2017学年杭州市江南实验学校初三月考试卷

2017-2018学年杭州市江南实验第一学期初三月考数学试卷（1月2号）考生须知：1、本试卷满分120分，考生时间100分钟。

2、答题前，在答题纸上写学校、班级、姓名和试场号、座位号。

3、必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．己知3：x=6：12，则实数x的值为（）【A】4 【B】6 【C】12 【D】24【答案】B【解答】解：因为3：x=6：12，可得：x=6，故选B2．对于事件“从车间生产的100个（其中有2个是次品）产品中任意抽一个，所抽取的产品是次品”，下列对于该事件的描述正确的是（）【A】该事件是必然事件【B】该事件是不可能事件【C】该事件是不确定事件【D】该事件发生的可能性很大【答案】C．【解答】解：对于事件“从车间生产的100个（其中有2个是次品）产品中任意抽一个，所抽取的产品是次品”，是不确定事件，故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosA的值为（）【A】【B】【C】【D】【答案】B．【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴cosA==，故选B．4．将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）【A】y=﹣（x+2）2【B】y=﹣x2+2【C】y=﹣（x﹣2）2【D】y=﹣x2﹣2【答案】A．【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），∴新抛物线的顶点为（﹣2，0），设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k，∴新抛物线解析式为y=﹣（x+2）2，故选A．5．已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（）【A】4 【B】2 【C】4π【D】2π【答案】C．【解答】解：设扇形的半径为R，根据题意得12π=，解得R=6，所以扇形的弧长==4π．故选C．6．河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）【A】5米【B】10米【C】15米【D】10米【答案】A．【解答】解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=5米；故选A．7．己知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0），对任意实数t，其图象都经过点（2+t，m）和点（2﹣t，m），又图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），（6，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（）【A】y1＞y2＞y3 【B】y3＞y1＞y2【C】y2＞y1＞y3 【D】y3＞y2＞y1【答案】B．【解答】解：∵图象都经过点（2+t，m）和点（2﹣t，m），∴抛物线的对称轴为x==2，又∵a＞0，即抛物线的开口向上，∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，则y3＞y1＞y2，故选：B．8．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD 于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）【A】【B】【C】【D】【答案】B．【解答】解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=OA，设B1F=x，则AF=﹣x，故（﹣x）2+x2=（2x）2，解得x=或x=（舍去），∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．故选：B．9．有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（甲）．将它沿DE折叠，是A点落在BC上，如图（乙）．这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（）【A】（π﹣2）cm2【B】（π+）cm2【C】（π﹣）cm2【D】（π+）cm2【答案】C．【解答】解：∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∵∠C=90°，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DOK=120°，∴扇形ODK的面积为πcm2，作OH⊥DK于H，∵∠D=∠K=30°，OD=2cm，∴OH=1cm，DH=cm；∴△ODK的面积为cm2∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（π﹣）cm2．故选C．10．在探究“抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），过点A 且与x轴成45°角的直线，与抛物线交于点C”的图形性质时，小慧在得出“在第一象限存在一点C1，第四象限存在一点C2满足条件”这一正确结论后，还由此得出下列结论：①C1的横坐标为4，C2的纵坐标为﹣3；②sin∠AC1C2=；③过点C1、C2作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2，则△C1D1B∽△C2D2B，则其中正确的为（）【A】①②【B】②③【C】①③【D】①②③【答案】A．【解答】解：由题意A（﹣1，0），B（3，0），由解得或，∵A（﹣1，0），∴C1（4，5），由解得或，∴C2（2，﹣3），故①正确，∴AC2=3，C1C2=2，∴sin∠AC1C2===，故②正确，∵≠，故③错误，故选A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若cosα=，则锐角α为度．【答案】30．【解答】解：∵cosα=，∴α=30°，故答案为：30．12．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．【答案】．【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，∴使△ABC为直角三角形的概率是：．故答案为：．13．如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=3：2，且BF=2，则DF=．【答案】5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△BEF∽△DCF，∴=，∵AE：BE=3：2，∴==，∴=，∴DF=5，故答案为5．14．在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2-4x+5关于点（1,2）中心对称变换后所得的新抛物线的解析式为【答案】y=-2x2+4x-1【解答】解：抛物线y=x2+x﹣2=（x2+x+）﹣﹣2=﹣，从而得出顶点坐标为：（﹣，﹣），关于点（1,2）对称的抛物线的顶点坐标为：（1，1），开口向下，故解析式为y=-2x2+4x-115．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是弧BC上一点，OA与BC交于点E，若AO=8，BC=12，EO=BE，则线段OD=，BE=．【答案】2；4【解答】解：（1）连接OB．∵OD过圆心，且D是弦BC中点，∴OD⊥BC，BD=BC，在Rt△BOD中，OD2+BD2=BO2．∵BO=AO=8，BD=6．∴OD=2；在Rt△EOD中，OD2+ED2=EO2．设BE=x，则OE=x，ED=6﹣x．（2）2+（6﹣x）2=（x）2，解得x1=﹣16（舍），x2=4．∴ED=2，∴BE=BD﹣ED=6﹣2=4．故答案是：2；4．16．已知在△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，sin∠B=，AD⊥BC于点D，点E为边AB上一动点（不与点A、B重合），EC与AD交于点G，点F在边BC上，EF⊥CE．若点E为AB的中点，则的值为3【答案】2【解答】解：如图，过点E作EH∥AD，交BC于点H；∵在△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，sin∠B=，∴，BC=5；由勾股定理得：AB=；∵AD⊥BC于点D，∴AC2=CD•BC（射影定理），，BD=5﹣=；∵AD2=CD•BD，∴；∵AE=BE，EH∥AD，∴BH=DH=，EH为△EHC的中位线，∴EH=；∵EF⊥CE，DG⊥CF，∴∠C+∠CGD=∠C+∠EFH，∴∠CGD=∠EFH；而∠EHF=∠GDC，∴△CDG∽△EHF，即．三、解答题（本题共7小题，共66分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17．为了分类收集，要把地上散落的红球、黄球、白球，按相同颜色放入三个外观相同的不同布袋中，现已按要求收集了部分球在这三个布袋中（1）把一个红球随即投放，问：小明恰好放对的概率是多少？（2）若小明同学把一个黄球和一个白球任意投放（可以同时放入同一个布袋），求两个球都放对的概率（请列表或画出树状图）【答案】见解析【解答】解：（1）∵要把红球、黄球、白球，按相同颜色放入三个外观相同的不同布袋中，∴把一个红球随即投放明恰好放对的概率=；（2）树状图如图所示，三个不同布袋分别对应为A，B，C，由树状图可知所有可能结果有9种，其中两个球都放对的情况数有1种，所以其概率=．18．（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中．【答案】见解析【解答】解：（1）原式=2﹣4+1﹣2=﹣3（2）原式=÷=•=，当a=﹣1时，原式===．19．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【答案】见解析【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．20．给定关于x的二次函数y=2x2+（6﹣2m）x+3﹣m，学生甲：当m=3时，抛物线与x轴只有一个交点，因此当抛物线与x轴只有一个交点时，m的值为3；学生乙：如果抛物线在x轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由．【答案】见解析【解答】解：甲的观点是错误的．理由如下：当抛物线y=2x2+（6﹣2m）x+3﹣m与x轴只有一个交点时（6﹣2m）2﹣4×2×（3﹣m）=0，即：（3﹣m）（4﹣4m）=0，解得m=3或m=1，即m=3或m=1时抛物线y=2x2+（6﹣2m）x+3﹣m与x轴只有一个交点；乙的观点是正确的，理由如下：当抛物线在x轴上方时，由上可得（6﹣2m）2﹣4×2×（3﹣m）＜0，即：（3﹣m）（4﹣4m）＜0，∴1＜m＜3，而对于开口向上的抛物线最低点为其顶点，顶点的横坐标为，∵1＜m＜3，∴，且抛物线在x轴上方即抛物线的最低点在第二象限．21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当∠BAC=60°时，DE与DF有何数量关系？请说明理由；（3）当AC=5，BC=6时，求AE和DF的长．【答案】见解析【解答】（1）证明：连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠OBD，∵OD=OB，∴∠1=∠OBD，∴∠1=∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）DF=2DE．理由：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∠CAD=∠BAD=30°，∵EF⊥AC，∴∠F=30°，∴∠BAD=∠F，∴AD=DF，在Rt△AED中，∠CAD=30°，∴AD=2DE，即DF=2DE．（3）解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，且BC=6，∴CD=BD=BC=3，在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又S△ACD=AC•ED=AD•CD，即×5×ED=×4×3，∴ED=，∴AE==；∵OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴=，∴OD=AB=AC=，∴=，解得：DF=．22．平面直角坐标系中，已知y1=﹣x+2分别交x轴，y轴于点A和点B．（1）若y2=（x﹣1）2﹣k2（k＞0）与x轴交于点A，求k的值；（2）当k≠1时，y2=（x﹣1）2﹣k2（k＞0）交x轴于点C，D（C在左边），交y轴于点M．过点D作y轴的平行线，交y1于点E，作矩形CDEF，连结MF．根据题意画出草图，并回答：①若矩形CDEF在x轴上方，求出此时k的取值范围，并比较此时点M与点F纵坐标的大小；②当k为何值时，S△OMF=S矩形CDEF．【答案】见解析【解答】解（1）将y1=0代入得：﹣x+2=0，解得：x=2，∴A（2，0）．将点A的坐标代入抛物线的解析式得：0=12﹣k2，解得：k=±1．∵k＞0，∴k=1．（2）①如图1所示：∵矩形在x轴上方，∴点D在A左侧．把y=0代入y2=（x﹣1）2﹣k2，得0=（x﹣1）2﹣k2，解得：x=1±k．∵k＞0，∴D（1+k，0），C（1﹣k，0）．∴E（1+k，﹣k+1）．∵点E在x轴的上方，∴﹣k+1＞0，解得：k＜1．又∵k＞0，∴0＜k＜1．由题意可得：M纵坐标为1﹣k2，F纵坐标为1﹣k，∴1﹣k2﹣（1﹣k）=k（1﹣k）＞0∴时M纵坐标＞F纵坐标．②∵F（1﹣k，1﹣k），∴点F到OM的距离等于点F到CD的距离．∴△OMF与矩形CDEF等高，∴当S△OMF=S矩形CDEF．时，OM=CD（i）当0＜k＜1时，1﹣k2=2k解得：k=﹣1﹣（舍去）或k=﹣1（ii）当k＞1时，k2﹣1=2k，解得：k=1﹣（舍去）或k=1+．综上所述：k=﹣1+或k=1+．23．如图，已知⊙O过边长为4的正方形ABCD顶点A、B．（1）若⊙O与边CD相切．①请用直尺和圆规作出⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；②求⊙O的半径；（2）过点O作MN⊥AB，分别交AB、CD于点M、N，⊙O与边AD交于点E，与线段MN交于点F，连接EN、AF，当△DEN与△AFM相似时，画出图形，并在图形下方直接写出⊙O的半径长．（注：若有多种情况，每种情况单独用一个图形表示）【答案】见解析【解答】解：（1）①如图1中，作线段AB的垂直平分线EF，交CD于F，连接AF，作线段AF的垂直平分线MN交EF于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O即为所求．②如图2中，设⊙O与AD、DC分别交于点E、F，FO的延长线交AB于M，设OA=x，则AM=2，FO=x，OM=4﹣x，在Rt△AMO中，∠AMD=90°，OA2=OM2+AM2，∴x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，∴⊙O的半径为2.5．（2）①如图3中，当△DEN∽△MFA时，∵AM=DN，∴△DEN≌△MFA，∴FM=DE，AE=FN，设⊙O的半径为r，OM=a，∵OA=OE，OG⊥AE，∴AG=GE，∵四边形AMOG是矩形，∴AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，∵NM=4，∴3a+r=4 ①在Rt△AOM中，∵OA2=OM2+AM2，∴22+a2=r2②，由①②可得r=．②如图4中，当⊙O与CD相切时，连接BN．∵∠DEN+∠AEN=180°，∠ABN+∠AEN=180°，∴∠DEN=∠ABN，∵OM⊥AB，∴=，∴∠BAN=∠ABN=∠DEN，∵∠EDN=∠AMN，∴△DEN∽△MAN，由（1）可知此时⊙O的半径为2.5．。