线性规划问题、指派问题
运筹学课件ch5指派问题[全文]
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运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
指派问题
-2 -4 -9 -7
0 13 11 6 0 10 0 5 7 0 1 4
-4
2 11 4 2
-2
x14 1, x22 1, x31 1, x43 1
其余全为0。
步骤2：用圈0法确定 C1 中的独立0元素。若独立零元素个 素有n个，则已得最优解。若 独立零元素的个数 < n, 则转
min Z 4x11 8x12 10x54 6x55
5 xij 1 i 1,2, 5 j5 1 s.t. xij 1 j 1,2, 5 i 1 xij 0 或1
B1
B2
B3
B4
B5
C
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
入步骤3。
在只有一个0元素的行（或列）加圈，表示此人只能做该事
（或此事只能由该人来做），每圈一个“0”，同时把位于同 列（或同行）的其他零元素划去。表示此时已不能再由他
人来做（或此人已不能做其它事）。如此反复，直到矩阵
中所有零元素都被圈去或划去为至。
在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中
注：指派问题是一种特殊的LP问题，是一种特殊的运输问题。 下用目前认为最简洁的方法—匈牙利法求解 (The Hungarian
Method of Assignment )。
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成
营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
公司 Ai (i 1,2,,5) 对新商店 B j ( j 1,2,,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j 1,2,,5) ，见下矩阵。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
运筹学实验报告
运筹学实验报告姓名：学号：班级：指导老师：实验内容1、线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++=0,13119241171289..68max 2121212121x x x x x x x x t s x x z (1) 给出原始代码；(2) 计算结果(包括灵敏度分析，求解结果粘贴)；(3) 回答下列问题(手写)：a ) 最优解及最优目标函数值是多少；b ) 资源的对偶价格各为多少，并说明对偶价格的含义；c ) 为了使目标函数值增加最多，让你选择一个约束条件，将它的常数项增加一个单位，你将选择哪一个约束条件？这时目标函数值将是多少？d ) 对x 2的目标函数系数进行灵敏度分析；e ) 对第2个约束的约束右端项进行灵敏度分析；f ) 结合本题的结果解释“Reduced Cost ”的含义。
解：(1) max =8*x1+6*x2;9*x1+8*x2<=12; 7*x1+11*x2<=24; 9*x1+11*x2<=13;(2)计算结果： Objective value: 10.66667Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 1.333333 0.000000 X2 0.000000 1.111111 Row Slack or Surplus Dual Price 1 10.66667 1.000000 2 0.000000 0.8888889 3 14.66667 0.000000 4 1.000000 0.000000灵敏度分析： Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 8.000000 INFINITY 1.250000 X2 6.000000 1.111111 INFINITY Righthand Side RangesRow Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 12.00000 1.000000 12.00000 3 24.00000 INFINITY 14.66667 4 13.00000 INFINITY 1.000000（3）a)该LP问题的最优解x={x1，x2}={1.333333，0.000000} 目标函数值z=10.66667b)第2行资源的对偶价格为0.8888889，3、4行的对偶价格为0、0.对偶价格的含义：表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。
三类指派问题
三类指派问题1. 简介三类指派问题是运筹学中的一类经典问题，它的目标是找到一种最优分配方案，将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本或效益达到最小或最大。
这类问题通常可以用线性规划模型来描述和求解。
三类指派问题包括： - 任务分配问题：将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本最小或效益最大。
- 作业调度问题：将若干个作业安排在若干台机器上进行处理，使得总体完成时间最短或机器利用率最高。
- 设备调度问题：将若干个任务安排在若干台设备上进行处理，使得总体完成时间最短或设备利用率最高。
2. 任务分配问题2.1 模型描述假设有n个任务和n个执行者，每个任务只能由一个执行者完成，并且每个执行者只能处理一个任务。
每个任务与每个执行者之间都有一个成本或效益值。
我们的目标是找到一种分配方案，使得总体成本最小或效益最大。
可以使用二维数组C表示各任务与各执行者之间的成本或效益值，其中C[i][j]表示第i个任务分配给第j个执行者的成本或效益值。
定义一个二进制变量X[i][j]，如果第i个任务分配给第j个执行者，则X[i][j]=1，否则X[i][j]=0。
任务分配问题可以用下面的线性规划模型来描述：minimize ∑(i=1 to n)∑(j=1 to n) C[i][j] * X[i][j]subject to∑(i=1 to n) X[i][j] = 1, for j = 1,2,...,n∑(j=1 to n) X[i][j] = 1, for i = 1,2,...,nX[i][j] ∈ {0, 1}, for i,j = 1,2,...,n2.2 求解方法常用的求解任务分配问题的方法有匈牙利算法和线性规划方法。
匈牙利算法是一种经典的图论算法，它通过构建增广路径来找到最优分配方案。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于小规模问题。
线性规划方法则通过将任务分配问题转化为线性规划模型，并利用线性规划求解器进行求解。
第5章 整数线性规划-第1-4节
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图 5-6)，去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C 点(1，1)就是域R′的一个极点，
如在域R′上求解①～④， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题 的整数解，所以解法 的关键就是怎样构造 一个这样的“割平 面”CD，尽管它可能 不是唯一的，也可能 不是一步能求到的。 下面仍就本例说明：
例 2
求解A
max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数
① ② ③ (5.2) ④ ⑤
解 先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④ (见图5-2)，得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
可见它不符合整数条件⑤。 这时z0是问题A的最优目标函数值 z*的上界，记作z0= z 。 而在x1=0，x2=0时， 显然是问题A的一个整数可行解， 这时z=0，是z*的一个下界， z 记作 =0，即0≤z*≤356 z。
第3节 割平面解法
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛 变量x3、x4，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
表5-2
CB 0 0 1 1 cj XB x3 x4 cj-zj x1 x2 cj-zj b 1 4 0 3/4 7/4 -5/2 1 x1 -1 3 1 1 0 0 1 x2 1 1 1 0 1 0 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/5 -1/2
第二步：比较与剪支
各分支的最优目标函数中若有小于 z 者，则剪 掉这支(用打×表示)，即以后不再考虑了。若大 于 z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直 到最后得到z*为止，得最优整数解xj* ，j=1，…，n。 用分支定界法可解纯整数线性规划问题和混合 整数线性规划问题。它比穷举法优越。因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷 举法小。若变量数目很大，其计算工作量也是相当 可观的。
02线性规划-资源分配问题
可 行 解 矩 阵
1 0 X 0 0 0
资源分配问题-匈牙利法
举例说明匈牙利法求解步骤：
已知效率矩阵，求相应的解矩阵。
5 3 C0 5 6 7 6 8 4 5 4 6 6 1 5 7 9 8 7 5 7 6 4 6 2 8
第1步：行简约化 找出 C 0 各行的最小元素，各行 并减去其最小元素，得到 C1
n ，则这时就可以得到最优解， n 为的
C1中的0元素
资源分配问题-匈牙利法
第4步：
2 4 0 1 1 当 时，可以把 2 3 5 5 0 简约化后矩阵的元素分为三类： C 2 0 0 2 4 3 ①没有被直线划到的元素 1 2 0 2 1 ②被直线划过一次的元素 2 4 0 6 5
资源分配问题
资源分配问题又称为指派问题或分配问题， 属于0-1规划。
如工程运输中各个运输任务的人力与物力分
配问题；n个公司对n个工程项目的投标问题；
公共交通客运公司与运营路线的分配问题等。
资源分配问题
例：有 5 个工人，要分配他们完成 5 项工作，每人
做不同的工作所消耗的时间如下表所示。问应该分 配哪个人去完成哪项工作，可使总的耗时最少？
找出有唯一0元素的第3列，同时画去第4行的0元素。
资源分配问题-匈牙利法
第6步：确定不同行不同列的n个0元素 首先将某行或某列是唯一的0元素划出，同时把这一行或列 的其它0元素去掉，然后再划出某行或某列是唯一的0元素。
0 2 C4 0 4 1 4 6 5 2 3 6 0 3 1 1 4 0 0 3 5 0 1 4 0 2 3 6 6 0 C 4 3 5 3 1 2 4 1 4 5
最优化方法在储运中的应用PPT-第4章 线性整数规划_指派问题
9
指派问题的数学模型 库恩(W. W. Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法， 他引用了匈牙利数学家康尼格（D. Konig）一个关于矩 阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等 于能覆盖所有0元素的最少直线数。这种解法称为匈牙利 法。
引入0-1变量xij
xij
1 表示将工作人员Ai分配给任务B j 0 表示不将工作人员Ai分配给任务B j
3
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
S表示完成所有任务所需的总工时，则该问题的数学模型为：
44
min S
cij xij
i1 j1
4
xij 1 i 1～（4 一个人只能去完成一项任务）
个常数ui，从每一列元素中分别减去一个常数vj，
11
nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
在介绍匈牙利法之前，我们先介绍指派问题的几个重要性质。
定理1：如果效率矩阵[cij]n×n中的所有元素非负，且其中
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X44 0.000000 1.000000
X45 1.000000 0.000000
X51 0.000000 0.000000
X52 0.000000 4.000000
X53 1.000000 0.000000
X54 0.000000 0.000000
X55 0.000000 6.000000
内容：有五个工人，要指派他们分别完成五项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表：
工作A B C D E
工人
甲15 18 21 24 20
乙19 23 22 18 21
丙26 17 16 19 18
丁19 21 23 17 16
戊18 24 19 18 24
问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？
实验所用软件及版本：LINGO 11.0
实验过程：
一、建立模型：
解：我们记派第i人去做第j项工作为Xij
注意到每人只能做一项工作。每项工作一人做。我们得到目标函数为约束条件：
Min=15*x11+18*x12+21*x13+24*x14+20*x15+19*x21+23*x22+22*x23+
18*x24+21*x25+26*x31+17*x32+16*x33+19*x34+18*x35+19*x41+21*x42
X54
X55
(1)追求总产量最大时：目标函数为
minZ=-11000*X11-9500*X12-9000*X13-8200*X14-7000*X15-8000*X21-6800*X22-6000*X23-5000*X24-4000*X25-14000*X31-12000*X32-10000*X33-8000*X34-6000*X35-8500*X41-8000*X42-7500*X43-6500*X44-5000*X45-9000*X51-8500*X52-8000*X53-7200*X54-6500*X55
Row Slack or Surplus Dual Price
1 85.00000 -1.000000
2 0.000000 -15.00000
3 0.000000 -18.00000
4 0.000000 -15.00000
5 0.000000 -16.00000
6 0.000000 -18.00000
（2）如何制定种植计划，才能使总产值最大？
不同等级耕地种植不同作物的单产（单位：kg/平方公顷）
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
水稻
11000
9500
9000
8200
7000
大豆
8000
6800
6000
5000
4000
玉米
14000
12000
10000
8000
6000
花生
8500
8000
7500
6500
5000
小麦
9000
实验结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 85.00000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 7
Variable Value Reduced Cost
X11 1.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 -2.000000
9 0.000000 -1.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
实验总结：由以上结果可知最佳分配方案为：安排甲去做A项工作，乙做第D项工作，丙做第B项工作，丁去做第E项工作，戊去做第C项工作。
x11+x21+x31+x41+x51=1
x12+x22+x32+x42+x52=1
x13+x23+x33+x43+x53=1
x14+x24+x34+x44+x45=1
x15+x25+x35+x45+x55=1
0≦xij≦1 i,j=1,2,3,4,5
二、在工作空间运行程序如下：
model:
min=15*X11+18*X12+21*X13+24*X14+20*X15+19*X21+23*X22+22*X23+18*X24+21*X25+26*X31+17*X32+16*X33+19*X34
班级
数学学院2009级B班
学号094080106
姓名：郭世伟
实验名称
线性规划问题（指派问题）的求解
问题的背景：问题背景描述：某农场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ等耕地的面积分别为100平方公顷、300平方公顷、200平方公顷、100平方公顷、50平方公顷，计划种植水稻、大豆、玉米、花生、小麦要求五种农作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg、350000kg、120000kg。100000kg。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ等耕地种植五种农作物的单产如下表所示，若五种农作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg，花生2.00元/kg，小麦1.00元/kg。那么：（1）如何制定种植计划，才能使总产量最大？
教师评语与成绩：
X51+X52+X53+X54+X55=1;
X11+X21+X31+X41+X51=1;
X12+X22+X32+X42+X52=1;
X13+X23+X33+X43+X53=1;
X14+X24+X34+X44+X54=1;
X15+X25+X35+X45+X55=1;
endmodel
实验结果与实验总结(体会)：
某农场等耕地的面积分别为100平方公顷300平方公顷200平方公顷100平方公顷50平方公顷计划种植水稻大豆玉米花生小麦要求五种农作物的最低收获量分别为190000kg130000kg350000kg120000kg100000kg
实验一、线性规划问题（指派问题）的求解
实验序号：1日期：2012年3月11日
+23*x43+17*x44+16*x45+18*x51+24*x52+19*x53+18*x54+24*x55
s.t:x11+x12+x13+x14+x15=1
x21+x22+x23+x24+x25=1
x31+x32+x33+x34+x35=1
x41+x42+x43+x44+x45=1
x51+x52+x53+x54+x55=1
这样可使得最终所耗时间最短，最短时间为：85
体会：利用数学软件LINGO解决此类线性线性规划问题确实很方便快捷，为我们节省了不少时间。
/flash/ktti/index.html?agent_id=1217&sid=1458&type=3&game_id=14&aid=ktti&rand=1&t=0.47434001640857315
+18*X35+19*X41+21*X42+23*X43+17*X44+16*X45+18*X51+24*X52+19*X53+18*X54+24*X55;
X11+X12+X13+X14+X15=1;
X21+X22+X23+X24+X25=1;
X31+X32+X33+X34+X35=1;
X41+X42+X43+X44+X45=1;
X25 0.000000 3.000000
X31 0.000000 11.00000
X32 1.000000 0.000000
X33 0.000000 0.000000
X34 0.000000 4.000000
X35 0.000000 3.000000
X41 0.000000 3.000000
X42 0.000000 3.000000
8500
8000
7200
6500
解：
建立线性规划模型，决策变量设置如下表所示，（表中Xij第I种作物种植在第j等级的耕地上的种植面积）
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
水稻
X11
X12
X13
X14
X15
大豆
X21
X22
X23
X24
X25
玉米
X31
X32
X33
X34
X35
花生
X41
X42
X43
X4X53
X12 0.000000 1.000000
X13 0.000000 5.000000
X14 0.000000 9.000000
X15 0.000000 5.000000