充分必要条件88434
充分必要条件
1.5 充分条件与必要条件
我们在开课时讲的例子也可以这样写： p：两个三角形相似，q：它们的对应角相 等。 我们知道p是q的充分条件，但是由于“对 应角相等的三角形也相似”，所以我们说q 也是p的充分条件。即，p是q的充分条件， 也是p的必要条件。
1.5 充分条件与必要条件
一般的，如果p q，且q p，我们就说p是q的充分且必 要条件，简称充要条件，记作：p q 例如：设x，y为实数，如果x2+y2=0，则x=0且y=0，可叙 述为： x2+y2=0是x=0且y=0的充要条件。
1.5 充分条件与必要条件
如果p q，同时q 要条件。 p，我们就说p是q的既不充分也不必
例如，x>5，是x<3的既不充分也不必要条件。
1.5 充分条件与必要条件
A
y是有理数 X＞5 m、n是奇数 a≥b x∈A且x∈B ab≠0 (x+1)(y-2)=0 m是4的倍数
B
y是实数 X＞3 m+n是偶数 a＞b x∈A B a≠0 x=-1,y=2 m是6的倍数
1.5 充分条件与必要条件
例如： （1）如果四边形ABCD是正方形，则这个四边形的四条边 相等。 我们可以把这个命题写为： p：四边形ABCD为正方形，q：四边形的四条边相等。 那么：p是q的充分条x-1=0，那么x2-1=0。 分析：由x-1=0推出x2-1=0是正确的。 我们可以把命题写成： p： x-1=0，q： x2-1=0 则有：p是q的充分条件，q是p的必要条件。
A是B的 B是A的 什么条件 什么条件
1.5 充分条件与必要条件
例1： 已知A是B的充分条件，C是D的必要条件， A是C的充要条件，求B与D的关系。
充分必要条件
p是q成立的充分不必要条件 p是q成立的必要不充分条件
p是q成立的充要条件 p是q成立的既不充 Nhomakorabea也不必要条件
数学 ·选修1-1(人教A版)
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
(2) 集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ， q 对应的
集合分别为A，B.
若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件 若 A＝B，则 p、q 互为充要条件 若 A 不是 B 的子集， 且 B 不是 A 的子集， 则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的 必要条件
第一步分清条件是什么，结论是什么；第二步尝试用条件 推结论(说明充分性)，再尝试用结论(作为条件)去推条件(作为结 论 )( 说明必要性 ) ，其中举反例法是重要方法；第三步得出条件 是结论的什么条件．
数学 ·选修1-1(人教A版)
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
1 ．指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件 ( 充分不必要条 件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)． (1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形； (2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
数学 ·选修1-1(人教A版)
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
解：(1)△ABC 中，∵b2>a2＋c2， a2＋c2－b2 ∴cos B＝ 2ac ＜0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为 钝角三角形，B 可能为锐角，这时 b2<a2＋c2. ∴p⇒q，q⇒/p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
高中所有充分必要条件归纳
B A B B A B A A B A A B B A B A A x B x B x A x B A B x A x B A ⊆⇔=⋃⊆⇔=⋂⊆⊆⇔=∉∈∃∈∈∀⇔⊂∈∈∀⇔⊆且且、,,,10ax b b x a a b b x a x g x f x g x f x g x f a x a x a x x g x f x g x g x f a x a a x -<<-<<⇔>><<-<>⇔><>⇔><<-⇔<<<-⇔<或或，或、)0()()()()()()()()()()()(,2?)()()()())(()()()()())(()(5?)(04?)(00003?)(0002?)(013max min 2”呢”改为“若将“恒成立恒成立（先分离变量））一般的恒成立问题：（”呢”改为“若将“恒成立）（”呢”、“”、“”改为“若将“或恒成立）（”呢”、“”、“”改为“若将“且恒成立）（”呢”改为“若将“恒成立）（、不等式恒成立问题≥>⎩⎨⎧∈>⇔∈>∈<⇔∈>≥>-<⇔>-+-≤<≥>⎩⎨⎧<∆>==⇔>++≤<≥>>=⇔>+≥><⇔>N m m g x f N m m g x f M x x f m g M x m g x f b a k b x a x a b a c bx ax b a b ax a a x [][]满足一一对应函数有反函数、函数上是减函数在区间函数上是增函数在区间、函数为非零常数）（是周期函数、函数分条件）为奇函数的必要不充（定义域为是函数是偶函数函数是奇函数函数定义域关于原点对称、函数)()(70)()()()(,,)(0)()()()(,,)(6)()()(5)(0)0()()()()0)()(()()()()(42121212*********x f x f x x x f x f x f x f b x x a b a x f x x x f x f x f x f b x x a b a x f T x f T x f x f R xf f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ⇔<-<⇔>≤<≤∀⇔>-<⇔<≤<≤∀⇔=+⇔==-⇔=+--=-⇔）对称；，函数关于点（满足：函数对称；函数关于直线满足：、函数02)()()(2)()()(8b a x b f x a f x f b a x x b f x a f x f +⇔+-=-+=⇔+=-{}{})()(911*+*+∈>⇔∈<⇔N n a a a N n a a a n n n n n n 为单调递减的数列数列为单调递增的数列、数列{}{})()(101111*-+*-+∈⎩⎨⎧≤≤⇔∈⎩⎨⎧≥≥⇔N n a a a a a a N n a a a a a a n n n n n n n n n n n n 的最小项为数列的最大项为数列、高中充分必要条件归纳杨金煜咸丰一中{}(){}00)()(2)(1111121112111≠∙=⇔≠==⇔+=⇔+=⇔+=⇔=-⇔+-+++-+a a a a a qa a q q a a a n Bn An S n b an a a a a d d a a a n n n n n nn n n n n n n n n n 且）且（或者写成为非零常数为等比数列数列数项的二次表达式且不含常关于的一次表达式关于为常数为等差数列、数列{}{}{})0()10010(10010)0(0121111为摆动数列时，注：等比数列公比或单调递减或单调递减等差数列单调递减单调递增、等差数列n n n a q q a q a q a q a a d d a <⎩⎨⎧<<>⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<<<⎩⎨⎧>>⇔<>⇔{}{}AB B A ABC B A A B B A ABC B A B A B A B A B A ABC a c b A A ABC a c b A A ABC a c b A A ABC A ABC a c b c b a x A x f Zk k x A x f Z k k x A x f a a a a a a a a a a a a a a a a c b a c a b c a b c b a d a n S n a d a n S n a n n n n cos sin ,cos sin cos sin ,cos sin )cos (cos cos cos sin sin 180cos 20cos 20cos 217016)cos()(,)sin()(,2)sin()(15,,,,,,,,2,,1400100113222222222224321324143213241211<<⇒∆>>⇒∆>>⇔<⇔<∆<+⇔<⇔>⇔∆=+⇔=⇔=⇔∆>+⇔>⇔<⇔∆∆>+⇔>≥≥+=∈=⇔+=∈+=⇔+=∙=∙+=+∙=+=⇔><⇔≠<>⇔≠的两个锐角为钝角、的两个锐角为锐角、中：、在为钝角三角形为直角三角形为锐角三角形为最大角：中、在能构成三角形、呢？）（若为奇函数函数为偶函数、函数等比的必要不充分条件是等差的必要不充分条件是等比的必要不充分条件是等差、且）有最小值（项和的前等差数列且）有最大值（项和的前、等差数列πππϕωπϕϕωππϕϕω)),(),,((000,cos ,)),(),,((000,cos ,1922112121y x b y x a y y x x b a b a b a b a y x b y x a y y x x b a b a b a ===+⇔=∙⇔=⇔⊥==>+⇔>∙⇔>⇔）为直角（即为锐角、()()()030201)(26<∆⇔>⇔=∆⇔=⇔>∆⇔<⇔∆r d O l r d O l r d O l y x O r l O d 相离与圆、相切与圆、相交与圆、判别式得到的一元二次方程的或的方程消去为联立直线与圆的半径；圆的距离，到直线为圆心：、直线与圆的位置关系()()()())(04)(3)(2)()(310121222点即三条内角平分线的交的内心是内切圆的圆心注：的内心是、三边中垂线的交点的外心是外接圆圆心即注：）（或的外心是、的垂心是三边高的交点注：的垂心是、点的重心是三边中线的交注：的重心是为平面内任意一点，则若的重心是、形式的充要条件、三角形“四心”向量ABC CB CB CA CA GC BC BC BA BA GB AC AC AB AB GA ABC G ABC GC GB GA GC GB GA ABC G ABC GAGC GC GB GB GA ABC G ABC PC PB PA PG ABC G P GC GB GA ABC G ∆=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⇔∆∆====⇔∆∆∙=∙=∙⇔∆∆++=⇔∆=++⇔∆210sin sin sin 22=∙=∙⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔==⇔∙=∙=∙⇔∆AC AC AB AB BC AC AC AB AB A C C b B a CB CA CA BC BC AB ABC 且为正三角形、为空间中任意一点）（且四点共面、、、为平面内任意一点）（且斜率存在三点共线、、、O z y x OD z OC y OB x OA ACAB AB D C B A O OC OB OA k k AC AB C B A AC AB 11)(23=++++=+=⇔=++=⇔=⇔=⇔μλμλμλλ)),(),,((000,cos ,22112121y x b y x a y y x x b a b a b a ==<+⇔<∙⇔<⇔为钝角()()()122112212122221111212122211121212122211121//,0:,02//,:,//,:,1//24C B C B B A B A l l C y B x A l C y B x A l l l k k b x k y l b x k y l b b k k l l b x k y l b x k y l l l ≠=⇔=++=++=+=+=≠=⇔+=+=且则：、若的必要不充分条件是则：若且则：、若的充要条件：、直线)),(),,((0//2022111221y x b y x a y x y x b a b b a b a ===⇔≠=⇔中至少有个零向量、）或（、λ()()0,0:,021,:,12521212122221111212122211121=+⇔⊥=++=++-=∙⇔⊥+=+=⊥B B A A l l C y B x A l C y B x A l k k l l b x k y l b x k y l l l 则：、若则：、若的充要条件：、直线()()()()()()()()()()()面面平行、垂直线面平行、垂直线线平行、垂直要包括以下几种：件即为各判定定理，主、立体几何中的充要条）互斥的充分不必要条件、对立是、（对立、事件互斥、、事件。
充分必要条件课件
解:(3)
a 0 ab 0，
为 ， 此 题 真 . 真 命 为
总结:充分条件与必要条件的判断方法: 转化法:当所给命题的充分条件或必要条件不易判 定时，可对命题进行等价转化，改用其逆否命题 ：x 3 件
B x | x 2 条 q：x 2 件
(2)集合法:
建立与命题 p, q相应的集合 : A x | x满足条件 p, B x | x满足条件 q 即“小充分，大必要” （）若 A B, 则p是q的充分条件； 1 （ ）若 B A, 则p是q的必要条件 . 2
四.课堂检测
用“充分”或“必要”填空，并说明理由： (1)“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件； (2)“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件； (3)“x≠3”是“|x|≠3”的必要 条件； 2 充分 (4)“x－1=0”是“ 1 0 ”的 条件； x (5)“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件； (6) 已知 a,b,c 为非零的平面向量，“ a·b=a·c” 必要 是“b=c”的 条件.
分析：要判断p是否为q的充分条件，只要看 p 是否成立？
q
解：（1）(3)是真命题，p是q的充分条件 （2）(4)是假命题，p不是q的充分条件
练习2 .下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题中的 q是p的必要条件？
（）如 曲 C的 程 x y 1, 则 线 C是 个 ； 1 果 线 方 是 曲 一 圆 （ ） 果 列 a 的 项 式 2 如 数 通 公 是 a n, 则 列 a 是 差 列 数 等 数 ；
二.了解新知 1.推出符号
(1)第一种情况：如果命题“若p,则q”为真, 则记作：
pq
充分必要条件
举例：说出下列各组命题中，p是q的 什么条件？ (1)p: x=1 , q: x2 =1
解：因为： x=y x 2=y 2 , 且x 2=y 2 x=y
即：
p
q,
而q
p
所以：p是q的充分不必要条件。
（2） p: (a-2)(a-3)=0, q: a=3
分析：
3 p: x>1或x< 5
q: x>1或x<
p的真子集. p
1 2
所以：p是q的真子集， q是 即：P q 且q
故：p是q的充分不必要条件，
p是 q的必要不充分条件.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
<1
因为: p
p
所以：p是q的既不充分也不必要的条件
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
练习1. 指出下列各组中p是q的什么条件？
（1）p：a>b； q：ac2>bc2 必要不充分条件
5 2 （2） P： ；q ： 充分不必要条件 3 6
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
引例：
（1）“若x>0，则x2>0”是真命题，可以 写成：x>0 x2>0. （2）“若x2=y2，则x=y”是假命题，可 2 以写成：x2=y x=y. 一般的：p q表示“若p则q”是真命题， 否则表示假命题。
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
练习3：
（1）x>3的一个充分不必要条件是（ C ） （A)x>2 (C)x>4 (B)x<1 (D)1<x<3
充分条件与必要条件(2)PPT教学课件
2020/12/10
11
例题讲解
例4 求证|a|＋|b|＝|a＋b|的充要 条件是ab≥0.
关于充要条件命题的证明，一般分充 分性和必要性两个方面进行，其中由 条件推出结论就是充分性，由结论推 出条件就是必要性.
2020/12/10
12
例题讲解
例5 设a为常数，求函数f(x)＝cos2x
＋asin2x的图象关于直线 x 对称的
( 1 ) 若 p q , 则 p 是 q 的 充 分 条 件 ;
( 2 ) 若 q p , 则 p 是 q 的 必 要 条 件 ;
（3）若q=p,则p是q的充要条件；
（4）若p q，则p是q的充分不必要条件；
（5）若q p,则p是q的必要不充分条件；
（6）若p q且q p,则p是q的既不必要
又不充分条件。 2020/12/10
9
例题讲解
例1 下列各题中，那些p是q的充要条件．
（1）p：b＝0，
q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
充要条件 （2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；
充分不必要条件 （3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；
充要条件
（4）p：两直线平行； 必要不充分条件
2020/12/10q：两直线的斜率相等.
高中数学选修 2-1
第一章 常用逻辑用语 充分条件与必要条件
第二课时
2020/12/10
1
复习巩固
1.一种逻辑关系的四种表达形式 : ①“若p则q”为真命题；
② p q
③p是q的充分条件； ④q是p的必要条件
复习巩固
2.用充分条件、必要条件或充要条件填空：
（1）x为自然数是x为整数的充分条件；
高考数学复习知识点：充要条件
高考数学复习知识点：充要条件充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件，是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：（1）先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
（2）再看“充要条件”若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
（3）定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
（4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，*质定理中的“结论”都可作为必要条件。
充分必要条件
1. A= “三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A= “某人触犯了刑律”；B= “应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A= “付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B;其二，A是B 发生必需的。
若A推B,则A是B的充分条件若B推A,则A是B的必要条件编辑本段生活中的充分必要条件生活中表达充分必要条件的情况不太常见。
在逻辑学和数学中一般用“当且仅当”来表示充分必要条件。
例如：1. 当且仅当竞争对手甲退出投标时，乙才会报一个较高的价位。
2. a、b为任意实数时，a A2+b A2 > 2ab成立，当且仅当a=b时取等号。
（aA2表示a的平方）其他常见的表示充分必要条件的说法还有：“需要且只需要”、“唯一条件”和例7的情况。
例如：3. 任何两个端节点之间的转发需要且只需要经过三次交换。
4. 为了防止圆管内流动的水发生结冰，则需要且只需要保持圆管内壁面的最低温度在某一温度以上。
5. 俄军逼近格首都称停火唯一条件是格军放弃武力。
6. 法院判决离婚的唯一条件是夫妻感情破裂。
7. 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。
编辑本段唯一条件唯一条件（或唯一的条件）：即充分必要条件。
例句：1. 中国各类兴奋剂出口的唯一条件是有合法用途。
2. 小张同意离婚的唯一条件就是付给自己至少7万元的初婚费，否则她就不同意。
3. 参加这个俱乐部的唯一条件是你的姓氏是史密斯。
4. 邪恶盛行的唯一条件是善良者的沉默。
5. 伊朗同意在俄提炼浓缩铀的唯一条件是要中国参与。
6. 进入这个学校读书的唯一条件是一次性交纳两万元赞助费。
句1可以这样分析：满足“有合法用途”，必然“兴奋剂能出口”；不满足“有合法用途”，必然“兴奋剂不能出口”，所以“唯一条件”就是充分必要条件的意思。
对其他句子可作相同的分析。
生活中，人们不常使用准确的语言来表述充分必要条件，而是只强调充分必要条件的充分性，或者只强调充分必要条件的必要性。