妙用转化思想,巧解平面向量模长最值问题
求解平面向量最值问题的几个措施
探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。
解答平面向量最值问题的三种路径
平面向量最值问题主要考查平面向量的公式、定理的应用，对同学们的计算能力与综合分析能力都有较高的要求.此类问题的常见命题形式有：（1）求某个向量的模的最值；（2）求某两个向量数量积的最值；（3）求某个代数式的最值.本文以几个题目为例，详细介绍解答平面向量最值问题的几个路径.一、运用坐标系法若平面向量最值问题中涉及的图形为规则图形，就可以根据图形的特征，寻找相互垂直的两条直线，将其视为x 轴与y 轴，建立平面直角坐标系.求得各个点的坐标与线段的方向向量，并将其代入目标式，即可将问题转化为求某个代数式的最值.运用坐标系法解题比较直观、便捷.例1.如图所示， OA ， OB 的模长均为1，其夹角为120°，C 点在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC =x OA +yOB ，求x +y 的最大值.解：以O 为圆心，以OA 为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，设∠AOC =α，可得A (1,0)，B (-12,，C (cos α,sin α)，因为 OC =x OA +y OB ，所以(cos α,sin α)=x (1,0)+y (-12，，则ìíîïïïïx =cos αα，y =α，所以x +y =cos α+αα=2sin (α+π6)，由于0≤α≤23π，所以π6≤α+π6≤56π，可知sin (α+π6)≤1，所以当α=π3时，x +y 取得最大值，其最大值为2.运用坐标系法解题的关键在于建立合适的平面直角坐标系，这里以O 为原点，以OA 为x 轴的正方向，垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设∠AOC =α，便能根据题意快速求得A 、B 、C 三点的坐标以及x +y 的表达式，最后根据正弦函数的有界性就能求出最值.二、采用基底法基底法是求解平面向量最值问题的重要方法.我们知道，平面内的任意一个向量都可以用一组基底来表示.那么在求解平面向量最值问题时，可将目标向量用一组合适的基底表示出来，通过基底之间的数乘、加减运算以及数量积公式求得最值.例2.已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上，P (2,0)，AB ⊥BC ，求|| PA + PB +PC 的最大值.解：因为AB ⊥BC ，所以AC 是圆x 2+y 2=1的直径，又因为 PB = PO + OB ， PB + PC =2 PO ，所以|| PA + PB + PC =||3 PO + OB ≤3|| PO +|| OB=7,当且仅当 PO 和OB 同向时等号成立.故|| PA + PB + PC 的最大值为7.解答该题，需注意将数形结合，根据图形明确各个点的位置关系，选取合适的基底 PO 和 OB ，并用基底来表示出|| PA + PB + PC ，最后利用绝对值不等式的性质求得最值.三、利用函数性质法有些平面向量最值问题中的目标式较为复杂，很难快速求得最值，此时不妨选取合适的变量，根据目标式的特征构造函数模型，将平面向量最值问题转变成函数最值问题，利用函数的图象与性质求最值.例3.已知扇形AOB 的半径为2，∠AOB =120°，如果点C 为扇形圆弧上的一动点，OC 与AB 相交于点P ，求 OP ∙ AP 的最小值.解：由题意可得：AB =23，设 AP =tAB ，0≤t ≤1，则 OP = OA +t AB ,所以 OP ∙ AP =t 2 AB 2+t OA ∙ AB =12t 2-6t =12(t -14)2-34≥-34，所以当t =14时，12(t -14)2-34取得最小值-34，所以 OP ∙ AP 的最小值为-34.解答本题，要先根据平面向量的共线定理，引入参数t ，求得 OP ∙AP 的表达式；然后将其视为关于t 的函数式，对其配方，根据二次函数的性质求得最小值.求解平面向量最值问题的路径很多，在遇到不同题目时，可以从多个方面进行考虑，根据题意和解题经验选择最合适的、最简单的路径求解，有时也需综合运用多个路径来解题.（作者单位：南京大学附属中学）张子超备考指南52。
利用函数思想巧解平面向量的最值问题
数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年5月■王红祥平面向量的最值问题是高考的重点，也是同学们学习的一个难点。
下面就向量的最值问题举例分析。
一、依据图形建立目标函数---A---A内的一点，且AP=+丄^,则PB•P CAB AC的最大值等于。
(2)在Rt.△ABC中，CA=CB=2,M,N例1在平面直角坐标系工O》中(图略)，已知点A的坐标为(3,a),a&R,点P满足OP=AO A,e R?\OA|・丨O F=72,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为。
解：由点A的坐标为(3,a),可得|o A|#3。
由O A=A O A,可知O,P,A 三点共线。
由|o A|・o P|=72,可得丨Op= 72^2。
设OP与x轴的夹角为3,则OP在I O Ax轴上的投影长度为丨O p cos0=O p•3>,=2'6,三24,即线段OP在x轴上的I O A|O A|2投影长度的最大值为24。
21A评注：本题的目标函数y=6是依I O A|2据图形建立的，自变量是丨oA|，为了求最值,需要确定丨OA丨的取值范围。
二、利用运算法则建立目标函数例2已知向量a=(cos3,sin3),向量b=(3,—1),则2a—b|的最大值与最小值的和为。
解：由题意可得a•b=3cos3—sin3=是斜边AB上的两个动点，且MN=2,则CM•C N的取值范围是。
解:(1)以点A为原点，a B,AC的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图1所示的平面直角坐标系，则AB=(t0)A C(0,)题意易得AP=(1,4)由1—1,—4t由P B=A B—A P(),PC A C—A P=(—1?t—4),可得PB・P C —(1+4个)+17三一2)1X4t+17=13,当且仅当t=1时取等号。
故p B•p C的最大值等于13。
(2)以点C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(2,0),B(0,2),斜边AB所在的直线方程为x+y=2设M(a,2—a),N(b,2—b),且0W a W 2,0W b W2。
利用转化思想解决平面向量问题
是［ ， ］ ．
Ｕ Ｕ
（ ｃ 一０知 点 Ｄ 应 在 ｂ ）
以 Ｂ 为 直 径 的 ｏ０ 卜． Ｃ
几何 背 景 例７
—
到 定 直 线 距 离 等 于 定 长 的 点 的
轨 迹是 与其 平行 的直 线．
（ ０ ５・ 江 卷 ） 知 向 量 ｎ≠ ｅ ｒ ２０ 浙 已 ， Ｐｉ ） ．
但 是 这 类 问题 难 点 在 于 如 何 将 平 面 向 量 问 题 转 化
２ 转 化 为 圆 模 型 当 题 目 中 涉 及 一
个动 态 变 化 的 向量 ， 且 和 它 有 关 的 一 个 角 度
是 固 定 值 时 ， 们 经 常 我 可 以 利 用 “ 弧 所 对 的 同 圆 周 角 相 等 ”这 一 性 质 构 造 出 相 应 的 圆 ． 样 就 将 其 限 定 在 圆 的 范 围 之 这 内 ， 便 我们 利 用 圆的一些 几何 性质 解决 问题 ． 方 例 ３ （ ０ １・全 国 卷 ）设 向 量 ａ ｂ Ｃ满 足 ２１ ，，
÷
— — ——
—
｝
￣ Ａ Ｄ 为矩 形． 以 △Ａ ７ ＢＣ 所 ＢＣ 为直 角 三 角 形 ． 根 据 直角 三 角形斜 边 上 的 中线 等 于 斜 边 的 一 半 ， 有
— — — — —
几 何 背 景
对 角 互 补 的 四 边 形 内 接 于 圆．
１
—— ——
ｌ Ｍ 一 Ｉ Ｃ ｊ ． Ａ ｆ 一２ 故选 ｃ Ｂ ．
的直线 ｚ （ ６ ． 上 图 ） 由于 １ ≤ １ 即 【 Ｂ Ｉ １ 当点 Ｂ在 Ｂ Ｉ ｐ ， Ｏ ≤ ， 与 Ｂ ｚ
之 间 移 动 时 符 合 题 意 ， 中 Ｉ Ｂ。 一【 Ｂ １ １ 其 Ｏ １ Ｏ — ．
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
解答平面向量最值问题的几个“妙招”
思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积，即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图5，若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，BC =3，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解：（1）过程略；(2)设CD 的中点为P ，连接FP ，过点P 作CD 1的垂线，垂足为H .在长方体中，由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1，因为PH ⊥CD 1，PH ⋂FP =P ，所以CD 1⊥平面FHP ，所以FH ⊥CD 1，则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2，且FP =BC =3，则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=，所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据CD 1⊥平面FHP ，确定平面FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目：已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0，若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，d -a 在向量c方向上的投影为z ，则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0，∴a ⊥b，以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n )，∵(a -b)∙c =0，∴m -2n =0，即m =2n ，∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，∴d =(x ,y )，∵d -a 在c方向上的投影为z ，∴z =(d -a )∙c ||c =，吴仕明48思路探寻5的最小值为25.看作线段OP长度的平到直线2x+y-2=0的距离便可将问题转化为距离问题，通过研究点O、以及直线之间的位置关系确定目标式取最小值最后根据两点间的距离公式、点到直线的距我们从四种不同的角度寻找到解答这道平面向。
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13(,)22B -，(cos ,sin )C θθ。
,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)()22x y θθ∴=+-即cos 2sin 2y x θθ⎧-=⎪⎪=⎪⎩cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。
因此，当3πθ=时，x y +取最大值2。
例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图1122(12)(52)(7)(1)520125(2)8QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P、Q在什么位置时，BP CQ 有最大值。
巧解平面向量中的最值问题
可以了，不应该把大量时间浪费在体育活动上。首先，要改变父母 要性时，曾说过四句话：“没有强度就没有体育，没有强度就没有
对健康的认识，要让他们认识到健康不仅仅是身体健康，还包括 健康体质，没有强度就没有大众健康，没有强度就不可能成为体
心理健康、社会适应良好和道德健康。其次，要让他们对体育的功 育强国。”可见强度的重要意义。因此，只要保证学生膳食平衡、运
高三数学的复习需要对学生的知识进行联系、对解决综合问 题的能力进行提升，突破“不是做不到，只是想不到”的瓶颈，促进 知识的内化。为此，问题的提出要围绕核心知识，在知识的交汇处 设计问题；教师通过问题串以及典型的例题，组织知识、思想方法 的复习，使学生能抓住核心主干，掌握基本技能和思想方法。
教师在课堂上应该引导学生探究知识点间的联系和区别，让 知识点连成线、构成面、织成网，使得知识在脑海中经历“由厚到 薄”的过程；而不是将复习课变成“知识点+训练”的简单模式。在 本节课里，核心知识是平面向量数量积，由实数不等式类比得到 平面向量也有此不等式成立。学生在分析中发现平面向量中的最 值、范围的求解可以类比实数不等式求解，逐步形成完整的知识 体系和解题方法。因此，教师要结合复习的核心知识与思想方法， 对整节课作一个整体有序、结构合理、纵横联系、逐步深入的设 计，使之成为知识网络的建构过程。
［4］李百惠，吴双胜，王海俊，马军，张世伟，等.全国五城市儿
的重要原因之一，那么如何更好地促进学生体质健康？家校合作 童青少年运动状况调查［A］.膳食营养、身体活动与健康：达能营
的体育模式是值得推荐的一个措施，家长除了要多和孩子交流外， 养中心第十一次学术年会［C］，2008.
也要加强与学校交流，这样不仅能了解学生的学习情况，而且能
灵活运用公式的能力。只有拥有熟悉的知识、严谨的思维、熟练的
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妙用转化思想，巧解平面向量模长最值问题作者：陈波
来源：《新课程·中学》2017年第03期
摘要：平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。
查阅近几年来的高考试卷，发现向量与最值有关的问题每年都有考查。
主要结合具体实例谈谈这类问题的常用解题策略与方法。
关键词：平面向量；转化思想；最值
平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。
纵观最近几年的高考数学试卷，其中出现不少有关平面向量模长最值问题。
由于这类问题一般以选择题或填空题的形式出现，大部分试题不以“图形”为载体，导致题目很抽象，学生往往很难入手。
解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化。
本文主要结合具体实例谈谈这类问题的常用解题策略与方法。
一、利用向量基本知识转化为函数最值问题
例1.（2013浙江理17题）设e1，e2为单位向量，非零向量■=xe1+ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为■，则■的最大值为 .
解：■=■=■
当x=0时，■=0
当x≠0时，
■=■=■
■=■
∵■∈R，∴■≤2
解题思路：借助向量的模长公式，使■转化成关于■的一个二次函数最值问题。
二、利用坐标进行转化，结合图形求向量最值
例2.如图，点M在扇形AOB的弧AB上且弧AM为弧AB的四分之一。
动点C、D分别在OA、OB上，OC=BD。
若|■|=1，∠AOB=120°，则|■|+|■|的最小值为______.
解：建如图所示坐标系
■
因为C、D分别在OA、OB上，
所以设■=λ■，则■=（1-λ）■
∴A（1，0），B（-■，■），C（λ，0），D（■，■），M=（■，■）
∴|■|=■
|■|=■=■
∴|■|+|■|=■+■
此时的问题可以转化成点（λ，0）到点（■，■）和（1，-1）间的距离之和，即
|■|+|■|=■+■，
∴|■|+|■|≥■
∴|■|+|■|≥■∴|■|+|■|的最小值为■.
解题思路：本题通过建立平面坐标系得到关于向量模长的有关表达式，因为涉及两点距离公式，转化成动点到两定点距离最值问题，回归到通识通法上去解决问题。
三、转化成有关三角函数的式子，利用三角函数的有界性求最值
例3.（2010浙江卷）已知平面向量■，■（■≠0，■≠■）满足|■|=1，且■与■-■的夹角为120°，则|■|的取值范围是。
解：令θ=（■，■-■），由正弦定理可知：■=■
∴|■|=■sinθ，又∵0
即0
解题思路：本题主要考查向量模长及向量减法的几何意义，考查数形结合的数学思想，关键是利用正弦定理转化为三角函数，利用正弦函数的有界性来求最值。
四、利用基本不等式求向量模长的最值
例4.若向量■，■满足4■2+■■+■2=1，则|2■+■|的最大值为。
解：4■2+■■+■2=1？圯（2■+■）2=1+3■■
∵■■=■·2■·■≤■（2■+■）2
∴（2■+■）2≤1+■（2■+■）2
∴（2■+■）2≤■？圯|2■+■|≤■（当且仅当2■=■时等号
成立）
平面向量模长最值的有关问题还有很多种形式，不需要一一掌握。
只需要抓住向量模长的最值问题的命题意图：考查学生建模能力和求最值能力，若能从这两个方面多下工夫，一定能收获颇多。
类似的方法和结论也可迁移到空间向量中。
参考文献：
[1]朱贤良，付朝华.平面向量巧搭台，“取值范围”唱好戏[J].数学教学研究，2014（6）.
[2]陈燕.多视角探寻平面向量最值问题[J].数学通讯，2014（4）.。