2017年春季新版北师大版九年级数学下学期2.5、二次函数与一元二次方程学案6
2017年春季新版北师大版九年级数学下学期2.5、二次函数与一元二次方程导学案7
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
因此，x=是方程的一个近似根。
（2）另一个根可以类似地求出 ：
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
因此，x=是方程的一个近似根。
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果？
【合作探究】————升华学科能力，透析重难点
【使用说明与学法指导】
阅读课本P73---P75,独立完成导学案自主学习部分，使用双色笔勾画有问题的地方。
【自主学习】——建立自信，克服畏惧，尝试新 知
1．你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(1)由图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,
1利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根
温馨提示
将方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0，你 会了吗？
【当堂训练】———技能拓展应用，搭建晋级平台
1.利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根。
二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1.巩固理解二次函数图象与0的根。
2.经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
【重点难点】
教学重点：利用二次函数图像求一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值。
教学难点：理解一元二次 方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了函数和方程的基础知识上进行教学的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实际问题培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数和方程的基础知识也有了一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例讲解和练习，帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
通过实例讲解，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
同时，通过小组合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.投影仪和白板。
七. 教学过程导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：“某商品打8折后的售价为120元，求原价。
”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数和一元二次方程的定义，讲解二次函数与一元二次方程之间的关系。
以商品打折问题为例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师选取几个学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。
北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程(一)教学设计
北师大版九年级数学下册（第二章第五节）二次函数与一元二次方程(1)教学设计2.5二次函数与一元二次方程（一）一、设计思路1、指导思想本节课的具体学习任务：理解二次函数图象与x轴交点的个数与相应的一元二次方程的根的个数之间的关系；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论相应的一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标.在课堂上通过由易到难的设问，巧妙的启发，肯定的评价，努力营造出让学生探索二次函数与一元二次方程关系的氛围，使他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，有意识的培养学生初步的创新精神和实践能力．本节课的教学目标是：2、教学目标知识与技能（1）、理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系（2）、理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.过程与方法（1）．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．（2）．理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。
情感、态度与价值观通过二次函数图象与一元二次方程之间关系的探究活动,体会二次函数与一元二次方程之间的联系;使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.3、教学重难点：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根教学难点：理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h 交点的横坐标二、教学准备多媒体课件三、教学过程（一）复习回顾(二）自主学习我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h表示, 其中h(m)是抛出时的高度, v(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示(1) h和t的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.（三）合作探究观察二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点y=x y=x-2x y=x-2x1.一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式是什么？它的根有哪些情况？2.解方程（1）x2+3x=0 （2）x2－4x+4=0 （3）x2-2x+3=0.（1）二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0 有根吗?(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?（四）归纳整理:1、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根2、（五）学以致用1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是______________ 。
九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)新版北师大版
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解最大面积或最小成本的问题？”（如篮球投篮的角度问题）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与一元二次方程的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：强调二次函数y=ax²+bx+c的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间的关系，通过图像理解方程的解。
-二次函数图像的绘制：掌握二次函数标准形式图像的绘制方法，理解开口方向、顶点、对称轴等关键特征。
-二次函数最值的求解：理解二次函数的顶点公式，能够求解二次函数的最大值和最小值问题。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次函数与一元二次方程的关系，以及它们在实际问题中的应用。通过这节课的教学，我发现有几个地方值得深思。
首先，学生们在理解二次函数与一元二次方程之间的联系时，普遍感到有些吃力。尽管我通过图像和实际案例进行了讲解，但部分学生仍然难以把握这种抽象关系。在今后的教学中，我需要寻找更多形象直观的教学方法，如使用动态图像或实物模型，帮助学生更好地理解这一难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图像与方程解的关系，以及求解二次函数最值的方法。对于难点部分，我会通过图形示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如最优化问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如绘制不同参数下的二次函数图像，观察顶点和开口的变化。
九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程课时教案北师大版
2.5二次函数与一元二次方程一、教学目标1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.二、课时安排1课时三、教学重点理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.四、教学难点理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.五、教学过程（一）导入新课1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？2.解下列一元二次方程：（1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0.（二）讲授新课活动1：小组合作探究1：我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式h=－5t2+v0t +h0表示，其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么（1）h与t 的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）代入关系式h=－5t 2+v 0t+h 0得h 0=0, 由已知可知v 0=40，得h=－5t 2+40t.（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s （舍去）或t=8s. 探究2：二次函数①y=x 2+2x ，②y=x 2-2x+1，③y=x 2-2x+2的图象如图所示.（1）每个图象与x 轴有几个交点？（2）一元二次方程x 2+2x=0，x 2-2x+1=0有几个根？ 解方程验证一下，一元二次方程x 2-2x+2=0有根吗？（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴的交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根有什么关系？解:（1）每个图象与x 轴的交点个数分别是2个，1个，0个. （2）①x 1=0, x 2=-2,两个不相等实数根. ②x 1=x 2=1,两个相等实数根. ③没有实数根.（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根. 活动2：探究归纳二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：-1 1 -3 -2 -1 O xy-1 1 2 3 yx O -1 1 2 3 O yx有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.（三）重难点精讲例：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.方法: (1)先作出y=x²-x-3的图象;(2)写出交点的坐标：（-1.3，0），（2.3，0）(3)得出方程的解：x1=-1.3，x2=2.3.用你学过的一元二次方程的解法来解，准确答案是什么？（四）归纳小结1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.（五）随堂检测1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（）A．① B．①②C．①②③ D．①②③④2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2，点A ， B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式.（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．4．（株洲·中考）二次函数y=x 2-mx+3的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是_______．OxyAx = 2B5.（咸宁·中考）已知二次函数y=x 2+bx-c 的图象与x 轴两交点的坐标分别为(m ，0），(-3m,0)(m ≠0).（1）证明:4c=3b 2.（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值． 【答案】 1. 答案:D 2. 答案:D3. 【解析】（1）由题意得1b c0,c 3,--+=⎧⎨=⎩解得：b2,c 3,=⎧⎨=⎩故所求解析式为223y x x =-++ （2）令y=0，得2x 2x 30-++=， 解得x 1=-1，x 2=3∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0),∴由图象可知，函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3． 4. 答案:45.【解析】依题意可得：m,-3m 是一元二次方程20x bx c +-=的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=- ，(3)m m c ⨯-=-，b=2m ，c=3m 2∴224123c m b ==（2）依题意，12b-=；2b =- 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=22y x x x=--=--23(1)4∴二次函数的最小值为-4.六．板书设计2.5二次函数与一元二次方程探究1: 探究2：例题：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.七、作业布置课本P52练习练习册相关练习八、教学反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=1．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A．1，2 B．1，3C．4，2 D．4，3【答案】A【解析】试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°【答案】C【解析】分析：作AC对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．详解：作AC对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=12∠AOC=12×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图的定义可知，A是该几何体的三视图，B、C、D不是该几何体的三视图.故选A.点睛:从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.本题从左面看有两列，左侧一列有两层，右侧一列有一层.4．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC 的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°【答案】C【解析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．5．某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（）A．74 B．44 C．42 D．40【答案】C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C. 考点：众数.6．若数a ，b 在数轴上的位置如图示，则（ ）A ．a+b ＞0B ．ab ＞0C ．a ﹣b ＞0D ．﹣a ﹣b ＞0【答案】D【解析】首先根据有理数a ，b 在数轴上的位置判断出a 、b 两数的符号，从而确定答案． 【详解】由数轴可知：a ＜0＜b ，a<-1，0<b<1, 所以,A.a+b<0，故原选项错误； B. ab ＜0，故原选项错误； C.a-b<0，故原选项错误； D. 0a b -->,正确. 故选D ． 【点睛】本题考查了数轴及有理数的乘法，数轴上的数：右边的数总是大于左边的数，从而确定a ，b 的大小关系． 7．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（ ） A ．20% B ．11% C ．10% D ．9.5%【答案】C【解析】设二，三月份平均每月降价的百分率为x ，则二月份为1000(1)x -，三月份为21000(1)x -，然后再依据第三个月售价为1，列出方程求解即可. 【详解】解：设二，三月份平均每月降价的百分率为x ． 根据题意，得21000(1)x -=1．解得10.1x =，2 1.9x =-（不合题意，舍去）． 答：二，三月份平均每月降价的百分率为10% 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a ，每次降价的百分率为a ，则第一次降价后为a （1-x ）；第二次降价后后为a （1-x ）2,即：原数x （1-降价的百分率）2=后两次数.8．解分式方程12x-﹣3=42x-时，去分母可得（）A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D．1﹣3（2﹣x）=4【答案】B【解析】方程两边同时乘以（x-2），转化为整式方程，由此即可作出判断．【详解】方程两边同时乘以（x-2），得1﹣3（x﹣2）=﹣4，故选B．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 9．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为A．1801801(150%)x x-=+B．1801801(150%)x x-=+C．1801801(150%)x x-=-D．1801801(150%)x x-=-【答案】A【解析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：180 x ﹣180150%x+（）=1．故选A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（）DC=3OG；（2）OG= 12BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）16AOE ABCD S S∆=矩形.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵EF ⊥AC ，点G 是AE 中点，∴OG=AG=GE=12AE ，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°，∴△OGE 是等边三角形，故（3）正确；设AE=2a ，则OE=OG=a ，由勾股定理得，()2222=2=3AE OE a a a --，∵O 为AC 中点， ∴3a ，∴BC=123a ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，()()22233a a -=3a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB=3a ，∴DC=3OG ，故（1）正确；∵OG=a ，123，∴OG≠12BC ，故（2）错误；∵S △AOE =123a 23a ，S ABCD 3a 3a 2，∴S △AOE =16S ABCD ，故（4）正确；综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定、勾股定理的应用等，正确地识图，结合已知找到有用的条件是解答本题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲ °.【答案】1．【解析】试题分析：∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC=∠B ，∠OAB=∠OCB ，∠OAB+∠B=180°．∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．又∠D ＝12∠AOC ，∴3∠D=180°，解得∠D=1°．∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=1°．∴∠OAD+∠OCD=31°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB ）=31°-（1°+120°+1°+1°）=1°．故答案为1°．考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球_____个．【答案】8【解析】试题分析：设红球有x 个，根据概率公式可得0.484x x=++，解得：x ＝8. 考点：概率.13．分解因式：4ax 2-ay 2=________________.【答案】a （2x+y ）（2x-y ）【解析】首先提取公因式a ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式=a （4x 2-y 2）=a （2x+y ）（2x-y ），故答案为a （2x+y ）（2x-y ）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．正六边形的每个内角等于______________°．【答案】120【解析】试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：=120°.考点：多边形的内角与外角.15．如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=__．【答案】15°【解析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．【详解】解答：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形.∵OF⊥OC,OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°.由圆周角定理得1152BAF BOF∠=∠=，故答案为15°.16．如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B(1，0)，则光线从点A到点B经过的路径长为_____．【答案】2【解析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．【详解】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=1．由勾股定理AB′=2∴AC+CB = AC+CB′= AB′=2．即光线从点A到点B经过的路径长为2．考点：解直角三角形的应用点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键17．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为12的长方形，再把其中一个面积为12的长方形分成两个面积为14的正方形，再把其中一个面积为14的正方形分成两个面积为18的长方形，如此进行下去……，试用图形揭示的规律计算：111111248163264+++++11128256++=__________．【答案】8112- 【解析】结合图形发现计算方法:11111=1-+=1-22244； ，即计算其面积和的时候，只需让总面积减去剩下的面积.【详解】解:原式＝12551-=256256=8112- 故答案为：8112-【点睛】 此题注意结合图形的面积找到计算的方法:其中的面积和等于总面积减去剩下的面积.18．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】233π- 【解析】连接BD ，易证△DAB 是等边三角形，即可求得△ABD 的高为3，再证明△ABG ≌△DBH ，即可得四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，由图中阴影部分的面积为S 扇形EBF ﹣S △ABD 即可求解.【详解】如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD 3∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD ＝2602360π⨯﹣12×2×3＝233π-． 故答案是：233π-． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知：如图，一次函数y kx b =+与反比例函数3y x =的图象有两个交点(1,)A m 和B ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ；过点B 作BC y ⊥轴，垂足为点C ，且2BC =，连接CD .求m ，k ，b 的值；求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）3m =，32k ，32b =.（2）6 【解析】（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.根据ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形求解.【详解】解：（1）∵点(1,)A m 在3y x=上， ∴3m =，∵点B 在3y x =上，且2BC =， ∴3(2,)2B --.∵y kx b =+过A ，B 两点，∴3322k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3m =，32k ，32b =.（2）如图，延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.∵BC y ⊥轴，AD x ⊥轴，∴(1,0)D ，3(0,)2C -，∴92AE =，3BE =，∴ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形1122AE BE CE DE =⋅⋅-⋅⋅1913312222=⨯⨯-⨯⨯6=.∴四边形ABCD 的面积为6.【点睛】考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.20．先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中21．21．【解析】试题分析：试题解析：原式=2221 (2)2x x xx x x+-⨯-++=122 x xx x--++=12 x+当x=21-时，原式=121 212=--+.考点：分式的化简求值．21．某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：本次调查人数共人，使用过共享单车的有人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？【答案】（1）200，90 （2）图形见解析（3）750人【解析】试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.试题解析：（1）20÷10%=200，200×（1-45%-10%）=90 ；（2）90-25-10-5=50，补全条形统计图（3）503000200⨯=750(人) 答: 每天的骑行路程在2～4千米的大约750人22．2019年我市在“展销会”期间，对周边道路进行限速行驶.道路AB 段为监测区，C 、D 为监测点(如图).已知C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BC ⊥，CD=400米，tan 2ADC ∠=，35ABC ∠=︒.求道路AB 段的长；(精确到1米)如果AB 段限速为60千米/时，一辆车通过AB 段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由.(参考数据：sin350.57358︒≈，cos350.8195︒≈，tan 350.7︒≈)【答案】 (1)AB≈1395 米；(2)没有超速．【解析】（1）先根据tan ∠ADC ＝2求出AC ，再根据∠ABC ＝35°结合正弦值求解即可（2）根据速度的计算公式求解即可.【详解】解：(1)∵AC ⊥BC ，∴∠C ＝90°，∵tan ∠ADC ＝AC CD＝2， ∵CD ＝400，∴AC ＝800，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝35°，AC ＝800，∴AB ＝sin 35AC ＝8000.57358≈1395 米； (2)∵AB ＝1395， ∴该车的速度＝139590＝55.8km/h ＜60千米/时， 故没有超速．【点睛】此题重点考察学生对三角函数值的实际应用，熟练掌握三角函数值的实际应用是解题的关键.23．如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为-10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）数轴上点B 对应的数是______．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？【答案】（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等【解析】试题分析：（1）根据OB=3OA ，结合点B 的位置即可得出点B 对应的数；（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，找出点M 、N 对应的数，再分点M 、点N 在点O 两侧和点M 、点N 重合两种情况考虑，根据M 、N 的关系列出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）∵OB=3OA=1，∴B 对应的数是1．（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，此时点M 对应的数为3x-2，点N 对应的数为2x ．①点M 、点N 在点O 两侧，则2-3x=2x ，解得x=2；②点M 、点N 重合，则，3x-2=2x ，解得x=2．所以经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等．24．嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图．这组成绩的众数是 ；求这组成绩的方差；若嘉淇再射击一次（成绩为整数环），得到这8次射击成绩的中位数恰好就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数．【答案】（1）10；（2）87；（3）9环 【解析】（1）根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，结合统计图得到答案．（2）先求这组成绩的平均数，再求这组成绩的方差；（3）先求原来7次成绩的中位数，再求第8次的射击成绩的最大环数．【详解】解：（1）在这7次射击中，10环出现的次数最多，故这组成绩的众数是10；（2）嘉淇射击成绩的平均数为：()1107101098997++++++=， 方差为：()()()()22221[109791091097-+-+-+- ()()()2228998999]7+-+-+-=. （3）原来7次成绩为7 8 9 9 10 10 10，原来7次成绩的中位数为9，当第8次射击成绩为10时，得到8次成绩的中位数为9.5，当第8次射击成绩小于10时，得到8次成绩的中位数均为9，因此第8次的射击成绩的最大环数为9环.【点睛】 本题主要考查了折线统计图和众数、中位数、方差等知识．掌握众数、中位数、方差以及平均数的定义是解题的关键．25．解分式方程：12x -=3x【答案】x=1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】方程两边都乘以x （x ﹣2），得：x=1（x ﹣2），解得：x=1，检验：x=1时，x （x ﹣2）=1×1=1≠0，则分式方程的解为x=1．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．26．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）【答案】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米【解析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【详解】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=CDBC，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×1402=（千米），AC=2sin452CD=︒，2（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=BDBC，BC=80（千米），∴=，∵tan45°=CDAD，CD=40（千米），∴AD=4040tan451CD==︒（千米），∴（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m、n是方程x2+kx ﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；故选C．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．2．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD是等腰三角形C．C、D两点关于OE所在直线对称D．O、E两点关于CD所在直线对称【答案】D【解析】试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，∴△EOC≌△EOD（SSS）．∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．B、根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．C、根据作图得到OC=OD，又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．故选D．3．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO 为α，则树OA的高度为( )A．30tan米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米【答案】C【解析】试题解析：在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故选C．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．4．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【答案】A【解析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选A．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题解析：选项,,A C D 折叠后都不符合题意，只有选项B 折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣y ，x+y ，a+b ，x 2﹣y 2，a 2﹣b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．宜晶游C ．爱我宜昌D ．美我宜昌【答案】C【解析】试题分析：（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2=（x 2﹣y 2）（a 2﹣b 2）=（x ﹣y ）（x+y ）（a ﹣b ）（a+b ），因为x ﹣y ，x+y ，a+b ，a ﹣b 四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C ．考点：因式分解.7．如图，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b -=-+C ．222()2a b a ab b +=++D ．2()a ab a a b +=+【答案】A 【解析】由图形可以知道，由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．【详解】解：大正方形的面积-小正方形的面积=22a b -，矩形的面积=()()a b a b +-，故22()()a b a b a b +-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．8．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x =图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．9．分式方程213x x =-的解为（ ） A ．x=-2B ．x=-3C ．x=2D ．x=3 【答案】B【解析】解：去分母得：2x=x ﹣3，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B ．10．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边 【答案】C【解析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．【详解】∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．故选：C ．【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时． 【答案】404033【解析】设该船行驶的速度为x 海里/时，由已知可得BC ＝3x ，AQ ⊥BC ，∠BAQ ＝60°，∠CAQ ＝45°，AB ＝80海里，在直角三角形ABQ 中求出AQ 、BQ ，再在直角三角形AQC 中求出CQ ，得出BC ＝40＋403＝3x ，解方程即可．【详解】如图所示：该船行驶的速度为x 海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，由题意得：AB ＝80海里，BC ＝3x 海里，。
北师大版九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程学案
2.5二次函数与一元二次方程 学习目标1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．一、【学前复习】1：方程的解的定义：能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就叫一元二次方程的解也叫做方程的根.2: 一元二次方程的一般形式：任何关于x 的一元二次方程，经过变形整理，都可化成ax 2＋bx ＋c ＝0 (a 、b 、c 是已知数，a ≠0)的形式。
这种形式叫做一元二次方程的一般式（或标准式）其中，ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项.二、【方法点拨】点拨1：学习重点（1）．体会方程与函数之间的联系．（2）．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．（3）.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标． 点拨2：学习难点（1）．探索方程与函数之间的联系的过程．（2）．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．三、【思路拓展】步骤1：迁移1．（常德市）根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y•的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ）A ．C ．6.18<x<6.19 D ．6.19<x<6.20分析：从表中可以看出当x=6.18时，y=-0.01 ，当x=6.19时，y=0.02,所以方程的一个解肯定在61.8和6.19之间。
本题答案：C步骤2：本节知识应用1．（天津）已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ） A ．b 2－4ac ＞0 B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤0分析：a ＜0，抛物线开口向下，c bx ax y ++=2经过（－1，a －b+c ）点，因为a －b+c ＞0，所以（－1，a －b+c ）在第二象限，所以抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0， 故选A ．答案：A2.若二次函数y ＝2 x 2－2 mx ＋2 m 2－2的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）（A ）0 （B ）±1 （C ）±2 （D ）±2分析：抛物线的顶点在x 轴上，表明抛物线与x 轴只有一个交点，此时y ＝0．由题意知y ＝0，即4 m 2－8 m 2＋8＝0，故m ＝±2．答案：D ． 师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1：竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t 2+v 0t+h 0，表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m ／s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m ／s 的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么(1)h 与t 的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流．分析：（1)h 与t 的关系式为h ＝-5t 2+v 0t+h 0，其中的v 0，为40 m ／s ，小球从地面被抛起，所以h 0=0．把v 0，h 0代入上式即可求出h 与t 的关系式．(2)小球落地时h 为0，所以只要令h=-5t 2+v 0t+h ．中的h 为0，求出t 即可．还可以观察图象得到．解：(1)∵h=-5t 2+v 0t+h 0，当v 0=40，h 0=0时，h ＝-5t 2+40t ．(2)从图象上看可知t ＝8时，小球落地或者令h ＝0，得：-5t 2+40t ＝0．即t 2-8t ＝0．∴t(t-8)=0．∴t=0或t ＝8．t ＝0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间．例2：已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．分析：二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1），就可以把（1，－1）代入解析式，从求得函数的解析式.解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．二、【学会总结】总结1：△的符号△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．总结2：如何利用二次函数的图象估计一元二次方程的两根的值(1)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；(2)根据图象确定抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点分别在哪两个相邻的整数之间； 利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.总结3：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0可以看作是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 当函数值为0的特殊情形，因而它们有着密切的关系，主要表现如下：方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解可用抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标去反映；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两个交点坐标分别为（x 1，0）和（x 2，0），则x 1、x 2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解．积累运用 学会创新1．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） 77. .k 04477. .k 044A k B k C k D k >-≥-≠≥->-≠且且 2．直线y=3x —3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 3．函数c bx ax y ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根4．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞0 5．函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正6．不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ）A ．在x 轴上方B ．与x 轴只有一个交点C ．与x 轴有两个交点D ．在x 轴下方拓展尝新 突破自我7.（天津）已知抛物线y=12x 2+x-52． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．8．画出函数y =x 2－2x －3的图象，利用图象回答：（1）方程x 2－2x －3=0的解是什么？（2）b 取什么值时，函数值大于0？（3）b 取什么值时，函数值小于0？参考答案积累运用 学会创新1.分析：由函数y=kx 2－7x －7的图像和x 轴有交点，可知，当k=0时，y=－7x －7，此函数与x 轴有交点。
北师大版九年级数学下 2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程2 教案
教学思路 （纠错栏）
☆ 归纳反思 ☆
一元二次方程 ax2 bx c 0 ，当 b2 4ac 0 时有实数根，这个
1．观察图象，抛物线与 x 轴的交点坐标是什么？
2.求一元二次方程 x2-5x+4=0 的解。
3.抛物线与 x 轴交点的横坐标与一元二次方程 x2-5x+4=0 的解有什么关
系？ （3）一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 当函数值 y=0
时的特殊情况.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标与一元二
☆ 预习导航 ☆
一、链接：
1.画一次函数 y=2x-3 的图象并回答下列问题
(1)求直线 y=2x-3 与 x 轴的交点坐标；
(2)解方程 2x-3=0
(3)说出直线 y=2x-3 与 x 轴交点的横坐标和方程根的关系
2.不解方程 3x2-2x+4=0，此方程有
个根。
二、导读
画二次函数 y= x2-5x+4 的图象
实数根就是对应二次函数 y ax2 bx c 当 y =0 时自变量 x 的值，这个值就是
二次函数图象与 x 轴交点的 二次函数 y＝ax2＋bx＋c
．
与
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0
y
(,)
O
(,)
x
与 x 轴有 个交
点
b2 4ac 0，
方程有
的实数根
y
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第5节二次函数与一元二次方程1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.3.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.4.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.5.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.6.进一步发展估算能力.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.3.通过共同观察和讨论,培养学生的合作交流意识.【重点】1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法,进一步发展估算能力.2.理解二次函数的图象和x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.【难点】1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法解决相关的问题.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.第1课时二次函数与一元二次方程的关系1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.【重点】把握二次函数图象与x轴(或直线y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.【难点】探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习一元二次方程的根的情况及二次函数图象的性质.导入一:小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗?学生分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.【问题】二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?[设计意图]通过观察、分析、发现的过程,让学生初步感知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间的关系,为下面的探究打下了良好的基础.导入二:“神舟十号”是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.“神舟十号”在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.某科技实验小组也自行设计了火箭,经测试,该种火箭被竖直向上发射时,它的高度h (m )与时间t (s )的关系可以用公式h =-t 2+10t -15表示,你能算出经过多长时间,火箭可以达到9m 的高度吗?【问题】当h =9时,二次函数h =-t 2+10t -15的形式发生了怎样的变化?学生分析:当h =9时,二次函数h =-t 2+10t -15就转变成了一元二次方程-t 2+10t -15=9.[设计意图]通过对火箭发射的探究,引导学生将函数表达式进行转变,逐步引出本节课的知识,即二次函数与一元二次方程的关系,激发了学生的探究欲望,提高了学生的学习积极性.课件出示:我们已经知道,竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以近似地用公式h =-5t 2+v 0t +h 0表示,其中h 0(m )是抛出时的高度,v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s 的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h (m )与运动时间t (s )的关系如图所示.那么:(1)h 与t 的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.问题1师引导学生仔细审题,回答下面的问题:1.由图象可得h 0=,v 0=.2.由h 与t 的关系式为h =-5t 2+v 0t +h 0,可得h 与t 的关系式为.学生分析:生发言:h 与t 的关系式为h =-5t 2+v 0t +h 0,其中的v 0为40m/s ,小球从地面被抛起,所以h 0=0.把v 0=40,h 0=0代入上式即可求出h 与t 的关系式,所以h =-5t 2+40t.问题2怎样求出小球落地所需要的时间?思路一【师生活动】要求学生通过观察图象得出结论,学生观察、分析、讨论后,师生统一答案.解:观察图象可得:小球经过8s 后落地.思路二师引导学生仔细审题,回答下面的问题:1.小球落地时高度h 为何值?2.当h 取值时,函数表达式发生了怎样的转变?3.求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意?【师生活动】要求学生思考后,与同伴交流,教师巡视并参与讨论,及时订正学生出现的错误.【学生活动】独立完成后,同伴交流,代表板演解题过程.解:令h =0,得-5t 2+40t =0,即t 2-8t =0,∴t (t -8)=0.解得t 1=0,t 2=8.∵t =0是小球没抛时的时间,∴t =8是小球落地时的时间.∴小球经过8s 后落地.【教师点评】两种方法运用了一“数”一“形”,再次体现了数形结合的数学思想方法.[设计意图]通过实际问题的解答,使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形【议一议】二次函数y =x 2+2x ,y =x 2-2x +1,y =x 2-2x +2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x 轴有几个交点?(2)一元二次方程x 2+2x =0,x 2-2x +1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x 2-2x +2=0有实数根吗?(3)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程ax 2+bx +c =0的根有什么关系?【师生活动】组织学生观察图象,对学生进行分组:共分六个组,两两合作,共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论,师巡回指导,参与各小组讨论,及时点拨指正.各组选出一个代表发言,阐述自己的结论.第一组:二次函数y =x 2+2x 的图象与x 轴有2个交点,分别为(0,0)和(-2,0);第二组:一元二次方程x 2+2x =0有两个根,分别为x 1=0,x 2=-2.第一、二组同学得出共同的结论:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是一样的.第三组:二次函数y =x 2-2x +1的图象与x 轴只有一个交点,为(1,0);第四组:一元二次方程x 2-2x +1=0有两个相等的根,为x 1=x 2=1.第三、四组同学得出共同的结论:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根.第五组:二次函数y =x 2-2x +2的图象在x 轴的上方,与x 轴没有交点;第六组:一元二次方程x 2-2x +2=0没有实数根.第五、六组同学得出共同的结论:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴没有交点,对应的一元二次方程ax 2+bx +c =0就没有实数根.【教师点评】二次函数与一元二次方程之间的关系:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax 2+bx +c =0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根.让学生再次深刻理解.[设计意图]通过对三个函数图象与x 轴交点的观察、对一元二次方程根的解答,让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系,提高发现问题、解决问题的能力.[知识拓展]二次函数与一元二次方程之间的关系:当y =0时,二次函数的解析式y =ax 2+bx +c 就是一元二次方程ax 2+bx +c =0,而一元二次方程ax 2+bx +c =0的根就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判2课件出示:【想一想】在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m ?你是如何知道的?思路一由图象可知:当h =60m 时,直线h =60与函数h =-5t 2+v 0t +h 0的图象有两个交点,分别为(2,60)和(6,60),因此,当小球离开地面2s 和6s 时,高度都是60m .思路二解:在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中,当h 0=0,v 0=40,h =60时,有-5t 2+40t =60,即t 2-8t +12=0,解得t 1=2,t 2=6.因此,当小球离开地面2s和6s时,高度都是60m.[设计意图]通过这两个实际问题使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.二次函数与一元二次方程之间的关系:1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是()A.y=-x2+2x-5B.y=-2x2-8x-11C.y=3x2-6x+1D.y=4x2+24解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=36-4×3=24>0,∴函数图象与x轴有两个交点,故C正确.故选C.2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是()A.-8B.8C.±8D.6解析:由图象可知,抛物线与x 轴只有一个交点,∴Δ=m 2-4×2×8=0,解得m =±8.∵对称轴为直线x =-<0,∴m >0,∴m 的值为8.故选B .3.二次函数y =x 2-mx +3的图象与x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m 的值是.解析:∵抛物线y =x 2-mx +3过点(1,0),∴1-m +3=0,∴m =4.故填4.4.已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如图所示,求关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的解.解:根据图象可知,二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象经过点(3,0),所以该点适合y =-x 2+2x +m ,代入,得-9+2×3+m =0,解得m =3.把m =3代入一元二次方程-x 2+2x +m =0,得-x 2+2x +3=0,解得x 1=3,x 2=-1.第1课时1.二次函数与一元二次方程之间的关系:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax 2+bx +c =0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根.一、教材作业【必做题】1.教材第52页随堂练习.2.教材第52页习题2.10第1,2题.【选做题】教材第53页习题2.10第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.抛物线y =-3x 2-x +4与x 轴的交点个数是()A.3B.2C.1D.02.(2015·苏州中考)若二次函数y =x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线,则关于x 的方程x 2+bx =5的解为()A.x 1=0,x 2=4B.x 1=1,x 2=5C.x 1=1,x 2=-5D.x 1=-1,x 2=53.抛物线y =x 2-3x 与x 轴的交点坐标为.【能力提升】4.(2014·东营中考)若函数y =mx 2+(m +2)x +m +1的图象与x 轴只有一个交点,那么m 的值为()A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-25.(2015·陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧6.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()A.-3B.3C.-6D.97.(2014·株洲中考)如果函数y=(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是.8.已知二次函数y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.9.(2015·宁波中考)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.①求该抛物线的函数解析式;②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.【拓展探究】10.(2015·荆州中考)已知关于x 的方程kx 2+(2k +1)x +2=0.(1)求证:无论k 取任何实数,方程总有实数根;(2)当抛物线y =kx 2+(2k +1)x +2与x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且k 为正整数时,若P (a ,y 1),Q (1,y 2)是此抛物线上的两点,且y 1>y 2,请结合函数图象确定实数a 的取值范围;(3)已知抛物线y =kx 2+(2k +1)x +2恒过定点,求出定点坐标.【答案与解析】1.B (解析:令y =0,得到-3x 2-x +4=0,即3x 2+x -4=0,∴Δ=1-4×3×(-4)=49>0,∴-3x 2-x +4=0有两个不相等的实数根,即抛物线y =-3x 2-x +4与x 轴有两个交点.)2.D (解析:∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线,∴-=2,解得b =-4,解方程x 2-4x =5,得x 1=-1,x 2=5.故选D .)3.(3,0),(0,0)(解析:令y =0,则x 2-3x =0,解得x =3或x =0.所以抛物线y =x 2-3x 与x 轴的交点坐标是(3,0),(0,0).故填(3,0),(0,0).)4.D (解析:分为两种情况:①当函数是二次函数时,∵函数y =mx 2+(m +2)x +m +1的图象与x 轴只有一个交点,∴Δ=(m +2)2-4m ·=0且m ≠0,解得m =±2;②当函数为一次函数时,m =0,此时函数解析式是y =2x +1,其图象与x 轴只有一个交点.故选D .)5.D (解析:当y =0时,ax 2-2ax +1=0,∵a >1,∴Δ=(-2a )2-4a =4a (a -1)>0,ax 2-2ax +1=0有两个根,其对应的函数图象与x 轴有两个交点,又x 1+x 2=-=2>0,x 1x 2=>0,∴这两个交点均位于y 轴右侧.故选D .)6.B (解析:∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,∴a >0,-=-3,即b 2=12a ,∵一元二次方程ax 2+bx +m =0有实数根,∴Δ=b 2-4am ≥0,即12a -4am ≥0,即12-4m ≥0,解得m ≤3,∴m 的最大值为3.)7.a <-5(解析:∵函数y =(a -1)x 2+3x +的图象经过平面直角坐标系的四个象限,∴此函数一定是二次函数,其图象与x 轴有两个交点,且两个交点必在y 轴两侧,∴解得a <-5.故填a <-5.)8.(1)证明:当二次函数图象与x 轴相交时,2x 2-mx -m 2=0,Δ=(-m )2-4×2×(-m 2)=9m 2.∵m 2≥0,∴9m 2≥0,∴对于任意实数m ,该二次函数图象与x 轴总有公共点.(2)解:把(1,0)代入二次函数关系式,得0=2-m -m 2,∴m 1=-2,m 2=1,当m =-2时,二次函数关系式为y =2x 2+2x -4,令y =0,得2x 2+2x -4=0,解得x =1或x =-2,∴二次函数图象与x 轴的两个公共点的坐标是(1,0),(-2,0).又∵A 点坐标为(1,0),∴B (-2,0),当m =1时,同理可得B.9.(1)证明:y =(x -m )2-(x -m )=x 2-(2m +1)x +m 2+m ,∵Δ=(2m +1)2-4(m 2+m )=1>0,∴不论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点.(2)解:①∵x =-=,∴m =2,∴抛物线解析式为y =x 2-5x +6.②设抛物线沿y 轴向上平移k (k >0)个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y =x 2-5x +6+k ,∵抛物线y =x 2-5x +6+k 与x 轴只有一个公共点,∴Δ=52-4(6+k )=0,∴k =,即把该抛物线沿y 轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.10.(1)证明:①当k =0时,方程为x +2=0,∴x =-2,方程有实数根,②当k ≠0时,∵Δ=(2k +1)2-4k ×2=(2k -1)2≥0,∴无论k 取任何实数,方程总有实数根.(2)解:令y =0,则kx 2+(2k +1)x +2=0,解关于x 的一元二次方程,得x 1=-2,x 2=-.∵二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且k 为正整数,∴k =1,∴该抛物线解析式为y =x 2+3x +2,如图所示,由图象得到:当y 1>y 2时,a >1或a <-4.(3)依题意得kx 2+(2k +1)x +2-y =0恒成立,即k (x 2+2x )+x -y +2=0恒成立,则解得或∴该抛物线恒过定点(0,2),(-2,0).通过本节课的学习,重点要让学生体会到函数与方程之间的内在联系,所以在教学中重点训练学生观察图象的能力,以便找出图象与x轴交点的个数,并判断一元二次方程根的情况,充分感受数形结合的数学思想.为了提高课堂效率,对于“议一议”采取了分组讨论、合作解决的方式,让学生在分组的同时,还能体会到合作的重要性.为加深学生对本节课知识的印象,围绕着教学目标精心挑选题目,由基础题到提高题,再到中考题,通过不断地训练,让学生在“做”中“思”,来加深理解,然后再将这种理解应用到解题中去,以此不断提高学生的解题技能.由于时间有限,安排以找规律的方式引入交点式时,没有深入地进行说理,致使少数学生浮于表面,不能真正理解而对结论产生混淆.本节课学生完全有能力探索出二次函数与一元二次方程之间的关系,所以再教时,要大胆放手让学生去观察,去发现,给他们更大的思考空间.随堂练习(教材第52页)解:(1)略.(2)当t =1时,h =-4.9×12+19.6×1=14.7(m );当t =2时,h =-4.9×22+19.6×2=19.6(m ).(3)方程-4.9t 2+19.6t =0的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为0m .方程-4.9t 2+19.6t =14.7的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为14.7m .图象表示略.习题2.10(教材第52页)1.解:(1)令y =0,得x 2-x +3=0,∵Δ=b 2-4ac =(-1)2-4××3<0,∴此方程无实数根,即此二次函数的图象与x 轴无交点.作图略.(2)令y =0,得-2x 2+20x -49=0,∵Δ=b 2-4ac =202-4×(-2)×(-49)=400-392=8>0,∴此方程有两个实数根,分别为x 1=5+,x 2=5-,∴图象与x 轴的交点坐标为和.作图略.2.解:因为Δ=b 2+4>0,所以y =x 2+bx -1的图象与x 轴相交,有两个交点.3.解:方程x 2-6x +4=1的根是抛物线y =x 2-6x +4与直线y =1的交点的横坐标,图略.4.提示:设两个函数图象相交,则交点横坐标满足-x 2+3x +4=2x -1.解得x 1=,x 2=,故交点坐标为,,,-.1.本节课的重点是探究二次函数和一元二次方程两者之间的关系,所以复习二次函数的图象的性质和一元二次方程的解法是学生课前必做的功课.2.数形结合思想是学好本节知识的关键,所以学生要进一步加强观察二次函数图象的能力,要多看、多察、多思.3.要求学生在与其他同学的合作交流中逐步发现二次函数和一元二次方程之间的关系,养成及时归纳总结的好习惯,并要加强练习,对所学知识进行巩固拓展.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+3(m 是常数).(1)求证:不论m 为何值,该函数的图象与x 轴都没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?〔解析〕(1)求出根的判别式,即可得出答案.(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质即可得出答案.证明:(1)∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解,即不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点.解:(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点,∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.[解题策略]本题考查了二次函数图象和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.。
北师大九年级数学下 2.5 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程 教案
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点)2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)3．通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．(难点)一、情境导入一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得，当水面宽AB ＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离OC ＝2.4m.当水位上升一定高度到达点F 时，这时，离水面距离CF ＝1.5m ，则涵洞宽ED 是多少？是否会超过1m?根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在如图所示的直角坐标系中，只要求出点D 的横坐标即可．由已知条件可得到点D 的纵坐标，又因为点D 在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？二、合作探究探究点：二次函数与一元二次方程 【类型一】 求抛物线与x轴的交点坐标已知二次函数y ＝2x 2－4x －6，它的图象与x 轴交点的坐标是________________．解析：y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x －3)＝2(x －3)(x ＋1)，设2(x －3)(x ＋1)＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴它的图象与x 轴交点的坐标是(3，0)，(－1，0)．故答案为(3，0)，(－1，0)． 方法总结：抛物线与x 轴的交点的横坐标，就是二次函数为0时，一元二次方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 判断抛物线与x轴交点的个数已知关于x 的二次函数y ＝mx 2－(m ＋2)x ＋2(m ≠0)．(1)求证：此抛物线与x 轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m 的值．解析：(1)只需证明Δ＝(m ＋2)2－4m ×2≥0即可；(2)利用因式分解法求得抛物线与x 轴交点的横坐标，然后根据x 的值来求正整数m 的值．(1)证明：∵m ≠0，∴Δ＝(m ＋2)2－4m ×2＝m 2＋4m ＋4－8m ＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x 轴总有两个交点；(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝2m.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】已知抛物线与x轴的交点个数，求字母系数的取值范围已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解析：应分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论，(1)当k－3＝0即k＝3时，此函数是一次函数；(2)当k－3≠0，即k≠3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围即可．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.方法总结：由于k的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合已知：抛物线y＝x＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．解析：(1)利用关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判别式的符号进行证明；(2)利用根与系数的关系写出x1、x2的平方和是x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，由此可以求得a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.方法总结：判断一元二次方程与x轴的交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型五】抛物线与三角形知识的综合已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；(2)若∠ADC ＝90°，求二次函数的解析式．解析：(1)首先解一元二次方程，求出点A 、点B 的坐标，得到含有字母a 的抛物线的交点式；然后分别用含字母a 的代数式表示出△ABC 与△ACD 的面积，最后得出结论；(2)在Rt △ACD 中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a ，得出抛物线的解析式．解：(1)解方程x 2＋4x －5＝0，得x ＝－5或x ＝1，由于x 1＜x 2，则有x 1＝－5，x 2＝1，∴点A 的坐标为(－5，0)，点B 的坐标为(1，0)．由题可知，抛物线的解析式为y ＝a (x ＋5)(x －1)(a ＞0)，∴对称轴为直线x ＝－2，顶点D 的坐标为(－2，－9a )．令x ＝0，得y ＝－5a ，∴点C 的坐标为(0，－5a )．依题意画出图形，如图所示，OA ＝5，OB ＝1，AB ＝6，OC ＝5a .过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，则DE ＝2，OE ＝9a ，CE ＝OE －OC ＝4a .S △ACD ＝S 梯形ADEO －S △CDE －S △AOC ＝12(DE ＋OA )·OE －12DE ·CE －12OA ·OC ＝12(2＋5)·9a －12×2×4a －12×5×5a ＝15a ，而S △ABC ＝12AB ·OC ＝12×6×5a ＝15a ，∴S △ABC ∶S △ACD ＝15a ∶15a ＝1∶1；(2)如图，DE ⊥y 轴于E ，在Rt △DCE 中，由勾股定理得CD 2＝DE 2＋CE 2＝4＋16a 2，在Rt △AOC 中，由勾股定理得AC 2＝OA 2＋OC 2＝25＋25a 2.设对称轴x ＝－2与x 轴交于点F ，则AF ＝3.在Rt △ADF 中，由勾股定理得AD 2＝AF 2＋DF 2＝9＋81a 2.∵∠ADC ＝90°，∴△ACD 为直角三角形，由勾股定理得AD 2＋CD 2＝AC 2，即(9＋81a 2)＋(4＋16a 2)＝25＋25a 2，化简得a 2＝16，∵a ＞0，∴a ＝66，∴抛物线的解析式为y ＝ 66(x ＋5)(x －1)＝66x 2＋2 63 x －5 66. 方法总结：本题考查了抛物线与x 轴交点以及待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x 轴的交点坐标，明确在坐标系中三角形面积的求法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计二次函数与一元二次方程 1．抛物线与x 轴的交点坐标 2．抛物线与x 轴的交点个数3．二次函数与一元二次方程的综合应用本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得一定的教学效果，再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题.。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。
教材通过引入二次函数的图像，让学生理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
教材从实际问题出发，引导学生用数学的眼光去发现问题、解决问题，培养学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学素养，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决问题。
同时，运用小组合作学习的方式，让学生在讨论中理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识。
2.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：某商品打8折后仍然比原价高200元，求商品的原价。
引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的性质。
同时，引导学生思考一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识去解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中遇到的问题。
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二次函数与一元二次方程（一）
【学习目标】
1.理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
2.满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与h y = (h 是实数)交点的横坐标. 【学习重点】
理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 【学习难点】
理解一元二次方程h c bx ax =++2
的根就是二次函数c bx ax y ++=2
与直线h y =（h 是
实数）图象交点的横坐标. 【课前自学】
1．对于一元二次方程02
=++c bx ax （a ，b ，c 是常数，)0≠a
（1）当这个方程有两个不相等的实数根时，ac b 42
-_____0， （2）方程有两个相等的实数根时，ac b 42
-_____0， （3）方程没有实数根时，ac b 42
-_____0. 2．完成下表：
根的判【新课学习】
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t 2
+v 0t+h 0
表示,其中h 0(m)是抛出时的高度,v 0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1)h 和t 的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
议一议：观察二次函数x x y 22+=,122+-=x x y ,222+-=x x y 的图象并回答下列问题：
思考：（1）一元二次方程022
=+x x 、0122
=+-x x 有几个根？一元二次方程
0222=+-x x 有根吗？（课前自学2）
（2）二次函数c bx ax y ++=2
的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程
02=++c bx ax 的根有什么关系?
（3）二次函数c bx ax y ++=2
的图象和x 轴交点个数与一元二次方程
02=++c bx ax 的根的判别式ac b 42-=∆有什么关系?
归纳：（1）当二次函数c bx ax y ++=2
的图象和x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=_____时自变量x 的值, 即一元二次方程02
=++c bx ax 的根.
（2）二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数 一元二次方程想一想：
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m ？你是如何知道的？
结论：一元二次方程h c bx ax =++2
的根就是二次函数c bx ax y ++=2与直线h y =（h 是
实数）图象交点的横坐标。
【巩固练习】
1．抛物线322
--=x x y 与x 轴有_____个交点，交点的坐标是________________. 2．抛物线m x x y ++=822与x 轴只有一个交点，则m =
_______.
3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式t t h 6.199.42
+-=来表示。
其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间． （1）作出函数t t h 6.199.42
+-=的大致图象；
（2）当1=t ，2=t 时，足球距地面的高度分别是多少？
（3）方程06.199.42
=+-t t 、7.146.199.42
=+-t t 的根的实际意义分别是什么？
你能在图象上表示出来吗?
【小结】二次函数c bx ax y ++=2
与一元二次方程的联系：
____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【课后作业】
1．抛物线3622++=x x y 与x 轴有_________个交点.
2．二次函数432-+=x kx y 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围
.
3. 已知抛物线132++-=a x x y 与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是
_______________.
4. 下列哪一个函数，其图象与x 轴有两个交点？（ ） A 、 y =17(x +83)2
+2274 B 、 y =17(x -83)2
+2274 C 、y = -17(x -83)2
-2274 D 、 y = -17(x +83)2
+2274
5.已知抛物线a x x y +-=62的顶点在x 轴上，则a = ；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是 .
6.如图，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与
小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为 2
530t t h -=，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是 ( ) A 、6s B 、4s C 、3s D 、2s
7. 判断下列各抛物线是否与x 轴相交，如果相交，求出交点的坐标. （1）32
12
+-=x x y （2）814152++-=x x y （3）492022-+-=x x y。