2016-2017学年江西师大附中高二(上)第一次月考数学卷文科
江西师范大学附属中学2015-2016学年高二12月月考(理)数学试题
江西师大附中高二年级数学（理科）月考试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“01,230>+-∈∃x x R x 的否定是A.01,23≤+-∈∀x x R xB.01,230<+-∈∃x x R xC.01,230≤+-∈∃x x R xD.不存在01,23>+-∈x x R x 2.在极坐标系中，点)65,2(π到直线4)3sin(=-πθρ的距离为（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.“21=m ”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 4332（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（）A.54-B.53- C.53 D.545.直线x+y=1与圆)0(022>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是（） A.)12,0(- B..)12,12(+- C.)12,1(+ D.)12,0(+ 6.下列各组命题中，满足“q p ∨为真，q p ∧为假，p ⌝为真”的是（）A.N p ∈0:，q ：若A B A = ，则B A ⊆.B.p ：若ac b =2，则a ，b ，c 成等比数列；q ：y=cosx 在]23,2[ππ上是减函数C.p ：若0>⋅b a ，则a 与b 的夹角为锐角；q ：当a<-1时，不等式01222>+-x x a 恒成立 D.p ：在极坐标系中，圆)4cos(2πθρ-=的圆心的极坐标是)4,1(π-；q ：抛物线24x y =的焦点坐标是(0,1)7.在数列{}n a 中，11=a ，01>-+n n a a ，且01)(2)(121=++--++n n n n a a a a ，猜想=n a （）A.nB.2nC.3n D. n n -+3 8.抛物线2x y -=上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（） A.34 B.57 C.58D.3 9.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A.(1,2) B.(1,2] C.),2[+∞ D. ),2(+∞10.设过点P(x,y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=且1=⋅AB OQ ，则点P 的轨迹方程是（）A.)0,0(123322>>=+y x y x B.)0,0(123322>>=-y x y x C.)0,0(132322>>=+y x y x D.)0,0(132322>>=-y x y x 11.过抛物线241y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，若4=AF ，则△AMB 的面积为（）A.335 B.337 C.338 D.33第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线y=2x+m 与曲线243x x y -+=有公共点，则m 的取值范围是_______. 14.极坐标方程0242cos 522=-+ρθρ所表示的曲线的焦距为________.15.已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则eB C A 1sin sin sin =+，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ．双曲线的离心率为e ，则有________.16.在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线⎩⎨⎧+=+=θθsin 4cos 3:1y x C （θ为参数）和曲线1:2=ρC 上，则AB 的最小值为_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分） 已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=tt tx 312（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是θθρcos 4sin 2+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程和参数方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的弦长. 18.（本小题12分）已知三点)2,5(P 、)0,6(1-F 、)0,6(2F .（1）求以1F ，2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y=x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程. 19.（本小题12分）设命题P ：实数x 满足035222<--a ax x ，其中a>0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧<-->021sin 22x x x .（1）若a=2，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 20.（本小题12分）将圆122=+y x 上每一点的横坐标都伸长为原来的3倍，纵坐标都伸长为原来的2倍，得到曲线C.（1）求曲线C 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的极坐标为)32,2(π，且点P 关于直线65πθ=的对称点为点Q ，设直线PQ 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的垂直平分线的极坐标方程.21.在平面直角坐标系xOy 中，过定点C(0,p)作直线与抛物线)0(22>=p py x 相交于A ，B 两点.（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线(m+3)x+(1-2m)y-m-3=0)(R m ∈恒过的定点F 为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F 的最大距离为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且M ，N 均在椭圆C 上，定点T(4,0)，直线MF 与直线NT 交于点S.①求证：点S 恒在椭圆C 上；②求△MST 面积的最大值.江西师大附中高二数学（理科）12月考试参考答案一、选择题1-5ABBBA 6-10CBACC 11-12CB 二、填空题13.]152,5[-- 14.102 15.eBC A 1sin sin sin =- 16.3 三、解答题17.解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为θρθρρcos 4sin 22+=， 由222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y 得x y y x 4222+=+， ∴曲线C 的直角坐标方程为5)1()2(22=-+-y x .参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x （α为参数）......................6分（2）解法一：∵直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=ty tx 312,∴直线l 的普通方程是01323=---y x . ∴曲线C 表示圆心为(2,1)，半径为5的圆，圆心(2,1)到直线l 的距离为12132132=---，∴直线l 被圆C 截得的弦长为41)5(22=-. .................12分解法二：将⎩⎨⎧+-=+=ty t x 312代入5)1()2(22=-+-y x 得，013442=--t t ，设直线l 与曲线C 的交点对应的参数分别为1t ，2t ，则321=+t t ，4121-=t t ， 又∵直线l 的参数方程可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=)2(231)2(212t y t x ，∴直线l 被曲线C 截得的弦长为41324)(2222122121=+⨯=-+=-t t t t t t . 12分18.解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，其半焦距c=6，56212112222221=+++=+=PF PF a ，∴53=a ，9222=-=c a b.由题意知，半焦距61=c ，542121122222211=+-+=''-''=F P F P a .521=a ，162036212121=-=-=a c b .∴所求双曲线的标准方程为1162022=-x y . ................12分 19.解：（1）若a=2，则035222<--a ax x 可化为0652<--x x ，解得：-1<x<6.由⎩⎨⎧<-->021sin 22x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧<<-∈+<<+21,65262x Z k k x k ππππ， ∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<26x xπ. 若q p ∧为真，则p ，q 均为真，∴由⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-2661x x π可得26<<x π. ...............6分（2）解035222<--a ax x 得：a x a 321<<-.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则⎩⎨⎧≠⇒qp pq .设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=a x a x A 321，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=26x x B π，则A B ≠⊂，∴23≥a ，即32≥a ，∴实数a 的取值范围是),32[+∞. ...............12分20.解：（1）设),(y x ''为曲线C 上的点，圆上的点的坐标为(x,y)，依题意，得⎩⎨⎧='='y y x x 23，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x 2131，代入122=+y x 中，得14322='+'y x . ∴曲线C 的方程为14322=+y x ，参数方程为ααα(sin 2cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数）. .................6分 （2）∵点P )32,2(π的直角坐标为)3,1(-，直线65πθ=的直角坐标方程为x y 33-=. ∴直线PQ 的斜率为3，直角坐标方程为)1(33+=-x y ，即)2(3+=x y .设A ),(11y x ，B ),(22y x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=143)2(322y x x y 得02436132=++x x .∴133621-=+x x ，∴AB 的中点的坐标为)1338,1318(-. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为)1318(331338+-=-x y ，即01363=-+y x ，化为极坐标方程是0136sin 3cos =-+θρθρ. ................12分 21.解：解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N(0,-p)，可设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为y=kx+p ，与py x 22=联立得⎩⎨⎧+==pkx y py x 22.消去y 得02222=--p pkx x ，由韦达定理得pk x x 221=+，2212p x x -=. ∴2122121214)(221x x x x p x x p x x p S S S ACN BCN ABN -+=-=-⋅=+=△△△ 228422222+=+=k p p k p p ，∴当k=0时，222(p S m in ABN =）△. ..................6分（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q ，PQ 的中点为H ，设O 'H ⊥PQ ，Q '点的坐标为)2,2(11p y x +， ∵221212121)(2121p y p y x AC P O +=-+=='， p y a p y a H O --=+-='112212， ∴)()2()2(41)(41121221222a p a y pa p y a p y H O P O PH-+-=---+='-'=， ∴)]()2[(4)2(122a p a y p a PH PQ -+-==.令02=-p a ，得2pa =，此时p PQ =为定值，∴满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线. ......12分解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=21222+⋅+=k k p ，又由点到直线的距离公式212kp d +=，∴2212212212122222+=+⋅++⋅=⋅⋅=k p k p k k p AB d S ABN △， ∴当k=0时，2min 22)(p S ABN =△. .................6分 （2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为0))(())(0(11=-----y y p y x x x ， 将直线方程y=a 代入得0))((112=--+-y a p a x x x ， 则)]()2[(4))((41121a p a y pa y a p a x -+-=---=∆. 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为),(33y x P ，),(44y x Q ， 则有)()2(2)]()2[(41143a p a y pa a p a y p a x x PQ -+-=-+-=-=.令02=-p a ，得2pa =，此时p PQ =为定值， ∴满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线. ......12分22.解：直线(m+3)x+(1-2m)y-m-3=0)(R m ∈可化为m(x-2y-1)+3x+y-3=0，由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，∴F(1,0)，∴c=1，又a+c=3，∴a=2，∴3222=-=c a b .∴椭圆的方程为13422=+y x . ...................4分 （2）①设直线MN 的方程为x=s ，则可设M(s,t)，N(s,-t)，且124322=+t s .直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为)4(4---=x s ty . 联立求得交点)523,5285(---s ts s S ，代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：124322=+t s .∴点S 恒在椭圆C 上. ............................8分 ②直线MS 过点F(1,0)，设其方程为x=my+1，),(11y x M ，),(22y x S .联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， ∴436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y . 2222122112)431184)(23321++=-+=-⨯=m m y y y y y y S MST（△. 令)1(12≥+=u m u ，则691)13()43(12222++=+=++u u u u m m .∵u u 19+在),1[+∞上是增函数，∴uu 19+的最小值为10. ∴294118=⨯≤MST S △. ......................12分。
2016-2017学年江西师大附中、临川一中联考高三(上)1月月考数学试卷(文科)
2016-2017学年江西师大附中、临川一中联考高三（上）1月月考数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若复数z=1+i1−i ，z.为z的共轭复数，则(z.)2017=（）A.iB.-iC.-22017iD.22017i2.已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|4−xx+1≤0}，那么集合A∩（∁U B）=（）A.[-2，4）B.（-1，3]C.[-2，-1]D.[-1，3]3.设a=log 12，b=log 13，c=（13）0.3，则（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c4.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A.2 5B.12C.34D.565.以下四个命题中，正确的个数是（）①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；②命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x＜0”；③在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件；④命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件．A.0B.1C.2D.36.已知f（x）为奇函数，函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，若g（1）=4，则f（-3）=（）A.2B.-2C.-1D.47.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体表面积为（）A.10+5B.7+35C.8+5D.88.按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A.6B.21C.156D.2319.已知数列{a n}、{b n}满足b n=log2a n，n∈N+，其中{b n}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=（）A.2016B.2017C.log22017D.2017210.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点AP=λAB，若CP⋅AB≥PA⋅PB，则λ的最小值是（）A.1B.2−22C.22D.211.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π2．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则|AB||MN|的最小值是（）A.3B.32C.2D.212.已知函数f（x）=kx（1e ≤x≤e2），与函数g(x)=(1e)x2，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=x对称，则实数k的取值范围是（）A.[-1e ，e] B.[-2e，2e] C.（-2e，2e） D.[-3e，3e]二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若函数f（x）=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是______ ．14.设变量x、y满足约束条件y≤xx+y≥2y≥3x−6，则目标函数z=2x+y的取值范围是______ ．15.已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为______ ．16.已知G点为△ABC的重心，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足BG⊥CG，若a2cosA=λbc则实数λ= ______ ．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知向量a=（cosx，-1），b=（3sinx，-12），函数f(x)=(a+b)⋅a−2．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点(A，12)，b、a、c成等差数列，且AB•AC=9，求a的值．18.为了了解大学生观看某电视节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表，若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有6人．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢看该节目与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜欢看该节目的10位男生中，A 1、A 2、A 3、A 4、A 5还喜欢看新闻，B 1、B 2、B 3还喜欢看动画片，C 1、C 2还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率． 下面的临界值表供参考：（参考公式：K 2=n (ac −bd )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d ）19.如图，ABC-A 1B 1C 1是底面边长为2，高为 32的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ，设C 1P=λC 1A 1（0＜λ＜1）． （1）证明：PQ ∥A 1B 1；（2）当CF ⊥平面ABQP 时，在图中作出点C 在平面ABQP 内的正投影F （说明作法及理由），并求四棱锥CABPQ 表面积．20.已知右焦点为F 的椭圆M ：x 2a2+y 23=1（a ＞ 3）与直线y = 7相交于P ，Q 两点，且PF ⊥QF ．（1）求椭圆M 的方程：（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．21.已知函数f （x ）=x +alnx ，在x =1处的切线与直线x +2y =0垂直，函数g （x ）=f （x ）+12x 2-bx ．（1）求实数a 的值；（2）设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，记t =x 1x 2，若b ≥133， ①t 的取值范围；②求g （x 1）-g （x 2）的最小值．22.在平面直角坐标系x O y 中，已知曲线C ： x = 3cosαy =sinα（a为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 22ρcos (θ+π4)=−1．（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点M （-1，0）且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．23.（1）设函数f （x ）=|x -2|+|x +a |，若关于x 的不等式f （x ）≥3在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）已知正数x ，y ，z 满足x +2y +3z =1，求3x +2y +1z 的最小值．。
【江西师大附中】2017届高三上学期11月月考数学(文科)试卷 -答案
）()min f x =(1)1()2a a -=--=+．解：）m n ⊥，(tan m A =，(,2)n b c =，0m n ∴=(tan tan )2b A B +-sin sin cos cos B c A B 又A ）S又a 2(a a +-+54+++AEOB O =，．AE 的平行线交CFG 为过点DOE △∽△CFOB H 于，连结BH PO OB =，解得3311ABCE BCF PO S S GH -梯△形 2．125(1)([PA PB x x m x ==+-4江西师大附中2017届高三上学期11月月考数学试卷（文科）解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B且属于A的元素构成，所以用集合表示为A∩B．A={x∈N|y=}={x∈N|7x﹣x2﹣6≥0}={x∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}，B={x∈Z|﹣1＜x≤3}={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，其真子集的个数为23﹣1=72．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，3．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．4．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，m与n平行或异面；在②中，由直线与平面垂直的性质得m⊥n；在③中，m与n相交、平行或异面；在④中，由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，知：在①中，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确；在③中，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故④正确．5．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简得到f（x）=sin（2x﹣）﹣，再根据对称轴的定义即可求出．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，则其对称轴为2x﹣=kπ+，k∈Z，∴x=+，k∈Z，当k=0时，x=，∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=，6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱截去一个三棱锥，剩余一个四棱锥的几何体，可得几何体的体积为：=2．7．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB′与BC′所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设AA′=2AB=2，则A（0，0，0），B′（，，2），B（，，0），C′（0，1，2），=（，，2），=（﹣，，2），设异面直线AB′与BC′所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用正六边形的性质和平面向量数量积的定义，即可得出结果．【解答】解：正六边形ABCDEF的边长为1，点G是边AF的中点，∴=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=1×1×cos120°+1×1×cos60°+×1×1×cos60°+×1×1×cos0°=．9．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．10．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．|AB|=10．当PA⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100，利用|PA|+|PB|≤即可得出|PA|+|PB|的最大值．【解答】解：由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．∵|AB|==10．∴当PA⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100∴|PA|+|PB|≤=10当且仅当|PA|=|PB|=5时取等号．∴|PA|+|PB|的最大值为5．11．【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜4912．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值．【分析】根据g（m）=f（n）=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e，故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+2）2=25，∴圆心坐标为（2，﹣2），半径r=5，∴圆心到直线3x+4y+17=0的距离d==3则|AB|=2=8．14．【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V水+V球=V容，求出圆锥内水平面高．即可得出结论．器【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=r∴V球=，V PC==3πr3又设HP=h，则EH=h∴V水==∵V水+V球=V PC即+=3πr3，∴h3=15r3，容器中水的体积与小球的体积之比为：=5：4．15．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于数列{b n}为等比数列且，可得b1…•b14=•…•=a15=，代入即可得出答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列且，∴b1b2…b14=•…•=a15==27=128．16．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题6小题，共70分．17．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值，求解即可．（2）利用f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，求解即可．【解答】解：（1）当a=3时，x＜﹣1，不等式可化为﹣3x+1≥6，∴x≤﹣；﹣1≤x≤3时，不等式可化为x+5≥6，∴x≥1，∴1≤x≤3；当x＞3时，3x﹣1≥6，∴x≥，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥1}；（2）∵f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，∴，∴a≤﹣5或a≥3．18．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知可=0，进而由同角三角函数基本关系式可得cosA=，结合A的范围，进而得到∠A的大小；（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理可求b2+c2=25，联立即可解得b，c的值．【解答】解：（1）∵，=（tanA+tanB，﹣tanB），=（b，2c），∴=0，可得：b（tanA+tanB）﹣2ctanB=0，∴=，可得：cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵S△ABC=bcsinA==3，∴bc=12，①又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣12=13，可得：b2+c2=25，②∴联立①②解得：，或．19．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．（2）由b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+4==（n+1）2．（2）证明：b n===，∴T n=+++…++=＜=．20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PO⊥OB，PO⊥AE，由此能证明PO⊥平面ABCE．（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，能得到所求的平面．（3）所求几何体的体积为V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在图1中，AB=4，AD=2，则BD=10，又AD2=DO•BD，∴DO=2，OB=8，在图2中，PO=DO=2，PO2+OB2=22+82=68=PB2，∴PO⊥OB，又∵PO⊥AE，AE∩OB=O，∴PO⊥平面ABCE．解：（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，则平面CFG为过点C与平面PAE平行的平面．（3）在图1中，∵△DOE∽△DCB，∴DE=5，∴S△ADE=5，S梯形ABCE=S ABCD﹣S△ADE=35，S△BCF=S△ADE=5，设CF∩OB于H，连结GH，则，解得GH=，∴所求几何体的体积为：V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF===．21．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）由题意可知：将直线y=x+1代入抛物线方程，由△=0，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）求得M坐标，|PM|2=2m2，求得直线的斜率，设直线方程为y=2x+m（m≠0），代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示可知：丨PA丨丨PB丨=•=m2，则2m2=m2λ，即可求得常数λ．【解答】解：（1）由题意可知：，整理得：x2+2（1﹣p）x+1=0，由抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x﹣y+1=0相切，∴△=0，即4（1﹣p）2﹣4=0，解得：p=2或p=0（舍去），∴抛物线方程为：y2=4x；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）可知：M（1，2），则k OM=2，设直线l′方程为y=2x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则P（1﹣m，2﹣m），|PM|2=2m2，则，整理得：4x2+4（m﹣1）x+m2=0，由△＞0，即16（m﹣1）2﹣16m2＞0，解得：m＜且m≠0，由韦达定理可知：x1+x2=1﹣m，x1•x2=，由丨PA丨丨PB丨=•=5[x1•x2+（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2]=m2，整理得：2m2=m2λ，解得：λ=，∴存在常数λ=，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立．22．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．（2）f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，根据函数零点定理验证即可．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0），由f′（x）=0，得x1=1，x2=①当0＜＜1，即0＜a＜2，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得＜x＜1，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；②当=1，即a=2时，f′（x）=≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；③当＞1，即a≥2时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，）；④当≤0，即a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．（2）∵f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，当a＞2时，函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，），若x∈（0，），f（x）≤f（1）=﹣a﹣1＜0，无零点，若x∈（，+∞），则f（）＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，有一个零点，则当a＞2时，f（x）有唯一的零点，当0＜a＜2函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；若x∈（0，1），f（x）≤f（）=a（lna﹣﹣1﹣ln2），有lna＜ln2＜1，则lna﹣﹣1﹣ln2＜0，则f（x）＜0，即f（x）在（0，1）内无零点，若x∈（1，+∞），则＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，即f（x）在[1，+∞）有一个零点，则当0＜a＜2时，f（x）有唯一的零点，综上所述函数f（x）在定义域内有唯一的零点。
【江西师大附中】2017届高三上学期11月月考数学(文科)试卷 -答案
）()min f x =(1)1()2a a -=--=+）m n ⊥，(tan m A =，(,2)n b c =，0m n ∴=可得：(tan b A sin sin B c 又A ）S又a 2(a a +-+54+++AEOB O =，．AE 的平行线交CFG 为过点CFOB H 于，连结GH BH PO OB =，解得3311ABCE BCF PO S S GH -梯△形 452． 125(1)([PA PB x x m x ==+-254m λ=，江西师大附中2017届高三上学期11月月考数学试卷（文科）解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B且属于A的元素构成，所以用集合表示为A∩B．A={x∈N|y=}={x∈N|7x﹣x2﹣6≥0}={x∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}，B={x∈Z|﹣1＜x≤3}={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，其真子集的个数为23﹣1=72．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，3．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．4．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，m与n平行或异面；在②中，由直线与平面垂直的性质得m⊥n；在③中，m与n相交、平行或异面；在④中，由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，知：在①中，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确；在③中，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故④正确．5．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简得到f（x）=sin（2x﹣）﹣，再根据对称轴的定义即可求出．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，则其对称轴为2x﹣=kπ+，k∈Z，∴x=+，k∈Z，当k=0时，x=，∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=，6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱截去一个三棱锥，剩余一个四棱锥的几何体，可得几何体的体积为：=2．7．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB′与BC′所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设AA′=2AB=2，则A（0，0，0），B′（，，2），B（，，0），C′（0，1，2），=（，，2），=（﹣，，2），设异面直线AB′与BC′所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用正六边形的性质和平面向量数量积的定义，即可得出结果．【解答】解：正六边形ABCDEF的边长为1，点G是边AF的中点，∴=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=1×1×cos120°+1×1×cos60°+×1×1×cos60°+×1×1×cos0°=．9．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．10．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．|AB|=10．当PA ⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100，利用|PA|+|PB|≤即可得出|PA|+|PB|的最大值．【解答】解：由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．∵|AB|==10．∴当PA⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100∴|PA|+|PB|≤=10当且仅当|PA|=|PB|=5时取等号．∴|PA|+|PB|的最大值为5．11．【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜4912．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值．【分析】根据g（m）=f（n）=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e，故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+2）2=25，∴圆心坐标为（2，﹣2），半径r=5，∴圆心到直线3x+4y+17=0的距离d==3则|AB|=2=8．14．【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V水+V球=V容，求出圆锥内水平面高．即可得出结论．器【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=r∴V球=，V PC==3πr3又设HP=h，则EH=h∴V水==∵V水+V球=V PC即+=3πr3，∴h3=15r3，容器中水的体积与小球的体积之比为：=5：4．15．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于数列{b n}为等比数列且，可得b1…•b14=•…•=a15=，代入即可得出答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列且，∴b1b2…b14=•…•=a15==27=128．16．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题6小题，共70分．17．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值，求解即可．（2）利用f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，求解即可．【解答】解：（1）当a=3时，x＜﹣1，不等式可化为﹣3x+1≥6，∴x≤﹣；﹣1≤x≤3时，不等式可化为x+5≥6，∴x≥1，∴1≤x≤3；当x＞3时，3x﹣1≥6，∴x≥，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥1}；（2）∵f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，∴，∴a≤﹣5或a≥3．18．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知可=0，进而由同角三角函数基本关系式可得cosA=，结合A的范围，进而得到∠A的大小；（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理可求b2+c2=25，联立即可解得b，c的值．【解答】解：（1）∵，=（tanA+tanB，﹣tanB），=（b，2c），∴=0，可得：b（tanA+tanB）﹣2ctanB=0，∴=，可得：cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵S△ABC=bcsinA==3，∴bc=12，①又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣12=13，可得：b2+c2=25，②∴联立①②解得：，或．19．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．（2）由b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+4==（n+1）2．（2）证明：b n===，∴T n=+++…++=＜=．20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PO⊥OB，PO⊥AE，由此能证明PO⊥平面ABCE．（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，能得到所求的平面．（3）所求几何体的体积为V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在图1中，AB=4，AD=2，则BD=10，又AD2=DO•BD，∴DO=2，OB=8，在图2中，PO=DO=2，PO2+OB2=22+82=68=PB2，∴PO⊥OB，又∵PO⊥AE，AE∩OB=O，∴PO⊥平面ABCE．解：（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，则平面CFG为过点C与平面PAE平行的平面．（3）在图1中，∵△DOE∽△DCB，∴DE=5，∴S△ADE=5，S梯形ABCE=S ABCD﹣S△ADE=35，S△BCF=S△ADE=5，设CF∩OB于H，连结GH，则，解得GH=，∴所求几何体的体积为：V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF===．21．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）由题意可知：将直线y=x+1代入抛物线方程，由△=0，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）求得M坐标，|PM|2=2m2，求得直线的斜率，设直线方程为y=2x+m（m≠0），代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示可知：丨PA丨丨PB丨=•=m2，则2m2=m2λ，即可求得常数λ．【解答】解：（1）由题意可知：，整理得：x2+2（1﹣p）x+1=0，由抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x﹣y+1=0相切，∴△=0，即4（1﹣p）2﹣4=0，解得：p=2或p=0（舍去），∴抛物线方程为：y2=4x；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）可知：M（1，2），则k OM=2，设直线l′方程为y=2x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则P（1﹣m，2﹣m），|PM|2=2m2，则，整理得：4x2+4（m﹣1）x+m2=0，由△＞0，即16（m﹣1）2﹣16m2＞0，解得：m＜且m≠0，由韦达定理可知：x1+x2=1﹣m，x1•x2=，由丨PA丨丨PB丨=•=5[x1•x2+（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2]=m2，整理得：2m2=m2λ，解得：λ=，∴存在常数λ=，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立．22．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．（2）f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，根据函数零点定理验证即可．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0），由f′（x）=0，得x1=1，x2=①当0＜＜1，即0＜a＜2，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得＜x＜1，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；②当=1，即a=2时，f′（x）=≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；③当＞1，即a≥2时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，）；④当≤0，即a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．（2）∵f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，当a＞2时，函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，），若x∈（0，），f（x）≤f（1）=﹣a﹣1＜0，无零点，若x∈（，+∞），则f（）＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，有一个零点，则当a＞2时，f（x）有唯一的零点，当0＜a＜2函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；若x∈（0，1），f（x）≤f（）=a（lna﹣﹣1﹣ln2），有lna＜ln2＜1，则lna﹣﹣1﹣ln2＜0，则f（x）＜0，即f（x）在（0，1）内无零点，若x∈（1，+∞），则＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，即f（x）在[1，+∞）有一个零点，则当0＜a＜2时，f（x）有唯一的零点，综上所述函数f（x）在定义域内有唯一的零点。
【精选】江西省2016-2017学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案-数学
江西省樟树中学2018届高二（上）第一次月考理科数学试卷考试范围：必修1、2、4、5 考试时间：16.09.18一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内,每小题5分，共60分） 1. 设集合)}32lg(|{},031|{-==<--=x y x B x x x A ，则=B A （ ） A ．}233|{-<<-x x B ．}1|{>x x C ．}3|{>x x D ．}323|{<<x x 2. 已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5 3. 已知数列}{n a 满足，,11=a ,22=a ,21--=n n n a a a ),3(*∈≥N n n .则2016a = ( )A.1B.2C.21 D.20162-4. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为（ ）A ．72B ．80C ．86D ．92 5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-,466a a +=-，则当n S 取最小值时，n =（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 6.函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移3π个单位后所得图象对应的解析式为（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．cos 2y x =-C ．sin2xy = D ．cos 2y x = 7. 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若()3sin cos sin 13cos B CC B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2：3B ．4：3C ．3：1D ．3：28.已知M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=30BAC ∠=，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积 分别为12、x 、y ，则14x y +的最小值是（ ）20.81.16.9.D C B A9. 若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．3[22-，）B ．322-（，）C ．3[32-，）D ．332-（，）10. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ,且222()S a b c =+-, 则tan C 等于（ ） A.34 B.43 C. 43- D.34- 11. 设,x y 满足约束条件231+1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2,则ab 的最大值为（ ）A ．1 B ．12 C ．14 D ．1612. 设等差数列{}n a 满足2222366345sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+，公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围（ ）A ． 74(,)63ππ B ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43(,)32ππD ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13.过点()2,1且与直线340x y ++=垂直的直线方程为____________．14.在ABC∆中，60,B AC ==BC AB +的最大值为____________．15.四棱锥SABCD -的底面是边长为的正方形，且SA SB SC SD ====，则过点,,,,A B C D S 的球的体积为_____________.16.给出以下结论：①直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，若12l l ⊥，则12||90αα-=；②对任意角θ，向量1(cos ,sin )e θθ=与2(cos sin )e θθθθ=-+的夹角为3π；③若ABC ∆满足cos cos a bB A=，则ABC ∆一定是等腰三角形； ④对任意的正数,a b ，都有12a ba b+<≤+.其中错误结论的编号是_____________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 17. （本小题满分10分） 已知函数2()3f x x x a =++ （1）当2a =-时，求不等式()2f x >的解集;（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3AB AC ⋅=．（1）求ABC ∆的面积； （2）若6b c +=，求a 的值．19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，2AD AB =，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点． (1)证明：//EF 平面PAB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明⊥BO 平面PAC ；若不存在，请说明理由．20. （本小题满分12分）如图，某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造“绿地ABD ∆”，其中AB a =，BD 长可根据需要进行调节（BC 足够FE D PA CB长），现规划在ABD ∆内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，设种草的面积1S 与种花的面积2S 的比12S S 为y . （1）设角DAB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系； （2）当BE 为多长时，y 有最小值，最小值是多少？21. （本小题满分12分） 已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过定点(1,0)A .（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 交于,P Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时l 的直线方程.22. （本小题满分12分） 设数列{}n a 满足21(63)(21)421(2)n n n a n a n n n --=++-+≥，12a =，设21n n a nb n -=+. （1）求2a ；（2）求证：{}n b 是等比数列； （3）设{}n a 的前n 项和为n S ，求2021()3nn S n n n +++的最小值.江西省樟树中学2018届高二（上）第一次月考理科数学试卷答案1-5 DDCDA 6-10 BCCAC 11-12 DC 13. 350x y --= 14. 32 15.3500π16. ③ 17.解：（1）当2a =-时，不等式()2f x >可化为2340x x +->解得{|41}x x x <->或 ……………4分（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 则23a x x >--在[1,)x ∈+∞恒成立， 设2()3g x x x =--则()g x 在区间[1,)x ∈+∞上为减函数，当1x =时()g x 取最大值为4-， ∴a 得取值范围为 {|4}a a >-………………………10分18.解：（Ⅰ）因为cos2A =，所以23cos 2cos 125A A =-=………………………2分 又0A π<<，所以4sin 5A =，由3AB AC ⋅=，得cos 3bc A =，所以5bc =………4分 故ABC ∆的面积1sin 22ABC S bc A ∆==……………………………………………………6分 （Ⅱ）由5bc =，且6b c +=得51b c =⎧⎨=⎩或15b c =⎧⎨=⎩…………………………………………9分由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，故a =……………………………12分19. 解：（1）21tan ,tan ((0,))22ABDBD a Sa πθθθ==∈………………………2分 设正方形BEFG 的边长为t,tan ,1tan FG DG a t AB DB θθ==+ ………………………4分 2221222tan (1tan )11,1(tan )(1tan )2tan 2tan s a S y s θθθθθθ+===-=++(0,)2πθ∈………………8分 (2)tan 1122tan y θθ=+≥，当且仅当tan 1θ=时，等号成立； 此时 2aBE =，y 最小值为1．………………12分20. （1）证明：（1）∵CD EF //，AB CD //，∴AB EF //，又∵⊄EF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ， ∴//EF 平面PAB ． ……………………6分(2) 在线段AD 上存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ， 此时点O 为线段AD 的四等分点，且AD AO 41=， …………………… 8分∵⊥PA 底面ABCD ，∴BO PA ⊥，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△ACD ，∴BO AC ⊥， ········ 10分又∵A AC PA =，∴⊥BO 平面PAC ． ··················12 21.解：解：（Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程，得()()22344x y -+-= ∴圆心()3,4C，半径2r =…………………………………… 2分①若直线l 的斜率不存在，则直线1x =，符合题意………………3分 ②若直线l 斜率存在，设直线:(1)l y k x =-，即0kx y k --=. ∵l 与圆C 相切. ∴圆心()3,4C到已知直线l 的距离等于半径22 …………4分解得 34k =. ………………………………………………… 5分 ∴综上，所求直线方程为1x =或3430x y --=…………………………6分（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为0kx y k --=. 则圆心到直线l 的距离d =………………………………………7分又∵CPQ ∆面积12S d =⋅⋅==∴当d =时，max 2S =…………………………………………………10分由d ==，解得17k k ==或……………………………………11分∴直线方程为10x y --=或770x y --=…………………………………12分 22. 解：（1）2239a =; ………………………2分D（2）由21(63)(21)421n n n a n a n n --=++-+得到21214216363n n n n n a a n n -+-+=+--，于是2211121421212121(21)(1)636363636363n n n n n n n n n n n n n a n a n a a n n n n n n ---+-++-+++-+--=+-=+=+------1(1)121321n n a n a n n n ----⇒=⨯+-，即113n n b b -=， 又111133a b -==，所以{}n b 是等比数列； ………………………6分 （3）由（1）知1()3nn b =，所以1()213n n a n n -=+，所以1(21)()3n n a n n =+⨯+.设,n n Q R ，分别是1{(21)()}3nn +⨯，{}n 的前n 项和，于是n n n S Q R =+，211135()(21)()333n n Q n =⨯+⨯+++⨯，231111113()5()(21)()(21)()33333n n n Q n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯，两式相减可得：2312111112()2()2()(21)()33333n n n Q n +=+⨯+⨯++⨯-+⨯121111()1141312()(21)()(24)()1333313n n n n n -++-=+⨯⨯-+⨯=-+⨯-所以12(2)()3nn Q n =-+⨯，。
江西师大附中2016-2017届高三上学期月考数学(文)试题及答案
江西师大附中高三数学（文）月考试卷命题人：欧阳晔审题人：刘婷 2016.11第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3B.4C.7D.82.命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A.∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB.∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 03.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织( )尺布.A.12B.815 C.1631 D.16294.已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，给出以下四个命题：①若//,//,m n αβ且//αβ,则//m n ; ②若,//,m n αβ⊥且//,αβ则m n ⊥; ③若//,,m n αβ⊥且αβ⊥,则//m n ; ④若,,m n αβ⊥⊥且αβ⊥,则m n ⊥. 其中正确命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.45.已知函数2()sin cos f x x x x =，则函数()f x 图像的一条对称轴是( ) A.512x π=B.3x π=C.6x π=D.12x π=6.如图是某几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是( )A.4B.6C.D.俯视图1 1 主视图3左视图7.在正三棱柱ABC A B C '''-中，若2AA AB '=，则异面直线AB '与BC '所成的角的余弦值为( ) A.0 B.38 C.35 D.7108.如图正六边形ABCDEF 的边长为1，点G 是边AF 的中点，则BD BG ⋅=( )A.1B. 54C.34D.89.已知21()sin()42f x x x π=++,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A B C D10.设k R ∈，动直线1:0l kx y k -+=过定点A ，动直线2:580l x ky k +--=过定点B ，并且1l 与2l 相交于点P ，则PA PB +的最大值为( )A.B.C.D.11.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，若对任意,x y R ∈,不等式22(621)(8)0f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时,22x y +的取值范围是( ) A.(3,7)B. C.(9,49)D.(13,49)12.已知函数1()ln22x f x =+,2()x g x e -=,若()()g m f n =成立,则n m -的最小值为 A.1ln 2- B.ln 2C.3D.23e -第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线34170x y ++=与圆2244170x y x y +-+-=相交于A ,B ，则AB =_______.14.已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水，现放入一个小球后，水面恰好淹过小球（水面与小球相切），且圆锥的轴截面是等边三角形，则容器中水的体积与小球的体积之比为_______.15.已知数列{}n a 的首项为1,数列{}n b 为等比数列,且169,2n n na b b b a +=⋅=,则15a =_______.16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品，甲种设备每台每天能生产A 类产品5件、B 类产品10件，乙种设备每台每天能生产A 类产品6件、B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费300元.现在该公司每天至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则每天所需租赁费至少为_______元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,本大题6小题，共70分. 17.（本小题10分）已知函数()21f x x a x =-++. (1)当3a =时,求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()4f x ≥对于任意x R ∈都恒成立,求实数a 的取值范围.18.（本小题12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边,向量(tan tan ,tan )m A B B =+- ，(,2)n b c =，且m n ⊥ .(1)求角A 的大小;(2)若a =ABC ∆的面积为,b c 的值.19.（本小题12分）已知数列{}n a 满足：14a =，123(*)n n a a n n N +-=+∈. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若211(*)n n n b n N n a ++=∈，n T 是数列{}n b 的前n 项的和，求证:516n T <.20.（本小题12分）如图1所示，在矩形ABCD中，AB =AD =BD 是对角线，过A 点作AE BD ⊥，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使点D 到达点P 的位置(图2)，且PB =(1)求证:PO ⊥平面ABCE ;(2)过点C 作一平面与平面P AE 平行，作出这个平面，写出作图过程; (3)在(2)的结论下，求出四棱锥P -ABCE 介于这两平行平面间部分的体积.21.（本小题12分）已知抛物线C :22(0)y px p =>与直线:10l x y -+=相切于点M . (1)求抛物线C 的方程;(2)作直线l '与OM 平行(O 为原点)且与抛物线C 交于A ,B 两点，又与直线l 交于点P ，是否存在常数λ，使得2PM PA PB λ=成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22.（本小题12分）已知函数2()ln (2)()f x x a x a x a R =+-+∈. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当()f x 有极大值与极小值时，求证函数()f x 在定义域内有唯一的零点.AB C D E O 图1图2ABCPE O答案1.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3B.4C.7D.8答案:C2.命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A.∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB.∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0 答案:D3.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A.12 B.815 C.1631 D.1629答案:D4.已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，给出以下四个命题： ①若//,//,m n αβ且//αβ,则//m n ; ②若,//,m n αβ⊥且//,αβ则m n ⊥; ③若//,,m n αβ⊥且αβ⊥,则//m n ; ④若,,m n αβ⊥⊥且αβ⊥,则m n ⊥. 其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案:B5.已知函数2()sin cos f x x x x =，则函数()f x 图像的一条对称轴是( ) A.512x π=B.3x π=C.6x π=D.12x π= 答案:A6.如图是某几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是( )3A.4B.6C.D.答案:C7.在正三棱柱ABC A B C '''-中,若2AA AB '=,则异面直线AB '与BC '所成的角的余弦 值为( ) A.0 B.38 C.35 D.710答案:D8.如图正六边形ABCDEF 的边长为1，点G 是边AF 的中点，则BD BG ⋅=( )A.1B. 54C.34答案：C 9.已知21()sin()42f x x x π=++,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是( )答案：A10.设k R ∈，动直线1:0l kx y k -+=过定点A ，动直线2:580l x ky k +--=过定点B ，并且1l 与2l 相交于点P ，则PA PB +的最大值为( )A.B.C.D.答案:A11.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，若对任意,x y R ∈,不等式22(621)(8)0f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时,22x y +的取值范围是( )A.(3,7)B. C.(9,49) D.(13,49) 答案：DABCD O O O O xxxxyyyy12.已知函数1()ln 22x f x =+,2()x g x e -=,若()()g m f n =成立,则n m -的最小值为( )A.1ln 2-B.ln 2C.3D.23e - 答案:B13.已知直线34170x y ++=与圆2244170x y x y +-+-=相交于A ,B ，则AB =_______.答案：814.已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水，现放入一个小球后，水面恰好淹过小球（水面与小球相切），且圆锥的轴截面是等边三角形，则容器中水的体积与小球的体积之比为_________. 答案:5:415.已知数列{}n a 的首项为1,数列{}n b 为等比数列,且169,2n n na b b b a +=⋅=,则15a =______.答案:12816.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品，甲种设备每台每天能生产A 类产品5件、B 类产品10件，乙种设备每台每天能生产A 类产品6件、B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费300元.现在该公司每天至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则每天所需租赁费至少为________元. 答案:230017.已知函数()21f x x a x =-++. (1)当3a =时,求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()4f x ≥对于任意x R ∈都恒成立,求实数a 的取值范围.解: (1)当3a =时,31(1)()3215(13)31(3)x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪->⎩, 当1x <-时,53163x x -+≥⇒≤-满足. 当13x -≤≤时,561x x +≥⇒≥,则13x ≤≤.当3x >时,73163x x -≥⇒≥,则3x >. 综上,原不等式的解集为5(,][1,)3-∞-+∞(2)因为min ()min{(1),()}f x f f a =-,则(1)14145()214f a a a f a a ⎧-=--≥⎪⇒+≥⇒≤-⎨=+≥⎪⎩或3a ≥, 所以实数a 的取值范围是(,5][3,)-∞-+∞ .18.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边,向量(tan tan ,tan )m A B B =+-,(,2)n b c =,且m n ⊥ .(1)求角A 的大小;(2)若a =ABC ∆的面积为求,b c 的值.解: (1)因为m n ⊥ ，则0m n ⋅= ，即(tan tan )2tan 0b A B c B +-=,s i n s i n 2s i n s i n 1c o s c o s c o s c o s 2B C B C A A B B =⇒=， 又(0,)A π∈,所以3A π=.(2)因为1sin 122ABC S bc A bc ∆==⇒=，又222222cos 25a b c bc A b c =+-⇒+=， 解得，34b c =⎧⎨=⎩或43b c =⎧⎨=⎩。
江西师大附中2017届高三上学期10月月考数学试卷(文科) 含解析
2016-2017学年江西师大附中高三(上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x｜y=},A∩B=∅，则集合B不可能是(）A．{x|4x＜2x+1｝ B．{（x,y）|y=x﹣1｝C．D．｛y|y=log2（﹣x2+2x+1）｝2．若等差数列{a n}的前7项和S7=21，且a2=﹣1，则a6=(）A．5 B．6 C．7 D．83．已知α∈（π,π）,cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣74．如图，已知等于(）A．B．C．D．5．已知函数f(x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=(2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点(﹣1，f(﹣1)）处的切线斜率为（)A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．已知向量与满足｜｜=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（）A．B．C． D．7．在△A BC中，内角A，B，C的对边分别是a,b，c，若c=2a，，则cosB等于（)A．B．C．D．8．已知数列a1，,,…，,…是首项为1,公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n}中的项是（）A．16 B．128 C．32 D．649．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ)是奇函数，其中φ∈(0，π）,则函数g（x)=cos（2x ﹣φ）的图象(）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f(x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到10．已知等差数列｛a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n,若直线y=a1x+m与圆(x ﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称,则数列｛}的前10项和=（）A．B．C．D．211．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．已知f（x)=x（1+lnx）,若k∈Z，且k(x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为()A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
江西师大附中2017-2018学年上学期高二数学(文)10月月考数学试题
江西师大附中2020-2021学年上学期高二数学（文）10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线20x y -+=的倾斜角为 A ．30B ．45︒C ．60︒D ．135︒2．圆心为(2,3)，半径为5的圆的标准方程为( ) A ．22(2)(3)5x y ++-= B ．22(2)(3)25x y ++-= C ．22(2)(3)5x y -+-=D ．22(2)(3)25x y -+-=3．经过两点P(1，4)，Q(m ，5)的直线的斜率是12，则实数m 的值是( ) A ．0B ．1C ．3D ．44．过点(2，1)且与直线2x -3y +1=0平行的直线方程为( ) A ．2310x y --= B ．3240x y -+= C ．3210x y +-=D ．2310x y -+=5．已知椭圆221167x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是( ) A ．1B ．3C ．4D ．66．设直线ax －y +3=0与圆(x －1)2+(y －2)2=4相交于A 、B两点，且弦长为a 的值是( ) A ．2BC ．0D ．-17．以点(2,1)P -为中点且被椭圆22184x y +=所截得的弦所在的直线方程是( )A ．2x =B ．3y x =-C ．1y x =-+D ．3y x =--8．若点(,)P x y 满足不等式111y x y x y ≥-+⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值是 ( )AB ．2C ．12D ．149．若圆222(3)(5)-++=x y r 上至少有两个点到直线4320x y --=距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．[4+)∞，B ．(4)+∞，C ．(6)+∞，D ．[6)，+∞ 10．如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，满足212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为( )A ．6B C 1 D11．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．22189x y +=B ．22198x yC ．2219x y +=D ．2219y x +=12．若圆22:2440C x y x y 关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6二、填空题13．已知椭圆的方程为2212516x y +=，则此椭圆的长轴长等于__________.14．已知直线320ax y a -+=与直线(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =_______.15．若两圆2224480(0)x y x y a a ++-+-=>和22(2)(5)25x y -+-=相交，则实数a 的取值范围是______________.16．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线210x y --=和+20x ay +=上，且线段AB 的中点为10(0)P a，，则线段AB 的长为__________.三、解答题17．如图，在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆各顶点的坐标分别为(3,0)(0,4)(2,1)A B C -、、.（1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边上的高所在的直线方程.18．已知圆C 过点A (2，1)，与y 轴相切，且圆心在直线y =x 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）求经过点A 且与圆C 相切的直线l 的方程.19．如图，已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其中左焦点为()F ，点12B ⎫⎪⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:1l y x =-与椭圆C 交于不同两点P Q 、，求弦长|PQ |.20．如图，已知圆()2223x y -+=的圆心为C ，此圆和直线10x ay ++=在x 轴上方有两个不同交点A 、B ，（1）求a 的取值范围； （2）求ABC ∆面积的最大值及此时a 的值.21．已知曲线22:260C x y x y m +---=.（1）当m 为何值时，曲线C 表示圆；（2）若曲线C 与直线280x y +-=交于M 、N 两点，且OM ON ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A B 、，右焦点为F ，焦距为2，点P 是椭圆C 上异于A B 、两点的动点，PAB ∆的面积最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AP 与直线2x =交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并作出证明.参考答案1．B 【解析】直线20x y -+=的斜率为1 所以倾斜角为45︒ 故选B 2．D 【解析】圆心为()2,3，半径为5的圆的标准方程为()()222235x y -+-=,即()()222325x y -+-=，选D.3．C 【解析】 由题意得541312m m -=∴=- ，选C. 4．A 【解析】与直线2x -3y +1=0平行的直线方程设为230x y m -+= ，因为过点(2，1)，所以430,1m m -+==- ，因此直线方程为2310x y --=，选A.5．D 【解析】由椭圆定义得22246PF PF a PF PF ''+=∴+='⨯∴= ，选D. 6．C 【解析】圆心(1,2)，由弦长为0a == ，选C. 7．B 【解析】设弦端点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由点差法得2222112212121212()()()()1,10848484x y x y x x x x y y y y -+-++=+=⇒+= 4(2)0112,384k k y x y x -⇒+=⇒=∴+=-=- ，选B. 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程. 8．C 【解析】可行域如图，所以22x y +的最小值是原点到直线10x y +-=距离的平方，即212=，选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 9．B 【解析】因为圆心(3,5)- 到直线4320x y --=距离为4335255⨯+⨯-=，所以要使圆()()22235x y r -++=上至少有两个点到直线4320x y --=距离等于1，则半径r满足154r r +>⇒> ，选B.10．B 【解析】设2PF m = ,则11212122,23,2PF m F F a PF PF m c F F ==∴=+===因此C的离心率为12123F F c a PF PF ==+，选B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．B 【解析】设动圆M 半径为r ，则1212121,56|MC r MC r MC MC C C =+=-∴+= 因此动圆圆心M 的轨迹是以为12,C C 焦点的椭圆，所以22226,18,198x y a c b ==∴=∴+= ，选B.点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 12．B 【解析】由题意得直线260ax by ++=过圆心C(-1，2),所以3a b -= ，由点(),a b 向圆所作的切3==≥，所以选B.点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-= (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 13．10 【解析】椭圆的长轴长等于22510a14．0或2 【解析】由题意得(21)3002a a a a a 或--=⇒== 15．(0,10) 【解析】设圆1:C 2224480x y x y a ++-+-=22211(2)(2),(2,2),x y a C r a ⇒++-=-=圆2:C ()()222525x y -+-=，22(2,5),5C r =由题意得121221||55010r r C C r r a a a -<<+⇒-<<+∴<<16．12 【解析】由题意得20,2a a -== 所以()05P ，，由210x y --=和220x y ++=得交点Q (0,1)-，由直角三角形性质得 ：线段AB 的长为2|PQ|=12 17．（1）175（2）34100x y +-= 【解析】试题分析：（1）先根据两点式写出直线AB 方程，再根据点到直线距离公式求点C 到直线AB 的距离（2）先根据斜率公式求AB 斜率，再根据垂直关系得高所在直线斜率，最后根据点斜式求AB 边上的高所在的直线方程. 试题解析： (1)4:43AB y x =+ 83121755d -+∴== (2)高所在直线方程：34100x y +-=18．（1）22(1)(1)1x y -+-=或22(5)(5)25x y -+-=（2）2x =或34100x y +-=【解析】试题分析：（1）设圆C 的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=> 根据条件列三个方程：222,,(2)(1)a b r a a b r ==-+-=，解方程组得,,a b r 值（2）先根据斜率公式求AC 斜率，再根据切线与AC 垂直得切线斜率，最后根据点斜式写切线方程，注意斜率不存在的直线是存在的.试题解析：(1)设圆的方程()()222x a y a a -+-=，将A(2，1)代入，得()()22221a a a -+-=即2650a a -+=，解得1a =或5a =∴圆C 的标准方程是()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=(2)切线方程为2x =或34100x y +-= 点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(,)a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．19．（1）2214x y +=（2）5PQ =【解析】试题分析：（1）先设椭圆标准方程,再由题意列方程组:223114a b +=， c =解方程组可得2,1a b ==（2）由直线方程与椭圆方程联立方程组解得交点坐标,再根据两点之间距离公式求弦长|PQ |.试题解析：(1)设2222:1(0)x y C a b a b+=>>，将B 代入得223114a b +=，又c =用通径212b a =或利用定义求a 也可以），2,1a b ∴== 2214x y ∴+=为所求.(2)将1y x =-与椭圆C 的方程联立，得2580x x -=，解得0x =或85x =，PQ ∴=20．（1）(,-∞（2）a =32【解析】试题分析：（1）由圆心到直线距离与半径关系确定交点个数,再根据直线斜率得交点位置,求交集得a 的取值范围；（2）由垂径定理得AB =再根据三角形面积公式以及基本不等式求最值试题解析：(1)由d r <<a <a >0a <,a ∴<即a 的取值范围是(,-∞(2)22133222d d S d +-=⋅≤=,当且仅当d =2=即a =时取得最大值32.(或()2223S d d =-利用二次函数的最值也可以) 21．（1）10m >-（2）165m =【解析】试题分析：（1）根据圆一般式限制条件得22(2)(6)4()0m -+---> ,解得m 取值范围（2）由OM ON ⊥得12120x x y y +=,联立直线方程与圆方程,结合韦达定理得12y y ,12x x ,代入化简可得m 的值.试题解析：(1) 曲线C 可化为()()221310x y m -+-=+，依题意10m >-.(2)方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，将曲线C 与直线联立，得25y 34480y m -+-=，∴ 12485my y -=， 又()()()()12121212488282641645m x x y y y y y y +=--=-++=-由OM ON ⊥得()12124848055m mx x y y +-+=-+=解得165m =符合0∆>.方法二：MN 中垂线为210x y -+=与MN 方程联立得617,55x y ==，即MN 中点617,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 圆心C 到MN 的距离MN ∴=165m =. 方法三：设经过M 、N 的圆系：()2226280x y x y m x y λ+---++-=,将O 点代入得8m λ=- 故其圆心坐标2,32λλ-⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线MN 方程得25λ=-，从而165m =. 22．（1）22143x y +=（2）以BD 为直径的圆与直线PF 相切. 【解析】试题分析：（1）因为PAB ∆的面积最大值为1·2?2a b ,所以可列方程组11·2?22c a b a ==解得 2,?a b ==2）直线与圆位置关系的判断,一般利用圆心到直线距离与半径大小进行判断, 设()00,P x y ，则可得直线PF 方程,可得D 点坐标,进而可得圆心,即BD 中点坐标,再根据点到直线距离公式可得圆心到PF 距离,最后与半径(BD 一半)比较大小即可试题解析：（1）由题意得，2221·2?212a b a b c c a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆方程为：22143x y +=. （2）以BD 为直径的圆与直线PF 相切.证明：设直线AP ：()()20y k x k =+≠，则：()2,4D k ，BD 的中点为M 为()2,2k 联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2222341616120k x k x k +++-= 设()00,P x y ，由韦达定理得：2021612234k x k--=+， 解得：2026834k x k -=+，故有：()00212234k y k x k =+=+又()1,0F ，所以当12k =±时，31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时PF x ⊥轴， 以BD 为直径的圆()()22211x y -+±=与直线PF 相切. 当12k ≠±时，0204=114PF y k k x k =--， 所以直线PF ： ()24114k y x k =--，即：224401414k k x y k k--=--， 所以点E 到直线PF的距离2d k ==而=4BD k ，即知：12d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切. 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016-2017学年江西师大附中高二（上）第一次月考数学卷文科
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）
1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为（ ）
A 、150°
B 、120°
C 、60°
D 、30°
2．过点（2，3）且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线有几条（ ）
A 、0条
B 、1条
C 、2 条
D 、不确定
3．两平行直线3x ＋y−3＝0与6x ＋2y ＋1＝0之间的距离为（ ）
A 、4
B 、13132
C 、13265
D 、1020
7 4．直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋（a ＋1）y ＋1＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为（ ）
A 、−3
B 、2
C 、−3或2
D 、3或−2
5．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系为（ ）
A 、相离
B 、相切
C 、相交
D 、不能确定
6．点（−1，1）关于直线x−y−1＝0的对称点（ ）
A 、（−1，1）
B 、（1，−1）
C 、（−2，2）
D 、（2，−2）
7．过点（5，2）且在y 轴上的截距与在x 轴上的截距相等的直线有（ ）
A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、不能确定
8．若直线l 1：y ＝k （x−4）与直线l 2关于点（2，1）对称，则直线l 2恒过定点（ ）
A 、（0，4）
B 、（0，2）
C 、（−2，4）
D 、（4，−2）
9．已知点A （1，3），B （−2，−1），若直线l ：y ＝k （x−2）＋1与线段AB 没有交点，则k 的取值范围是（ ）
A 、k ≥21
B 、k ≤−2
C 、k ＞21，或k ＜−2
D 、−2≤k ≤2
1 10．已知在圆x 2＋y 2−4x ＋2y ＝0内，过点E （1，0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，
则四边形ABCD 的面积为（ ）
A 、35
B 、65
C 、415
D 、215
11．若圆C ：x 2＋y 2＋2x−4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆C 所作切线长的最小值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、6
12．已知点A （−2，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝kx 将△ABC 分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时k 的值为（ ）
A 、−23
B 、−43
C 、−34
D 、−3
2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．方程x2＋y2−x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_________．
14．若直线l的倾斜角是直线2x−y＋4＝0的倾斜角的两倍，则直线l的斜率为_________．15．已知圆O：x2＋y2＝4，直线l的方程为x＋y＝m，若圆O上恰有三个点到直线l的距离为1，则实数m＝___________．
16．设圆C：（x−3)2＋（y−5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，
若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为__________________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求经过两条直线l1：x＋y−4＝0和l2：x−y＋2＝0的交点，且分别与直线2x−y−1＝0
（1）平行的直线方程；
（2）垂直的直线方程．
18．过点A（4，1）的圆C与直线x−y−1＝0相切于点B（2，y），求圆C的标准方程．19．已知直线l：y＝2x＋1，求：
（1）直线l关于点M（3，2）对称的直线的方程；
（2）点M（3，2）关于l对称的点的坐标．
20．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2−14x＋mn＝0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
21．直线l经过点P（3，2）且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，
（1）若△OAB的面积为12，求直线l的方程；
（2）记△AOB的面积为S，求当S取最小值时直线l的方程．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x−4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y＝x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．。