解一元二次方程——因式分解法
用因式分解法解一元二次方程的步骤
用因式分解法解一元二次方程的步骤一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 是已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
下面将详细介绍用因式分解法解一元二次方程的步骤。
步骤一：将方程化为标准形式我们需要将给定的一元二次方程化为标准形式，即ax^2 + bx + c = 0。
确保方程的各项系数已经排列好，并且a≠0。
如果方程不是标准形式，可以通过移项、合并同类项等基本代数运算将其化简。
步骤二：对方程进行因式分解接下来，我们将对方程进行因式分解。
因式分解的目的是将二次方程表示为两个一次因式的乘积形式。
设方程为(ax + m)(nx + p) = 0，其中m、n、p是待确定的实数。
展开括号后得到(ax + m)(nx + p) = anx^2 + (am + np)x + mp = 0。
比较展开后的方程与原方程的系数，即可得到m、n、p的关系。
步骤三：求解因式的根确定了m、n、p的关系后，我们可以分别解出(ax + m) = 0和(nx + p) = 0这两个一次方程。
解一次方程的方法比较简单，可以直接得到一次方程的根。
步骤四：检验解的有效性在得到一次方程的根之后，我们需要将这些根代入原方程进行检验。
将根代入原方程，如果等式成立，则该根是方程的解；如果等式不成立，则该根不是方程的解。
步骤五：总结解的形式根据一次方程的根和检验结果，我们可以总结出一元二次方程的解的形式。
一元二次方程的解通常有两种情况：一种是有两个不同的实数解，即方程有两个不相等的根；另一种是有一个重根，即方程有两个相等的根。
步骤六：给出最终解我们将解的形式具体化，给出一元二次方程的最终解。
将步骤五中总结出的解的形式代入即可得到方程的解。
通过以上六个步骤，我们可以用因式分解法解一元二次方程。
这种方法相对简单直观，适用于一些较为简单的二次方程。
当方程较为复杂时，可以尝试其他解方程的方法，如配方法、求根公式等。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。
②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。
③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。
④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
解一元二次方程因式分解法
解一元二次方程因式分解法一元二次方程是数学中的重要概念，它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
一元二次方程因式分解法的核心思想是将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，从而得到方程的解。
具体的步骤如下：步骤一：将一元二次方程写成标准形式，即ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
步骤二：观察方程中系数a、b、c的特点，判断是否可以进行因式分解。
如果方程无法因式分解，可以尝试其他解方方法。
步骤三：根据方程的形式，找到两个一次方程相乘的形式。
如果方程无法找到这样的形式，可能需要通过其他方法解方。
步骤四：将方程进行因式分解，得到两个一次方程相乘的形式。
具体的分解方法取决于方程的系数和形式。
步骤五：解两个一次方程，得到方程的解。
根据两个一次方程的解的情况，可以得出一元二次方程的解的情况。
一元二次方程因式分解法的关键在于观察方程的特点，找到合适的因式分解形式。
具体的分解方法有以下几种常见情况：情况一：当方程的二次项系数a为1时，可以直接进行因式分解。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0，从而得到方程的解为x=-2和x=-3。
情况二：当方程的二次项系数a不为1时，可以通过分解因式的方法进行因式分解。
例如，对于方程2x^2+7x+3=0，可以通过分解因式得到(2x+1)(x+3)=0，从而得到方程的解为x=-1/2和x=-3。
情况三：当方程的常数项c为负数时，可以通过分解因式并利用负负得正的原理进行因式分解。
例如，对于方程x^2-6x+8=0，可以通过分解因式得到(x-4)(x-2)=0，从而得到方程的解为x=4和x=2。
情况四：当方程的常数项c为正数时，可以通过分解因式并利用正负得负的原理进行因式分解。
例如，对于方程x^2+5x+4=0，可以通过分解因式得到(x+4)(x+1)=0，从而得到方程的解为x=-4和x=-1。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a \neq 0$。
为了解二次方程，我们可以使用因式分解法。
下面我们来详细讲解因式分解法的步骤。
Step 1: 化简方程首先，我们需要将二次方程化简为标准的一元二次方程形式，即$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
如果方程中含有分式，我们可以通过消去分母的方式将方程化为整系数的二次方程。
Step 2: 因式分解我们假设可以将二次方程因式分解为 $(px + q)(rx + s) = 0$，其中 $p, q, r, s$ 是实数。
展开上式得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
我们可以发现，当 $pr = a$，$ps + qr = b$，$qs = c$ 时，上式与原方程相等。
因此，我们需要寻找满足这些条件的 $p, q, r, s$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$px + q = 0$$rx + s = 0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1 = -\frac{q}{p}$$x_2 = -\frac{s}{r}$这两个根即为原二次方程的解。
需要注意的是，如果方程无法因式分解或者方程的根不是实数，那么我们不能使用因式分解法来解方程。
下面我们通过一个具体的例子来演示因式分解法的应用：例题：解方程$x^2-5x+6=0$Step 1: 化简方程方程已经是标准的一元二次方程形式，无需化简。
Step 2: 因式分解假设方程可以表示为 $(px + q)(rx + s) = 0$。
展开得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
与原方程相比较可得：$p=1$$q=-2$$r=1$$s=-3$因此，我们可以将方程表示为$(x-2)(x-3)=0$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$x-2=0$$x-3=0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1=2$$x_2=3$因此，原方程的解为$x=2$和$x=3$。
解一元二次方程---因式分解法
教案教学内容一元二次方程——因式分解法一、学习目标：1．会用因式分解法解一元二次方程；2．会用换元法解一元二次方程；3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾：1．分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=（2）公式法：22()()++=+222a ab b a b+=-2(-)a ab b a b-=+-，222a b a b a b2()（3）十字相乘法：2()()()+++=++x a b x ab x a x b三、新知讲解1．因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2．因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程化为一元二次方程的一般形式，即将方程的右边化为0；②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次式乘积的形式；③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.4.常用的因式分解法：（1）提公因式法，将方程移项后，将左边含有的公因式提出来。
（2）公式法，形如x2-a2=0的一元二次方程可逆用平方差公式变形为（x+a）（x-a）=0。
（3）十字相乘法，形如x2+（a+b）x+ab=0的一元二次方程可变形为（x+a）（x+b）=0。
注意：（1）在方程没有化成一般式之前，不能对左边进行因式分解。
（2）不是所有的一元二次方程都能进行因式分解。
（3）因式分解时，能提出公因式的，需先提出公因式。
5.灵活选用合适的方法解一元二次方程四、典例探究基础经典精析1.运用因式分解法解一元二次方程【例1】解方程：（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.变式1.方程（x+2）（x-3）=（x+2）的解是（2）．运用公式法解一元二次方程【例2】解方程：4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2=0变式2.一元二次方程（3x+2）2=（5-2x）2的解是（3）．运用十字相乘法解一元二次方程【例3】运用因式分解法解下列方程：（1）x2+2015x-2016=0；（2）x2-6x-16=0变式3.解一元二次方程时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程2.灵活选用方法解一元二次方程【例3】选择适当方法解下列方程：（1）3y+15=-2y2-10y；（2）（2y﹣2）2+2=（2y+1）（4y﹣2）；变式4.选择合适的方法解下列方程.（1）x2﹣6x﹣5=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；（4）x2﹣2x+1=0．3．用换元法解一元二次方程【例4】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．总结：1.换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.2.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.3.解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．变式5.若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．变式6. 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.拔高创新讲练1.解一元二次方程与几何图形的综合【例5】一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9总结：变式：菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积是。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
(完整版)-解一元二次方程因式分解法
（3）利用十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解：(x 1)(x 7) 0
1 1
x 1 0或x 7 0
1 7
x1 1, x2 7
1.解下列方程
(1)x2 x 0
解: x(x 1) 0. x1 0, x2 1.
(3)3x2 6x 3
解: x2 2x1 0 (x 1)2 0.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解： (x+2)(x-2)=0,
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为:
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分(解x－成两2)个(x一+次4)因=0式 的乘积 至少有一个x一－次2因=式0或为零x得+4到=两0个一元一次方程
两个一元∴一x次1=方2程,x的2解=-就4 是原方程的解
例题欣赏 ☞
(1)x(x-2)+x-2=0;
解：x(x 2) x 2 0,
例3 解下列方程:
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 ,
因式分解法解一元二次方程
理论依据：两个因式的乘积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零。
即：若ab=0, 则a=0 或b=0当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解这个一元二次方程。
这种方法叫做因式分解。
一般步骤：①移项，使方程的右边为零。
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积。
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。
分解因式的方法：提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)公式法 a2－b2=(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b2=(a±b)2示例：3x2=8x (x－4)2－3x＋12=0移项，得： 3x2－8x = 0 整理,得：(x－4)2－3（x－4)=0因式分解，得：x(3x－8) =0 因式分解，得:（x－4)（x-4-3)=0 于是，得： x=0 或3x－8 =0 整理,得:（x－4)（x－7)=0X 1=0 , X2=8/3 于是，得：x－4=0 或 x－7=0X1=4, X2=71、用因式分解法解下列方程x（x－2)+（x－2)=0 5x2－2x－1/4=x2－2x＋3/4(3x＋1)2－5=0 x2－5x－6=02、用因式分解法解下列方程。
（2x－1)2＋3（2x－1)＋2=0 9（2x＋3)2－4（2x－5)2=0 x2－√3x＋√2x－√6=0 9x2－6x－399=03、已知X1,X2是关于x的方程（x－2)（x－m)=（p－2)（p－m)的两个实数根，（1）求X1,X2的值。
（2）若X1,X2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数p、m满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值。
4、阅读题例，解答下题。
解方程x2－|x-1|-1=0解：（1）当x-1≧0时，x2－（x-1）-1=0 x2－x=0 （2）当x-1<0时，x2＋（x-1）-1=0 x2＋x－2=0由（1）解得X1=0,（不合题设，舍去） X2=1由（2）解得X1=1,（不合题设，舍去） X2=-2综上所述，原方程的解是x=1或x=-2依照上例解方程x2＋2|x+2|-4=05、已知：关于x的方程2x2＋k x-1=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
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22.2.3因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
1、重点：应用分解因式法解一元二次方程
2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习 1：知识准备
将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a 2-b 2= ; a 2±2ab+b 2=
因式分解的方法： 解下列方程．
（1）2x 2+x=0（用配方法） （2）3x 2+6x=0（用公式法）
2：探究
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
3、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________， 这种解法叫做__________________。
（2）如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=
练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x 2-4x=0 (2) 4x 2-49=0 (3) 5x 2-10x+20=0
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1、 用因式分解法解下列方程 (1) 2540x x -= (2) (2)20x x x -+-=
（3）3(21)42x x x +=+ (4)
2(5)315x x +=+ 例2、 用因式分解法解下列方程
（1）4x 2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2
（3）221352244x x x x --=-+
（4）3x 2-12x=-12 活动3：随堂训练
1、 用因式分解法解下列方程
（1）x 2+x=0 （2）x 2（3）3x 2-6x=-3 （4）4x 2-121=0
（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
活动4：课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1） 将方程右边化为
（2） 将方程左边分解成两个一次因式的
（3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程
（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1．方程(3)0x x +=的根是
2．方程2
2(1)1x x +=+的根是________________
3．方程2x （x-2）=3（x-2）的解是_________
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x 1、x 2，且x 1>x 2，则x 1-2x 2的值等于___
5．若（2x+3y ）2+2（2x+3y ）+4=0，则2x+3y 的值为_________．
6．已知y=x 2-6x+9，当x=______时，y 的值为0；当x=_____时，y 的值等于9．
7．方程x （x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A ．-1，2
B ．1，-2
C ．0，-1，2
D ．0，1，2
8．若关于x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）
A ．（x+5）（x-7）=0
B ．（x-5）（x+7）=0
C ．（x+5）（x+7）=0
D ．（x-5）（x-7）=0
9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A ．x=-4
B ．x=5
C ．x 1=-4，x 2=5
D ．以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程：
(1) (41)(57)0x x -+= (2) 2
x =
(3) 3(1)2(1)x x x -=- (4)
2(1)250x +-=
(5) 22(3)9x x -=- (6)
2216(2)9(3)x x -=+
(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x
2+x （x-5）=0。