巧用向量方法解决最值问题
用向量方法巧解最值问题
设 ｍ一 （ ｚ一 ２ ３ ，一 （ ， ），ｌ ｚ一 ５， １ ， 一 ） 则
Ｙ — ｓ （ － ２ ｚ ３ － ｖ ／ ｘ－ — ＋ ｚ Ｉ ／ — ） － ，
ｖ 二而 ／ ＝
求 解．
含 有 无 理 式 ， 用 凑 配 技 巧 来 利
函数 训一 ｚ ＋ 的 最 小 值 ． 解 ： ｍ 一 （ ） ，一 （ ， ） 由 定 义 有 ： 设 ｚ， ，ｌ １２ ，
ｍ ・，一 ＋ ２ ｌ 一 １ ，Ｉ Ｉ Ｏ ｍ 一 ＋ ， ，Ｉ ５ Ｉｌ 一 ， 从 而 训 一 ｚ ＋ ｚ Ｉ Ｉ ｚ — ≥ ｍ 一 一
的最值
， 即
＋ Ｙ ≥
６
，
当且 仅 当 ｍ 与 ， 向时取等 号 ． ｌ同
向量 三角 不等 式 主要有 以下 四个 ：
（ ） 小 Ｉ Ｉｌ ≥ Ｉｌ ，Ｉ 当 且 仅 当 ｍ 与 １ Ｉ ＋ ，Ｉ ， ＋ ｌ ， ，
完 全 类 似 地 ， 向 量 ｍ 一 （ ＂Ｙ， ） ，一 设 ｏ， ｚ ，ｌ Ｚ （ ｂｆ ， ｍ 与 ， 数量 积 为 ： ｎ， ， ） 则 ｌ的 （ ） ・，— ｎ ３ｍ ｌ ｚ＋ ＋ ｃ ， 而 也 有 ： ・， ｚ从 ｍ ｌ
维普资讯
解 题方 法 与技
用 向 量 方 法 巧 解 最 值 问 题
广西钦 州师专数 学与计 算机 科 学 系（ ３ ０ ０ 梁 常东 ５ ５０ ） 广西桂 林 师专数 学与计 算机 科 学 系（ ４ ０ １ 蒋 晓云 ５ １０ ）
在 中 学 数 学 中 ， 某 些 代 数 式 的 最 值 问 对 题通 常使 用 凑 配 技 巧 （ 配方 法 ） 解 ， 在 如 求 现 高 中数 学增 加 了 向 量 内容 ， 们 在 使 用 向量 我 方法 求解 最 值 问题 ， 别是 一 些 无 理 式 的最 特 值 问题 时 ， 以大 大 简化 解 题 过 程 ， 高解 题 可 提
运用向量知识求解函数的最值问题
路李明
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引证文献(1条) 1.孙钦龙 例谈向量在数学中的应用[期刊论文]-河北理科教学研究 2005(1)
本文链接：/Periodical_zxsx200310011.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：9cb446d9-1aa9-492d-bbe9-9dc8015e49b3 下载时间：2010年8月4日
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巧用向量求最值2
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中学数学杂志 4 高中 5 ’ 7 7 J年第 A期 又! " $ !% ! & " ! , # ’
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巧用向量方法求解决最值问题
巧用向量方法求解决最值问题在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
如果设向量，，则与的数量积为：，从而有：（1）,当且仅当与同向同号时取等号（2），即,当且仅当与同向同号时取等号。
完全类似地，设向量,，则与的数量积为：，从而也有：（1）,当且仅当与同向同号时取等号；（2），即,，当且仅当与同向同号时取等号。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面简单介绍几种求解的方式方法：1、用向量求未知数，满足整式方程的代数式的最值。
例1：已知实数满足方程,求的最值。
解：由得设：,则，即2、用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值。
例2：已知实数满足方程即,问的最小值解：原方程可化为，设：,即的最大值为3，最小值为3、用向量求未知数满足整式方程的分式方程的值。
例3：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,则设,即：4、用向量求无理函数的值域。
例4：求已知函数的值域。
解：由且可知,设,即：5、用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值。
例5：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,6、用向量求使整式为最值的未知数的值。
例5：求实数的值，使得达到最小值。
解：设,由知当且仅当时成立，即：,时，等号成立。
7、用向量求未知数满足分式方程的分式的最值。
例7：已知且,求的最大值解：由知设,当且仅当时等号成立。
8、用向量求无理式的最值。
例8：如果，那么的最大值是多少？解：设,由知：当且仅当时，等号成立。
9、用向量求满足二次方程的函数的取值范围。
例9：如果,,则的取值范围是多少？解：设,;由知：。
用向量方法求函数值域或最值
用向量方法求函数值域或最值向量的方法在函数求值域或最值中的应用并不是非常广泛，但仍然有一些特殊情况下可以使用向量方法来求解。
以下我们将通过几个具体的例子来说明如何使用向量方法来求解函数值域或最值。
一、向量作为参数的函数在某些情况下，函数的参数可能是一些向量，比如平面向量或三维空间的向量。
此时，我们可以利用向量的性质和运算规则来求解函数的值域或最值。
例如，考虑一个简单的平面向量函数 f(x, y) = (x, y)，其中 x 和 y 是实数。
由于向量的模长是长度函数的正比常数倍，因此该函数的值域就是单位圆及其内部，即|f(x, y)| ≤ 1。
当且仅当 x 和 y 分别等于 0 时，函数取得最小值0；当且仅当 x 和 y 不全为 0 时，函数取得最大值 1。
二、利用向量运算求解函数值域或最值有时候，我们可以利用向量的运算规则来简化函数的表达式，从而更容易地求出函数的值域或最值。
例如，考虑一个二元函数f(x, y) = x² + y² - 2xy，我们可以将其改写为f(x, y) = (x - y)² + y²。
由于 (x - y)² 和y² 都是非负的，因此该函数的值域为非负实数集。
当且仅当 x = y 时，函数取得最小值 0；当且仅当 x 和 y 中有一个为 0、另一个不为 0 时，函数取得最大值+∞。
三、利用向量投影求解函数值域或最值在某些情况下，我们可以通过计算向量在某个方向上的投影来简化函数的表达式，从而更容易地求出函数的值域或最值。
例如，考虑一个二元函数f(x, y) = (2x + 3y)² - 4y²。
如果我们只关注该函数在 x 轴上的投影，则可以将其改写为f(x, y) = (2x + 3y)² - (2y)² = (2x + 3y)² - (2y)²。
由于(2x + 3y)² 和(2y)² 都是非负的，因此该函数的值域为非负实数集。
解答平面向量最值问题的几个“妙招”
思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积，即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图5，若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，BC =3，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解：（1）过程略；(2)设CD 的中点为P ，连接FP ，过点P 作CD 1的垂线，垂足为H .在长方体中，由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1，因为PH ⊥CD 1，PH ⋂FP =P ，所以CD 1⊥平面FHP ，所以FH ⊥CD 1，则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2，且FP =BC =3，则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=，所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据CD 1⊥平面FHP ，确定平面FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目：已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0，若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，d -a 在向量c方向上的投影为z ，则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0，∴a ⊥b，以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n )，∵(a -b)∙c =0，∴m -2n =0，即m =2n ，∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，∴d =(x ,y )，∵d -a 在c方向上的投影为z ，∴z =(d -a )∙c ||c =，吴仕明48思路探寻5的最小值为25.看作线段OP长度的平到直线2x+y-2=0的距离便可将问题转化为距离问题，通过研究点O、以及直线之间的位置关系确定目标式取最小值最后根据两点间的距离公式、点到直线的距我们从四种不同的角度寻找到解答这道平面向。
借助向量求多元函数的最值问题
借助向量求多元函数的最值问题
在有些二元函数求最值的问题中，构建向量模型，常常会使复杂的问题变得简洁明了，利用向量的坐标及向量的内积，会使繁琐的解题过程显得巧妙与自然，下面举例进行分析：
例1：已知：，求的最大值。
解：由已知，可取一定点M（3，2）
设N（x，y）为圆上任意一点，0为原点，
则OM=（3，2），ON=（x，y）
所以
那么
的最大值为
例2：已知：，求的最小值。
解：由已知，取一定点，M（1，1）
设N（x，y）为圆上的任意一点，0为原点。
则OM=（1，1），ON=（x，y）
所以
那么
又因为
所以
也就是
即
的最小值为8。
例3：已知，求的最小值。
解：由已知，可取一定点P（1，1）再设，0为原点，
OP=（1，1）
所以
那么
的最小值为。
例4：已知：，求的最小值。
解：由已知，设，，O为原点。
所以
那么
可得
因为
所以
那么
而
即
的最小值。
例5：已知，
求的最小值。
解：由已知，设点M（），N（），O为原点则
所以
因为
所以
也就是
即，的最小值为2。
以上五道例题利用了向量独特的几何性质和代数运算的完美结合，即向量的内积，把复杂的、看似无从入手的代数问题转化为向量问题，这不仅有助于培养学生数形结合的数学思维，还会激励学生的发散思维，使其在以后的解题过程中，手法更具有灵活性和技巧性。
构造平面向量巧解最值问题
构造平面向量巧解最值问题以《构造平面向量巧解最值问题》为标题，本文讨论的是一种可以用来解决最值问题的有效解决方案构造平面向量法，并分析其优势和存在的问题。
首先，让我们来回顾构造平面向量法的基本概念和步骤。
构造平面向量法是指，先将向量空间中的一个点A视为解空间的起始点，然后搜索另一个或多个点B，使其与点A组成一个平面向量，该平面向量可以满足给定的最值条件。
如果有多个满足给定最值条件的平面向量，那么就可以找到最优的平面向量 (使用最小二乘法等最小化工具)，从而获得最优解。
构造平面向量法包含以下几个重要步骤：首先，选定一个解空间中的起始点，然后，根据等式求解限定条件确定要搜索的下一点，最后，采用最优化技术（如最小二乘法）找出最优解。
构造平面向量法具有许多优点，首先，它是一种非常快速高效的求解方式，避免了极值搜索法可能遇到的局部最小值的问题；其次，它是一种灵活的求解方法，能够快速有效地应用于不同类型的最值问题；此外，它还具有普遍性，能够有效地处理多维最值问题以及各种求解空间的复杂最值问题。
尽管构造平面向量法在解决最值问题方面具有许多优点，但它也存在一些问题。
首先，构造平面向量法是非线性的，它无法解决高纬度最值问题；其次，它也会受到参数设置的影响，当参数设置不合理时可能会得到错误的解决方案；此外，它也受到初始点设置的影响，如果初始点设置不合理，也可能会得到错误的解。
综上所述，构造平面向量法是一种有效的最值解决方案，它在多种最值问题中都可以取得很好的效果，但是，它也有一定的局限性，应当根据实际的情况来合理地使用和调整参数，以获得有效的求解结果。
总之，构造平面向量法作为一种有效的最值解决方案，在多维最值问题中可以取得很好的效果，但在解决高维度最值问题时，需要进行参数设置和初始点设置以获得最佳解决结果。
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巧用向量方法求解决最值问题
梁常东1
蒋晓云
2
（1钦州师专数学与计算机科学系 广西 钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）
在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
1 利用向量的数量积求最值
设向量),,(y x m = ，),(b a n = 则n m
与的数量积为：
()by ax n m n m n m +=∠⋅=⋅
,cos ，从而有：
n m n m
⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m （1）
()2
2
22
22
22)( , b a by ax y x n
n m m ++≥+⋅≥即 ,当且仅当同向时取等号与n m （2） 完全类似地，设向量),,(z y x m = ，),,(c b a n = ，则n m
与的数量积为：
~
cz by ax n m ++=⋅
，从而也有：n m n m ⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m ；
()2
22
22
222
22)(c b a cz by ax x y x n
n m m ++++≥++⋅≥即 ，当且仅当同向时取等号与n m 。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用
向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：
例1设y x,∈R +
,且102=+y x ,求函数22y x w +=
的最小值。
解:设)2,1(),y (x,==n m
,由定义有：5,,1022
2
22
=+==+=⋅n y x m y x n m
从而 ()2222
2
n
n m m y x w ⋅≥=+==20510
2
=,当且仅当n m 与同向,即021>=y x 时取等号，所以当5.2,5==y x 时，2
2y x w +=取得最小值20。
例2 设 0,,321>c c c 且c 332221=++x c x c x c ()
为正的常数c , 求函数y=2
332
222
21x c x c x c ++的最小值。
解: 设),,(),,,(321332211c c c n x c x c x c m ==
,则
()()3
2123212
33222122223
322
22
1
1c c c c c c c x c x c x c n n m m x c x c x c y ++=
++++=⋅≥=++= 】
当且仅当n m
与同向时,即0321>==x x x 取等号，所以当321x x x ==3
21c
c c c ++=
时，
y 取得最小值3
212
c c c c ++。
例3 若+
∈R z y x ,,,且1=++z y x ，求 ()()()
24
2424
111x x z z z y y y x w ---
++=
的最小值。
解：设
()()()
,1,
1,12
2222
2⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---=x x z z z y y y x m (
)
)1(,)1(,)1(222x x z z y y n ---=
()()()()(
)
(
)(
)(
)
222222222222
2222222111111x x z z y y z y x n
n m m x x z z z y y y x w -+-+-++=⋅≥=-+-+-= ）（）（）（ ()()()813
33332
23
332222=++-++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++≥++-++++=⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x z y x z y x z y x z y x （*） 即()()()
8
1
111 ,,22
2222222≥-+-+-=∈+
x x z z z y y y x w R z y x ）（）（）（，总有对任意的，
当3
1
=
==z y x 时，（*）后一个不等式取等号，这时w 刚好取得最小值
8
1。
2 利用向量的三角不等式求无理多项式的最值
向量三角不等式主要有以下四个:
.
(1)n m n m +≥+,当且仅当n m 与同向时取等号； (2)n m n m
-≥+,当且仅当n m
与反向时取等号； (3)n m n m -≤-,当且仅当n m 与反向时取等号； (4)n m n m
-≤-,当且仅当n m
与同向时取等号。
利用这些不等式来求一类无理式的最值，常可以简化运算，收到事半功倍的效果。
关键
是注意它们在什么条件下等号成立。
例4 当x 为何值时，函数261013422+-++-=x x x x y 有最小值，并求出这个
最小值。
分析：因函数261013422+-++-=
x x x x y 含有无理式，利用凑配技巧来求最
值比较麻烦，下面利用向量的数量积来求解。
解: 将函数变形为()()2222)1(532-+-++-=
x x y ，
设)1,5(),3,2(--=-=x n x m
， 则有()()2222)1(532-+-++-=
x x y =5432
2=+=-≥+n m n m
，
当且仅当n m
与反向，即
01352<-=--x x 时取等号；所以4
17
=x 时，原函数的最小值为5。
：
例5 已知实数y x ,满足条件10=+y x ，求42522+-+=y x z 的最大值。
解: 4)10(254252222+--+=+-+=
x x y x z ,
令 )2,10(),5,(--==x n x m
则
1093104252222=+=+≤-=+-+n m n m y x
（**）
,,R y x ∈对任意的总有1094254252222≤+-+≤
+-+=y x y x z
当且仅当n m
与反向，即
01352<-=--x x 时（**）取等号，即当350=x ，3
20
-=y 时，42522+-+y x 有最大值为109，且42522+>
+y x ，这时
42522+-+=y x z =
42522+-+y x 取到最大值109。
例6 已知y x ,是小于1的数，求
()()()()222222221111y x y x y x y x z -+-+
-++
+-+
+=的最小值。
分析: 因为43214321x x x x x x x x
+++≥+++，问题转化为如何设4,3,2,1,=i x i
，使=z 4321x x x x
+++，且4321x x x x
+++中不含y x ,，还要保证这4个向量同向，此时才能取等号。
解: 设)1,1(),1,(),,1(),,(4321y x x y x x y x x y x x --=-=-==
,则
()()()()43212
22222221111x x x x y x y x y x y x z +++=-+-+-++
+-+
+=
2222224321=+=+++≥x x x x
,当2
1==y x 时，上述4个向量同向，函数Z 取
得最小值为22 。