长沙市雅礼中学2005届高三五月第一次模拟

长沙市雅礼中学2005届高三五月第一次模拟
数学（理科类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 33
4R V π=
次的概率k n k
k n n p P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．复数i
z +=11
所对应的点在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.不等式x x x R 2
20--<∈||()的解集是 ( )
A. {|}x x -<<22
B. {|}x x x <->22或
C. {|}x x -<<11
D. {|}x x x <->11或
3. 在31223x x
n
-⎛
⎝ ⎫⎭⎪的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4．︒
-︒︒︒155sin 155cos 20sin 110sin 22的值为
（ ）
A ．2
1-
B ．
21 C ．
2
3 D ．2
3-
5．已知直线m ，n ，平面βα,，给出下列命题：
①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα⊥⊥则,//,m m ； ④若异面直线m ，n 互相垂直，则存在过m 的平面与n 垂直.其中正确的命题是 （ ） A ．②③ B ．①③ C ．②④ D ．③④
6．函数),(,cos sin ππ-∈+=x x x x y 的单调增区间是 （ ）
A ．)2
,0()2,(π
π
π和-- B ．（－
2π，0）和（0，2π
）
C ．),2
()2,(ππ
π
π和-
- D ．（－2π，0）和（2
π，π）
7. 某企业要把7台型号相同的计算机捐送给4所希望小学，每所小学至少1台，那么不同
的送法的种数共有（ ） A. 35种 B. 21种 C. 20种 D. 15种
8．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有两人在车厢内相遇的概率为 （）
A ．
B ．
C ．
D ．
9. 定义在R 上的偶函数f x ()在[)0，+∞是增函数，且f f x ()(lg )1<，则x 的取值范围
是( )
A. ()()-∞-+∞，，11
B. ()()01
10
10，
， +∞ C. (
)()1
10
1110，，
D. ()10，+∞
10．已知双曲线的一条准线与两渐近线的交点分别为A 、B ，相应于这条准线的焦点为F ，
如果△ABF 是等边三角形，那么双曲线的离心率为 （ ） A
B ．2
C ．4
D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中的横线上）
11．把函数)4
2sin(π
+
=x y 的图象向右平移
8
π
个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短 为原来的
2
1
（纵坐标不变），则所得图象的解析式为 . 12. 已知函数f x x
x x x ()()cos ()
=≤<<⎧⎨⎪⎩⎪2020π，若f f x (())02=，则x 0的值是________。

13．若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则∆ABC 的面积S=2
1
r(a+b+c)。

若四面
体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝ 。

14. 表示下图中阴影部分的二元一次不等式组为______________
200
292571442918
7
15．等差数列}{n a 的前3项的和为21，前6项的和为24，则其首项为 ，若数列}
{n a
的前n 项的和为S n ，则=∞→2
lim
n S n
n .
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知),(),,1(2
x x x b x a -+== ，m 为常数且m ≤-2,求使
)12(2+⋅>+⋅b
a m
b a
成立的x 的范围。

17．（理）（本小题满分12分）
一袋中装有6个球，编号为1、2、3、4、5、6,在袋中同时取3只球，以ξ表示取出的3只球中的最大号码， （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望； （3）求“4ξ>”的概率.
18．（本小题满分12分）
已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长都为a ，P 为A 1B 上的点. （1）试确定
PB
P
A 1的值，使得A
B P
C ⊥； （2）若
3
2
1=PB P A ，求二面角P —AC —B 的大小； （3）在（2）的条件下，求C 1到平面PAC 的距离.
19．（本小题满分14分）
已知函数.ln )(x x f =
（Ⅰ）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （Ⅱ）当b a <<0时，求证.)
(2)()(2
2b a a b a a f b f +->-
20、（本小题满分14分）一条斜率为1的直线l 与离心率为2
的椭圆C ：1
22
22=+b y a x （0>>b a ）交于P 、Q ，两点，直线l 与Y 轴交于点R ，且11
2OP OQ ⋅=- ，
5PR RQ =
，求直线l 和椭圆C 的方程。