向量同步练习
平面向量同步练习题(练习题)讲义
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9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
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9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
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1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。
2.4向量的数量积同步练习及答案解析
2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为.2. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为.3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有.（填正确的序号）○1a⊥b；○2a∥b；○3|a|=|b|；○4|a|≠|b|.4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b 为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= .5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.二、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围.8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影. 9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+λb，d=-a+2λb，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD 中，AB=a ，BC =b ，CD =c ，DA=d ，且a ·b =b ·c =c ·d =d ·a ，试问四边形ABCD是什么图形？2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 19 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0， 即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2. 3π2-ϕ 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b =-2sin φ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ). ∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. ○1 解析： f (x )=(x a+b )·(a-x b )=- a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .4. 4 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.二、解答题7.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5， 得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 8.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9，|b |=22(3)5-+=，∴ |a |cos θ=∙a b b =93434. 9.解：因为c =2a +λb ，d =-a +2λb ，所以c -d =（2a +λb ）-（-a +2λb ）=3a -λb . 又a =（-4，-3），b =（-3，-2），所以c -d =3（-4，-3）-λ（-3，-2）=（-12+3λ，-9+2λ）.又（c -d ）⊥a ，所以（-12+3λ）×（-4）+（-9+2λ）×（-3）=0.解得λ=256. 10.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2. 即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |， 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ， 代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。
9.3.3 向量平行的坐标表示(同步训练)(含答案)高中数学苏教版(2019)必修二
9.3.3 向量平行的坐标表示（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知()1,m x = ,(),2n x = ,若//m n,则x =( )2．已知向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .若//a b，则实数m =( )A.1B.1-C.9D.9-3．已知向量()2,1a = ,()2,b m m =- ,若//a b,则m =( ).A.4- B.2- C.2D.44．已知向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，则m =( )A.6B.-835．已知向量()1,0a = ,()1,1b =,()()//a b a b λμ+-,则( )A.1λμ+= B.0λμ+= C.1λμ= D.1λμ=-6．已知向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则( )=-2= C.2λμ=- D.2λμ=二、多项选择题7．下列说法中，正确的有( )A.若0a λ=，则0a = B.若ab λ=，则//a bC.若0a b λμ+=，则//a bD.若AB AC λ→→=，则A ，B ，C 三点共线8．已知向量()1,3OA =- ，()2,1OB =- ，()1,2m C m O =+-，若点A ，B ，C能构成三角形，则实数m 可以是( ) C.1 D.－1三、填空题9．若向量()2,3a =- ,()1,2b m =+ ,且//a b,则m =__________.10．已知向量()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,若//a b,则实数x =_____________.11．已知()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b ，则y =___________.四、解答题12．已知向量()1,2a =- ，()3,2b =.(1)若2ka b - 与2a b +垂直，求实数k 的值；(2)已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且2OA a b =+ ，3OB a b =+ ，()3,2OC m m =-.若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值.13．已知向量(3,1)a =- ,(1,2)b =- ,m a kb =+,()k ∈R (1)若向量m 与a垂直,求实数k 的值(2)当k 为何值时,向量m 与a b +平行.参考答案1．答案：C解析：因为()1,m x = ,(),2n x = ,//m n,所以2120x ⨯-=,解得x =故选：C.2．答案：B解析：因为向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且//a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.故选：B.3．答案：B解析：()2,1a = ,()2,b m m =-,由//a b可得22m m =-,解得2m =-.故选:B.4．答案：B解析：向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，2430m ∴--⨯=，解得6m =-.故选：B.5．答案：B解析：因为()1,0a = ,()1,1b =,所以()1,a b λλλ+=+ ,()1,a b μμμ-=--,因为()()//a b a b λμ+-,所以()()()110λμλμ+---=,则0λμ+=.故选：B.6．答案：C解析：向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则()12λμ⨯-=,所以2λμ=-.7．答案：BD解析：A 选项中0λ=也成立，故错误；B 选项中当0λ=时，0a = ，0 与任一向量平行，当0λ≠时，//a b，故正确；C 选项中0λμ==时不平行，故错误；D 选项依据共线定理可知正确.故选：BD.8．答案：ABD解析：因为(2,1)(1,3)(1,2)AB OB OA =-=---=，(1,2)(1,3)(,1)AC OC OA m m m m =-=+---=+.假设A ，B ，C 三点共线，则()1120m m ⨯+-=，即1m =.所以只要1m ≠，则A ，B ，C 三点即可构成三角形.故选：ABD.9．答案：73-解析：由题意得()314m +=-,解得m =10．答案：解析： //a b ,()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,1220x x ∴-++=,x ∴=11．答案：3解析：因为()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b，所以4260y -⨯=，则3y =.故答案为：3.12．答案：(1)k =(2)2m =解析：（1）()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=---，则()()()221,23,25,2a b +=-+=-，因为2ka b - 与2a b +垂直，所以()()562420k k ----=，解得k =（2）()()()21,223,27,2OA a b =+=-+=，()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=-，()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=--，()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=---，因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC.所以()()122637m m -⨯--=-⨯-，解得2m =.13．答案：答案：(1)2(2)1解析：(1)由已知可得(3,12)m k k =-+-,因为向量m 与a垂直,所以3(3)1(12)0k k -⨯-++⨯-=,解得2k =;(2)(2,1)a b +=-- ,因为m 与a b +平行,所以2(12)1(3)k k -⨯-=-⨯-+,解得1k =,所以当1k =时,向量m 与a b +平行。
空间向量同步练习(含答案)
1.对空间任意两个向量→-a ，→-b （→-b ≠→-0），→-a ∥→-b 的充要条件是 ( )A 、→-b =λ→-aB 、→-a =λ→-bC 、→-a =→-bD 、→-a =-→-b2.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则21AB +→--(→--BD +→--BC )等于 ( )A 、→--ADB 、→--GAC 、→--AGD 、→--MG3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC OB OA OM ++=B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++=D ．OC OB OA OM 313131++=4．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是 （ ）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ=5.在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） （A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c7.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，+→--AB →--11C B +→--1DD =____________ 。
8.如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____ ________。
9.4 向量应用(同步训练)(含答案)高中数学苏教版(2019)必修二
9.4 向量应用（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知O 是ABC △2OC OB OC-=+- ABC 一定为( )A.以BC 为底边的等腰三角形B.以AB 为底边的等腰三角形C.以BC 为斜边的直角三角形D.以AB 为斜边的直角三角形2．如图，已知O 是ABC △的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠等于( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:63．如果一架飞机向西飞行400km ，再向东飞行500km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么||s -=a ( )A.800kmB.700kmC.600kmD.500km4．已知，，||||4c a c a ++-=，2650d b d -⋅+= ，则||c d - 的最大值为( )+2+5．某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45︒后的正方形组合而成，已知向量n ，k ，则向量=a ( )||a = |1b = 0a b ⋅=A.23+n kB.(23++n kC.(2(2++n kD.(1(2++n k6．如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，PQR △是圆O 的内接正三角形，若PQR △绕着圆心O 旋转，则AQ OR ⋅的最大值是( )A.2++1+2+二、多项选择题7．已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D 在边AC 上,且3AC AD =,点E 是BC 边上任意一点（包含B ,C .点）,则AE BD ⋅的取值可能是( )A.8．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是著名的欧拉线定理.设ABC △中,点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心,下列四个选项中结论正确的是( )A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC=++ D.OA OB OC== 三、填空题9．一个所受重力大小为20N 的物体从倾斜角为30︒，斜面长1m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________.10．如图所示，一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45N ，则物体的重力大小为__________N.11．已知等边ABC △的外接圆O 的面积为36π,动点M 在圆O 上,若MA MB MB MC λ⋅+⋅≤,则实数λ的取值范围为________________.四、解答题12．如图，在ABC △中，已知2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.13．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边.参考答案1．答案：C2OC OB OC-=+-+AC AB -=+ 2AC AB -=+ 2222AB AC AB AC AB AC ⋅=++⋅ ,所以0AB AC ⋅=,则AB AC ⊥,所以ABC △是以BC 为斜边的直角三角形.故选：C.2．答案：A解析：O 是ABC △的垂心，延长，BO ，分别交边AB ，，BC 于点P ，M ，N，如图，则，BM AC ⊥，，BOP BAC ∠=∠，，12tantan 21OP BOP O OC BPBP AP OCAP P AOP ⋅∠===∠⋅==于是得tan :tan :tan ::BOC AOC AOB BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=△△△，又230OA OB OC ++= ，由“奔驰定理”有0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△，即::1:2:3BOC AOC AOB S S S =△△△，所以tan :tan :tan 1:2:3BAC ABC ACB ∠∠∠=，故选：A.3．答案：ACO AO AC CP AB ⊥AN BC ⊥AOP ABC ∠=∠解析：依题意，400500900(km)s =+=，||100km =a ，所以||900100800(km)s -=-=a .故选A.4．答案：C 解析：如图所示，不妨设a OA ==，(0,1)b OB ==，(,)OC m n = ，(,)OD p q = ，1(A ，满足||a =|1b = ，0a b ⋅= ，又||||c a c a ++-=1422||a c A A +==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1A ，A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2a =，c ====21y +=，而2650d b d -⋅+= ，即22650p q q +-+=，即，这表明了点D 在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，，等号成立当且仅当C ，D ，E 三点共线，故只需求上面运动，所以不妨设，则||CE ===所以当6sin 12(3)θ-=-=-⨯-，且C ，D ，E 三点共线时，||c d - 有最大值，max ||226CE +=+=.故选：C.22(3)4p q +-=22(3)4x y +-=(0,3)E 2r =2d OC OD CD CE ED CE =-=≤+=+|CE 21y =(2cos ,sin )C θθ5．答案：D解析：根据题意可得||||=n k .图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转45︒后与原正方形组合而成，如图.由对称性可得||||||||||||AB BC CD DE EQQF =====，|||||||||CE EF FG AB ====n ，点B ，C ，E ，Q共线，点Q ，F ，G 共线，所以(2BQ BC CE EQ =++=k ，(1QG QF FG =+=n ，所以(2(1BQ QG =+=++a k n .故选D.6．答案：D解析：由题意，可得，又由[0,π]AOR ∠∈，所以，又因为2π22cos 23OQ OR ⋅=⨯⨯=- ，所以，所以AQ OR ⋅的最大值为7．答案：AB解析：设BC 的中点为O ,以点O 为坐标原点,BC ,OA 所在直线分别为x ,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,2cos OA OR AOR AOR ⋅=⨯∠=∠[AOR ∠∈-()2[22AQ OR OQ OA OR AOR ⋅=-⋅=--∠∈---+2-+由于ABC △是边长为1的等边三角形,且3AC AD =,所以1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,A ⎛ ⎝,16D ⎛ ⎝设(),0E x ,则1122x -≤≤,所以,AE x ⎛= ⎝,23BD ⎛= ⎝,所以21113222AE BD x x ⎛⎫⋅=--≤≤ ⎪⎝⎭ ,所以521632x -≤-≤即51,66AE BD ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦,故选：AB.8．答案：ABC 解析：如图:根据欧拉线定理可知,点O ､H ､G 共线,且2GH OG =.对于A,2GH OG = ,2GH OG ∴=,故A 正确;对于B,G 是重心,则延长AG 与BC 的交点D 为BC 中点,且2AG GD =,则20GA GB GC GA GD ++==+,故B 正确;对于C,233()3232()33OH OG AG AO AD AO AD AO AO OD AO⎛⎫==-=-=-=+- ⎪⎝⎭2OD AO=-OB OC OA =++,故C 正确;对于D,OA OB OC ==显然不正确.故选:ABC.9．答案：10J解析：因为物体的重力为20N，物体在重力方向上的位移大小是11sin 30(m)2⨯︒=，2010(J)=.10．答案：解析：一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力为，与水平夹角均为，所以由向量加法的平行四边形法可知，所以物体的重力大小为.11．答案：[)72,+∞解析：依题意,设ABC △的外接圆的半径为R ,则2π36πR =,故6R =,在等边ABC △12=,则AB =取线段AC 的中点N ,连接BN ,则9BN AB ==,所以()2MA MB MB MC MB MA MC MB MN ⋅+⋅=⋅+=⋅ ;取线段BN 的中点P ,连接BP ,则O 在线段BN 上,且133ON BN ==,所以93322OP NP ON =-=-=,1||=+G F 1F 2F 45N 12+F F 212cos 45210+=︒=⨯=F F N则2214MB MN MP BN ⋅=- 又()2222362MP MP MO OP ⎛⎫=≤+=+= ⎪⎝⎭ 故225813644MB MN ⋅≤-=,则72λ≥.故答案为：[)72,+∞.12解析： M ，N 分别是BC ，AC 的中点，1()2AM AB AC ∴=+ ，12BN AN AB AC AB =-=- .AM 与BN 的夹角等于MPN ∠，cos ||||AM BNMPN AM BN ⋅∴∠=.11()22AM BN AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 2211114242AB AC AB AC AB AC =⋅-+-⋅2211125cos 60253424=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=，||AM ===，||BN ===，cos MPN ∴∠==13．答案：证明见解析解析：证明：因为,,EF ED DC CF EF EA AB BF ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩所以1()2EF ED DC CF EA AB BF =+++++ .又因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则ED EA +=0 ，CF BF +=0，所以1()2EF AB DC =+ .因为AB ，DC共线且同向，所以1||(||||)2EF AB DC =+ .不妨设(0)AB DC λλ=≠，则11()(1)22EF DC DC DC λλ=+=+ ，所以//EF DC .又EF ，CD 无公共点，所以//EF DC .同理.所以梯形的中位线定理即证.//EF AB。
用向量讨论平行与垂直同步练习题(1)(学生版)
用向量讨论平行与垂直同步练习题一、选择题1．直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(2,1，－1)，v ＝(3,2,8)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交不垂直D ．以上均不正确3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定 4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1525．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l∥αB ．l⊥αC ．l αD ．l 与α斜交 6．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1，－2,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3，－1)7．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2 8．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 9.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （4,1,3），B （2，-5，1），C （3，7，λ），若AB ⊥AC ，则λ等于（ ） A.28 B.-28 C.14 D.-14 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A 二、填空题11.设a ，b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断直线l 1，l 2的位置关系： (1)a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，l 1与l 2__ __；(2)a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,0,3)，l 1与l 2__ _____.12．平面α，β的法向量分别为m ＝(1,2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k 等于_______． 13．已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为________．14．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)， AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是_______．15．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.16．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是_____________． 三、解答题17.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)， C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．18．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.19.已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ； (2)在平面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD .20.在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面.21.在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一点M ，使得M D 1⊥平面1EFB .22．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE∥平面B 1C 1F.23．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1；(2)BO 1∥平面ACD 1.24．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
1.2 空间向量基本定理同步练习
1.2 空间向量基本定理同步练习一、单选题1．{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ， 对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ， 对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ， 对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选C2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 【答案】A【解析】由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =， 可知：BD BO OD =+，BO b =-，11112222OD OA OC a c =+=+，1122BD a b c =-+．故选A ．3．如图，在三棱锥A BCD -中，E ､F 分别是棱AD ､BC 的中点，则向量EF →与,AB CD →→的关系是（ ）A ．1122EF AB CD →→→=+B ．1122EF AB CD →→→=-+C ．1122EF AB CD →→→=-D ．1122EF AB CD →→→=--【答案】C【解析】取AC 的中点M ，连结,EM FM ，,E F 分别是,AD BC 的中点，12ME CD →→∴=，12MF AB →→∴=，1122EF MF ME AB CD →→→→→∴=-=-.故选C .4．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选D ．5．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错． 故选A ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则CM =（ ）A ．1122++a b c B ．1122-+a b c C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c【答案】D【解析】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11A C 与11B D 的中点， 因此()()11112CM AM AC AA A M AB AD AA AC AB AD =-=+-+=+-+ ()1121122AA AB AD a b c -=-+=-+.故选D. 7．在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =，则AF =（ ） A ．133244AB AC AD +- B ．3344AB AC AD +-C ．533AB AC AD -++D ．111333AB AC AD ++【答案】D【解析】因为E 是棱CD 的中点，23BF BE =， 所以()22213333AF AB BF AB BE AB AE AB AE AB =+=+=+-=+ ()1111133333AC AD AB AB AC AD =++=++.故选D.8．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）A ．,2,3a b cB ．,,a b b c c a +++C ．,,a b c b c c +++D ．2,23,39a b b c a c ++-【答案】D【解析】对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：()()3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D9．如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则OG 等于（ ）A ．OA OB OC ++ B ．111222OA OB OC ++ C ．111236OA OB OC ++D ．111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】()()211112323333AG AC AB OC OA OB OA OC OB OA ⎛⎫=⋅⋅+=⋅-+-=+- ⎪⎝⎭ 则111333OG AG OA OA OB OC =+=++,故选D. 10．已知在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，45AD AA ='=，，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，则AC '的长为（ ）A ．2B ．53C 58D 53【答案】D【解析】在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，AD 4=, 5AA '=，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，AC AB AD AA ''=++,()22AC AB AD AA '∴=++'222222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+'⋅''91625234cos120235cos6050121553=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=-+=则53AC ='．故选D11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选ABCD.12．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底，则（ ）A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面. 对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.故选BCD三、填空题13．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x SA ySB zSC ++，则x +y +z =_____.【答案】12-【解析】如图，根据条件()12BD BC BS =+ ()12SC SB SB =-- 12SB SC =-+ 102SA SB SC =-+,又BD xSA ySB zSC =++,∴由空间向量基本定理得110122x y z ++=-+=-,故填12-14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA 两两的夹角均为60°，且AB =1，|AD |=2，|1AA |=3，则|1AC |等于_____. 【答案】5【解析】由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1可得:11AC AB AD AA =++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++⋅⋅++⋅+=12+22+32+2cos 60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴1AC =5.故填5.15．已知点M ，N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点，P 为线段MN 的中点，若OP =λOA +μOB +γOC ，则实数λ+μ+γ=_____.【答案】34【解析】如图，连接ON ，在△OMN 中，点P 是MN 中点，由平行四边形法则得．()()111111111222422444OP OM ON OM ON OA OB OC OA OB OC =+=+=+⨯+=++, 又OP =λOA +μOB +γOC ，∴111,,444λμγ===，∴34λμγ++=．故填34．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，1113A F AB =，且1DF AB AC AA αβγ=++，则αβγ++=__________．【答案】12-【解析】由题意的：1113A F A B =，1111DF DC C A A F =++=111123CC AC A B -+=1111111233AA AC A B A A -++=1111111233AA AC A B AA -+-=11136AB AC A A -+, 故可得α=13，β=-1，γ=16，可得：αβγ++=1-2.故填1-2.17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________【答案】13【解析】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故填1318．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【答案】78【解析】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++133,,888x y z ∴===，即78x y z ++=．故填78三、解答题19．已知ABCD A B C D -''''是平行六面体．（1）化简1223AA BC AB '++，并在图形中标出其结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC B ''的对角线BC '上的点，且:3:1BN NC '=，设MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ的值．【解析】（1）如图所示，取线段AA '中点E ，则12EA AA ''=， BC AD A D ''==， 取23D F D C '''=， ∵AB D C =''，∴2233AB D C D F '''==．则2312AA BC AB EA A D D F EF '''''++=++=．（2）∵ M N MB BN +=124 3BC DB =+'314()()2DA AB BC CC '=+++ 113 244AB AD AA '=++αAB βAD γAA '++=，∴12α=，14β=，34γ=． 20．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【解析】（1）111111111BC BB B C BB A C A B a c b =+=+-=+-∴11cos 11cos602a b a b BAA ︒=∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ==， ∴()222212222BC a c ba cb ac a b c b =+-=++-+-=．（2）因为1AB a b =+，所以()222123AB a b a b a b =+=++=，因为()()22111AB BC a ba cb a ac a b b a c b b =++-=+-++-=，所以1111116cos ,23AB BC AB BC AB BC <>==⨯．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6622．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【解析】（1）连接1A B ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b =，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴ 11AC AC a b==+ 又M 为线段11A C 中点，∴ ()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒，由（1）可知AC a b =+∴平行四边形11AA CC 中故：11AC AC A b A a c+=+=+ ()()22211C a cb A AC ==++()()()222+++222+a c a b c c b b a =⋅+⋅⋅222+++cos cos cos 606062022b a bc a b c c a ︒+⋅⋅︒+︒=⋅11121+1+1+22222++=⨯⨯⨯6=∴16AC =故：对角线1AC . （3）1AC a b c=++，AB a =又111cos ,a a c AB AC AB AC AB AC b ⋅+⋅==⋅+212311b a a a c+++⋅⋅=+===。
高中数学《向量的概念》同步练习1 北师大版必修4
向量一、选择题1.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则CO 的坐标是( ) A.(- 21，5) B.(- 21， -5) C.( 21)，-5) D.( 21，5) 2.设点P 分21P P 的比为λ，若｜21P P ｜=4｜2PP ｜，则λ的值为( )A..-5或3B.-4或2C.5或-3D.4或-23.三点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)共线的充要条件是( )A.x 1y 2-x 2y 1=0B.x 1y 3-x 3y 1=0C.(x 2-x 1)(y 3-y 1)=(x 3-x 1)(y 2-y 1)D.(x 2-x 1)(x 3-x 1)=(y 2-y 1)(y 3-y 1)4.已知点A(1，8)，B(5，0)且｜PA ｜=3｜PB ｜,(A 、B 、P 三点共线)则点P 的坐标为( )A.(4，2)B.(7，-4)C.(4，2)或(7，-4)D.不存在5.设=(23,sin α), =(cos α,31)且∥，则锐角α为( ) A.30°B.60°C.45°D.75° 6.点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈(-∞，-1)，则λ所对应点，P 的集合是( )A.线段P 1P 2B.线段P 1P 2的延长线C.射线P 2P 1D.线段P 1P 2的反向延长线7.已知向量AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3),则DA =( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)8.已知M(-1，0)，N(5，6)，P(3，4)，P 为MN 的定比分点，则λ的值是( ) A.31 B.3 C. 21 D.29.已知=(1,2), =(x,1)，当+2与2-共线时，x 值为( )A.1B.2C. 31D. 21 10.在△ABC 中，A(3，1)，AB 中点为D(2，4)，三角形的重心G(3，4)，则B 、C 坐标分别为( )A.(1，7)、(4，5)B.(1，7)、(5，4)C.(7，1)、(4，5)D.(7，1)、(5，4)11.如果1e 、2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么( )A.若实数λ1、λ2，使λ11e +λ22e =,λ1=λ2=0B.空间任一向量a 可以表示为a =λ11e +λ22e ,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ11e +λ22e )不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a =λ11e +λ22e 的实数λ1、λ2有无数对.12.已知：平面上有三个点A(-2，1)、B(1，4)、D(4，-3)，又有一点C 在线段AB 上，使｜｜=2｜｜，连结DC 并延长至E ，使｜｜＝4｜｜，则点E 的坐标为( )A.(0，1)B.(-83 ，311)C.(0，1)或(-38，311)D.(-8，-35) 二、填空题：1.已知1e 、2e 是一对不共线的非零向量，若=1e +λ2e , b =-2λ1e -2e ,且、共线，则λ= .2.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .3. 在△ABC 中，已知=a ,CA =c ，O 是△ABC 的重心，则OB +OC = .4.已知△ABC 的顶点A(4，5)，重心G(-1，2)，则BC 边的中点D 坐标为三、解答题：1.已知=,B(1,0), =(-3,4), =(-1,1)，且=3-2，求点A 的坐标.2.已知△ABC ，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 中点，MN 与AD 交于F ，求DF .3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以、为一组基底来表示++. 4.已知两点A(3，-4)、B(-9，2)，在直线AB 上求一点P ，使得｜AP ｜=31｜AB ｜. 5.正方形ABCO ，按顺时针方向依次为A →B →C →O ，O 为坐标原点=(1,3)，求向量，OC 的坐标.6.已知点M(2，3)、N(8，4)，点P 在线段MN 内，且MP =λPN =λ2MN ，求λ的值及P 点的坐标.附加题1、已知，不共线，=+, =2-，将符合下列条件的向量写成m +n )的形式：(1)点C 分所成的比λ=2，则= .(2)点C 分所成的比λ=-3,则= .2、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，则第四个顶点的坐标为 .3、已知A(2，3)、B(0，1)、C(3，0)，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标. 向量测试01 一、选择题 BACCC BDDDB AB 二、填空 1.±22 2. (-1，2) 3. 31 (a -c ) 4. (- 27，21) 三、解答题： 1.(8，-10) 2. DF =-21 AD =(47,2) 3.32AB -22AC 4、.P(-1，-2)或P(7，-6)5、OA =(231-,231+), OC =2 (462+,62-) 6、λ=215-,P(11-35,259-) 附加题1、解：(1)由AC =λCB ,有OC -OA =λ(OB -OC )有OC =λ+11OA +λλ+1OB 所以OC =211+OA +212+OB =31 (a +b )+32(a -b )=35a -31b (2) OC =λ+11 OB +λλ+1OA =-21 (2a -b )+23( a +b )=21a +2b 2、解：如图，设OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y)依题意，AB =DC 或AC =DB 或AB =CD由AB =DC ，可得：OB -OA =OC -OD即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) ⇔ (2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0)同理，若=可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若=可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8. ∴D(1,8)∴点D 的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)3、解：因为DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC.有ABC ADE S S △△=(ABAD )2 由已知，有(AB AD )2=21，即AB AD =21以点D 分所成的比为λ，利用分点定义可得λ=121-=2+1所以得点D 的横、纵坐标为 x=1212++=2-2,y=121123++++=3-2则点D 的坐标为(2-2，3-2)。
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A B C
D
O
A
B
· ·
A
B
C
D
N
M
2.1平面向量的实际背景及基本概念
1、下列说法中，正确的个数有( )
①零向量可以与任何向量平行，也可以与任何向量垂直； ②若向量e 的模等于1，则e 为单位向量； ③所有的单位向量都相等；
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 2、设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与向量OA 相等的向量的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3、如图，已正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则OA =
4、把同一平面内所有不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，
则这些向量的终点构成的图形的面积等于 .
5、如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A 、B. 点C 为小正方形的顶点，且5AC =.
(1)画出所有的向量AC ； (2)求BC 的最大值与最小值.
2.2平面向量的线性运算
1、已知2,1==a b ，则-a b 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[1,2] D ．[1,3]
2、下列等式错误．．
的是( ) A ．0-=a a B ．-=a a 0 C ．0⋅=a 0 D ．0⋅=0a 3、如图,向量-a b 等于 .
4、已知向量a ，b 不共线，且k +a b 与k +a b 共线， 则实数k = .
5、如图，在平行四边形ABCD ，AD =a ，AB =b ，M 为AB 的中点，点N 在DB 上，且DN tNB =. (1)当2t =时，证明：M 、N 、C 三点共线； (2)若M 、N 、C 三点共线，求实数t 的值.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
1、已知向量(1,2),(2,3),(3,4)===a b c ，则用,a b 表示c 为( )
A ．=+c a b
B ．2=+c a b
C ．2=-+c a b
D ．2=-c a b
2
e 1
e b
a
O
A
B
P
M
N
B
C
A
2、已知向量(1,2)=a ，(,1)x =b ，2=+u a b ，2=-v a b ，且u v ，则x =( )
A ．1-
B ．1
C ．1
2
-
D ．12
3、若(1,3),(3,5)+=-=a b a b ，则=a ；=b .
4、已知在梯形ABCD 中，AB
DC ，且A 、B 、D 三点的坐标分别为(0,0)、(2,0)、
(1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是 .
5、如图,在□OABP 中,过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ,若OM xOA =,
(01)ON yOB x =<<.
(1)求()y f x =的解析式; (2)令1
()()
F x x f x =
+，判断()F x 的单调性， 并给出你的证明
1、设,,a b c 为非零向量，下列等恒成立的个数有( )
①()()⋅⋅=⋅⋅a b c c a b ②[()()]0⋅⋅-⋅⋅⋅=b c a c a b c ③2
2
()()-=+-a b a b a b ④3
3
2
2
()()+=+-⋅+a b a b a a b b A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、如图，在等腰ABC △中，AB=AC=1，30B ∠=，则向量
AB 在向量AC 上的投影等于( )
A ．1
B ．1-
C ．12
D ．12
- 3、若向量,a b 满足2,1=
=a b ，且()1⋅+=a a b ，则向量,a b 的夹角的大小为 .
4、设向量,,a b c 满足++=a b c 0，()-⊥a b c ，⊥a b ，1=a ，则=c .
5、已知两个向量,a b 满足2,1==a b ，,a b 的夹角为60，27x =+m a b ，x =+n a b ，
x ∈R .
(1)若,m n 的夹角为钝角，求x 的取值范围；
(2)设函数()f x =⋅m n ，求()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值
2.4.数量积的坐标表示、模、夹角
1、在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)AB AC m n ==，则BC =( ) A ．(0,4)-或(2,0)- B ．(0,4)或(2,0) C ．(0,4)- D ．(2,0)-
2、定义向量,a b 的外积为sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角，若(1,2),=-a
(1,1)=b ，则⨯=a b ( )
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3
3、点(2,0),(3,0)A B -，动点(,)P x y 满足2
PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹方程为 . 4、已知(2,1)=a ，(1,)=λb ，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是 . 5、已知三点(2,1)A 、(3,2)B 、(1,4)D -.
(1)证明：AB AD ⊥；
(2)若点C 使得四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值.。