1341最短路径问题(第二课时)学案
最短路径问题教案
课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时）内容分析1.课标要求“课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。
2.教材分析知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。
学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。
对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。
为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。
能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。
“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。
有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。
思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。
在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思想。
在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性，所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。
13.4课题学习 最短路径问题第二课时 教案-2022-2023学年人教版八年级数学上册
13.4课题学习最短路径问题第二课时教案-2022-2023学年人教版八年级数学上册1. 教学目标•理解最短路径问题的定义和应用场景；•掌握最短路径问题的求解方法；•能够灵活运用最短路径算法解决实际问题。
2. 教学重点•最短路径问题的定义和求解方法；•最短路径问题在实际中的应用。
3. 教学准备•PowerPoint课件；•白板、彩色白粉笔；•学生课本。
4. 教学过程第一步：引入1.引导学生回顾上节课所学内容：最短路径问题的定义和基本思想。
2.提出本节课的学习目标：学习最短路径问题的求解方法，掌握其具体步骤。
第二步：学习最短路径问题的求解方法1.展示最短路径问题的求解方法的基本思路：迪杰斯特拉算法。
2.结合实际例子，讲解迪杰斯特拉算法的步骤：–第一步：初始化。
创建两个数组，分别存储起点到各节点的最短路径和标记数组。
–第二步：确定起点，将起点标记为已访问，更新起点到各节点的最短路径。
–第三步：选择下一个节点。
在未访问的节点中选择与起点距离最短的节点。
–第四步：更新最短路径和标记数组。
如果通过该节点到某一节点的距离更短，则更新最短路径和标记数组。
–第五步：重复步骤三和步骤四，直到所有节点都被访问。
–第六步：输出最短路径和最短距离。
3.使用示例图对算法步骤进行演示，并让学生跟随课件操作。
第三步：练习1.分发练习题，让学生独立完成。
2.检查学生练习情况，解答他们在练习中遇到的问题。
第四步：拓展应用1.引导学生思考最短路径问题在实际中的应用场景，如导航、网络传输等。
2.提供实际案例，让学生尝试运用最短路径算法解决。
第五步：总结与小结1.小结本节课所学内容：最短路径问题的求解方法。
2.关键概念回顾：最短路径、迪杰斯特拉算法。
3.确认学习目标是否达成。
5. 课堂作业1.完成课堂练习题。
2.思考并书写一篇关于最短路径问题在实际中的应用文章，至少500字。
6. 教学反思本节课的难点在于最短路径问题的求解方法，为了提高学生的理解能力，我在教学过程中结合了实际案例和示例图进行演示操作。
〖2021年整理〗《最短路径问题2》名师优秀教案
课题学习最短路径问题（第二课时）造桥选址问题（邹敏）一、教学目标：（一）学习目标1熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点NMBC DA P Q图1图3图2BA PBAP BA PlBAlPAB l图1CA'BADCE FA DCE FFE FQP CA B DE（图2）E F'DCBA F lBAlPABFDCABE（图1）DCBAF1212AC BC AB ⋅6810⨯2452451212245GE FCA BP ，BD =30m ，且CD =30m ．现在要在河流CD 上建立一个泵站、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1，ON =3，点、N 分别在边OA 、OB 上的定点，作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=2231=10．故答案为10．【答案】10自助餐1 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD 于点E，即可得出答案．【解题过程】如图所示，点E即为所求．2 如图，在一条笔直的公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜lBAlPABlCB'BAD ABCE FP 为直线AB 上的一动点，过M 作轴的垂线，垂足为点N ，连接＋MN ＋NQ 的最小值；xy C QP O AB【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB 和轴看作河的两岸，点→N →Q ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要N 到＋MN ＋′，连接，则N ＋NQ 的最小值为线段yM N Q'P'C QP O A B，则N ＋NQ的最小值为线段N 的长．又易得22''C Q C P +2268+＋MN ＋NQ 的最小值为102=12【答案】N ＋NQ 的最小值为12。
八年级数学上册第13章轴对称134课题学习最短路径问题教案新版新人教版.docx
13.4课题学习最短路径问题课标要求掌握基本事实：两点Z间，线段最短。
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反Z,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
教材分析本节课是在已经学习了轴对称图形性质的基础上进一步学习“经过直线上一点，在直线同侧两点之1'可路径最短问题”的解决方案。
为后续平面几何线段之和最短一类问题奠基。
学情分析1.学生己经学习了已经掌握轴对称的性质以及“两点之间，线段最短”、三角形三边不等公理，这为学习最短路径问题做好了知识和能力上的准备。
2.学生已经具备了一定的学习能力及作图能力，所以本节课屮，主要采用学生自主学习、合作探究的方式，教师引导让每位学生都参与探究。
课时目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2•体会图形的变化在解决最值问题中的作用；3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想；4.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.教学重卢直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学难点利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 提炼的课题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学过程教学环节教学内容及师生活动设计意图媒体选择分析1 •情境引入引入新课PPT1-4：通过创设情景，•引导学生思考，激发学生学习兴趣。
1出示问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？2、倾听学生对上面问题的回答，揭示课题3、引入新课。
从小故事出发，引发学生思考问题的兴趣；激励自主学习探索直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题.类型：t+w作用：b使用：3、b时间：3回顾“两点之间，线段最短”，思考故事中存在的数学问题。
人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题13.4：最短路径问题教学设计 (2)
人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题1. 教学目标•理解最短路径问题的基本概念•了解迪杰斯特拉算法及其应用实例•掌握最短路径问题的解题步骤和方法•培养学生的计算能力和思维逻辑能力2. 教学内容•最短路径问题的基本概念•迪杰斯特拉算法•应用实例和解题方法3. 教学重点和难点3.1 教学重点•理解最短路径问题的基本概念•掌握迪杰斯特拉算法•学会应用实例和解题方法3.2 教学难点•迪杰斯特拉算法的理解和应用•解题方法的培养和强化4. 教学方法本课采用讲授、练习、讨论和案例分析相结合的教学方法，重点突出解题方法的培养和强化，通过课堂加强分组讨论和实战应用，让学生在互动交流中理解和掌握最短路径问题的基本概念和应用技巧。
5. 教学过程设计5.1自主学习阶段让学生按照书本提示，自行学习最短路径问题的基本概念和迪杰斯特拉算法及其应用实例。
5.2 课堂互动阶段5.2.1 导入通过一个常见的出行场景引出最短路径问题：比如一个旅行家要从一个城市到另一个城市，有多条路线可供选择，如何选择最短的路线？5.2.2 案例分析通过一个具体的最短路径问题案例进行分析和讲解，让学生了解最短路径问题的特点，引入迪杰斯特拉算法的概念和实现步骤。
5.2.3 分组讨论将学生分为不同小组，让他们从具体问题出发，探讨如何应用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题。
5.2.4 实战演练选取一个简单的实战案例，让学生在小组合作中实战应用迪杰斯特拉算法，并分组展示解题过程和结果，对不同小组的答案进行点评和评价。
5.3 课堂小结阶段通过课堂小结，让学生对本课学习内容有一个整体回顾，梳理和总结本课的重点难点，并提出解题方法的关键要点。
6. 教学评估通过学生在小组讨论和实战演练中展示的解题过程和结果，以及课后作业的完成情况和成绩，对学生掌握本课学习内容的情况进行评估，为下一步教学提供反馈和参考。
同时，教师也可以通过学生的反馈和评价，对本课教学过程和方法进行评估和优化。
最短路径问题第2课时教学设计教师用
如图，河边有两个村庄A、B，要在河边建一个供水站Q，先把水引 到中转站P，再从P处将水分别供应到A、B两村，问：Q、P两站分别建在 何处？可使得供水线路（QP+PA+PB）最短？
设计意图：此题是今年中考24题中第3问的改编（去掉平面直角坐标系 背景），与变式一进行比较，处理方法是否一致？先确定点P还是点Q的 位置？平移点A还是平移点B？帮助学生辨析解题的思路.
3.如图所示，点P、Q在∠AOB的内部，定长CD、EF分别在射线OA 、OB上 移动，试确定CD、EF的位置，使得六边形PCDEFQ的周长最短.
设计意图：给予学生更广阔的思考空间，供学有余力、有兴趣的学生课 后探究.
分 的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会
析 感到陌生,无从下手.本班学生基础比较扎实、思维比较活跃，为
与 了提高学生的思维水平,拓展视野,特别设计了较复杂最短路径问
设 题的研究,进一步巩固丰富“将军饮马”基本模型.本节课教师引
计 导学生利用折纸的方式寻找最短路径，它是可通过动手操作实现
例题中消除PQ这个障碍，是解决问题的关键，先与“将军饮马”模
型进行对比，再通过折纸等操作消灭PQ，转化为“将军饮马”模型，体 会利用平移、轴对称化折为直的转化思想.
二、变式训练
变式一：为了使太阳能电池板板吸收到更充足的太阳光，供应站需要与 河边成一定的角度（如图所示，点Q在河边上，PQ＝300米），试确定PQ 的位置，使得供水线路（AP＋PQ对课本内容进行整合,为尖子生
人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题(第2课时)》示范教学设计
课题学习最短路径问题（第2课时）教学目标1．利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．2．将实际问题抽象成几何图形的过程中，培养学生用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点利用平移、轴对称解决最短路径的问题．教学难点体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想．教学过程知识回顾上节课我们研究了两类最短路径问题：1．点A，B在直线l异侧：2．点A，B在直线l同侧：【师生活动】教师提出问题，学生作答．【设计意图】通过复习已研究过的最短路径问题，为引出本节课的课题“造桥选址问题”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）【师生活动】教师提问：1．这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？学生思考并回答：可以把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M．当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？教师提问：2．问题是否可以转化？学生回答：由于河岸宽度是固定的（MN长度固定），当AM＋NB最小时，AM＋MN ＋NB最小．所以问题可以转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM +NB最小．教师提问：3．能否通过图形的变化将问题转化为之前研究过的问题呢？教师提示：可以考虑将问题转化为两点在直线异侧，连接A，B两点，与直线的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．根据提示，学生思考并回答：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？教师提问：4．这是我们上节课讲的哪种类型？问题应该怎样解决？学生回答：这是我们研究的两点在直线异侧时求最短路径问题．在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．教师提问：5．试着说一下作图过程．学生独立思考后，尝试画图，寻求符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．作法：（1）将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的长度等于桥长；（2）连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求；（3）过N作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置．此时从A到B的路径AMNB最短．教师提问：6．你能试着证明一下吗？师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书．证明：在直线b上任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．由“两点之间，线段最短”可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．【归纳】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．【设计意图】通过证明得出新知，让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．二、典例精讲【例题】已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．【师生活动】教师分析：先在直线l上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形APQB的周长最小．学生根据分析尝试说出作图过程，教师板书．【答案】作法：（1）将点A沿直线l的方向平移到A′，使得AA′＝a；（2）作A′关于直线l的对称点A′′；（3）连接A′′B，与直线l交于一点Q，Q即为所求点；（4）在点Q左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，AB，所得四边形APQB的周长最小．【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．课堂小结板书设计一、将军饮马问题（复习）二、造桥选址问题。
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章134课题学习最短路径问题教案
结
小组合作学习，
充分发挥了学生
构
主体地位；合作学习的过程，
培养了同学们与人交往、合作的能力；
分享的环节增强了运用语言的能力。
的
设 三、合作探究，解决问题
展示过程，规范格式
计
造桥选址问题： 1、 明确问题； 2、 追问引导，把实际问题转
化为数学问题； 3、 巡回辅导，理清思路 4、 flash 证明过程演示
性，使学生成为课堂的主人，使学生在课堂中成功、成长！
6/6
G
去学？
学而思
1 分 自制
学 4 探究铺垫 几何
解决思路
D
B 引导学生体会如何将实 2.5 分 自制
画板 媒 5 牧民的困惑 flas 实际问题，你打算首 E
际问题转化为数学问题
B 学生通过思考、探索、讨 2.5 分 教材
h 先做什么？
体 6 位置探究一
怎样找出使两条线段 D
论、讲解解决思路
怎样找出使两条线段和 7 分
B
B(-4,5),C(0,n),D(m,0),
当四边形ABCD周长最短时，
A
C
求mn的值。
D
5/6
学生通过本节课的探究学习，能够感受到轴对称、平移的桥梁作用，感悟到转化思想的重
形 要性，并且能够利用已掌握的知识去解决相关问题。在学生与老师的共同合作下，在不同题目
环境下提炼出事实本质，合理运用相关知识去解决问题。整个教学过程紧凑而不失活泼，学生
3/6
尝试解决，小组 合作学习，组长 分享探究思路
鼓励学生设想，展开 讨论，清晰表达，提 高交流能力 四、目标测试，检验效果
目标测试
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课题13.4.1最短路径问题（第二课时）
教学目标
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想
教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
教学难点探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．
配套教学资源微视频课件编撰人谭方宪
教学导学过程增补批注一、复习导入
如果点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点
C 在l 的什么位置时，AC+CB的和最小？在图中标出C点，简单说
明理由。
二、引入新课
1、如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，
桥造在何处可使从A到B的路径A-M-N-B最短？(假定河的两岸是平
行的直线，桥要与河垂直．)
2、你能将将这个问题抽象为数学问题吗？
求的和最小？
3、因为无论在何处造桥，始终是定值，
于是要使路程最短，只要＋最短即可．如何
将＋转化在一条直线上?
提示：如图,平移A到A',使AA'等于河宽MN,连接A'B交河
岸于N.作桥MN,此时路径+ + 最短.
还有其它方法吗?
三、拓展探究
你能用所学的知识证明AM+MN+BN最短吗？
提示：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点
N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到
点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a
于点M，则路径AMNB最短．
请你说说理由
．
四、小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
课堂检测
1如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球？
2.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，求PE+PB的最小值．
4.在平面直角坐标系中，A（2，-5）、B（5，-1）
①在x轴上找一点C，是C点到A、B的距离之和最短，求C点坐
标；
②在x轴上有两点M（a，0）、N（a+2，0），当四边形ABNM
的周长最短时，求a的值．。