高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程》课件

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结论
例题巩固
例1.（求双曲线的标准方程）
已知双曲线的焦点为F1( -5, 0 )，F2( 5 , 0 )， 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程.
判断方程类型，确定基本参数
变式1．已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线 上一点P 到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲 2 2 线的标准方程. y x 变式2．已知平面两个定点为F1(-5,0), F2(5,0)，动点P 到F1、F2的距离的差等于6，求点P的轨迹方程.
F1
M F2
F1
F2
金沙江上的溪洛渡水电站
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F
O
1
F
2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
a 1，b ，c （3）的焦点在y轴上， 1 2 5 2
x y (4) 1 3 4
2
2
（4）不是双曲线
双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
9

16
1
x y 1( x 3) 9 16
PF1 PF2 10 解： ∵ F1F2 10 , 点 P的轨迹不存在 的轨迹是两条射线 , ∴ 点P 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5 或x ≤ 5) .
2
2
变式3．已知平面两点为F1(-5,0), F2(5,0)，一动点P 到F1、 F2的距离的差的绝对值等于10 ，求点 P 的轨迹是什么？ 12 ，动点 P 轨迹是什么？
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
例题巩固
例1.（求双曲线的标准方程）
已知双曲线的焦点为F1( -5, 0 )，F2( 5 , 0 )， 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程.
解：根据题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，
定焦点 设方程
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
∵ ∴ ∴ 2a = 6, c=5 a = 3, c = 5 b2 = 52-32 =16
2
2
判断方程类型， 确定基本参数
确定a、b、c
2
所以所求双曲线的标准方程为：x
y 1 9 16
思考
方程 线？
x y 1 m n
2
2
表示什么曲
达标训练
1、已知A（2，－3），B（－4，－3），动点P满足 |PA|-|PB|=6，则P点轨迹分别是（ D ） A双曲线 B两条射线 C双曲线的一支 D一条射线 y2 x2 2、a=4，b=3 ,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是__________. 1 16 9 3、 a 2 5 ，经过点 ( 2,5) , 焦点在y轴上的双曲线的
如果将“和”改为“差” 这样的点的轨迹是什么呢
提出并探究新的轨迹问题
平面内与两个定点F1、F2的距离 的差等于常数的点轨迹是什么？
分组动手实验
常数为0的时候我们学过， 知道是F1F2的垂直平分线 常数非0时是什么呢？
| MF1 | | MF2 | 2a (令常数等于2a )
M
F1
F2
| MF2 | | MF1 | 2a (令常数等于2a )
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
c2 a 2 b 0)
y2
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
y2 x2 1 标准方程是_________________. 20 16
2 2
x y 1 4、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到 16 9 (-5,0)的距离是 7或23 .
练习3
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.焦点在x轴上,a=4,b=3;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)
x2 y 2 1 16 9 y 2 x2 1 20 16
2 y 2 15 x 1 , 2). 3.焦点在x轴上，经过点 ( 2, 3), ( 3 3
动画演示
双曲线的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于 常数（小于|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线 的焦距． 数学简记：{P| ||MF1|-|MF2||=2a,2a<|F1F2|}
轨迹分类：
①2a<|F1思考： F2|,轨迹为双曲线 2a=|F1F2|和2a>|F1F2| 轨迹会是什么呢 ②2a=|F1F2|,轨迹为两条射线 ③2a>|F1F2|,没有轨迹
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a 2 a ( x c) 2 y 2
2
2
y x 1 2 2 a b (a 0，b 0)
2
2
练习：判断下列方程是否表示双曲线，若是， 求出 a,b,c
x y (1) 1 4 4
2
2
(2) x y 1
2 2
思考：1、判断焦点的位置 2、求出a、b、c
(3) - 4x y 1
2 2
（1）的焦点在x轴上，a=2，b=2，c= 2 2 （2）的焦点在y轴上，a=1，b=1，c= 2