平面向量基本定理课时练1111111111
苏教版数学高一课时作业 平面向量基本定理
§2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理基础过关1.设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列向量中，不能作为基底的是( ) A.e 1＋e 2和e 2B.3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D.e 1和e 1－e 2解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底，其它都可以. 答案 B2.若D 点在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.－85 B.45C.85D.125解析∵CD→＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD→＝45CB →＝45(AB →－AC →) ＝rAB→＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45. ∴3r ＋s ＝125－45＝85. 答案 C3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值为________.解析 ∵(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2， 且e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝6－3＝3. 答案 34.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.解析 若a ，b 能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线. a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2， 由12≠2λ，即得λ≠4. 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)5.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB→＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________.解析 易知CF→＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG→＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG→＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →， 由于E ，G 、F 三点共线，则2λ＋2λ＝1， 即λ＝14，从而CG→＝14CA →， 从而AG→＝34AC →＝34(a ＋b )＝34a ＋34b . 答案 34a ＋34b6.已知向量a ＝－e 1＋3e 2＋2e 3，b ＝4e 1－6e 2＋2e 3，c ＝－3e 1＋12e 2＋11e 3，且e 1，e 2，e 3是不共线的向量，则a 能否表示成a ＝λ1b ＋λ2c 的形式？若能，写出表达式，若不能，说明理由.解 假设a 能表示成a ＝λ1b ＋λ2c 的形式. 将a ，b ，c 代入a ＝λ1b ＋λ2c 中，得－e 1＋3e 2＋2e 3＝λ1(4e 1－6e 2＋2e 3)＋λ2(－3e 1＋12e 2＋11e 3)，即－e 1＋3e 2＋2e 3＝(4λ1－3λ2)e 1＋(－6λ1＋12λ2)e 2＋(2λ1＋11λ2)e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，－6λ1＋12λ2＝3，2λ1＋11λ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－110，λ2＝15.∴存在实数λ1＝－110，λ2＝15.∴向量a 可以表示成a ＝λ1b ＋λ2c 的形式，且a ＝－110b ＋15c .7.平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ，BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量EL→，FM →，GN →；(2)求证：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分.(1)解 ∵OE→＝12a ，OL →＝12(b ＋c )，∴EL→＝OL →－OE →＝12(b ＋c －a ).同理FM→＝12(a ＋c －b )，GN →＝12(a ＋b －c ). (2)证明 设线段EL 的中点为P 1， 则OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝14(a ＋b ＋c ).设FM ，GN 的中点分别为P 2，P 3，同理可求得 OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝14(a ＋b ＋c ). ∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→， 即EL ，FM ，GN 交于一点，且互相平分.能力提升8.在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝( ) A.23e 1＋512e 2 B.13e 1－23e 2 C.－23e 1＋512e 2D.－13e 1＋34e 2解析如图， MN→＝AN →－AM → ＝AN→－(AB →＋BM →) ＝34AC →－AB →－13BC → ＝34AC →－AB →－13(AC →－AB →) ＝－23AB →＋512AC →＝－23e 1＋512e 2. 答案 C9.在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量(模为1的向量)i ，j 作为基底.将平面内的向量OA→用基底i ，j 表示出来，其中点A 在第一象限，且在直线y ＝43x 上，|OA→|＝5(如图).则OA →＝( )A.3i ＋4jB.4i ＋5jC.4i ＋3jD.3i ＋5j解析 过A 分别作AM ⊥x 轴于点M ，AN ⊥y 轴于点N . 设点A 的坐标为(x 0，y 0)，则由题意得， ⎩⎨⎧y 0＝43x 0，x 20＋y 20＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4(负值舍去). 即|OM→|＝3，|ON →|＝4.∴OA →＝OM →＋ON →＝3i ＋4j . 答案 A10.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC→，则AO →＝________(用a 和b 表示).解析 设AO→＝λAC →，则AO→＝λ(AD →＋DC →)＝λ(AD →＋12AB →) ＝λAD→＋12λAB →. 因为D ，O ，B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝23， 所以AO →＝23AD →＋13AB →＝23a ＋13b . 答案 23a ＋13b11.如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，则用基底a ，b 表示向量AE →＝________.解析 易得AN→＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ，满足AE→＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足AE→＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ， 由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，所以AE→＝25a ＋15b . 答案 25a ＋15b12.用向量法证明三角形的三条中线交于一点.解 已知：如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点. 求证：AD ，BE ，CF 交于一点.证明 令AC→＝a ，BC →＝b 为基底，则AB→＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b .设AD 与BE 交于点G 1， 且AG 1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →. 则有AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb ， 又有AG 1→＝AB →＋BG 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23.∴AG 1→＝23AD →.设AD 与CF 交于点G 2，同理求得AG →2＝23AD →.∴点G 1，G 2重合，即AD ，BE ，CF 交于一点. ∴三角形三条中线交于一点.创新突破13.如图所示，用绳子AC 和BC 吊一重物，绳子与垂直方向夹角分别为60°和30°，已知绳子AC 和BC 所能承受的最大拉力分别为80 N 和150 N ，那么重物的重力的大小应不超过多少？解设重物的重力为g ，如图所示可知：CB →方向上的力的大小为 |g |cos 30°＝32|g |； CA→方向上的力的大小为 |g |cos 60°＝12|g |.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧32|g |≤150，12|g |≤80，解得|g |≤160(N)，∴重物的重力大小应不超过160 N.。
高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 Word版含答案
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理 课时目标 1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之间的夹角与垂直．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个__________a 和b ，作＝a ，＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，OA → OB →叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________．②当θ＝0°时，a 与b ________.③当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．一、选择题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋e 2 12C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 22．等边△ABC 中，与的夹角是( ) AB → BC →A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③4．若＝a ，＝b ，＝λ(λ≠－1)，则等于( ) OP 1→ OP 2→ P 1P → PP 2→ OP →A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋b D.a ＋b 11＋λλ1＋λ5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且＝，连结CF 并AF FD 15延长交AB 于E ，则等于( ) AE EBA. B. C. D. 1121315110题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)9．在△ABC 中，＝c ，＝b .若点D 满足＝2，则＝____________. AB → AC → BD → DC → AD →10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若＝λ＋μ，其中AC → AE → AF →λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.三、解答题11. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若＝a ，AB → AC →＝b ，用a ，b 表示，，. AD → AE → AF →12. 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，＝2，DC 和OD → DB →OA 交于点E ，设＝a ，＝b . OA → OB →(1)用a 和b 表示向量、； OC → DC →(2)若＝λ，求实数λ的值． OE → OA →能力提升13. 如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x ＋y ，则x 的取值范围是________；当x ＝－时，y 的取值OP → OA → OB → 12范围是____________．14. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理答案知识梳理1．(1)不共线 任意 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 (2)不共线 所有2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0°，180°] ②同向 ③反向 (2)90° a ⊥b作业设计1．D 2.D 3.B4．D [∵＝λ，∴－＝λ(－) P 1P → PP 2→ OP → OP 1→ OP 2→ OP →∴(1＋λ)＝＋λ OP → OP 1→ OP 2→ ∴＝＋＝a ＋b .] OP → 11＋λOP 1→ λ1＋λOP 2→ 11＋λλ1＋λ5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]6．D [设＝a ，＝b ，＝λ. AB → AC → AE EB ∵＝，∴＝＋ AF FD 15CF → CA → AF → ＝＋＝(＋)－ CA → 16AD → 112AB → AC → AC →＝－＝a －b . 112AB → 1112AC → 1121112＝＋ CE → CA → AE → ＝＋ CA → λ1＋λAB →＝－ λ1＋λAB →AC → ＝a －b . λ1＋λ∵∥， CF → CE → ∴＝.∴λ＝.] λ1＋λ112111121107．－m ＋n 74138解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ， 得Error!⇒Error!.8．①②解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．9.b ＋c 2313解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b ＋c . AD → AB → BD → AB → 23BC → AB → 23AC → AB → 13AB → 23AC → 231310. 43解析 设＝a ，＝b ， AB → AD →则＝a ＋b ， AE → 12＝a ＋b ， AF → 12又∵＝a ＋b ， AC → ∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. AC → 23AE → AF → 234311．解 ＝＋＝＋＝a ＋(b －a )＝a ＋b ； AD → AB → BD → AB → 12BC → 121212＝＋＝＋＝a ＋(b －a )＝a ＋b ； AE → AB → BE → AB → 13BC → 132313＝＋＝＋＝a ＋(b －a )＝a ＋b . AF → AB → BF → AB → 23BC → 23132312．解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且＝， OD → 23OB →由平行四边形法则，＋＝2. OB → OC → OA →∴＝2－＝2a －b ， OC → OA → OB → ＝－＝(2a －b )－b ＝2a －b . DC → OC → OD → 2353(2)∥.又∵＝－＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，＝2a －b ， EC → DC → EC → OC → OE → DC → 53∴＝，∴λ＝. 2－λ21534513．(－∞，0) (12，32)解析 由题意得：＝a ·＋b ·(a ，b ∈R ＋，0<b <1) OP → OM → OB →＝a ·λ＋b · AB → OB →＝aλ(－)＋b · OB → OA → OB →＝－aλ·＋(aλ＋b )·(λ>0)． OA → OB →由－aλ<0，得x ∈(－∞，0)．又由＝x ＋y ，则有0<x ＋y <1， OP → OA → OB → 当x ＝－时，有0<－＋y <1， 1212解得y ∈. (12，32)14．解 设＝b ，＝c ， AB → AC → 则＝b ＋c ，＝＝c ， AM → 1212AN → 23AC → 23＝＋＝c －b . BN → BA → AN → 23∵∥，∥， AP → AM → BP → BN →∴存在λ，μ∈R ，使得＝λ，＝μ， AP → AM → BP → BN →又∵＋＝， AP → PB → AB →∴λ－μ＝， AM → BN → AB → 由λ－μ＝b 得 (12b ＋12c )(23c －b )b ＋c ＝b . (12λ＋μ)(12λ－23μ)又∵b 与c 不共线， ∴Error!解得Error! 故＝，即AP ∶PM ＝4∶1. AP → 45AM →。
北师大版必修四 2.3.2 平面向量基本定理练习及答案
2020年2月21日高中数学学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 设向量a →=(1, 0)，b →=(12, 12)，则下列结论中正确的是( )A.|a →|=|b →|B.a →⊥b →C.(a →−b →)⊥b →D.a → // b →2. 如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD =3DC ，若AD →=λAB →+μAC →，则λμ=( )A.12 B.13C.2D.233. 如图所示，已知AC →=3BC →，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则下列等式中成立的是( )A.c →=2b →−a →B.c →=32b →−12a →C.c →=2a →−b →D.c →=32a →−12b →4. 如图，在△ABC 中，AN →=23NC →，P 是BN 上一点，若AP →=tAB →+13AC →，则实数t 的值为( )A.23 B.25 C.16 D.345. 在Rt △ABC 中，∠C 是直角，CA =4，CB =3，△ABC 的内切圆交CA ，CB 分别切于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若CP →=xCD →+yCE →，则x +y 的值可以是( )A.1B.2C.4D.86. 已知在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且AM →=2MB →，AN →=3NC →，BN 与CM 相交于点P ，记a →=AB →，b →=AC →，用a →，b →表示AP →的结果是（ ） A.AP →=13a →+23b →B.AP →=12a →+13b →C.AP →=25a →+13b →D.AP →=13a →+12b →7. 与向量a →=(12,−5)反向的单位向量e →=________．8. 已知A(6, 2)，B(−2, −4)，若AC →=CB →，则点C 的坐标为__________.9. 已知|AB →|=|AC →|=|AB →+AC →|=2,OA →⋅OB →=OB →⋅OC →=OC →⋅OA →，则|OB →+OC →|=________.10. 已知向量a →=(1,2),b →=(2,−3)，向量c →满足(c →+a →) // b →,c →⊥(a →+b →)，则c →用基底a →,b →的线性表示为________．11. 已知点P 是△ABC 内一点（不包括边界），且AP →=mAB →+nAC →，m ，n ∈R ，则(m −2)2+(n −2)2的取值范围是________． 12.如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP =θ(0<θ<π)，C 点坐标为(−2, 0)，平行四边形OAQP 的面积为S ．（1）求OA →⋅OQ →+S 的最大值；（2）若CB // OP ，求sin(2θ−π6)的值．13. 已知向量a →=(sinx,cosx)，b →=(√22,√22)，(1)若a →=b →，求tanx 的值；(2)设函数f(x)=a →⋅b →+2，求f(x)的值域.14. 在△ABC 中，M 是线段AB 的中点，AN →=12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →=a →，AC →=b →，（1）用基底a →，b →表示BN →和CM →；（2）用基底a →，b →表示AE →．15. 已知点 O(0, 0)，A(2, 1)，B(−2, 4)，向量OM →=OA →+λOB →． (I )若点M 在第二象限，求实数λ的取值范围(II)若λ=1，判断四边形OAMB 的形状，并加以证明．参考答案与试题解析 2020年2月21日高中数学一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 1.【答案】 C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：对于A ：∵ 向量a →=(1, 0)，b →=(12, 12).∴ |a →|=1，|b →|=√22，故A 错误.对于B:a →⋅b →=1×12+0×12=12，故B 错误.对于C ：∵ (a →−b →)⋅b →=(12, −12)⋅(12, 12)=14−14=0，∴ (a →−b →)⊥b →，故C 正确.对于D ：∵ 1×12−0×12=12≠0， ∴ a →不平行于b →，故D 错误. 故选C . 2.【答案】 B【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量的共线定理平面向量的基本定理及其意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ BD =3DC ，∴ AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →，=AB →+34(AC →−AB →)=14AB →+34AC →， ∵ AD →=λAB →+μAC →， ∴ λ=14,μ=34，∴ λμ=13， 故选B . 3.【答案】 B【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量的共线定理平面向量的基本定理及其意义 【解析】利用向量的三角形法则，把OA →OB →作为基底进行加法运算． 【解答】解：OC →=OA →+AC →=OA →+32AB →=OA →+32(OB →−OA →)=32OB →−12OA → =32b →−12a →． 故选B ． 4.【答案】 C【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】由已知中△ABC 中，AN →=23NC →，P 是BN 上的一点，设BP →=λBN →后，我们易将AP →表示为(1−λ)AB →+2λ5AC →的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，t 的方程组，解方程组后即可得到t 的值 【解答】解：∵ P 是BN 上的一点， 设BP →=λBN →，由AN →=23NC →，则AP →=AB →+BP →=AB →+λBN →=AB →+λ(AN →−AB →)=(1−λ)AB →+λAN →=(1−λ)AB →+2λ5AC →=tAB →+13AC →.∴ t =1−λ，2λ5=13.解得λ=56，t =16. 故选C . 5.【答案】 B【考点】向量的共线定理平面向量的基本定理及其意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设 △ABC 内切圆的圆心为O ，半径为r ， 连结OD ，OE ，则OD ⊥AC ， OE ⊥BC ， 所以 3−r +4−r =5 ， 解得r =1 ，故CD =CE =1， 连结DE ，则当 x +y =1 时，P 在线段DE 上， 但线段DE 均不在阴影区域内，排除A ；在AC 上取点M ，在CB 上取点N ，使得 CM =2CD ， CN =2CE ， 连结MN ，所以CP →=x 2CM →+y 2CN →，则当点P 在线段MN 上时，x2+y2=1， 故 x +y =2 ．同理，当 x +y =4或 x +y =8时， 点P 不在 △ABC 内部，排除C ，D ． 故选B ．6.【答案】 D【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由点C ，P ，M 及B ，P ，N ，可设AP →=λAM →+(1−λ)AC →=μAN →+(1−μ)AB →， 即23λa →+(1−λ)b →=34μb →+(1−μ)a →⇒{23λ=1−μ,1−λ=34μ⇒μ=23， ∴ AP →=13a →+12b →．故选D ．二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ） 7. 【答案】 (−1213,513) 【考点】 相等向量与相反向量 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：e →=−1|a →|⋅a →=−113(12,−5)=(−1213,513)．故答案为：(−1213,513)． 8.【答案】 (2, −1)【考点】相等向量与相反向量 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为AC →=CB →，所以点C 在线段AB 上， 而且点C 为线段AB 的中点，则C 的坐标为(2, −1). 故答案为：(2,−1). 9.6【考点】向量在几何中的应用平面向量的基本定理及其意义 向量的模 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意知|AB →+AC →|=2，两边平方得AB →2+2AB →⋅AC →+AC →2=4，即4+2AB →⋅AC →+4=4， 解得cos∠BAC =−12，所以∠BAC =120∘， 由OA →⋅OB →=OB →⋅OC →得OB →⋅(OA →−OC →)=0， 即OB →⊥CA →，同理OC →⊥AB →， 所以，O 是△ABC 的垂心，如图所示：易知，△BOC 是等边三角形，BO =CO =2√3. 所以，|OB →+OC →|2=OB →2+2OB →⋅OC →+OC →2 =12+2×2√3×2√3×12+12=36. 则|OB →+OC →|=6. 故答案为：6. 10.【答案】 19b →−a → 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】由已知可得c →+a →=λb →，c →⋅(a →+b →)=0⇒c →=λb →−a →，(λb →−a →)⋅(a →+b →)=0，⇒λa →⋅b →+λb →−a →2−a →⋅b →=0⇒λ=19，即可得c →=19b →−a →．解：∵ 向量c →满足(c →+a →) // b →,c →⊥(a →+b →)，则c →+a →=λb →，c →⋅(a →+b →)=0⇒c →=λb →−a →，(λb →−a →)⋅(a →+b →)=0， ⇒λa →⋅b →+λb →−a →2−a →⋅b →=0， ⇒−4λ+13λ−5+4=0， ⇒λ=19．∴ c →=λb →−a →=19b →−a →，故答案为：19b →−a →．11.【答案】(92,8) 【考点】平面向量的基本定理及其意义 简单线性规划 【解析】由题意可知m >0，n >0，m +n <1，画出可行域(m −2)2+(n −2)2表示点C(2, 2)到可行域内点(m, n)距离平方，利用点到直线的距离公式，即可求得(m −2)2+(n −2)2的取值范围． 【解答】解：由题意得：m >0，n >0，m +n <1，可行域为一个直角三角形OAB 内部，其中A(1, 0)，B(0, 1)，而(m −2)2+(n −2)2表示点C(2, 2)到可行域内点(m, n)距离平方， 则C(2, 2)到直线m +n =1距离为√2=√2，因此取值范围是(d, |OC|2)，∴ (m −2)2+(n −2)2的取值范围(92,8)， 故答案为：(92,8)．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ） 12.【答案】 解：（1）由已知，得A(1, 0)，B(0, 1)．P(cos θ, sin θ)，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ →=OA →+OP →=(1+cosθ, sinθ)． 所以OA →⋅OQ →=1+cosθ． 又平行四边形OAQP 的面积为 S =|OA →⋅OP →|sin θ=sin θ，所以OA →⋅OQ →+S =1+cosθ+sin θ=√2sin(θ+π4)+1．又0<θ<π，所以当θ=π4时，OA →⋅OQ →+S 的最大值为√2+1． （2）由题意，知CB →=(2, 1)，OP →=(cosθ, sinθ)， 因为CB // OP ，所以cosθ=2sinθ． 又0<θ<π，cos 2θ+sin 2θ=1， 解得sin θ=√55，cos θ=2√55， 所以sin2θ=2sin θcosθ=45，cos 2θ=cos 2θ−sin 2θ=35． 所以sin(2θ−π6)=sin 2θcos π6−cos 2θsin π6=45×√32−35×12=4√3−310． 【考点】 三角函数 单位圆 【解析】（1）求出A(1, 0)，B(0, 1)．P(cos θ, sin θ)，然后求解OA →⋅OQ →，以及平行四边形OAQP 的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可．（2）利用三角函数的定义，求出sinθ，cosθ，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值． 【解答】 解：（1）由已知，得A(1, 0)，B(0, 1)．P(cos θ, sin θ)，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ →=OA →+OP →=(1+cosθ, sinθ)． 所以OA →⋅OQ →=1+cosθ． 又平行四边形OAQP 的面积为 S =|OA →⋅OP →|sin θ=sin θ，所以OA →⋅OQ →+S =1+cosθ+sin θ=√2sin(θ+π4)+1．又0<θ<π，所以当θ=π4时，OA →⋅OQ →+S 的最大值为√2+1． （2）由题意，知CB →=(2, 1)，OP →=(cosθ, sinθ)， 因为CB // OP ，所以cosθ=2sinθ．又0<θ<π，cos 2θ+sin 2θ=1，解得sin θ=√55，cos θ=2√55， 所以sin2θ=2sin θcosθ=45，cos 2θ=cos 2θ−sin 2θ=35．所以sin(2θ−π6)=sin 2θcos π6−cos 2θsin π6=45×√32−35×12=4√3−310． 13.【答案】解：(1)a →=b →，则sinx =cosx =√22， 所以tanx =sinx cosx =1.(2)f(x)=a →⋅b →+2=√22sinx +√22cosx +2 =sin (x +π4)+2，因为sin (x +π4)∈[−1,1]，所有f(x)的值域为[1,3].【考点】相等向量与相反向量同角三角函数间的基本关系函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)a →=b →，则sinx =cosx =√22， 所以tanx =sinx cosx =1.(2)f(x)=a →⋅b →+2=√22sinx +√22cosx +2 =sin (x +π4)+2，因为sin (x +π4)∈[−1,1]，所有f(x)的值域为[1,3].14.【答案】解：（1）∵ M 是线段AB 的中点，AN →=12NC →，∴ AN →=13AC →，AM →=12AB →， ∴ BN →=−AB →+AN →=−a →+13b →， CM →=−AC →+AM →=12a →−b →．（2）设ME →=xMC →=xb →−12xa →，NE →=yNB →=ya →−13yb →， 则AE →=AM →+ME →=(12−12x)a →+xb →， 又AE →=AN →+NE →=ya →+(13−13y)b →， ∴ {12−12x =y13−13y =x ，解得{x =15y =25， ∴ AE →=25a →+15b →． 【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】（1）根据向量加法的三角形法则表示；（2）设ME →=xMC →=xb →−12xa →，NE →=yNB →=ya →−13yb →，用两种方法表示出AE →，列方程组得出x ，y 即可表示出AE →．【解答】解：（1）∵ M 是线段AB 的中点，AN →=12NC →，∴ AN →=13AC →，AM →=12AB →，∴ BN →=−AB →+AN →=−a →+13b →， CM →=−AC →+AM →=12a →−b →． （2）设ME →=xMC →=xb →−12xa →，NE →=yNB →=ya →−13yb →， 则AE →=AM →+ME →=(12−12x)a →+xb →， 又AE →=AN →+NE →=ya →+(13−13y)b →， ∴ {12−12x =y13−13y =x ，解得{x =15y =25， ∴ AE →=25a →+15b →． 15.【答案】解：(I)设M(x, y)，由已知得OA →=(2,1)，OB →=(−2,4) 由OM →=OA →+λOB →得(x, y)=(2, 1)+λ(−2, 4) ⇒x =2−2λ，y =1+4λ即M(2−2λ, 1+4λ)又∵ 点M 在第二象限，∴ {2−2λ<01+4λ>0，⇒λ>1； (II)当λ=1时，O(0, 0)，A(2, 1)，M(0, 5)，B(−2, 4) ∴ AM →=(−2,4)，OB →=AM →OB // AM 且OB =AM∴ 四边形OAMB 是平行四边形．又OA →⋅OB →=−4+4=0，∴ OB ⊥OA∵ OA =√5，OB =2√5，四边形OAMB 是矩形．【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】(I)设M(x, y)，由OM →=OA →+λOB →得(x, y)=(2, 1)+λ(−2, 4)，即M(2−2λ, 1+4λ) 又{2−2λ<01+4λ>0，⇒λ>1 (II)当λ=1时，O(0, 0)，A(2, 1)，M(0, 5)，B(−2, 4) 可得OB // AM 且OB =AM ，又OA →⋅OB →=−4+4=0，OB ⊥OA ，OA ∴ ≠OB ，四边形OAMB 是矩形．【解答】解：(I)设M(x, y)，由已知得OA →=(2,1)，OB →=(−2,4)由OM →=OA →+λOB →得(x, y)=(2, 1)+λ(−2, 4) ⇒x =2−2λ，y =1+4λ即M(2−2λ, 1+4λ)又∵ 点M 在第二象限，∴ {2−2λ<01+4λ>0，⇒λ>1； (II)当λ=1时，O(0, 0)，A(2, 1)，M(0, 5)，B(−2, 4) ∴ AM →=(−2,4)，OB →=AM →OB // AM 且OB =AM∴ 四边形OAMB 是平行四边形．又OA →⋅OB →=−4+4=0，∴ OB ⊥OA∵ OA =√5，OB =2√5，四边形OAMB 是矩形．。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第21课时 平面向量基本定理 含解析
第21课时 平面向量基本定理课时目标1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2识记强化112面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a 、OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角是90°，我们就说a 与b 垂直，记作a ⊥b .课时作业一、选择题1．下列各组向量中，一定能作为基底的是( ) A ．a ＝0，b ≠0B ．a ＝3e ，b ＝－3e (e ≠0)C ．a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋2e 2(e 1，e 2不共线)D ．a ＝4e 1＋4e 2，b ＝－2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线) 答案：C解析：由平面向量基本定理知，a ，b 不共线，∴选C.2．设a ，b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A ，B ，D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 答案：D解析：BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A ，B ，D 三点共线，知存在实数λ，使2a ＋p b ＝2λa －λb .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.3．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝e 1，DC →＝e 2，则OC →＝( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1) 答案：A解析：因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC →＝e 1，DC →＝e 2，所以OC →＝12(BC →＋DC →)＝12(e 1＋e 2)，故选A. 4．已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0 答案：A解析：由P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点)，则AP →＝( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22答案：A解析：如图所示，AC →＝AB →＋AD →.又点P 在AC 上，∴AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．6．若点O 是▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，且AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于( )A.AO →B.CO →C.BO →D.DO → 答案：C解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(BC →－AB →)＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝BO →. 二、填空题7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝________.答案：－2或13解析：由题设，知k 22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.8．已知e 1，e 2是两个不共线向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.答案：－12解析：因为a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，所以存在唯一的μ，使2e 1－e 2＝μ(e 1＋λe 2)＝μe 1＋μλe 2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－12.9．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________.答案：12解析：∵PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λy ＝－λ，则x y ＝12.三、解答题10.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN →.解：由AN →＝3NC →，知N 为AC 的四等分点． MN →＝MC →＋CN → ＝12AD →－14AC → ＝12AD →－14(AB →＋AD →) ＝－14AB →＋14AD →＝－14a ＋14b .11．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，若存在实数λ和μ，使d ＝λ a ＋μb 与c 共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？解：∵d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，若d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．能力提升12．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.13.如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .求证：B 、E 、F 三点共线．证明：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG 、CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )AE →＝23AD →＝13(a ＋b )AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．又BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．所以BE →＝23BF →，又因为BE →与BF →有公共点B ，所以B 、E 、F 三点共线．。
高中数学课时训练(人教版必修四)第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理)
数学·必修4(人教A版)2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1平面向量基本定理基础提升1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么()A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对答案：A2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________.答案：e1＝3a－4b e2＝－2a＋3b3．设e 1，e 2是平面内一组基底，如果AB →＝3e 1－2e 2，BC →＝4e 1＋e 2，CD →＝8e 1－9e 2，则共线的三点是( ) A ．A 、B 、C B ．B 、C 、DC ．A 、B 、D D ．A 、C 、D答案：C4．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2解析：∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，故选B.答案：B5．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.解析：由题意，得3x －4y ＝6且2x －3y ＝3，解得x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：3巩固提高6．如下图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG→＝________.解析：∵E 、F 分别为相应边中点，∴AG →＝34AC →＝34(a ＋b )＝34a ＋34b . 答案：34a ＋34b7．在三角形ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC 交AC 于F 点，设AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 表示向量BF →.解析：如图所示，∵AE →＝15AB →，EF ∥BC 交AC 于F 点，∴BF →＝BE →＋EF → ＝45BA →＋15BC → ＝－45AB →＋15⎝⎛⎭⎫AC →－AB → ＝－AB →＋15AC →＝－a ＋15b .8．若a ，b 是两个有相同起点且不共线的非零向量，当t (t ∈R)为何值时，三向量a ，tb ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上？解析：设OA →＝a ，OB →＝tb ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝tb －a .要使A ，B ，C 三点共线，则AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λtb －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝ －λ， 13＝λt ，解得t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．9．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC→＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝ ________________________________________________________________________.解析：设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －a .代入条件AC →＝λAE →＋μAF →得λ＝μ＝23.∴λ＋μ＝43.。
2019精品平面向量的基本定理及坐标表示一课一练2文档
此时||
=
=
=
=、
15、解：( 1 ) 设动点的坐标为，
则，，、
∵，∴，
即。
若，则方程为，表示过点且平行 于轴的直线、
若，则方程为，表示以为圆心， 以为半径
的圆、
( 2 ) 当时，方程化为、
∴、
又∵，∴ 令，则
∴当时，的最大值为，当时，最 小值为。
8、设，已知两个向量，，则向量长 度的最大值是（ ）
A、
B、
D、
C、
二、填空题
9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y2＝－4x运动，则使取得最 小值的点P的坐标 是 、
10、把函数的图象，按向量 （m>0） 平移后所得的图象关于轴对称，则m 的最小正值为_________Fra bibliotek________、
12、解：设（ｘ，ｙ），则有， 解得、所以（1，－1）。
13、解：（1）（2）且，
14、解：⑴f(x)== 2sinxcosx+cos2x=、
∵0≤x≤ ， ∴≤2x+≤、
∴当2x+=，即x=0时，f(x)max=1；
当2x+=π，即x=π时，f(x)min= -、
⑵即f(x)=0，2x+=，∴x=、
2.3 平面向量的基本定理及坐标表 示
一、选择题
1、若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2), 则 等于( )
A、+ B、
C、
D、+
2、已知，A（2，3），B（－4， 5），则与共线的单位向量是 （ ）
A、
B、
C、
D、
3、已知垂直时k值为
（ ）
高一 平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习 含答案
1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对． 答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ， 即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析 由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________． 答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________． 答案 m ≠54解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案 －12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
高中数学 14 平面向量的基本定理练习(含解析)北师大版必修4(2021年整理)
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14 平面向量的基本定理时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题（每小题5分，共5×6＝30分)1．设a，b是不共线的两个非零向量,已知错误!＝2a＋p b，错误!＝a＋b，错误!＝a－2b。
若A，B，D三点共线，则p的值为（）A．1 B．2C．－2 D．－1答案：D解析：错误!＝错误!＋错误!＝2a－b,错误!＝2a＋p b，由A，B,D三点共线,知存在实数λ，使2a＋p b＝2λa－λb.∵a，b不共线,∴错误!，∴p＝－1.2．在矩形ABCD中,O是对角线的交点，若错误!＝e1,错误!＝e2，则错误!＝( ）A。
错误!(e1＋e2） B.错误!(e1－e2）C.错误!(2e2－e1)D.错误!（e2－e1）答案:A解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，错误!＝e1,错误!＝e2，所以错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!（e1＋e2)，故选A.3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )A．60° B．120°C．30° D．150°答案：A解析:使平面向量a，b有公共起点O，如图所示,则由对顶角相等，可得向量－a与－b的夹角也是60°.4．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是( )A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－b D．a与－b答案:C解析:由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则,可知A,B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．5．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，错误!＝x错误!＋y错误!，且错误!＝3错误!，则（)A．x＝错误!，y＝错误! B．x＝错误!，y＝错误!C．x＝错误!,y＝错误! D．x＝错误!，y＝错误!答案：D解析：由已知错误!＝3错误!，得错误!－错误!＝3(错误!－错误!)，整理，得错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,故x＝错误!，y＝错误!。
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课时训练含解析新人教A版必修
2．3.1 平面向量基本定理课时目标 1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之间的夹角与垂直．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个__________a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．一、选择题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 22．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( )A ．30° B．45° C ．60° D．120° 3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE EB等于( )A.1B.1C.1D.1二、填空题7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)9．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.三、解答题11. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.12. 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．能力提升13. 如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________；当x ＝－12时，y 的取值范围是____________．14. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理答案知识梳理1．(1)不共线 任意 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 (2)不共线 所有2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0°，180°] ②同向 ③反向 (2)90° a⊥b 作业设计1．D 2.D 3.B4．D [∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .]5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]6．D [设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF → ＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC → ＝λ1＋λa －b . ∵CF →∥CE →，∴λ1＋λ112＝11112.∴λ＝110.]7．－74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74y ＝138.8．①②解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 9.23b ＋13c 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .10.43 解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.11．解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .12．解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.13．(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 由题意得： OP →＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ·λAB →＋b ·OB →＝a λ(OB →－OA →)＋b ·OB →＝－a λ·OA →＋(a λ＋b )·OB →(λ>0)． 由－a λ<0，得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，解得y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 14．解 设AB →＝b ，AC →＝c ， 则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →＝23c ，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，由λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b 得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.。
高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 Word版含答案
2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．137．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA→＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D.]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.] 6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.] 7.12解析 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 8．(－4，－8)解析 由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．解 由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解 方法一 由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.]14．(2,3)解析 设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．。
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平面向量基本定理课时练
1．给出下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量．
其中正确的说法是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．②
2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )
A ．e 1和e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1
C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1
D ．e 1＋e 2和e 1－e 2
3．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( )
A ．λ(A
B →＋AD →)，λ∈(0,1)
B ．λ(AB →＋B
C →)，λ∈⎝
⎛⎭⎫0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)
D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝
⎛⎭⎫0，22 4．若四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )
A ．b ＋12
a B ．
b －12a C ．a ＋12b D ．a －12
b 5．已知a ，b 不共线，且
c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，若c 与b 共线，则λ1＝________.
6．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝ma ＋nb ，
则实数m ＝________，n ＝________.
7．已知向量a 与b 的夹角是45°，则－2a 与3b 的夹角是________．
8．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13
AB →，若AB →
＝a ，AC →＝b ，试用a 、b 将MN →、NP →、PM →表示出来．
9．如图所示，在▱ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试
用c ，d 表示AB →和AD →.
10.在△ABC 中，AD →＝14
AB →，DE ∥BC ，与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a 和b 表示DN →.。