平面向量-章末检测
平面向量章末测试(含答案)
2016-2017学年高中数学第二章平面向量章末测试20＝2 5.14．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4，故|a －b |＝2，因为cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝a －b ·a ＋b |a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12，故所求夹角是2π3.15．已知向量a ＝(1，t )，b ＝(－1，t ).2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 答案：2解析：由(2a －b )·b ＝0，可得t ＝±3，所以|a |＝12＋±32＝2.16．如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝135° ，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.答案：－43解析：根据向量的加减法法则有：BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →，此时AD →·BC →＝(13AC →＋23AB →)(AC →－AB →)＝13|AC →|2＋13AC →·AB →－23|AB →|2 ＝13－13×1×2×22－23×2＝－43. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17小题10分，第18～22小题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16， |a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝4 3.(2)由题意，知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.18．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (6，2)、B (0,3)、C (－32，sin α)，α∈(π2，3π2)．若AB →|＝|BC →|，求角α的值．解：∵AB →＝(－6，1)，BC →＝(－32，sin α－3)∴|AB →|＝7，|BC →|＝34＋sin α－32 由|BC →|＝|AB →|得sin α＝12.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π6.19．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝242＋348·(－32)－282＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝4a －2b 2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝1642－1648－32＋482＝8(2＋6)．20．已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0，整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ，即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b .∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .21．如图所示，现有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 的L 处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿PQ →方向．设PA →＝v 水，从A 向PQ →作垂线，垂足为B ，有向线段AB →即表示最小划速的大小和方向．|v 划|min ＝|v 水|sin θ＝|v 水|·d |PQ →|＝5×60602＋802＝5×0.6＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.22．已知点A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)． (1)已知点D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →；(2)若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第四象限，求λ的取值范围．解：如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0. ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即0＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
章末测试卷2：第二章 平面向量
必修四第二章 平面向量章末测试卷一．填空题1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a =(1,－2),b =(1,x ),若a ⊥b ,则x 等于______9. 已知向量a ,b 的夹角为 120，且|a |=2,|b |=5,则（2a -b ）·a =______10. 设a =(2,－3),b =(x ,2x ),且3a ·b =4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x +2y 的值为_____12. 已知向量a +3b ,a -4b 分别与7a -5b ,7a -2b 垂直，且|a |≠0,|b |≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM =2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y =－x 2进行平移，使得到的图形与函数y =x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t ,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.0 2.（－3，－4） 3.7 4.90° 5.（21，321）． 6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.12 10.31-11.0 12. 90° 13. 14.51--或 简答题1.（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50． （2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ＝||||AC AB ACAB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．2．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底2-（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a3.．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a +t b (t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )4.解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OBOC y x OC ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ……… )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.5.．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.6．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
2022版新教材数学必修第二册(人教B版)章末检测-平面向量初步-含解析
章末质量检测(六) 平面向量初步考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A .有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量2．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则AB →＋2BC →等于( )A ．5B ．(－1，5)C ．(6，1)D ．(－4，9)3．若A(x ，－1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3B ．－1 C ．1D ．34．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4，0)，(－2，6) B ．(－2，6)，(4，0) C ．(2，0)，(－1，3) D ．(－1，3)，(2，0) 5．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5B ．±10 C ．±12D ．±13 6．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A.x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝147．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ，b ＝⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ，则a ＋3b ＝( ) A ．(λ＋3，－λ) B ．(－λ＋3，λ)C ．(1，0)D ．(3，0)8．若向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．12a ＋b B ．－12a －bC ．32a ＋12bD ．32a －12b二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．|a ＋b |＝|a －b |，则a ⊥bD ．若a 与b 是单位向量，则|a |＝|b |10．已知a ＝(1，2)，b ＝(3，4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( )A ．5B ．55C ．－5D ．－5511．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A ．AC →＝12a ＋bB ．BC →＝－12a ＋bC ．BM →＝－13a ＋23bD ．EF →＝－14a ＋b12．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.14．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．15．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N ，则每根绳子的拉力大小为________N ．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，则1x ＋1y＝________．四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.18.(12分)已知点A (－1，2)，B (2，8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．19．(12分)已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．20．(12分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h ，同时江水的速度为向东6km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°).21．(12分)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1). (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .22．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．章末质量检测(六) 平面向量初步1．解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．解析：AB →＝(2，3)，BC →＝(－3，3)，∴AB →＋2BC →＝(2，3)＋2(－3，3)＝(－4，9). 答案：D3．解析：AB →∥BC →，(1－x ，4)∥(1，2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B4．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝（1，3），a －b ＝（3，－3），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（2，0），b ＝（－1，3）.答案：C5．解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13，所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C6．解析：由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 答案：A7．解析：因为a ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ b ＝⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ 所以a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ＋3⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ＝(3，0). 答案：D8．解析：设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1则c ＝12a ＋b . 答案：A9．解析：单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b ＝0时，a 与c 可以为任意向量；|a ＋b |＝|a －b |，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．故选AB.答案：AB10．解析：a 2＝5，b 2＝25，且a ＋k b 与a －k b 垂直，∴(a ＋k b )(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝5－25k 2＝0，解得k ＝±55.故选BD.答案：BD11．解析：由题意可得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋a ×13＝23b －23a ，故C 错误；EF→＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．答案：ABD12．解析：由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的．对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e 1＋μ1e 2为非零向量，而λ2e 1＋μ2e 2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．故选B ，C.答案：BC13．解析：若a ，b 能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，则a ≠k b (k ∈R )，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，∴λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)14．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3 答案：－315．解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：1016．解析：OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ → ＝(1－λ)xOA →＋λy OB →，①又∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.② 而OA →，OB →不共线．∴由①②，得⎩⎨⎧（1－λ）x ＝13，λy ＝13．解得⎩⎨⎧1x ＝3－3λ，1y＝3λ.∴1x ＋1y ＝3.答案：317．解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，所以点C ，D 的坐标分别是(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).19．解析：(1)由已知AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2).∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3). 20.解析：(1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示江水速度，以AD ，AB 为邻边作▱ABCD ，则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝6，|BC →|＝15，于是|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝62＋152＝261≈16.2.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB ≈68°.因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h ，方向与江水速度间的夹角约为68°.21．解析：(1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89．(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.22．解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →).故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．。
人教版必修第二册第一章《平面向量及其应用》章末综合检测及答案解析
人教版必修第二册第一章《平面向量及其应用》章末综合检测及答案解析总分：150分 时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，则AB →等于( ) A.(－2，3) B.(0，1) C.(－1，2)D.(2，－3)解析：选D. OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3) ，故选D. 2．已知|a |＝|b |＝2，a ·b ＝2，则|a －b |＝( )A ．1B ．3C ．2D ．3 或2解析：选C.|a －b |＝|a －b |2＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×2＋22＝4 ＝2.故选C.3．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332 ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．150°解析：选 A.因为(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，所以a·b ＝32 .设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝32.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.4.向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),若3a -b 与c 共线,则x=( ) A.1 B.-3C.-2D.-1解析：向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),则3a-b =(1,-1),又3a-b 与c 共线,则1×1-(-1)·x=0,解得x=-1.5.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于( )(A) (B) (C) (D)2解析:由正弦定理得====2,所以b=2sin B,c=2sin C, 则=2.故选D.6．已知A (1，2)，B (3，4)，C (－2，2)，D (－3，5)，则向量AB → 在向量CD →上的投影向量的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65解析：选B.AB → ＝(2，2)，CD → ＝(－1，3)，|CD → |＝10 ，AB → ·CD →＝－2＋6＝4，则向量AB → 在向量CD → 上的投影向量为AB →·CD →|CD →| ·CD →|CD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 ，故选B. 7．已知△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O .若|OA → |＝|AB → |，且2 OA → ＋AB → ＋AC →＝0，则CA →·CB →＝( )A ． 3B ．2 3C ．32D ．3解析：选D.因为2 OA → ＋AB → ＋AC → ＝0，所以(OA → ＋AB → )＋(OA → ＋AC → )＝0，即OB → ＋OC →＝0，所以O 为边BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，A 为直角．又因为|OA → |＝|AB →|，所以△OAB 为等边三角形，|AB → |＝1，|BC → |＝2，|AC → |＝3 ，CA → 与CB →的夹角为30°，则CA →·CB →＝3 ×2×cos 30°＝3.故选D.8．有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A.1 kmB.2sin 10° kmC.2cos 10° kmD.cos 20° km解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1 km,∠ADC=10°,所以∠ABD=160°.在△ABD 中,由正弦定理=,所以AD=AB ·==2cos 10°(km).故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于任意的平面向量a ,b ,c ,下列说法正确的是 (A.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cB.(a +b )·c =a ·c +b ·cC.若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =cD.a+b+c=a+c+b解析：选BD.a ∥b 且b ∥c ,当b 为零向量时,则a 与c 不一定平行,即A 错误;由向量乘法的分配律可得:(a +b )·c =a ·c +b ·c ,即B 正确; 因为a ·b =a ·c ,则a ·(b -c )=0,又a ≠0, 则b =c 或a ⊥(b -c ),即C 错误;向量加法满足交换律,即:a+b+c=a+c+b,即D 正确. 10．下列说法中正确的有( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C解析：选ACD.设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理得asin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .对于A 选项，a ∶b ∶c ＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确；对于D 选项，由正弦定理得b ＋c sin B ＋sin C ＝2R sin B ＋2R sin C sin B ＋sin C ＝2R ＝asin A ，故D 正确；对于B 选项，由二倍角公式得2sin A cos A ＝2sin B cos B ，则2a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，整理得a 4－b 4－a 2c 2＋b 2c 2＝0，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，则a 2－b 2＝0或a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝b 或C ＝π2 ，故B 错误；对于C选项，在△ABC 中，由正弦定理得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B (大边对大角)，故C 正确．故选ACD.11．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝6，sin A ＝2sin C ，则以下四个结论正确的有( )A ．△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 有可能是等边三角形 C ．当A ＝B 时，△ABC 的周长为15D ．当B ＝π3时，△ABC 的面积为63解析：选CD.因为sin A ＝2sin C ，所以a ＝2c ，又b ＝6，若A 为直角，由36＋c 2＝4c 2，可得c ＝23 ，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故A 错误；由于a ＝2c ，故△ABC 不可能是等边三角形，故B 错误；当A ＝B 时，a ＝b ＝2c ＝6，可得c ＝3，可得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6＋6＋3＝15，故C 正确；当B ＝π3时，b ＝6，a ＝2c ，由余弦定理可得36＝a 2＋c 2－ac ＝4c 2＋c 2－2c 2，解得c ＝23 ，a ＝43 ，可得△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12×23 ×43 ×32＝63 ，故D 正确．故选CD. 12．已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个说法中正确的有(A.满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B.当A=2C 时,△ABC 的周长为15C.当A=2C 时,若O 为△ABC 的内心,则△AOB 的面积为D.△ABC 的面积的最大值为40解析：选BCD.a=6,4sin B=5sin C 即4b=5c,设b=5t,c=4t(t>0),由36+16t 2=25t 2,可得t=2(负值舍去), 满足条件的△ABC 可能是直角三角形,故A 错误; a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得:B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=,由=,sin C≠0,可得:4cos2C-1=,解得:cos C=,sin C=,可得sin A=2sin Ccos C=,可得:c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;S△ABC=bcsin A=.设△ABC的内切圆半径为R,则R==,S△ABO=cR=,故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n)(n≠0), 可得4=5,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+m+9=0,化为+n2=(n≠0),则A 的轨迹为以为圆心,为半径的除去x 轴上两点的圆,可得△ABC 的面积的最大值为×6×=40,故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，且(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．解析：由题意得，(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，3m ＋(5m －3)×1×2×cos 60°－5×4＝0，即8m ＝23， 解得m ＝238 .答案：23814．在锐角三角形ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a= .解析：因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B.所以sin A=,因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A=, 因为bc=6,b+c=5, 所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a 2=b 2+c 2-2bccos A=22+32-2×6×=7,所以a=(负值舍).答案:15．已知OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )，若A ，B ，C 三点共线，则实数m 的值为________，CA → ·CB →的值为________．解析：因为OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )， 所以AB → ＝OB → －OA →＝(1，－2)，BC →＝OC → －OB →＝(1，m ＋1).因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB → ∥BC → ，所以1×(m ＋1)＝(－2)×1， 所以m ＝－3，所以OC →＝(1，－3). 所以CA → ＝OA → －OC →＝(－2，4)，CB →＝OB → －OC →＝(－1，2).所以CA → ·CB →＝(－2)×(－1)＋4×2＝10. 答案：－3 1016．已知a 、b 满足:|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|= . 解析:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=16. 因为|a|=3,|b|=2, 所以a ·b=,所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a ·b =9+4-2×=10,可得|a-b|=.答案:四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 如图所示,梯形ABCD 中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若=a ,=b ,试用a,b 表示,,.解析：如图所示,连接CN,则四边形ANCD 是平行四边形.则===a,=-=-=b-a ,=-=--=--=a-b.18．(本小题满分12分)如图，已知向量a 与b ，其中|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°.(1)求a·b ；(2)求向量b 在a 方向上的投影向量，并画图解释．解析：(1)a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×4×cos 150°＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝－63 .(2)如图，作OA → ＝a ，OB →＝b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos (π－θ)＝4×32＝23 ， 向量b 的单位向量为b |b | ＝b 4 ，所以向量b 在a 方向上的投影向量是－23 ×b 4 ＝－3b2.19．(本小题满分12分) 已知△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc. (1)求cos C 的值; (2)若a=5,求△ABC 的面积.解析:(1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,得a2-(b-c)2=bc,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理,得cos A==,所以sin A=.又因为B=,所以cos C=-cos (A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.(2)由(1)得sin C=.在△ABC中,由正弦定理,得c==8,所以S=acsin B=×5×8×sin =10.20．(本小题满分12分) 如图,A,B 两个小岛相距21海里,B 岛在 A 岛的正南方,现甲船从 A 岛出发,以9海里/时的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间后,两船相距最近?求出两船的最近距离.解析：设行驶th后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.①当9t<21,即t<时,C 在线段AB 上, 此时BC=21-9t.BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理知CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos 120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t ·=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189.所以当t=2时,CD 取得最小值3.②当t=时,C 与B 重合,则CD=6×=14>3.③当t>时,BC=9t-21,则CD 2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t ·cos 60°=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知,当t=2时,CD 取最小值3.答:行驶2 h 后,甲、乙两船相距最近为3海里.21．(本小题满分12分)平面内有向量OA → ＝(1，7)，OB → ＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA → ·QB → 取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．解析：(1)设OQ → ＝(x ，y ).因为点Q 在直线OP 上，所以向量OQ → 与OP → 共线．又OP →＝(2，1)，所以x ＝2y ，所以OQ → ＝(2y ，y ).又QA → ＝OA → －OQ → ＝(1－2y ，7－y )，QB → ＝OB → －OQ → ＝(5－2y ，1－y )，所以QA → ·QB → ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA → ·QB → 有最小值－8，此时OQ → ＝(4，2).(2)由(1)知QA → ＝(－3，5)，QB → ＝(1，－1)，QA → ·QB → ＝－8，|QA → |＝34 ，|QB → |＝2 ，所以cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－41717 . 22．(本小题满分12分) 已知△ABC 中三个内角A,B,C 所对的边为a,b,c,且B=,b=2.(1)若c=,求sin A 的值;(2)当·取得最大值时,求A 的值.解析:(1)在△ABC 中,由正弦定理得=,则sin C==,因为b>c,所以C=,则sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.(2)·=bacos C=2acos C=2×cos C=sin Acos(π-A)=sin A(-cos A+sin A)=2-sin (2A+),当且仅当2A+=,即A=时·取到最大值.。
高中数学 第二章 平面向量章末检测(B)(含解析)苏教版
第2章 平面向量(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是________．2．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是________．3．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝________.4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →＝________. 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是________． 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是________．(填序号)7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于________． 8．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.9．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝________.11．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.12．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为________．13．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________．14．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法正确的是________．(填相应说法的序号) ①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )；④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2.二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.16．(14分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)(a －2b )·(a ＋b )；(2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.17．(14分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t2t的最小值．18．(16分)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．(16分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．20．(16分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b .求证：1m ＋1n＝3.第2章 平面向量(B)1．6解析 ∵a ∥b ，∴4×3－2x ＝0，∴x ＝6.2．(－43，2)解析 ∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0， ∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.3.12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， ∵AB →∥AC →，∴(a －2)(b －2)－4＝0，∴ab －2(a ＋b )＝0，该等式两边同除以ab ，可得ab －2a ＋bab＝0，∴1－2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝0， ∴1a ＋1b ＝12. 4．8解析 ∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD →·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8. 5.π3解析 ∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.6．①④解析 由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④. 7．－4解析 向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.8．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7. 9．2x －3y －9＝0解析 设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0.10．－35解析 由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35. 11.79解析 AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.12．3解析 设△ABC 边BC 的中点为D ，则 S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP ＝2ADAP.∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABCS △ABP＝3. 13．－8解析 设OM →＝tOP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t ＝2时，MA →·MB →取得最小值－8. 14．①③④解析 若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故①正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故②不正确．对于③，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故③正确．对于，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故④正确．15．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b . ∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM → ＝23a ＋23b －16a －56b＝12a －16b. 16．解 a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22 ＝12.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝419.17．解 由题意有|a |＝32＋－12＝2，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1. ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b .∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值为－74.18．解 设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]，则OM →＝(6t,3t )，即M (6t,3t ).MA →＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB →＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )． 若MA ⊥MB ， 则MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0.即45t 2－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 19．解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得2t e 1＋7e 2·e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ7＝λtλ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.20.证明 如右图所示，∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，∴OG →＝23OD →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP → ＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b . PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a . 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m )a ＋13b ＝λn b －λm a ， ∴(13－m ＋λm )a ＋(13－λn )b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＋λm ＝0， ①13－λn ＝0， ②由①②消去λ得：1m ＋1n＝3.。
高考数学总复习 第五章 平面向量配套章末综合检测(含解析)新人教A版
第五章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测范围：第五章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝ ( )A ．24 B.27 C ．15D.54解析 B 由a 3＋a 4＋a 8＝9，得3(a 1＋4d )＝9，即a 5＝3.则S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝27.2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14 B.15 C ．16D.17解析 C ∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n n 为正奇数，a n ＋1n 为正偶数，则其前6项之和是A ．16 B.20 C ．33D.120解析 C a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.4．在数列1,2，7，10，13，4，…中，219是这个数列的第几项 ( ) A ．16 B.24 C ．26D.28解析 C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，a 6＝4＝16，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.5．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则在数列中绝对值最小的项为 A ．第5项 B.第6项 C ．第7项D.第8项解析 C ∵S 13<0，∴a 1＋a 13＝2a 7<0，又S 12>0， ∴a 1＋a 12＝a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，且|a 6|>|a 7|.故选C. 6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 C ∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.7．(2013·杭州月考)正项等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于 ( )A ．－16 B.10 C ．16D.256解析 C 由log 2(a 2a 98)＝4，得a 2a 98＝24＝16， 则a 40a 60＝a 2a 98＝16.8．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N )，则f (n )＝ ( ) A.27(8n－1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析 D ∵数列1,4,7,10，…，3n ＋10共有n ＋4项，∴f (n )＝2[1－23n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)．9．△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是 ( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D.以上均错解析 B 由题意知，tan A ＝－1－－47－3＝34＞0.又∵tan 3B ＝412＝8，∴tan B ＝2＞0，∴A 、B 均为锐角．又∵tan(A ＋B )＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A ＋B 为钝角，即C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m＋4n的最小值为 ( )A.32B.53C.256D ．不存在解析 A 由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5(q >0)，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2.又由已知条件a m a n ＝4a 1，得a 1q m －1·a 1qn －1＝16a 21，∴q m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24m n·n m ＝32， 当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时，取“＝”．11．(2013·银川一中模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17 B.S 18 C ．S 15D.S 14解析 C 由a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8是定值，可知a 8是定值．所以S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8是定值．12．数列{a n }的通项公式a n ＝1nn ＋1，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10 B.－9 C ．10D.9解析 B ∵a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1， 由nn ＋1＝910，得n ＝9， ∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0，其在y 轴上的截距为－9.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{}a n 中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21114．若数列{a n }满足关系a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则该数列的通项公式为________． 解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－1.【答案】 a n ＝2n ＋1－115．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝3x＋r 的图象上，则实数r ＝________.解析 ∵{a n }是等比数列，且{n ，S n }在函数y ＝3x＋r 上，即S n ＝3n＋r ， ∴公比q ＝3，且a 1＝S 1＝3＋r ，a 2＝S 2－S 1＝6，∴a 2a 1＝63＋r＝q ＝3，∴r ＝－1. 【答案】 －116．给定：a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做数列{a n }的“企盼数”，则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和M ＝________.解析 设a 1·a 2·…·a k ＝log 23·log 34·…·log k (k ＋1)·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)为整数m ，则k ＋2＝2m， ∴k ＝2m－2.又1≤k ≤2 013， ∴1≤2m－2≤2 013， ∴2≤m ≤10.∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18 ＝22×1－291－2－18＝2 026. 【答案】 2 026三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 3＝a 3，T 2＝3，求T n . 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 4＝6，a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝6，a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q >0)．∵a n ＝2n －2，∴a 3＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b 1q 2＝4，b 11＋q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，b 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－23，b 1＝9(舍去)，∴T n ＝b 11－q n 1－q ＝1－2n1－2＝2n－1.18．(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意的n ∈N *，有S n＝32a n －32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由已知得S n ＝32a n －32，∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－32，∴S n －S n －1＝32a n －32a n －1，即a n ＝32a n －32a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝3a n －1，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3； 又当n ＝1时，S 1＝32a 1－32，即a 1＝32a 1－32，∴a 1＝3.∴a n ＝3n.(2)由(1)知a n ＝3n， 故b n ＝1log 33n·log 33n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 19．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴a 1＝13，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)， ②①－②得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，化简得a n ＝13n (n ≥2)．显然a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N *)．(2)由①得b n ＝n ·3n.于是S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n，③ 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1，④③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1，即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1，S n ＝n 2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.20．(12分)(2013·长沙模拟)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)当b n ＝1－－1n2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.解析 (1)∵{a n }是递减数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数，又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)b n ＝8[1－－1n]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n ，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0n ＝2k ，k ∈N *a nn ＝2k －1，k ∈N *∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <163. 21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1. (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设3nb n ＝n (3n－a n )，求|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |. 解析 (1)∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)．又a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，即a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2， ∴a n －3n≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．(3)由(2)及3nb n ＝n (3n－a n )，可得 3nb n ＝－n (a n －3n)＝－n [2×(－2)n －1]＝n (－2)n，∴b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，∴|b n |＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.∴T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n | ＝23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，①①×23，得23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1， ②①－②得13T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1 ＝2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，∴T n ＝6－2(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.22．(14分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (3)设b n ＝(9－n )f n ＋1f n，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．解析 (1)令x ＝n ，y ＝1， 得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 整理，得T n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<2.(3)∵f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴b n ＝(9－n )f n ＋1f n＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0； 当n >9时，b n <0.∴当n ＝8或9时，S n 取到最大值．。
高中数学北师大版必修4《第二章平面向量》章末测试卷含试卷分析详解
A.1327B.132C.133D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a ＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．1 B.32C ．2 D.52答案：C解析：先求模的平方． 10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一个正六角星，如图所示的正六角星是以原点O 为中心，其中x →，y →，分别为原点O 到两个顶点的向量．若将原点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成为a x →＋b y →的形式，则a ＋b 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：要求a ＋b 的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：(1)∵OA →＝x →，∴(a ，b )＝(1,0)；(2)∵OB →＝OF →＋FB →＝y →＋3x →，∴(a ，b )＝(3,1)；(3)∵OC →＝OF →＋FC →＝y →＋2x →，∴(a ，b )＝(1,2)；(4)∵OD →＝OF →＋FE →＋ED →＝y →＋x →＋OC →＝y →＋x →＋(y →＋2x → )＝2y →＋3x →，∴(a ，b )＝(3,2)；(5)∵OE →＝OF →＋FE →＝y →＋x →，∴(a ，b )＝(1,1)；(6)∵OF →＝y →，∴(a ，b )＝(0,1)． ∴a ＋b 的最大值为3＋2＝5.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知向量a ，b 满足|a |＝2011，|b |＝4，且a ·b ＝4022，则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ，由夹角余弦公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝40222011×4＝12，解得θ＝π3.12．已知向量a ＝(1，t )，b ＝(－1，t ).2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 答案：2解析：由(2a －b )·b ＝0，可得t ＝±3，所以|a |＝12＋(±3)2＝2.13．如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝135° ，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC＝2BD ，则AD →·BC →＝________.答案：－43解析：根据向量的加减法法则有：BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13 (AC →－AB → )＝13AC →＋23AB →，此时AD → ·BC →＝(13AC →＋23AB → )(AC →－AB → )＝13|AC →|2＋13AC →·AB →－23|AB →|2＝13－13×1×2×22－23×2＝－43. 三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (6，2)、B (0,3)、C (－32，sin α)，α∈(π2，3π2)．若AB →|＝|BC →|，求角α的值．解：∵AB →＝(－6，1)，BC →＝(－32，sin α－3)∴|AB →|＝7，|BC →|＝34＋(sin α－3)2由|BC →|＝|AB →|得sin α＝12.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π6.15．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b ) ＝2a 2＋3a ·b －2b 2＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝242＋348·(－32)－282＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2 ＝1642－1648(－32)＋482＝8(2＋6)．16．已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0， 整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ， 即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b .∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎨⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .17．如图所示，现有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 的L 处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿PQ →方向．设P A →＝v 水，从A 向PQ →作垂线，垂足为B ，有向线段AB →即表示最小划速的大小和方向．|v 划|min ＝|v 水|sin θ＝|v 水|·d |PQ →|＝5×60602＋802＝5×0.6＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.18．已知点A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)．(1)已知点D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →；(2)若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第四象限，求λ的取值范围．解：如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0. ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即0＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
四川省高考数学总复习配套测评卷 平面向量章末质量检测5 新人教版
平面向量———————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 [来源:学§科§网]只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中不正确的是( )A ．a ∥b ⇔|a ·b |＝|a |·|b |B ．|a |＝a 2C ．a ·b ＝a ·c ⇔b ＝cD ．a ·b ≤|a |·|b |2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[来源:学科网ZXXK]3. 若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知正三角形ABC 的边长为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，则|a －b |＝( )A. 3 B ．3 C. 2 D ．15．已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 6．在△ABC 中，cos 2B ＞cos 2A 是A ＞B 的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数y ＝f (2x －1)＋1的图象按向量a 平移后的函数解析式为y ＝f (2x ＋1)－1，则向量a 等于( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(－1，－2)D (1，－2)8．在△ABC 中，已知向量AB →＝(cos 18°，cos 72°)，BC →＝(2cos 63°，2cos 27°)，则△ABC 的面积等于( )A.22B.24C.32D. 29．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①OC →∥BA →；②OA →⊥AB →；③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中正确结论的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AC 边所在的直线上B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．△ABC 的内部11．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且存在实数m ，使m a －3b －c ＝0成立，则点A 分BC →的比为( )A ．－13B ．－12C.13D.1212．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，b 1)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2,4π C.12，4π D.12，π 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)题 号[来源:学科网ZXXK][来源:学+科+网第Ⅰ卷[来源:学科网ZXXK] 第Ⅱ卷 总 分二 17 18 19 20 21 22Z+X+X+K ][来源:学*科*网][来源:学*科*网] 得 分二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．已知点P 分有向线段P 1P 2→的比为3，则P 1分P 2P →的比为______． 14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝(4,2)，若a ⊥(b ＋λa )，其中λ∈R ，则λ＝________. 15．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cos B ＝34，若BA →·BC →＝32，则a ＋c ＝________.16．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．若|a |＝|b |且a 、b 不共线，则(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，则λ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，且AB →·AD →＝5，AD →2＝10. (1)求D 点的坐标；(2)若D 的横坐标小于零，试用AB →，AD →表示AC →18．(本小题满分12分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2) (1)求证：a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .19.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且cos 2C ＋2cos(A ＋B )＝－32.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积S .20．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．21.(本小题满分12分)如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？22．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求O A →·O B →的值．答案：卷(五)一、选择题1．C 对于选项C ，当b 、c 不相等且都与a 垂直时，a·b ＝a·c 也成立，故C 不正确，选C.2．A ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－14＜0.则△ABC 是钝角三角形． 故选A.3．C ①式的等价式是AB →－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA →＋DC →，不一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →成立；③式的等价式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD →成立，故选C.4．A 由题意知a 与b 的夹角为180°－60°＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.5．B 结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA →|＝a ，|AB →|＝3a ，故OA →·AB →＝|OA →|×|AB →|×cos 5π6＝－3a 22.6．C cos 2B ＞cos 2A ⇔1－2sin 2B ＞1－2sin 2A ⇔sin 2B ＜sin 2A ⇔sin A ＞sinB ⇔A ＞B . 7．C 设向量a ＝(h ，k )，y ＝f (2x －1)＋1――→按a 平移y ＝f [2(x －h )－1]＋1＋k ＝f (2x ＋1)－1，所以h ＝－1，k ＝－2.8．A 由已知得 AB →＝(cos 18°，cos 72°) ＝(cos 18°，sin 18°)，B C →＝(2cos 63°，2cos 27°)＝(2s in 27°，2cos 27°)，故cos AB →，BC →＝AB →·BC →|AB →|×|BC →|＝2cos 18°sin 27°＋sin 18°cos 27°1×2＝cos45°，故AB →，BC →＝45°，因此S △＝12|AB →|×|BC →|×sin 135°＝22.9．D ①由于OC →＝(－2,1)， BA →＝(2，－1)⇒OC →＝－BA → ⇒OC →∥BA →，由共线向量基本定理易知命题正确； ②OA →·AB →＝(2,1)·(－2,1)＝－3≠0，故命题错误； ③OA →＋OC →＝(2,1)＋(－2,1)＝(0,2)＝OB →，命题正确； ④AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，故命题正确，因此正确结论的个数共有3个，故选D.10．A 由于CB →＝λPA →＋PB →⇒CB →＋BP →＝λPA →⇒CP →＝λPA →， 根据共线向量的基本条件， 则C 、P 、A 三点共线，故选A11．C 由已知得：BA →＝a －b ， AC →＝c －a ，设a －b ＝λ(c －a )，即(λ＋1)a －b －λc ＝0， ∴3b ＝(3λ＋3)a －3λc ， 又∵3b ＝m a －c ，∴根据平面向量基本定理得3λ＝1，即λ＝13.故选C.12．C 设P (x 0，y 0)，Q (x ，f (x ))， 则由已知得(x ，f (x ))＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3，12y 0， 即x ＝2x 0＋π3，∴x 0＝12x －π6.f(x )＝12y 0，∴y 0＝2f (x )．又y 0＝sin x 0，∴2f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∴(f (x ))max ＝12，T ＝2π12＝4π. 二、填空题13．【解析】 ∵P 分有向线段P 1P 2→的比为3，∴P 1P→PP 2→＝3，如图，∴P 2P 1→P 1P→＝－43【答案】 －4314．【解析】 ∵a ⊥(b ＋λa )， ∴a ·(b ＋λa )＝0.∴(1，－3)(4＋λ，2－3λ) ＝0，即(4＋λ)－3(2－3λ)＝0.解得λ＝15.【答案】 1515．【解析】 ∵BA →·BC →＝32，∴ac ·cos B ＝32.又∵cos B ＝34，且a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得 a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5.∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，即a ＋c ＝3. 【答案】 3 16．【解析】 ∵|a |＝|b |且a 、b 不共线， ∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b ) ＝(λa －λb )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0.∵BC →＝(1,2)，∴f (BC →)＝λ(1,2)，AB →＝(2,4)， ∴λ＝2.【答案】 0,2 三、解答题17．【解析】 (1)设D (x ，y )，则AB →＝(1,2)，AD →＝(x ＋1，y )． ∴AB →·AD →＝x ＋1＋2y ＝5，① AD →2＝(x ＋1)2＋y 2＝10.②联立①②，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴D 点的坐标为 (－2,3)或(2,1)．(2)因D 点的坐标为(－2,3)时，AB →＝(1,2)， AD →＝(－1,3)，AC →＝(－2,1)， 设AC →＝mAB →＋nAD →， 则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝m －n ，1＝2m ＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1.∴AC →＝－AB →＋AD →.18．(1)【解析】 证明： ∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)， －1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线，cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－4＋32·5＝－210.(2)cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－5－22·29＝－75858， ∴c 在a 方向上的投影为 |c |cos 〈a ，c 〉＝－722.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－λ1＋4λ2－2＝λ1＋3λ2， 解得λ1＝－237，λ2＝37.19．【解析】 (1)∵cos 2C＋2cos(A ＋B )＝－32，∴2cos 2C －1－2cos C＝－32，∴cos C ＝12.∵0＜C ＜180°，∴C ＝60°.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴7＝a 2＋b 2－ab＝(a ＋b )2－3ab ，∵a ＋b ＝5，∴7＝25－3ab ， ∴ab ＝6，∴S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.20．【解析】 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，ABsin C ＝BCsin A.于是AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 21．【解析】 (1)在Rt△PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1， ∴AB ＝ 3.在Rt△PAC 中，∠APC ＝30°，∴AC ＝33.在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝332＋32＝303. 则船的航行速度为303÷16＝230(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin∠DCA ＝sin(180°－∠ACB )＝sin∠ACB ＝AB BC ＝3303＝31010，sin∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin∠ACB ·cos30° －cos∠ACB ·sin30° ＝31010·32－12·1－310102＝33－11020.由正弦定理得ADsin∠DCA＝ACsin∠CDA.∴AD ＝AC ·sin∠DCA sin∠CDA＝33·3101033－11020＝9＋313.22．【解析】 (1)由三角函数的定义得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，在△AOB 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ由正弦定理，得|OB |sinπ4＝|OA |sin∠B ，即222＝|OA |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ 所以|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ.(2)由(1)得O A →·O B →＝|O A →|·|O B →|·cos θ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ·cos θ 因为tan θ＝－43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin θ＝45，cos θ＝－35又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4·sin θ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×45＝210.∴OA →·OB →＝42×210×(－35)＝－1225.。
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第二章 平面向量(B) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1.3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( )A ．(－43，2)B ．(－∞，－43)∪(2，＋∞)C ．(－2，43)D ．(－∞，2)∪(43，＋∞)4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－6 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π26．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )A ．－4B ．4C ．－125 D.1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A.32B ．2C ．3D ．6 10．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝m AB →＋n AC →，则m ＋n 等于( ) A.23 B.79 C.89D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于( )A ．－45B ．－35C ．0 D.3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(2222题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)(a －2b )·(a ＋b )； (2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.19．(12分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t2t的最小值．20．(12分)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．22．(12分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b .求证：1m ＋1n＝3.第二章 平面向量(B)答案1．B [∵a ∥b ，∴4×3－2x ＝0，∴x ＝6.]2．C [∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b |a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b |a ＋b |＝|a －b |.∴a ·b ＝0.]3．A [∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0，∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.]4．A [∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD →·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]5．C [∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.]6．B [由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④.]7．A [向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a·b |a||b|＝a·b |b|＝－123＝－4.]8．B [∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →＝OA →＋λ(OB →－OA →)∴AM →＝λAB →，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B.]9．C [设△ABC 边BC 的中点为D ，则S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP ＝2ADAP.∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABCS △ABP＝3.]10．B [AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.]11．B [由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35.]12．B [若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．] 13．2解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7.15．2x －3y －9＝0解析 设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0. 16．－8解析 设OM →＝t OP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t＝2时，MA →·MB →取得最小值－8.17．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b .∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.18．解 a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19， ∴|3a －4b |＝419.19．解 由题意有|a |＝(3)2＋(－1)2＝2，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t3－3t4.∴k ＋t2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t2t 有最小值为－74.20．解 设OM →＝t OC →，t ∈[0,1]，则OM →＝(6t,3t )，即M (6t,3t ).MA →＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB →＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )．若MA ⊥MB ，则MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0.即45t 2－48t＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115. 21．解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得(2te1＋7e2)·(e1＋te2)|2te1＋7e2|·|e1＋te2|<0， 即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0. 整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 2<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. 22.证明 如右图所示，∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，∴OG →＝23OD →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b .PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a . 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m )a ＋13b ＝λn b －λm a ， ∴(13－m ＋λm )a ＋(13－λn )b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧13－m ＋λm ＝0， ①13－λn ＝0， ②由①②消去λ得：1m ＋1n＝3.。