第六章 平面向量及其应用 章末复习与总结
第六章+平面向量及其应用+小结课件2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
垂足为M1 , 则OM1就是向量a在向量b上的投影向量。
问题4：下列命题中，正确的序号是______.
A.0·a 0
B.AB AC BC
C.AO OB OC CA BO 0
D.在边长为2的正ABC中，AB·BC 2
1.0和0的区别
2.两个向量相减：共起点，连终点，后指前 3.两个向量共起点找夹角
根据题目条件，我们选择AB和AC作为基底
追问2：请尝试将向量AD和DC用基底向量AB和AC来表示？
并完成此题的计算。
A
解：AD AB BD
AB 1 BC
AD·DC (1 AC 2 AB)(2 AC 2 AB)
B
D
C
3
3 33 3
AB 1 (AC AB) 3
2
2
AC
4
2
2
AB·AC
2.向量的线性运算需要记住哪几个口诀？
3.向量的运算主要有几种方法？
基底法
几何方法
投影向量法
坐标法 -------- 代数方法
课后作业：
1.如果 a, b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A.a b
B.a b 1
C.a
2
b2
D.
|
a
|2
|
b
|2
2.在△ABC 中,D 为边 AB 的中点,则向量 等于( ).
三. 向量的数量积
1.定义 : a b a b cos (为两个向量的夹角）
M
2.数量积的运算律: a
(1)a b b a;
(2)( a) b a (b) (a b) a b; (3)(a b) c a c b c.
新高一第六章平面向量章末总结规律总结1...
新高一第六章平面向量章末总结规律总结1...新高一第六章平面向量章末总结规律总结1．本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．数学中的向量指的是自由向量，根据需要可以进行平移．2．共线向量条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础．3．向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角或180°角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.通过向量的数量积，可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直．4．平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三部曲”；用向量解决物理问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通过向量运算使问题解决．5．正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明，求值问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换，通过等价转化构造方程及函数求解．6．学习本章要注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．7．向量是数形结合的载体．在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．。
第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结(九大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
仰角与俯角
垂平面内)所成的角中，目标视线在水
平视线上方的叫做仰角，目标视线在
水平视线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向
方位角
到目标方向线之间的夹角叫做方位角.
方位角θ的范围是0°≤θ<360°
图形表示
知识梳理
例：(1)北偏东α：
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成
的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
典型例题
题型三：向量范围与最值问题
【例3】（2024·云南昆明·高一昆明市外国语学校校考阶段练习）向量 = (2, )， = (−1,3)，若 , 的
夹角为钝角，则t的范围是
．
2
【答案】 < 3 且 ≠ −6
【解析】 ∵ , 的夹角为钝角，
∴ ⋅ < 0 且 与 不共线，
π
B ． 与 的 夹 角为 3
A． ⋅ = 1
C． ⊥ ( − 2)
【答案】BC
2
）
1
D ． − 在 上 的投 影向 量为
2
1
对于D：因为 − ⋅ = ⋅ − 2 = − 2 ，且
【解析】对于A：因为 = = 1 ， + =
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
8.向量的夹角
→
→
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA＝a，OB＝b，则
________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
∠AOB
9.平面向量的数量积
|a||b|cos θ
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向
第六章平面向量及其应用复习--高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
表示成： a 1e1 2 e2 称它为向量的分解．
当 e1,λe12=,λ互相2=0垂时直，时a ， 0称. 为向量的正交分解．
平面向量基本定理:
如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1, 2 ,
3
3
三、向量的运算
向量的夹角:
B
b
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
OB b ,则 AOB (0 180 )
O
a
A
叫做向量 a 和 b 的夹角．
夹角的范围：
a
ObB
0
a 与b 同向
a
A Bb O
180
a 与 b 反向
注意: 两向量 必须共起点。
B
A
b
O
a
A
90
向量的表示
二、向量的表示 几何表示: 有向线段 字母表示: 坐标表示: (x，y) (1)a xi y j (x, y) (2)若A( x, y),则OA ( x, y)
B
A
y
a
y
A (x,y)
a
j
O
i
x
x
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=(x2-x1 ,y2-y1)
2
2
①
又
2
2
2
2
a e1 e2 e1 2e1 e2 e2 3,
2
2
2
2
b e2 2e1 4 e1 4e1 e2 e2 3,
所以 a b 3.
人教A版数学必修第二册第六章平面向量及其应用章末复习课件
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
推论
2
2
2
余弦定理 c =a +b -2abcosC
已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角
应用
已知三边求三角
常见变式
=
=
sin
sin
sin
正弦定理
已知两角和任意一边，求第三边和其他角
应用
已知两边和其中一边的对角，求其他边和角
的运算法则，但在具体含义上是不同的．不过由于它们在情势上相类似，
因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性
运算中都可以使用;
➢ 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一
向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
跟踪训练
1．已知线段AB的端点为A(x, 5)，B(－2, y)，直线AB上的点C(1, 1)，
2
,
5
).
2
∴ ＝
7
(
2
5
2
− 2 , − 4)＝
3
( ,
2
3
− ).
2
3．已知△ABC中，A(2, 4)，B(－1, －2)，C(4, 3)，BC边上的高为AD．
(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；
＝(2+1, 4+2) ＝ (3, 6)
＝(4+1, 3+2) ＝ (5, 5)
cosθ＝
的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．
(2)判断 ·的值是否为一个常数，并说明理由．
第六章平面向量及其应用章末总结课件(人教版)
2
2
由 b=3 及余弦定理 b =a +c -2accos B,
2
2
得 9=a +c -ac.
所以 a= ,c=2 .
规律总结
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的
过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平
分线、外接圆半径和内切圆半径),解三角形通常是指求未知的元素,有时
∠
=
(-∠)
=
在△ABC 中,BC=5,
2
2
2
2
2
由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BC·cos B=8 +5 -2×8×5×=49,
所以 AC=7.
=3,
题型四
正、余弦定理的综合应用
[例 4] (2021·山西运城模拟)△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
所以 tan B= ,又 0<B<π,所以 B=.
[例 3] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= acos B.
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
解:(2)由 sin C=2sin A 及=,得 c=2a,
→
→
所以=2,即 D 错误.故选 AB.
→
→
→
(2)如图所示,正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于
(
)
(A)
(B)
(C)
→
→
→
(D)2
人教A版数学必修第二册第六章《第六章 平面向量及其应用》知识点总结
1 / 3人教A 版数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》同步讲义第六章 平面向量及其应用 知识点总结1. 向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为的向量．单位向量：长度等于个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2. 向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．⑸坐标运算：设，，则．3. 向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．4. 向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．5. 向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．01a b a b a b -≤+≤+a b b a +=+ ()()a b c a b c ++=++ 00a a a +=+=()11,a x y =()22,b x y = ()1212,a b x x y y +=++ ()11,a x y =()22,b x y = ()1212,a b x x y y -=-- A B ()11,x y ()22,x y ()1212,x x y y AB =--λa a λa a λλ=0λ>a λ a 0λ<a λ a 0λ=0a λ=()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+ (),a x y = ()(),,a x y x y λλλλ==()0a a ≠ b λb a λ=2 / 3设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．6. 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）7. （选讲）分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．8. 平面向量的数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．⑶运算律：①；②；③．⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．9. 正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．10. 正弦定理的变形公式（1），，；（2），，；（3）；（4）．11. 三角形面积公式：．12. 余弦定理：在中，有，，()11,a x y = ()22,b x y = 0b ≠ 12210x y x y -=a ()0b b ≠1e 2e a1λ2λ1122a e e λλ=+1e 2e P 12P P 1P 2P ()11,x y ()22,x y 12λP P =PPP 1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤0a b 0a b a b ⊥⇔⋅= a b a b a b ⋅= a ba b a b ⋅=- 22a a a a ⋅== a = a b a b ⋅≤a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ()11,a x y =()22,b x y = 1212a b x x y y ⋅=+ (),a x y = 222a x y =+ a =()11,a x y =()22,b x y = 12120a b x x y y ⊥⇔+= a b()11,a x y = ()22,b x y = θa b cos a ba b θ⋅==C ∆AB a b c A B C R C ∆AB 2sin sin sin a b c R C===A B 2sin a R =A 2sin b R =B 2sin c R C =sin 2a R A =sin 2b R B =sin 2c C R=::sin :sin :sin a b c C =A B sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B 111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B C ∆AB 2222cos a b c bc =+-A 2222cos b a c ac =+-B3 / 3．13. 余弦定理的推论：，，．14. 设、、是的角、、的对边，则：（1）①若，则；（2）若，则；（3）若，则2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a bc +-A =222cos 2a c b ac +-B =222cos 2a b c C ab+-=a b c C ∆AB A B C 222a b c +=90C =222a b c +>90C <222a b c +<90C >。
部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳单选题1、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．62、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−113、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃑ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−14、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．235、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A ＝23°，∠C ＝120°，AC =60√3米，则A ，B 间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（ ）A ．60米B ．120米C ．150米D ．300米6、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6]7、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．表高×表距表目距的差+表高B ．表高×表距表目距的差−表高 C ．表高×表距表目距的差+表距D ．表高×表距表目距的差−表距8、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（ ） A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 多选题9、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑10、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．cosB =√32C ．a +c =√3D ．a +c =3√211、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π3，b +c =10，a =2√10，则三角形的面积不可能是（ ）A ．5√3B ．6√3C ．14√3D ．16√3 填空题12、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则2λ+μ=___________.部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(二)参考答案1、答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =15AB⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 2、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 3、答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃑ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ． 4、答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosCAB2=42+32−2×4×3×2 3可得AB2=9，即AB=3由∵cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =9+9−162×3×3=19故cosB=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5、答案：C分析：应用正弦定理有ACsinB =ABsinC，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.由题设，∠B=180°−∠A−∠C=37°，在△ABC中，ACsinB =ABsinC，即60√3sin37°=√32，所以AB=90sin37°≈150米.故选：C6、答案：B分析：直接由||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|求解即可.由已知必有||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EH AH ,FGAB =CGAC ，而 DE =FG ，所以DE AB=EH AH=CG AC=CG−EH AC−AH=CG−EH CH，而 CH =CE −EH =CG −EH +EG ， 即AB =CG−EH+EG CG−EH×DE =EG×DE CG−EH+DE ＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 8、答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B ． 9、答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心， 因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF+BD+CE=12(AB →+BC →+CA →)=0, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 10、答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, sinA ≠0 cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π) ∴B =π3S △ABC=3√34,b =3∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 11、答案：BCD分析：根据余弦定理和三角形面积公式进行求解判断即可.解：因为A =π3，b +c =10，a =2√10，所以由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得40=b 2+c 2−ab =(b +c)2−3bc =100−3bc ，所以bc =20， 所以S △ABC =12bcsinA =12×20×√32=5√3．故选：BCD 12、答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43。
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平面向量的基本概念 [例1] (多选)下列命题中，其中正确的是
()
A．a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b＝λa
B．e为单位向量，且a ∥e，则a ＝±|a |e
C．|a ·a ·a |＝|a |3
D．若a ·b ＝b ·c且b ≠0，则a ＝c [解析] 若a为零向量，则A不成立．根据向量数量积的概念
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[解析]
由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝
π 3
，又由sin
B·sin C＝sin2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2
＝0，即b＝c，所以△ABC为一个内角为
π 3
的等腰三角形，即为
等边三角形． [答案] C
A．－14a －12b C．－34a －12b
B．14a ＋12b D．34a＋12b
()
[解析] (1)由题，可得―O→A ＝(－1,3)，―A→B ＝(3，－7)， 所以―O→P ＝―O→A ＋m―A→B ＝(3m－1,3－7m)． 又点P在y轴上，所以3m－1＝0，得m＝13，故选A． (2)如图，∵―M→B ＋3―M→A ＝0，
可知D错误．易知B、C正确．故正确命题为B、C． [答案] BC
二、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则
解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算 法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得 运算结果等．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积 运算及解三角形中.
―→ ·CD
＝－2＋6＝4，则向量 ―A→B
在向量
―C→D 上的投影
―→ ―→ ―→
向量为
AB ·CD ―→ | CD |
·|―CC→DD |＝－25，65.故选B.
[答案] (1)C (2)B
利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例4] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， c，且bsin A＝ 3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解] (1)由bsin A＝ 3acos B 及正弦定理sina A＝sinb B，得sin B＝ 3cos B， 所以tan B＝ 3，又0<B<π，所以B＝π3.
(2)∵
―→ BD
＝
―→ BC
＋
―→ CD
＝a
＋5b，∴
―→ AB
＝
2 2
―→ BD
，则
A，B，D三点共线．
[答案] (1)B (2)A，B，D
判定三角形的形状
[例6] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
四、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达
问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．在本章 中主要是利用正弦、余弦定理解决实际问题．
余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
[例7] 如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射 塔，且AM＝100 m，BN＝200 m，一测量 车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔 顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方 向行驶了100 3 m后到达点Q，在点Q处测 得发射塔顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ， 经计算，tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
章末复习与总结
知 识 体 系 构 建
一、数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究
对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图 形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体 背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术 语予以表征．在本章中主要表现为理解向量的基本概念.
平面向量的线性运算
[例2]
(1)已知点O(0,0)，A(－1,3)，B(2，－4)，
―→ OP
＝
―O→A ＋m―A→B .若点P在y轴上，则实数m的值为
()
A．13
B．14
C．15
D．16
(2)在平行四边形ABCD中，
―→ AB
＝a，
―→ AD
＝b
，AC与BD
相交于点O，点M在AB上，且―M→B ＋3―M→A ＝0，则向量―OM→＝
―→ BC
＝－2a ＋8b ，
―→ CD
＝3(a
－
b)，则共线的三点是________．
[解析]
(1)由(
―→ PB
－
―→ PC
―→ )·( OB
＋
―→ OC
)＝0，知
―C→B ·2―O→D ＝0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的垂直平分线
上．同理，O在AC的垂直平分线上，故O为△ABC的外心．
平面向量的应用
[例5] (1)O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所
在平面内的一动点，若(
―→ PB
－
―→ PC
―→ )·( OB
＋
―→ OC
)＝(
―→ PC
－
―PA→)·(―O→A ＋―O→C )＝0，则O为△ABC的
()
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
(2)若
―→ AB
＝
2 2
(a
＋5b)，
(2)由sin C＝2sin A及sina A＝sinc C，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝ 3，c＝2 3.
三、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则
推出一个命题的思维过程．在本章中，主要表现在利用向 量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形 状等问题中.
[例3] (1)若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)
＝－72，则|a |＝
()
A．2
B．4
C．6
D．12
(2)已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量―A→B 在向
量―C→D 上的投影向量的坐标为
()
A．25，65
B．－25，65 C．－25，－65 D．25，－65
[解析] (1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝
－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，
∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0，∴|a |＝6.
(2)―A→B ＝(2,2)，―C→D ＝(－1,3)，|―C→D |＝ 10，
―→ AB→O ＝12―A→B ＋12―A→D ，∴―OM→＝―O→A ＋―AM→＝－12―A→B － 12―A→D ＋14―A→B ＝－14―A→B －12―A→D ＝－14a－12b.故选A． [答案] (1)A (2)A
平面向量的数量积运算