2022版高考物理一轮复习第十章电磁感应专题强化十一电磁感应中的动量和能量问题学案新人教版

专题强化十一 电磁感应中的动量和能量问题
电磁感应中的动量、能量问题，是导体切割磁感线运动过程中力、能、电、动量的综合应用，此类问题是高考命题的趋势。

主要类型有：用动量定理解决电磁感应问题，用动量守恒定律解决电磁感应问题。

一、用动量定理解决电磁感应问题
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲
量为：I
安＝B I Lt ＝BLq ，通过导体棒或金属框的电荷量为：q ＝I Δt ＝E
R 总Δt ＝n ΔΦΔtR 总Δt ＝n ΔΦR 总
，磁通量变化量：ΔΦ＝B ΔS ＝BLx 。

如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I 安＝mv 2－mv 1。

当题目中涉及速度v 、电荷量q 、运动时间t 、运动位移x 时常用动量定理求解更方便。

例1 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ 。

两导轨间距为l ，电阻均可忽略不计。

在M 和Q 之间接有一阻值为R 的电阻。

导体杆ab 质量为m 、电阻为r ，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

现给ab 杆一个初速度v 0，使杆向右运动。

ab 杆最后停在导轨上。

下列说法正确的是( AD )
A ．整个过程回路产生的热量为12
mv 20 B ．整个过程通过电阻的电量为q ＝2mv 0Bl
C ．ab 杆速度减为v 03时，通过电阻器的电量q ＝mv 0
3Bl D ．ab 杆速度减为v 03时，ab 杆通过的位移x ＝2m R ＋r v 3B 2l
2。

[解析] 整个过程中，由能量守恒定律知，整个过程产生热量为12
mv 20，故A 项正确； 由动量定理得：－B I l ·t ＝0－mv 0，又q ＝I t ，
整个过程通过电阻的电量为：q ＝
mv 0Bl ，故B 项错误； 当ab 杆速度减为v 03
时， 由动量定理得：－B I l ·t ＝m v 0
3
－mv 0，又q ＝I t ，
通过电阻器的电量为：q ＝2mv 03Bl
，故C 项错误； 根据q ＝ΔΦR ＝Blx R
， ab 杆通过的位移为：x ＝2m R ＋r v 3B 2l
2，故D 项正确。

二、用动量守恒定律解决电磁感应问题
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。

例2 如图所示，两根间距为l 的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一
段无限长的水平部分组成，其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B 。

导轨水平段上静止放置一金属棒cd ，质量为2m ，电阻为2r 。

另一质量为m 、电阻为r 的金属棒ab ，从圆弧段M 处由静止释放下滑至N 处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN 半径为R ，所对圆心角为60°，重力加速度为g 。

求：
(1)ab 棒在N 处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是多少？
(2)cd 棒能达到的最大速度是多大？
(3)cd 棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？
[解析] (1)ab 棒由M 下滑到N 过程中机械能守恒，有
mgR (1－cos 60°)＝12mv 2
解得v ＝gR ，
进入磁场瞬间，回路中电流强度I ＝E 2r ＋r ＝Bl gR 3r。

(2)ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd 棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v ′时，电路中电流为零，安培力为零，cd 棒达到最大速度。

由动量守恒定律得mv ＝(2m ＋m )v ′，解得v ′＝13gR 。

(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量，
故Q ＝12mv 2－12·3mv ′2，解得Q ＝13
mgR 。

[答案] (1)gR
Bl gR 3r (2)13mgR (3)13mgR
〔专题强化训练〕
1．(2019·全国卷Ⅲ，19)(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab 、cd 静止在导轨上。

t ＝0时，棒ab 以初速度v 0向右滑动。

运动过程中，ab 、cd 始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v 1、v 2表示，回路中的电流用I 表示。

下列图像中可能正确的是( AC )
A B
C D [解析] 导体棒ab 运动，切割磁感线，产生感应电流(从上向下看为逆时针)，导体棒ab 受阻力F 作用，速度减小，导体棒cd 受安培力F ′作用，速度变大。

如图所示。

由E ＝Blv 知，感应电动势E 随速度v 的减小而减小，则感应电流非均匀变化。

当两棒的速度相等时，回路上感应电流消失，两棒在导轨上以共同速度做匀速运动。

系统的动量守恒，则mv 0＝2mv 共，v 共＝v 0
2。

故A 、C 正确，B 、D 错误。

2．如图所示，足够长的水平导轨左侧b 1b 2－c 1c 2部分导轨间距为3L ，右侧c 1c 2－d 1d 2部分的导轨间距为L ，曲线导轨与水平导轨相切于b 1b 2，所有导轨均光滑且电阻不计。

在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝0.1 T 。

质量为m B ＝0.2 kg 的金属棒B 垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为m A ＝0.1 kg 的金属棒A 自曲线导轨上a 1a 2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，A 棒总在宽轨上运动，B 棒总在窄轨上运动。

已知：两棒接入电路的有效电阻均为R ＝0.2 Ω，h ＝0.45 m ，L ＝0.2 m ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2。

求：
(1)A 棒滑到b 1b 2处时的速度大小；
(2)B 棒匀速运动时的速度大小；
(3)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留3位有效数字)。

[答案] (1)3 m/s (2)919 m/s (3)29.6 m 2
[解析] (1)A 棒在光滑曲线导轨上下滑，由机械能守恒定律得：
m A gh ＝12m A v 2
解得：v 0＝3 m/s 。

(2)选取水平向右为正方向，对两棒分别应用动量定理，
对B 棒：F B 安cos θ·t ＝m B v B
对A 棒：－F A 安cos θ·t ＝m A v A －m A v 0
其中F A 安＝3F B 安
两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有：
BLv B ＝3BLv A
解得：v A ＝319 m/s ，v B ＝919 m/s 。

(3)在B 棒加速运动过程中，由动量定理得：
B cos θI L Δt ＝m B v B －0
电路中的平均电流I ＝E
2R
根据法拉第电磁感应定律有：E ＝ΔΦ
Δt
其中磁通量变化量：ΔΦ＝B cos θΔS
解得：ΔS ≈29.6 m 2。