示意图如图所示，则AB=BC=1400m，∠NAB=∠SBA=15°，∠SBC=75°，∴∠ABC=∠SBC﹣∠SBA=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=1400m，∴∠NAC=∠BAC﹣∠BAN=45°．故答案为北偏东45°，1400m．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，画出草图是关键．14．给出下列五个命题：①命题∀x∈R，cosx＞0的否定是∃x∈R，cosx≤0；②函数的单调递增区间是（﹣∞，0）；③已知命题p：∀x∈R，sin（π﹣x）=sinx；命题q：α，β均是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ，则p∧¬q是真命题；④定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有，则f（x）为周期函数；⑤命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是真命题．则其正确的命题为①③④．（填上所有正确的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】①根据全称命题的否定是特称命题即可判断是否正确；②根据对数函数的定义与复合函数的单调性求出f（x）的单调增区间；③先判断命题p、q的真假性，再判断复合命题的真假性；④根据以及周期性的定义，求出f（x）是以4为周期的函数；⑤写出该命题的逆命题再判断它的真假性．【解答】解：对于①，命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，∴①正确；对于②，函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），∴②错误；对于③，命题p中，根据三角函数的诱导公式，得∀x∈R，sin（π﹣x）=sinx，∴p是真命题；命题q中，当α，β均是第一象限的角时，若α=，β=，则sinα=sinβ=，∴q是假命题，￢q是真命题，∴p∧¬q是真命题，③正确；对于④，函数f（x）对于任意x的都有，∴f（x）=﹣，即f（x+2）=﹣，∴f[（x+2）+2]=﹣=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，④正确；对于⑤，命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是“若函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点，则a=﹣1”，它是假命题，如a=0时，函数f（x）=2x﹣1，也只有一个零点，∴⑤错误．综上，正确的命题是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，重点考查了命题的否定与复合命题的真假性判断，复合函数的单调性以及函数的周期性等问题，是综合性题目．15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线ρcos2θ=4sinθ的焦点的极坐标是（1，）．【考点】极坐标刻画点的位置．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得曲线的直角坐标方程为 x2=4y，求得它的焦点坐标为（0，1），再化为极坐标即可．【解答】解：曲线ρcos2θ=4sinθ即ρ2cos2θ=4ρsinθ，它的直角坐标方程为 x2=4y，故它的焦点坐标为（0，1），再化为极坐标即（1，），故答案为（1，）．【点评】本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，抛物线的标准方程和简单性质的应用，属于基础题．三.解答题本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数，且．（1）求f（x）的最大值及最小值；（2）若条件；条件q：|f（x）﹣m|＜2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的图象．【专题】函数思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由题意和三角函数公式化简可得f（x）=4sin（2x﹣）+1，由x的范围可得；（2）解绝对值不等式可得m﹣2＜f（x）＜m+2，由p是q的充分条件可得，解不等式组可得．【解答】解：（1）由题意和三角函数公式化简可得f（x）=﹣2cos2x﹣1=﹣2cos（+2x）﹣2cos2x+1=2sin2x﹣2cos2x+1=4sin（2x﹣）+1，∵，∴，由三角函数的最值可得=5，当2x﹣=时，f（x）max=3；当2x﹣=时，f（x）min（2）∵|f（x）﹣m|＜2，∴m﹣2＜f（x）＜m+2，又∵p是q的充分条件，∴，解得3＜m＜5【点评】本题考查三角函数恒等变换以及最值，涉及简易逻辑的应用，属基础题．17．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若角，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的内切圆半径r与外接圆半径R的比值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）通过已知条件利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求出角A余弦函数值，然后求出A的大小；（Ⅱ）利用角，BC边上的中线AM的长为，通过余弦定理求出AC的长，通过三角形面积求出△ABC 的内切圆半径r，通过正弦定理求出三角形外接圆半径R，然后求解比值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴．即．∴．…．则，∴，因为0＜A＜π则．…．（Ⅱ）由（1）知，所以AC=BC，，设AC=x，在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2，即，解得x=2，…．故．，∴．…【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查计算能力．18．如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，E 是O 1A 的中点．（1）求二面角O 1﹣BC ﹣D 的大小； （2）求点E 到平面O 1BC 的距离．【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算． 【专题】综合题；数形结合；数形结合法． 【分析】本题一个求二面角与点到面距离的题，（1）求二面角的方法有二，一是用立体几何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式求出二面角的余弦，再求角．（2）求点到面的距离也有二种方法，一种是几何法，作出点到面的垂线段，用解三角形的方法求之． 二是用向量法，找出平面上一点与此点相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离．【解答】证明：（I ）过O 作OF⊥BC 于F ，连接O 1F ， ∵OO 1⊥面AC ，∴BC⊥O 1F ，∴∠O 1FO 是二面角O 1﹣BC ﹣D 的平面角，…∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=．在Rt△O 1OF 在，tan∠O 1FO=，∴∠O 1FO=60°即二面角O 1﹣BC ﹣D 为60°…解：（II ）在△O 1AC 中，OE 是△O 1AC 的中位线，∴OE∥O 1C ∴OE∥O 1BC ，∵BC⊥面O 1OF ，∴面O 1BC⊥面O 1OF ，交线O 1F ． 过O 作OH⊥O 1F 于H ，则OH 是点O 到面O 1BC 的距 离，…点E 到面O 1BC 的距离等于OH ，∴OH=．∴点E 到面O 1BC 的距离等于．…解：法二：（I ）在正方体中，有OO 1⊥平面AC ，∴OO 1⊥OA，OO 1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2，OB=2则A （2，0，0），B （0，2，0），C （﹣2，0，0），O 1（0，0，3）∴设平面O 1BC 的法向量为=（x ，y ，z ），则⊥，⊥，∴，则z=2，x=﹣，y=3，∴=（﹣，3，2），而平面AC 的法向量=（0，0，3）∴cos＜，＞=，设O 1﹣BC ﹣D 的平面角为α，∴cos α=，∴α=60°． 故二面角O 1﹣BC ﹣D 为60°．（II ）设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，∵E 是O 1A 的中点，∴=（﹣，0，），则d=∴点E 到面O 1BC 的距离等于．【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，然后将空间直线与平面、平面与平面位置关系转化为向量之间的关系，是解答本题的关键．本题运算量较大，解题时要严谨，用向量解决立体几何问题是近几年高考的热点，本题中的类型近几年出现的频率较高19．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台，当笔记本的销售价为6000元/台时，月销售量为a 台，市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x （0＜x ＜1），那么月销售量减少的百分率为x 2，记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元 （1）写出月利润y 与x 的函数关系式（2）如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大． 【考点】函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）根据题意，算出每个电脑的利润，计算出销售量，两者相乘即可得到月利润y （元）与x 的函数关系式；（2）求得导数，研究函数的单调性，求函数取最值时x 的取值即可．【解答】解：（1）依题意，销售价提高后电脑为6000（1+x ）元/台，月销售量为a （1﹣x 2）台， 则y=a （1﹣x 2）[6000（1+x ）﹣4500]，即y=1500a （﹣4x 3﹣x 2+4x+1）（0＜x ＜1）； （2）函数的导数为y′=1500a（﹣12x 2﹣2x+4），令y′=0，得6x 2+x ﹣2=0，解得x=或﹣（舍去）．当0＜x ＜时，y′＞0；当＜x ＜1时，y′＜0．所以，当x=时，y 取得最大值，此时销售价为9000元． 答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大．【点评】本题考查根据实际问题选择合适的模型，是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去．主要考查导数的运用：求最值，属于中档题．20．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是F 1，F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于E ，G 两点，且△EGF 2的周长为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，且A ，B 两点都在y 轴的右侧，设P 为椭圆上一点，且满足为坐标原点），求实数t 的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由于△EGF 2的周长为，可得4a=4，解得a ．又=，b 2=a 2﹣c 2，解出即可得出．（2）易知直线AB 的斜率存在，即t≠0．设直线AB 的方程为y=k （x ﹣2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），与椭圆方程联立化为（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣2=0．利用△＞0，及其因为A ，B 两点都在y 轴的右侧，可得x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，解得k 的取值范围．利用，及其根与系数的关系可得点P 的坐标，代入椭圆C 的方程解出即可得出．【解答】解：（1）∵△EGF 2的周长为，∴4a=4，解得a=．又=，解得c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=1．∴椭圆C 的方程为．（2）易知直线AB 的斜率存在，即t≠0．设直线AB 的方程为y=k （x ﹣2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），联立，化为（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣2=0．由△=64k 2﹣4（2k 2+1）（8k 2﹣2）＞0，得．∴，又因为A，B两点都在y轴的右侧，∴．∴．而，∴．∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴，．∵点P在椭圆C上，∴，∴16k2=t2（1+2k2）．∴，又，∴．∴，∴实数t的取值范围为．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算性质、一元二次方程的判别式及其根与系数的关系、不等式的解法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知f（x）=|x﹣1|﹣lnx．（1）求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（3）根据（2）的结论推出当x＞1时：与1﹣的大小关系，并由此比较与的大小，且证明你的结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（2）求函数的导数根据函数单调性和最值与导数之间的关系即可求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（3）利用放缩法即可证明不等式．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1﹣lnx．则f′（x）=1﹣=，∴在x=2处的切线斜率为，而f（2）=1﹣ln2，∴在点P（2，f（2））处的切线方程为：，整理得x﹣2y﹣2ln2=0为所求的切线方程．（2）f（x）=|x﹣1|﹣lnx，定义域为（0，+∞），当x≥1时，，∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的．当0＜x＜1时，．∴f（x）在区间（0，1）上是递减的．∴f（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（0，1），因此f（x）=f（1）=0．min（3）由（2）可知，当x＞1时，有x﹣1﹣lnx＞0，即，∴====．故．【点评】本题主要考查导数的综合应用，以及导数的几何意义，以及导数和不等式的关系，综合性较强运算量较大．。