巧用向量方法求解决最值问题
用向量方法巧解最值问题
设 ｍ一 （ ｚ一 ２ ３ ，一 （ ， ），ｌ ｚ一 ５， １ ， 一 ） 则
Ｙ — ｓ （ － ２ ｚ ３ － ｖ ／ ｘ－ — ＋ ｚ Ｉ ／ — ） － ，
ｖ 二而 ／ ＝
求 解．
含 有 无 理 式 ， 用 凑 配 技 巧 来 利
函数 训一 ｚ ＋ 的 最 小 值 ． 解 ： ｍ 一 （ ） ，一 （ ， ） 由 定 义 有 ： 设 ｚ， ，ｌ １２ ，
ｍ ・，一 ＋ ２ ｌ 一 １ ，Ｉ Ｉ Ｏ ｍ 一 ＋ ， ，Ｉ ５ Ｉｌ 一 ， 从 而 训 一 ｚ ＋ ｚ Ｉ Ｉ ｚ — ≥ ｍ 一 一
的最值
， 即
＋ Ｙ ≥
６
，
当且 仅 当 ｍ 与 ， 向时取等 号 ． ｌ同
向量 三角 不等 式 主要有 以下 四个 ：
（ ） 小 Ｉ Ｉｌ ≥ Ｉｌ ，Ｉ 当 且 仅 当 ｍ 与 １ Ｉ ＋ ，Ｉ ， ＋ ｌ ， ，
完 全 类 似 地 ， 向 量 ｍ 一 （ ＂Ｙ， ） ，一 设 ｏ， ｚ ，ｌ Ｚ （ ｂｆ ， ｍ 与 ， 数量 积 为 ： ｎ， ， ） 则 ｌ的 （ ） ・，— ｎ ３ｍ ｌ ｚ＋ ＋ ｃ ， 而 也 有 ： ・， ｚ从 ｍ ｌ
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解 题方 法 与技
用 向 量 方 法 巧 解 最 值 问 题
广西钦 州师专数 学与计 算机 科 学 系（ ３ ０ ０ 梁 常东 ５ ５０ ） 广西桂 林 师专数 学与计 算机 科 学 系（ ４ ０ １ 蒋 晓云 ５ １０ ）
在 中 学 数 学 中 ， 某 些 代 数 式 的 最 值 问 对 题通 常使 用 凑 配 技 巧 （ 配方 法 ） 解 ， 在 如 求 现 高 中数 学增 加 了 向 量 内容 ， 们 在 使 用 向量 我 方法 求解 最 值 问题 ， 别是 一 些 无 理 式 的最 特 值 问题 时 ， 以大 大 简化 解 题 过 程 ， 高解 题 可 提
向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
高等数学应试密码巧用向量计算提高解题速度
高等数学应试密码巧用向量计算提高解题速度高等数学应试密码：巧用向量计算提高解题速度在高等数学的广袤世界里，向量就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们迅速打开解题的大门，大大提高解题速度。
今天，就让咱们一起来揭开这神秘的面纱，探寻向量计算背后的那些小秘密。
我记得有一次给学生们上课，讲到向量计算这个知识点的时候，有个平时特别活跃的学生小张，一脸疑惑地问我：“老师，这向量到底有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，没有直接回答他，而是在黑板上写下了一道题：已知空间中三点 A(1, 2, 3)、B(4, 5, 6)、C(7, 8, 9)，求向量AB 与向量 AC 的点积。
同学们都开始埋头苦算，小张也不例外。
过了一会儿，大部分同学都算出了结果，可小张还在那抓耳挠腮。
我走到他身边，看了看他的解题过程，发现他把向量的坐标弄混了，计算过程也是乱七八糟。
我拍了拍他的肩膀说：“小张啊，别着急。
咱们先搞清楚向量的坐标怎么求。
”于是，我带着大家一起回顾了向量坐标的计算方法：若有两点 M(x1, y1, z1)、N(x2, y2, z2)，则向量 MN 的坐标就是（x2 x1, y2 y1, z2 z1)。
按照这个方法，咱们就能轻松求出向量 AB 的坐标是（3, 3, 3)，向量 AC 的坐标是（6, 6, 6)。
接下来计算点积就简单多啦，两个向量的点积等于它们对应坐标的乘积之和。
所以向量 AB 与向量 AC 的点积就是 3×6 ＋ 3×6 ＋ 3×6 ＝54。
小张恍然大悟，一拍脑袋说：“哎呀，原来是这样，我之前都算错啦！”从那以后，小张对向量计算可上心了，每次做题都特别认真。
这只是一个小小的例子，但却能反映出向量计算在解题中的重要性。
如果能熟练掌握向量的运算规则和性质，很多看似复杂的问题都能迎刃而解。
比如说，在求平面的法向量时，向量的知识就能大显身手。
假设给定一个平面方程 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ 0，我们可以通过设平面的法向量为 n ＝（A, B, C) 来快速求解。
构造平面向量巧解最值问题
构造平面向量巧解最值问题以《构造平面向量巧解最值问题》为标题，本文讨论的是一种可以用来解决最值问题的有效解决方案构造平面向量法，并分析其优势和存在的问题。
首先，让我们来回顾构造平面向量法的基本概念和步骤。
构造平面向量法是指，先将向量空间中的一个点A视为解空间的起始点，然后搜索另一个或多个点B，使其与点A组成一个平面向量，该平面向量可以满足给定的最值条件。
如果有多个满足给定最值条件的平面向量，那么就可以找到最优的平面向量 (使用最小二乘法等最小化工具)，从而获得最优解。
构造平面向量法包含以下几个重要步骤：首先，选定一个解空间中的起始点，然后，根据等式求解限定条件确定要搜索的下一点，最后，采用最优化技术（如最小二乘法）找出最优解。
构造平面向量法具有许多优点，首先，它是一种非常快速高效的求解方式，避免了极值搜索法可能遇到的局部最小值的问题；其次，它是一种灵活的求解方法，能够快速有效地应用于不同类型的最值问题；此外，它还具有普遍性，能够有效地处理多维最值问题以及各种求解空间的复杂最值问题。
尽管构造平面向量法在解决最值问题方面具有许多优点，但它也存在一些问题。
首先，构造平面向量法是非线性的，它无法解决高纬度最值问题；其次，它也会受到参数设置的影响，当参数设置不合理时可能会得到错误的解决方案；此外，它也受到初始点设置的影响，如果初始点设置不合理，也可能会得到错误的解。
综上所述，构造平面向量法是一种有效的最值解决方案，它在多种最值问题中都可以取得很好的效果，但是，它也有一定的局限性，应当根据实际的情况来合理地使用和调整参数，以获得有效的求解结果。
总之，构造平面向量法作为一种有效的最值解决方案，在多维最值问题中可以取得很好的效果，但在解决高维度最值问题时，需要进行参数设置和初始点设置以获得最佳解决结果。
用向量法求解最值问题
一
！ ：
数 量积 ， 往能 避免 繁杂 的凑 配技巧 ， 解答过 程 往 使
直 观又易接 受 ， 面举例 说 明 ： 下
１ １ 二 维 向 量 数 量 积 求 最 值 ．’
一 ｃ ＋ ２ ｌ ＋ ’
当且仅 当 ｍ 与 ， 同向时 ， ｚ ｌ 即 一 ｚ 一 ｚ ＞ 。 。
线 ， 线段与 两坐标 轴所 围成 的面 积． 据约束 条 垂 根
［ ，］ Ｏ １．
５ 面 积
ｆｘ — Ｙ ≥ ０ ２
件 画出可行 域 ， 可知 ： Ｐ（ ）过点 （ ，）时 取 当 ｘ， ２３
最 大值 ， 最大值 为 ６ 。
截距 、 距离 、 影 、 率 、 投 斜 坐标 、 积是 实 现 目 面
・ ｏＯ ｃｓ ≤
６ ）一 （ ， ， ） １ １ １
，
ｉ
以 ＋ ａ ｚ
２ ＋
ｎ
ａ２
． 厄
…
ｎ 十 ｎｌ
于是 由 Ｉ ＋ＩｌＩ ≥ Ｉ Ｉ ， ＋Ｉ Ｉ ｍ ｐ ｍ＋ ， ｐ Ｉ有 ｌ ， ＋
３
干
≥ ３ ｎ ＋ｂ ＋ｃ ≥ ． 得 ｚ ２ ｚ
１ 利 用 向量 的数量 积求最 值
ｎ： （ ，
， －， ）则
Ｙ— ｃｚ 十 Ｃｚ ＋ Ｑｚ ＝ ｌ｝ ２ｉ ；
。≥ 一
在求解 某 些 初 等代 数 最值 问题 时 据 条 件 根
和结 论的特 点 ， 其 转化 为 向量 形式 ， 将 利用 向量 的
！ ！ 垒±！ ±！ 兰
小值 ２ Ｏ
１ ２ 三 维 向 量 数 量 积 求 最 值 ． 侈 设 ｃ ，２ ｃ Ｕ２ ｌ ｃ ，３＞ ０且 ｃｚ ｌ ｚ＋ ｃ ｚ ＋ ｃ ｚ ２ ２ ３３
论单位向量的巧用
五．
曰
一
综上可知， ／ ／ 二 ＝ ＞ 存在一个实数五 ， 使得 ： ２ － 。
ｅｌ
Ａ
６
Ｅ
Ｃ
－
－
（ ）
ｊ
评 注 ： 利 用 商 形 式 后 ， 便 于 学 生 理 解 。 令 书 或 ＝ 一 一 骨 雨 的
评注： 利用
图１ 菱形
途径之一 。
２ ． １ ． ２利用单位 向量证明定理、 等式 例 １证 明向量共线定理 向量共 线定理 阐述 如下 ： 对 于 向量 西、 ， 若 ／ ／
１ 单位向量 的概念
量。 由于是非零 向量 ， 单位 向量具有确定的方向。一个非零 个单位向量在平面直角坐标 系上 的坐标可表示为是 ：（ 『 ｌ ’ 后 ） ，
值的课题 ， 已经受到人们 广泛重视 。 向量 （ Ｖ ｅ Ｃ ｔ ｏ ｒ ） 又称矢量 ， 即
大家还 － ． Ｉ ￣ Ｊ 用前 面介绍 的两个 同 向单 位 向量相等 的性
求 出函数Ｙ ＝ ４ ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ ３ ｓ ｉ ｎ 埔更 得最大值 与最 小值时对应 的 既有大小又有 方向的量 叫做 向量。 单位向量是 一种特殊 向量 ， 质， 的角度 （ 此处不再赘述 ） 。 在一些情况下 ，我们可 以利用单位向量的特性来 巧妙 解决数 学 中的问题 ， 其 方法新颖 ， 运算简捷 ， 是 启发学生思维 的有 效
ｌ Ｃ
：
当 高 与 裔 同 向 时 ， Ｉ ＝ ， 则 ＝ 斟 丽 ， 令 ＝ 一 尉 ， 则 有 再 ： ＝ ． 当 鬲 与 南 反 向 时 ， 裔 ： ＝ 一 鬲 ， 则 云 。 一 一 茸 同 ， 令 ： 一 罱 ， 则 有
对州
数学-平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题高中数学 会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解 因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案 (－1,0)解析 由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2 在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案 C解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟 建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案 2918解析 根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3 向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案 32解析 |a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3 已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案 433解析 将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4 已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案 255解析 ∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4 已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案 C解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案 C解析 因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案 D解析 由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案 B解析 因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案 B解析 ∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案 A解析 以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案 C解析 ∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案 9解析 根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案 2＋12解析 因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解 由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解 设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案 C解析 ∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案 C解析 不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝ ＋ ，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案 D解析 因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案 －4952解析 ∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案 12解析 设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解 (1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。
巧用向量解难题
二、空间向量的运用
对 于 立 体 几 何 题 ，现 在 的 绝 大 部 分 学 生 首 先 想 到 的 是 利 用 向 量 的 方 法 来 解 决 .的 确 ，向 量 方 法 是 解 决 立 体 几 何 问 题 的 一 大 利 器 ，它 的 最 大 好 处 是 极 大 地 降 低 了 学 生 对 于 空 间 想 象 能 力 的 要 求 ，这 样 一 来 对 于 传 统 立 体 几 何 的 教 学 也 是 一 种 挑 战 ，这 需 要 我 们 必 须 有 意 识 地 加 强 传统内容的教学与训练，下面举例说明.
题.
单 位 向 量 在 数 学 中 的 应 用 广 泛 ，除 以 上 应 用 外 ，还
常构造单位向量解决三角求值，探求函数的最值及值域
等 问 题 ，其 特 点 是 方 法 新 颖 、运 算 简 捷 .总 之 ，向量是
“数 ”与“形 ”的最佳载体，而适当挖掘单位向量的潜在功
能 ，无论对解题还是对教材的处理都大有裨益.
\O A +O B \
**
V T ). 妙用单位向量的性质，避 繁 就 简 ，一气呵
向 量 的 夹 角 公 式 是 c o s 〈a
\a \\b \ -'2,其中'1，'2
分别是与a ，b 同向的单位向量，这也说明可选取向量的
9 2 十 •？炎 ，？ 高中版
简 便 . 作 向 量 冬 ，及菱形％' ( ) ，由〇(为
\a\
\b\
$ % 0 ' 的 平 分 线 ，知 # / / $ ( ，即# / / ( $ % + $ # ) ，故
的边长 为/ ，则 可 得 \ ^ " % & " % & ，
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巧用向量方法求解决最值问题
在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
如果设向量，，则与的数量积为：
，从而有：（1）,当且仅当
与同向同号时取等号（2），即,当且仅当与同向同号时取等号。
完全类似地，设向量,，则与的数量积为：
，从而也有：（1）,当且仅当与同向同号时取等号；（2），即,，当且仅当与同
向同号时取等号。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面简单介绍几种求解的方式方法：
1、用向量求未知数，满足整式方程的代数式的最值。
例1：已知实数满足方程,求的最值。
解：由得
设：,
则，即
2、用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值。
例2：已知实数满足方程即,问
的最小值
解：原方程可化为，
设：,
即的最大值为3，最小值为
3、用向量求未知数满足整式方程的分式方程的值。
例3：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,则
设,
即：
4、用向量求无理函数的值域。
例4：求已知函数的值域。
解：由且可知,
设,
即：
5、用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值。
例5：已知实数满足方程,求的最值。
解：设,
6、用向量求使整式为最值的未知数的值。
例5：求实数的值，使得达到最小值。
解：设,
由知
当且仅当时成立，
即：,时，等号成立。
7、用向量求未知数满足分式方程的分式的最值。
例7：已知且,求的最大
值
解：由知
设,
当且仅当时等号成立。
8、用向量求无理式的最值。
例8：如果，那么的最大值是多少？解：设,
由知：
当且仅当时，等号成立。
9、用向量求满足二次方程的函数的取值范围。
例9：如果,,则的取值范围是多少？解：设,;
由知：。