第2章 连续信号处理

dt
原函数
f (t )
n

jn 1 t
lim 1 2
1 0
n



(
F ( ) 2
d )e d
jn 1 t


F ( )e
j t
第二节 非周期信号的频域分析

傅立叶正变换
F ( ) F { f ( t )}
第一节 周期信号分析

（一）用完备正交实变函数集来分解信号
函数f(t)与g(t)在区间 t1， t 2 上正交的条件是

t2 t1
f ( t ) g ( t )d t 0
例2-1 在 [ 0 t 2 / 1 ] 内，sin 1 t 与 cos 1 t 是正交的。 两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。
(t )e
j t
dt


(t )e
j 0
dt 1
单边指数函数的傅里叶变换
F { f ( t )}

e
0
at
e
j t
dt
t0 0, f (t ) at e , t 0
1 a j a a
2 2
式中，
F ( ) 1 a
1
2
3
t
i)
第二节 非周期信号的频域分析

二、 非周期信号的傅里叶变换 频谱函数 F ( ) lim T F
T1 1 n
lim
T1

T1 / 2 T1 / 2
f (t )e
j t
jn 1 t
dt



f (t )e
Fn e
g i ( t ) g ( t ) dt
* j

t2 t1
例2-2 若 1 2 T 1 ，在 t 1， t 1 T1 内，指数函 数集 { e jn t ， n 0， 1， 2， ， } 是正交函数集。 证明：t T t T T ，n

周期信号f(t)的平均功率与傅 里叶系数有右示关系 这是周期信号的帕斯瓦尔 （Parseval）公式。它说明周 期信号的平均功率等于直流、 基波和各次谐波分量有效值的 平方和。 c n2 与 n 1 的关系图，称为周期 信号的功率谱,表示信号各次谐 波分量的功率分布规律。

卷积积分的图解法
f (t ) f (t )
f 1 (t )
1
f 2 (t )
-1
0
1
t
a)
0
2
t
变量置换、折叠、移位
f (t )
f 2 ( )
1
-2
-1
0

b)
第二节 非周期信号的频域分析

f (t )
f (t )
f 2 (t )
2 2
j

a
2 2
( ) arctan (

a
)
F ( ) e
j ( )
第二节 非周期信号的频域分析

单位阶跃函数的傅里叶变换 由于t 时，u(t)不符合绝对可积条件，即不 存在 u ( t ) d t ，不能直接进行傅里叶变换。为了 解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近 函数u(t)。

1
1
t1
在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条 件。
第一节 周期信号分析

周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式
f ( t ) a 0 a 1 c o s 1 t a 2 c o s 2 1 t b1 sin 1 t b 2 sin 2 1 t a0
(a
n 1

n
c o s n 1 t b n sin n 1 t )
t1 t t1 T1
其中，
a0 an bn
1 T1 2 T1 2 T1

t1 T1 t1 t1 T1 t1 t1 T1 t1
f (t ) d t f ( t ) co s n 1td t f ( t ) sin n 1td t ( n 1, 2, 3, , )
sin 0 t j [ ( 0 ) ( 0 )]
第二节 非周期信号的频域分析

四、傅里叶变换的性质 （一）线性特性 i 1, 若 F{ a in f i ( t )} a i Fi ( ) n 则 F { a i f i ( t )} a i Fi ( ) i 1 i 1 （二）对称特性 若 F{ f ( t )} F ( ) 有 F{ F ( t )} 2 f ( ) （三）延时特性 若 F{ f ( t )} F ( ) j t F ( ) 有 f (t t0 ) e
1

j

2

e
第二节 非周期信号的频域分析

f (t ) e 复指数函数的傅里叶变换 该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激函数 的傅里叶变换对 。
( t ) F {1}
-1
j 0 t
1 2


e
j t
d


e
j t
d 2 ( t )
《测试信号分析与处理》课程

第二章
第一节 第二节 第三节 第四节
连续时间信号分析
周期信号分析 非周期信号的频域分析 周期信号的傅里叶变换 采样信号分析
第一节 周期信号分析

信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠 加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可 以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信 号的研究往往是在一个周期内进行。


e
j ( 0 ) t
d t 2 ( 0 ) 2 ( 0 )
第二节 非周期信号的频域分析

F {e
j 0 t
} 2 ( 0 )
cos 0 t [ ( 0 ) ( 0 )]
0
2, 3, ,n
第二节 非周期信号的频域分析

（四）频移特性 F{ f ( t )} F ( ) 若 j t 有 f (t ) e F ( 0 )
1
f 1 ( )
0
f 2 (t )
1
f 1 ( )
0
Hale Waihona Puke f 2 (t )1
f 1 ( )
0
-1
t
c)
1

-1
t
d)
1

-1

1
t
t 1
1 t 0
e)
0 t 1
f (t )
f (t )
f (t )
f 1 ( )
1
f 2 (t )
-1 0 1 2

一、信号的卷积 任意一个函数都可以分解为一系列矩形窄脉冲分量 之和。
卷积积分
f 1(t ) f 2 (t )


f 1 ( ) f 2 ( t )d f 2 ( ) f 1 ( t )d
第二节 非周期信号的频域分析
1
t
T1
t
/ 2 0 / 2
/ 2 0 / 2
T1
第一节 周期信号分析

二、指数函数形式的傅里叶级数 在 t 1， t 1 T1 内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。
f (t )
n


F ( n 1 ) e
jn 1 t


f (t )e
j t
dt
傅立叶反变换
f ( t ) F { F ( )}
-1
1 2


F ( ) e
j t
d
第二节 非周期信号的频域分析

三、典型非周期函数的傅里叶变换 单位冲激函数的傅里叶变换
F { ( t )}



1

1
1
e
jn 1 t
(e
jm 1 t
) dt
*
t1

1
1
e
jn 1 t
e
jm 1 t
t1
m 1 dt 0， n m
三角函数集和指数函数集是应用最广的完备正交集。
第一节 周期信号分析

一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集{1， n 1 t ， n 1 t ， n 1, 2 ,3 , , } cos sin 对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。 进行傅立叶展开的周期函数f(t)必须满足狄里赫利 （Dirichlet）条件，即在周期 t 1， t 1 T1 内，函数 f(t) 1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限； 2）极大值和极小值数目应该是有限个； 3）应是绝对可积的，即 t T f ( t ) dt
第一节 周期信号分析

（二）用完备正交复变函数集来分解信号
复变函数集{ g r (t ),r=1,2,...,n}在区间 t1， t 2 上是正交函数集的条件是
0， i j g ( t ) g j ( t ) dt k， i j
* i

t2 t1
lim e a t 1, a 0 u (t ) 0, t 0 t 0