1.4充分条件、必要条件、充分必要条件(ppt文档)
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1.4充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
结论: 具有包含关系的两个集合: “小”范围是“大”范围的充分条件; “大”范围是“小”范围的必要条件.
例 1 已知 p: －2≤x≤10，q: 1－m≤x≤1＋m (m＞0),若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 m 的取值范围为_______.
解：因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p⇒q 且 q p.
解: 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q⇒p,且 p q.
则 {x|1－m≤x≤1＋m，m>0} {x|－2≤x≤10}，
m>0， 所以 1－m≥－2
1＋m≤10，
，解得 0<m≤3.
即 m 的取值范围是{m|0＜m≤3}．
例2已知P {x a 4 x a 4},Q {x 1 x 3}, ?x P” 是“x Q”的必要条件,求实数a的取值范围.
解: 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P.
a－4≤1，
所以
解得－1 ≤ a ≤ 5，
a＋4≥3，
即 a 的取值范围是{a|－1 ≤ a ≤ 5}．
变式: 已知 p: 实数 x 满足 3a<x<a,其中 a<0; q: 实数 x 满足 －2≤x≤3.若 p 是 q 的充分条件, 求实数 a 的取值范围.
如果“若 p, 则q”和它的逆命题“若 q, 则 p”均 是真命题,即既有 p q, 又有 q p, 记作 p q. 此时,就说 p 是 q的充分必要条件,简称充要条件.
注意 : (1) 如果 p q,那么 p 与q 互为充要条件; (2) '' p 是 q的充要条件''也说成'' p 等价于 q ''或
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
例 1 已知 p: －2≤x≤10，q: 1－m≤x≤1＋m (m＞0),若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 m 的取值范围为_______.
解：因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p⇒q 且 q p.
解: 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q⇒p,且 p q.
则 {x|1－m≤x≤1＋m，m>0} {x|－2≤x≤10}，
m>0， 所以 1－m≥－2
1＋m≤10，
，解得 0<m≤3.
即 m 的取值范围是{m|0＜m≤3}．
例2已知P {x a 4 x a 4},Q {x 1 x 3}, ?x P” 是“x Q”的必要条件,求实数a的取值范围.
解: 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P.
a－4≤1，
所以
解得－1 ≤ a ≤ 5，
a＋4≥3，
即 a 的取值范围是{a|－1 ≤ a ≤ 5}．
变式: 已知 p: 实数 x 满足 3a<x<a,其中 a<0; q: 实数 x 满足 －2≤x≤3.若 p 是 q 的充分条件, 求实数 a 的取值范围.
如果“若 p, 则q”和它的逆命题“若 q, 则 p”均 是真命题,即既有 p q, 又有 q p, 记作 p q. 此时,就说 p 是 q的充分必要条件,简称充要条件.
注意 : (1) 如果 p q,那么 p 与q 互为充要条件; (2) '' p 是 q的充要条件''也说成'' p 等价于 q ''或
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
1.4.充分条件与必要条件第2课时充要条件课件(人教版)(1)
就是假命题．
二、新知探究
思考并完成以下问题
1.什么是充要条件？
2.什么是充分不必要条件？
3.什么是必要不充分条件？
4.将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换，就得到
一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.
2.充要条件：如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题，
即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也
是q的必要条件，就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
说明：（1）若p⇔q，则p与q互为充要条件
（2）符号“⇔”称为等价符号，“p⇔q”表示:“p⇒q且q⇒p ”（或p
等价于q）
四、应用举例
例1.指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条
42
=0，
即b2-4ac=0，
所以“b2-4ac=0”是“方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根”
的充要条件．
4.已知条件p：A={x|x2-(a+1)x+a≤0}，
条件q：B={x|x2-3x+2≤0}，当a为何值时，
(1)p是q的充分不必要条件.
(2)p是q的必要不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.
因此，p是q的必要不充分条件．
小结：充要条件的判断方法
1.定义法
(1)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但q⇏p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但p⇏q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
如x=1,y=5时，有x+y=6＞4,xy=5＞4,
二、新知探究
思考并完成以下问题
1.什么是充要条件？
2.什么是充分不必要条件？
3.什么是必要不充分条件？
4.将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换，就得到
一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.
2.充要条件：如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题，
即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也
是q的必要条件，就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
说明：（1）若p⇔q，则p与q互为充要条件
（2）符号“⇔”称为等价符号，“p⇔q”表示:“p⇒q且q⇒p ”（或p
等价于q）
四、应用举例
例1.指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条
42
=0，
即b2-4ac=0，
所以“b2-4ac=0”是“方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根”
的充要条件．
4.已知条件p：A={x|x2-(a+1)x+a≤0}，
条件q：B={x|x2-3x+2≤0}，当a为何值时，
(1)p是q的充分不必要条件.
(2)p是q的必要不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.
因此，p是q的必要不充分条件．
小结：充要条件的判断方法
1.定义法
(1)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但q⇏p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但p⇏q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
如x=1,y=5时，有x+y=6＞4,xy=5＞4,
人教A版必修第一册高中数学1.4-充分条件与必要条件精品课件
若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
4
解：令 = { > 2，或 < −1}.由4 + < 0，得 = {| < − }.
当 ⊆
时，即−
4
≤ −1，即 ≥ 4，
4
此时 < − ≤ −1 ⇒ > 2或 < −1，
∴当 ≥ 4时，4 + < 0是 > 2或 < −1的充分条件.
2．必要条件的判断
3．充要条件的判断
感谢您的观看
命题.下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学
中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
知识梳理
一般地，“若 ,则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出.这时，我们就说，
由可以推出，记作 ⇒ ，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
小试牛刀
1．在△ABC 中，AB2＋AC2＝BC2 是△ABC 为直角三角形的(
A
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
2
2
当 B＝90°或 C＝90°时，△ABC 为直角三角形，但不能推出 AB ＋AC ＝BC ，故选 A.
小试牛刀
1
2． “x>1”是“ <1”的( A )
∵ = 2 ⇒ 2 = 4， 2 = 4 ⇏ = 2，∴B是假命题；
∵ ∩ = ⇒ ∪ = ，∴C是真命题；
∵ ⇏ ，∴不是的必要条件，D是假命题.
例题解析
方法技巧：
1.定义法判断必要条件的步骤：
(1)分清“条件”与“结论”.
4
解：令 = { > 2，或 < −1}.由4 + < 0，得 = {| < − }.
当 ⊆
时，即−
4
≤ −1，即 ≥ 4，
4
此时 < − ≤ −1 ⇒ > 2或 < −1，
∴当 ≥ 4时，4 + < 0是 > 2或 < −1的充分条件.
2．必要条件的判断
3．充要条件的判断
感谢您的观看
命题.下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学
中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
知识梳理
一般地，“若 ,则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出.这时，我们就说，
由可以推出，记作 ⇒ ，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
小试牛刀
1．在△ABC 中，AB2＋AC2＝BC2 是△ABC 为直角三角形的(
A
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
2
2
当 B＝90°或 C＝90°时，△ABC 为直角三角形，但不能推出 AB ＋AC ＝BC ，故选 A.
小试牛刀
1
2． “x>1”是“ <1”的( A )
∵ = 2 ⇒ 2 = 4， 2 = 4 ⇏ = 2，∴B是假命题；
∵ ∩ = ⇒ ∪ = ，∴C是真命题；
∵ ⇏ ，∴不是的必要条件，D是假命题.
例题解析
方法技巧：
1.定义法判断必要条件的步骤：
(1)分清“条件”与“结论”.
1.4充分条件与必要条件(共50张PPT)
■微思考 2 (1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题．这种说法对 吗？ 提示：正确．若 p 是 q 的充要条件，则 p⇔q，即 p 等价于 q，故此说法正确． (2)“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里？ 提示：①p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论． ②p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论．
2．(2020·佛山检测)设 a 是实数，则 a＜5 成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＜6
B．a＜4
C．a2＜25
D．1a＞15
解析：选 A.因为 a＜5⇒a＜6，a＜6＼⇒a＜5，所以 a＜6 是 a＜5 成立的一个 必要不充分条件．故选 A.
探究点 3 充分条件、必要条件、充要条件的应用 已知 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若
【解】 (1)因为 x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1，x－1＝ x－1⇒x＝1 或 x＝2， 所以 p 是 q 的充要条件． (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即 p⇒q.反之，若 四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即 q＼⇒ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件．
探究点 1 充分、必要、充要条件的判断 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、
既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
3．设 p：x＜3，q：－1＜x＜3，则 p 是 q 成立的
人教A版数学必修第一册1.4充分条件与必要条件课件
易错提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
跟踪训练
2. 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件
是a＋b＋c＝0.
证明：
假设 p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.
①证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
一负根的充要条件是ac＜0.
②充分性：
✓
2
由ac＜0可得Δ＝b －4ac＞0及x1x2＝ ＜0(x1,x2为方程的两根)
✓ 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号
✓ 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和
一负根的充要条件是ac＜0.
互为充要
概括地说，如果p⇔q，那么p与q__________条件．
充分不必要
(2)若p ⇒ q，但q p，则称p是q的___________条件．
(3)若q ⇒ p，但p q，则称p是q的___________条件．
必要不充分
既不充分也不必要
(4)若p q，且q p，则称p是q的_________________条件．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
随堂检测
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( √ )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( × )
2．“x>0”是“x≠0”的( A )
A．充分不必要条件
A．x>4
1.4.1充分条件与必要条件课件—高一上学期数学人教A版必修第一册
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
易知 a 1 a2 a ，而 a2 a a 0 或 a 1,所以“ a 1”是“ a2 a ”的充分不必要条件
3.若“ x 1,3 ”的必要不充分条件是“ x m 2，m 2 ”，
则实数 m 的取值范围是( B )
探究二：充分条件与必要条件的定义
定义：一般地，“若 p，则 q”为真命题， 是指由 p 通过推理可以得出 q.由 p 可以推出 q， 记作 p q ，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. 如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q， 记作 p q ，p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件.
1.充分条件、必要条件的概念； 2.充分条件、必要条件的判断方法.
一般地，要判断“若 p，则 q”形式的命题中 q 是否为 p 的必要条件， 只需判断是否有“ p q ”，即“若 p，则 q”是否为真命题. 同样的，给定条件 p，由 p 可以推出的结论 q 是不唯一的.
1.设 xR ，则“ x 1 1 ”是“ x3 1 ”的( A )
22 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例 1： 下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 x2 1 ，则 x 1； （5）若 a b ，则 ac bc ； （6）若 x，y 为无理数，则 xy 为无理数.
解：（1）这是一条平行四边形的判定定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （4）由于 (1)2 1 ，但 1 1， p q ，所以 p 不是 q 的充分条件. （5）由等式的性质知， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （6） 2 为无理数，但 2 2 2 为有理数， p q ，所以 p 不是 q 的充分条件.
易知 a 1 a2 a ，而 a2 a a 0 或 a 1,所以“ a 1”是“ a2 a ”的充分不必要条件
3.若“ x 1,3 ”的必要不充分条件是“ x m 2，m 2 ”，
则实数 m 的取值范围是( B )
探究二：充分条件与必要条件的定义
定义：一般地，“若 p，则 q”为真命题， 是指由 p 通过推理可以得出 q.由 p 可以推出 q， 记作 p q ，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. 如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q， 记作 p q ，p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件.
1.充分条件、必要条件的概念； 2.充分条件、必要条件的判断方法.
一般地，要判断“若 p，则 q”形式的命题中 q 是否为 p 的必要条件， 只需判断是否有“ p q ”，即“若 p，则 q”是否为真命题. 同样的，给定条件 p，由 p 可以推出的结论 q 是不唯一的.
1.设 xR ，则“ x 1 1 ”是“ x3 1 ”的( A )
22 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例 1： 下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 x2 1 ，则 x 1； （5）若 a b ，则 ac bc ； （6）若 x，y 为无理数，则 xy 为无理数.
解：（1）这是一条平行四边形的判定定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （4）由于 (1)2 1 ，但 1 1， p q ，所以 p 不是 q 的充分条件. （5）由等式的性质知， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （6） 2 为无理数，但 2 2 2 为有理数， p q ，所以 p 不是 q 的充分条件.
14 充分条件与必要条件ppt课件
提示:不是.例如“x>1”还能推出“x>-1”“x≥ ”等,这些都是“x>1” 成立的必要条件.
(3)已知条件p:“三角形是等边三角形”,结论q:“三角形的三条边相 等”,那么p是q的什么条件?q是p的什么条件?
提示:p⇒q,q⇒p.p是q的充分条件,q是p的充分条件,p是q的必要条 件,q也是p的必要条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
2.“x>2”是“x>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
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3.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 条
不必要条件. 答案:B
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探究二充要条件的证明 例2求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都 成立的充要条件是0<a<4. 分析:第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条 件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是 “0<a<4”,结论是“关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对一切实数x 都成立”. 第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”, 先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”.
(3)已知条件p:“三角形是等边三角形”,结论q:“三角形的三条边相 等”,那么p是q的什么条件?q是p的什么条件?
提示:p⇒q,q⇒p.p是q的充分条件,q是p的充分条件,p是q的必要条 件,q也是p的必要条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
2.“x>2”是“x>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
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3.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 条
不必要条件. 答案:B
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探究二充要条件的证明 例2求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都 成立的充要条件是0<a<4. 分析:第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条 件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是 “0<a<4”,结论是“关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对一切实数x 都成立”. 第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”, 先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”.
1.4 充分条件与必要条件课件ppt
3.掌握证明充要条件的一般方法.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
上午上学时,小明上学迟到了,老师问小明为什么迟到了,小明对老师说:“老
师,今天早上我起来晚了”,老师说:“你的理由很充分啊!”老师为什么说小明
的理由很充分呢?通过本节课的学习,你就能找出答案.
[知识点拨]
知识点一:充分条件与必要条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
)
【解析】若a≥b≥0，则|a|＝a≥b即|a|≥b；若b≤a≤0，则|a|＝
－a≥0≥b，即|a|≥b；若a≥0≥b，则|a|＝a≥0≥b即|a|≥b；或由
|a|≥a，a≥b可得|a|≥b，可知充分条件成立；当a＝－3，b＝－2时，
微练习
已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
)
课堂篇 探究学习
探究一
充分条件、必要条件的判断
例1(1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:
①p:a∈Q,q:a∈R.
②p:a<b,q: <1.
由p可以推出q,记作p⇒q.
(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?
提示 说明由条件p不能推出结论q,记作p
q.
(3)若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗?
提示 不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>2是x>1的
充分条件,x>5、x>10等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它
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[激趣诱思]
上午上学时,小明上学迟到了,老师问小明为什么迟到了,小明对老师说:“老
师,今天早上我起来晚了”,老师说:“你的理由很充分啊!”老师为什么说小明
的理由很充分呢?通过本节课的学习,你就能找出答案.
[知识点拨]
知识点一:充分条件与必要条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
)
【解析】若a≥b≥0，则|a|＝a≥b即|a|≥b；若b≤a≤0，则|a|＝
－a≥0≥b，即|a|≥b；若a≥0≥b，则|a|＝a≥0≥b即|a|≥b；或由
|a|≥a，a≥b可得|a|≥b，可知充分条件成立；当a＝－3，b＝－2时，
微练习
已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
)
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探究一
充分条件、必要条件的判断
例1(1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:
①p:a∈Q,q:a∈R.
②p:a<b,q: <1.
由p可以推出q,记作p⇒q.
(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?
提示 说明由条件p不能推出结论q,记作p
q.
(3)若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗?
提示 不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>2是x>1的
充分条件,x>5、x>10等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它
1.4充要条件课件(人教版)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 已知集合A={1,a},B={1,2,3}, A. 充分不必要条件 C.充要条件
则 “a=3” 是 “ASB” 的( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知a,b 为实数，则“a+b>4” 是“a,b 中至少有一个大于2”的( )
[解析] (1)∵p→q,q不能推出p,∴p 是q的充分不必要条件. (2)∵p=q,q 不能推出p,∴p 是q的充分不必要条件. (3)∵p不能推出q,q→p,∴p 是q的必要不充分条件.
(4)∵ab=0时， |ab|=ab,∴“|ab|=ab” 不能推出 “ab>0”, 即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|=ab, 即q→p. ∴p是q的必要不充分条件.
(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想?
THANKS
第一章集合与常用逻辑用语
1.4充分条件与必要条件
教材分析
本小节内容选自 《普通高中数学必修第一册》 人教A 版(202X)
第一章《集合与常用逻辑用语》 第四节《充分条件与必要条件》 以下是
“常用逻辑用语”的课时安排：
第四节
ห้องสมุดไป่ตู้
第五节
课时内容 充分条件与必要条件(共2课时)
全称量词与存在量词(共2课时)
记
A={x|p(x)},B={x|q(x)}
法
A gB ,且B gA
关
系
AB)
图示
结论
p是q 的 充分不必 要条件
p是q的必 要不充分 条件
p,q互为充 要条件
p是q的既不 充分也不必 要条件
1.4充分条件与必要条件课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
不充分条件和充要条件的意 义．
3.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判 定方法．
4.通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件 的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
数学抽象 逻辑推理 数学抽象
【学法解读】 1．在本节学习中，学生应根据老师创设合适的问题情境， 以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件 与必要条件表达学过的相应内容． 2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法， 因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并 掌握解决此类问题的方法． 3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论， 分清充分性和必要性．
(4)∵p⇒q，而q ⇒p，∴p是q的充分不必要条件．
(5)∵p⇒ q，而q ⇒ p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
两种句型
① 什么 是 什么的__________条件
pq
1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命 题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
练习: 用符号 与 填空。
（1） x2=y2 ⇒ x=y； （2）内错角相等 ⇒ 两直线平行； （3）整数a能被6整除 ⇒ a的个位数字为偶数； （4）ac=bc ⇒ a=b
题型一 充分条件、必要条件的判断
【例1】 (教材P31例1改编)下列“若p，则q”情 势的命题中，p是q的什么条件？
(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若x为无理数，则x2为无理数； (3)若x＝y，则x2＝y2； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相 等； (5)若a>b，则ac>bc.
3.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判 定方法．
4.通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件 的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
数学抽象 逻辑推理 数学抽象
【学法解读】 1．在本节学习中，学生应根据老师创设合适的问题情境， 以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件 与必要条件表达学过的相应内容． 2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法， 因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并 掌握解决此类问题的方法． 3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论， 分清充分性和必要性．
(4)∵p⇒q，而q ⇒p，∴p是q的充分不必要条件．
(5)∵p⇒ q，而q ⇒ p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
两种句型
① 什么 是 什么的__________条件
pq
1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命 题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
练习: 用符号 与 填空。
（1） x2=y2 ⇒ x=y； （2）内错角相等 ⇒ 两直线平行； （3）整数a能被6整除 ⇒ a的个位数字为偶数； （4）ac=bc ⇒ a=b
题型一 充分条件、必要条件的判断
【例1】 (教材P31例1改编)下列“若p，则q”情 势的命题中，p是q的什么条件？
(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若x为无理数，则x2为无理数； (3)若x＝y，则x2＝y2； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相 等； (5)若a>b，则ac>bc.
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初中知识回顾
1.什么叫命题？什么意思？
1．命题：可以判断真假的陈述句叫做命题， 命题都是由条件和结论两部分组成，通常 用小写字母p、q、r、s等表示。可写成 “若p，则q”或“如果p，那么q”或“只要 p，就有q”的形式。
真命题：判断为真的语句。
的充分条件？
（1）若x 1，则x2 4x 3 0
（2）若x为无理数,则x2为无理数
解: 命题 (1)是真命题,命题 (2) 是假命题。 所以,命题 (1) 中的p是q的充分条件。
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作 p q。此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必 要条件。
思考
问题1：当某一天你和你的妈妈在街上遇 到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈 说：“这是我的妈妈．”那么，大家想 一想这个时候你的妈妈还会不会补充说： “你是她的孩子”呢？为什么？
【因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足 于说明你是她的孩子】
问题2：这在数学中是一层什么样的关系 呢？【充分条件与必要条件】
例题
例2 ：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题中的 q是p的必要条件？
pq （1）若x y，则x2 y2; （2）若两个三角形全等，则这两个三角形 的面积相等;
(3) 若a b,则ac bc.
例题解析
例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？
必要条件的特征是：“没它不行，有它未必 行”；
充要条件的特征是：“有它就行，没它不 行”．
由此可看出，充分条件、必要条件都不 是唯一的，而充要条件是唯一的，是互逆 的。
1、定义：
课堂小结
若p q，则p是q的充分条件，q的一个充分条件是p
则q是p的必要条件，p的一个必要条件是q
若p q且q p,则p是q的充分必要条件，同时q
不充分条件 , 如果p q,但q p,则称p是q的既不充
分又不必要条件 .
如果pq 且q p，则称p是q的充分必
要条件（简称充要条件）
近几年真题分析
• (09) 8.设 a,b,c均为实数,则“a>b”是“a+c>b+c”的(
• A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
• C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
pq
（1）若x y，则x2 y2; （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等;
(3) 若a b,则ac bc.
解：命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题。
所以，命题(1)(2)中的q是p的必要条件。 判断步骤：
找出p、q 判断“若p则q”的真假 下结论
能力提升
知识回顾
1.交集、并集、全集与补集的概念； 2.交集的性质、并集的性质、全集与补集 的性质。
思考
问题1：当某一天你和你的妈妈在街上遇 到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈 说：“这是我的妈妈．”那么，大家想 一想这个时候你的妈妈还会不会补充说： “你是她的孩子”呢？为什么？
问题2：这在数学中是一层什么样的关系 呢？
1.4充分条件、必要条件、充要条件
一般地，“若p，则q”是真命题，我们就说由p可
推出q，并且说p是q的充分条件, q是p的必要条件。
记作 p q ，
前后
后前
例如： x a2 b2 x 2ab x a2 b2是 x 2ab 的充分条件
x 2ab 是 x a2 b2 的必要条件
• (10) 13. a 2且b 2是 a b 4 的（ ）
• A.充分条件
B.必要条件
• C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
• (11) 12、“x 7 ”是x“ 7 ”的
• A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
• C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
• （12）9.“ x2 1”是“x 1 ”的 （ ）
1、用集合的方法来判断下列哪个p是q充分条件，
哪个p是q的必要条件?
（1）p:菱形 q:正方形
（2）p: x>4 q: x>1
能力提升
1、用集合的方法来判断下列哪个p是q充分条件，
哪个p是q的必要条件?
（1）p:菱形 q:正方形
（2）p: x>4 q: x>1
解：(1)由图１可知p是q的必要条件
• A.充分必要条件
B.充分非必要条件
• C.非充分非必要条件 D.必要非充分条件
例题
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q
的充分条件？
（1）若x 1，则x2 4x 3 0
（2）若x为无理数,则x2为无理数
例题解析
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q
两个角是相似三角形的对应角 这两个角相等
两个角是相似三角形对应角是两个角相等的充分条件 两个角相等是两个角是相似三角形对应角的必要条件
充分必要条件
如果pq 且q p，则称p是q的充分必要条
件（简称充要条件）
一般地，如果有p q，但q p，则称p
是q的充分但不必要条件 , 如果p q,但q p，则称p是q的必要但
(2)由图２可知p是q的充分条件
p:菱形 q:正方形
图１
q
p
01
4
由小推大
图２
怎样理解必要不充分条件”、“充要条 我件国”古、代“《既墨不经充》分里又对不充必要要条条件件有？精辟的论述：
“有之则必然，无之则未必不然，是为‘大
故’；无之则不然，有之则未必然，是为‘小 故’．”也就是说，
充分条件的特征是：“有它就行，没它未必 不行”；
假命题：判断为假的语句。
练习
判断下列命题是真命题还是假命题： （1）若 ab 0，则 a 0；
（2）相似三角形对应角相等；
p:两个角是相似三角形的对应角 q : 这两个角相等
（3）若 x2 y2，则 x ；y
（4）若 x a2 b，2 则 x 2；ab p : x xa2 ab22 b2q: x2ab2ab
练习答案
判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若 ab 0，则 a 0；
假
（2）相似三角形对应角相等； 真
p:两个角是相似三角形的对应角 q : 这两个角相等
（3）若 x2 y2 ，则 x y ； 假
（4）若 x a2 b2 ，则 x 2ab ；
真
p : x a2 b2 q : x 2ab
也是p的充分必要条件，简称充要条件。
2、方法 （1）判别步骤：
找出p、q 判断“p=>q”真假 下结论 （2）判别技巧
否定命题时举反例