用几何方法解决向量中的最值问题

用几何方法解决向量中的最值问题
尽管学了不少相关的运算律，向量感觉还是很难去运算的一种量，因为难以与实数建立联系。

而把代数问题实数化的方法，其实也就是几何和代数两种。

其中几何的方法都非常有趣。

先看一道比较简单的题目：
很显然，观察到向量的模，常规方法都是两边直接平方，将绝对值符号去掉之后构造关于t的函数，再利用恒成立问题的思路解决问题。

然而这种方法计算量还是有些大，于是尝试几何方法。

先把题目条件都转化为几何条件。

很明显向量的模就是表示它的线段的长度。

于是可以知道有一条线段长度为定值1，不妨设这条线段为e。

而对于不等式的意义，先整体观察到两边绝对值内的都是两个向量的差，于是尝试构造另一个与e同起点的向量a。

对于右边，把它们的终点相连，此时得到的这条新的线段长度，就是不等式右边的模的意义。

而对于左边，观察到e作了数乘运算，从几何意义上说，它就是被伸缩了（可以正向，也可以反向）。

所以这个新产生的线段与e的交点是在e所在的直线上移动的，另外一个端点就是a的终点。

把图构造出来：
再观察这个不等式，就可以意识到实际上它描述的是一个定点（a 的终点）到定直线（e所在直线）的最短的状态。

所以就有了垂线段最短的想法，于是可以知道最小状态就是垂直时，再结合互相垂直的向
量数量积为零，得到答案为C。

这道题比较好想，求最值的情况也比较方便，几何法是可有可无的，然而下面这道题就需要兜更大的圈子了。

同样的，先把题目转变为几何表达。

不妨设表示a的线段为AB，表示b的线段为AC（把它们放在同一个三角形内比较简洁）于是得到：AB=AC=1且AB⊥AC，也就是ABC是个等腰直角三角形。

而对于后面这个数量积为零的式子，由于这两个向量都可以表示为a,b与c 之间的减法，所以不妨设表示c的线段为AD。

于是可以知道a-c对应的线段是BD，b-c对应的线段是CD。

考虑数量积为零的几何意义，就可以得到BD⊥CD。

那么，D就在以BC为直径的圆上，也就是说，D是该圆上一个动点。

问题就转化为了求BD的长度的最大值，也就是圆上一点（D）到一个定点（B）的最大值，那么就是当BD过圆心时取得（两边之和大于第三边）。

所以答案为根号2。

观察条件，发现前两个条件有几何意义，但是不能确定多少图形的画法，并且最后一个式子看不出几何意义。

说明这道题并不是一开始就能用几何法解决。

于是尝试先把题目代数化，而在代数做法里面，比较简单的是坐标表示，所以先尝试用坐标表示。

由于e是个单位向量，那么不妨设e=(1,0), b=(x,y)。

处理最后面的式子，得到：
观察中间的式子，发现x,y最高次都是二次，前面系数相同，并且不存在x,y相乘的情况，可以联想到这可能是个圆的方程，尝试配方：
于是就可以判断这是个圆心为(2,0)，半径为1的圆的方程。

也就是说，b的终点的轨迹是这个圆。

而对于a，由于它与e的夹角为60°，e=(1,0)，所以它与x轴正方向的夹角也是60°。

可以用倾斜角和斜率的关系求得a的终点的轨迹：
设a的终点为A，b的终点为B，最终求的目标就转化为AB的最小值。

在平面直角坐标系中画出图：
于是问题就转化成了求定直线上一点（A），到定圆上一点（B）的距离。

由于这个图象关于x轴对称，只考虑x轴上方的一支直线会更方便。

那么先尝试构造定值，于是连结BC，而A,B,C三点又构成三角形，由于BC是定值，这时求AB的最小值就是求AC的最小值（因为AB+BC>=AC）。

也就是求直线上的一点（A）到直线外一定点的最短距离，所以只要用点到直线距离公式即可：
总结一下，这三道题目，如果用代数方法做，实际上都算比较复杂的，而用几何方法做，不仅简洁，而且不容易犯错。

而对于几何解法来说，可以发现它的解题大概遵循一个过程：
1.把向量条件转化为几何语言。

2.根据几何语言画出几何图形。

3.通过明确要求的几何最值，寻找最值的模型。

从而解出最值。

实际上最关键的就是1和3，尤其是1，从第二题和第三题就可以发现几何语言的转化并不是很容易，有时甚至需要参数的引入，通过解析几何来解决。