北师大版-数学-八年级上册-2.7 二次根式及其性质 教案
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案3
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
通过学习二次根式，为学生后续学习函数、方程等数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式的理解可能存在一定的困难，因此需要通过具体例子和实际操作，让学生深入理解二次根式的概念和性质。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质；2.学会二次根式的运算方法，能够进行简单的二次根式运算；3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体例子让学生理解二次根式的概念和性质；2.采用归纳总结法，引导学生总结二次根式的运算方法；3.采用小组合作学习法，让学生在合作中思考、交流、解决问题。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题；2.准备多媒体教学设备，如投影仪等；3.准备二次根式的相关素材，如图片、实物等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中实际问题，引入二次根式的概念。
例如，讲解一个物体的高度为3√2米，让学生思考如何表示这个高度的平方根。
通过这个例子，让学生初步了解二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）呈现几个二次根式的例子，让学生观察、分析，引导学生发现二次根式的性质。
如：√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。
通过这些例子，让学生深入理解二次根式的性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如：计算√16 + √25，√81 - √16等。
在练习过程中，引导学生总结二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）出示一些有关二次根式的应用题，让学生运用所学知识解决问题。
如：一个正方形的边长为3√2米，求其面积。
2024年北师大版八年级上册教学设计第二章2.7 二次根式
第1课时二次根式及其性质课时目标1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.2.通过对二次根式的性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力.3.经历在具体情境中发现二次根式的过程,体会引入二次根式的必要性.4.经历观察、交流、总结等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,让学生体现发现的快乐,并提高应用的意识.学习重点了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式化简为最简二次根式.学习难点对二次根式的性质的探究.课时活动设计问题引入思考:用带根号的式子填空,观察这些结果有什么特点?(1)图1的画框为正方形,若面积为8 dm2,则边长为√8dm;若面积为S dm2,则边长为√S dm.,土地的面积为13 m2,则它的长(2)图2是一块长方形的土地,若宽是长的35为√65m.3图1图2设计意图:通过实际问题,让学生用带根号的式子填空,为下面探究二次根式的特征作准备.知识回顾1.什么叫做平方根?2.什么叫做算术平方根?3.什么数有算术平方根?设计意图:回顾平方根和算术平方根的定义,为本节课要学习的内容作准备.探究新知探究1二次根式的概念教师提出问题,学生思考并解答,最后教师总结.,这些式子分别问题1:问题引入中的问题,我们得到的结果分别是√8,√S,√653表示什么意义?解:这些式子分别表示8,S,65的算术平方根.3问题2:非负数b,m+n,t2-2的算术平方根怎么表示?解:算术平方根分别是√b,√m+n,√t2-2.问题3:什么样的数才有算术平方根?解:只有非负数才有算术平方根.问题4:这些式子有什么共同特征?解:①含有“√”;①被开方数为非负数.总结二次根式的概念:一般地,形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.(注意:a可以是数,也可以是式子.)二次根式的两个必备特征:①外貌特征,含有“√”;①内在特征,被开方数a≥0.探究2二次根式中字母的取值范围学生思考,小组交流,回答下列问题.问题1:使二次根式√m-2在实数范围内有意义的m的取值范围是.分析:要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.解:由m -2≥0,得m ≥2.①当m ≥2时,√m -2在实数范围内有意义. 问题2:使式子√a -1在实数范围内有意义的a 的取值范围是 .分析:若二次根式为分母时,应同时考虑分母不为零. 解:由a -1≥0,得a ≥1. 又①√a -1为分母,①√a -1≠0. ①a -1≠0,即a ≠1. ①当a >1时,√a -1在实数范围内有意义.总结 二次根式中字母的取值范围的依据: (1)形如√m 的二次根式有意义的条件:m ≥0. (2)二次根式作为分式的分母时,如√m有意义的条件:m >0.探究3 二次根式的性质观察下列式子,你发现了什么?学生思考,小组交流讨论. √4×9=6;√4×√9=6;√49=23;√4√9=23;√2549=57;√25√49=57. 问题1:你有什么猜想?解:√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0),√a b =√a√b (a ≥0,b >0).问题2:根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证一下吧.(结果精确到0.000 1)(1)√6×7= ,√6×√7= ;(2)√67=√6= .解:(1)6.480 7 6.480 7 (2)0.925 8 0.925 8 验证猜想:√6×7=√6×√7,√67=√6√7.总结 二次根式的性质:(1)积的算术平方根等于算术平方根的积;(2)商的算术平方根等于算术平方根的商.√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0),√a b =√a√b (a ≥0,b >0).探究4 最简二次根式 问题:化简下列二次根式.(1)√81×64; (2)√25×6; (3)√59. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6. (3)√59=√5√9=√53.交流:观察化简结果5√6,√53,这些数有什么特点呢? 解:被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数或因式.小结 最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.设计意图:引领学生自主探索二次根式的性质,从特殊数入手,希望学生获得一定的感性经验,再进一步强化这样的经验和猜测,最后经由学生交流,总结、归纳出二次根式的性质.典例精讲 例1 化简:(1)√81×64; (2)√25×6; (3)√59. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6. (3)√59=√5√9=√53.例2 化简:(1)√50; (2)√27; (3)√3.解:(1)√50=√25×2=√25×√2=5√2.(2)√27=√2×77×7=√2×7√7×7=√147. (3)√3=√3√3×√3=√33. 设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的概念、性质和熟练掌握将二次根式化为最简二次根式.巩固训练1.下列各式是最简二次根式的是( C )A.√-7B.√23C.√3D.√25 2.下列各式正确的是( B )A.√a·b =√a ·√bB.√2×3=√2×√3C.√(-2)×(-3)=√-2×√-3D.√827=23 3.填空. (1)√4−a√a -1有意义的a 的取值范围为 1<a ≤4 .(2)已知√x +3+√2y -4=0,则xy 的值为 -6 .(3)当x = -12 时,√2x +1+6有最小值,最小值为 6 . 4.化简:(1)√5; (2)√3.6; (3)√8×36.解:(1)√5=√5√5×√5=3√55. (2)√3.6=√185=√18×55×5=√18×5√5×5=3√105. (3)√8×36=√8×√36=2√2×6=12√2.设计意图:让学生在练习中联系相关知识分析、说明解决问题的想法,获得成功的体验;考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.课堂小结1.二次根式的概念是什么?怎样判断一个式子是否是二次根式?2.二次根式具有怎样的性质?3.怎样把一个二次根式化简成最简二次根式?设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.课堂8分钟.1.教材第43页习题2.9第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时二次根式及其性质1.二次根式定义.2.二次根式性质.3.最简二次根式.4.练习.教学反思第2课时二次根式的运算课时目标1.掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.3.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能用这些运算法则、运算律在实数范围内正确计算,培养类比学习的能力.4.增强学生的符号、应用意识,培养学生合作交流、合情推理和表达的能力.学习重点掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.学习难点会用二次根式的四则运算法则解决简单的数学问题.课时活动设计回顾复习1.二次根式有什么特征?2.求使在实数范围内有意义的x的取值范围.√x-13.二次根式的性质是什么?4.什么叫最简二次根式?设计意图:通过回答二次根式的特征、求二次根式中字母的取值范围以及最简二次根式的定义等问题,学生对所学知识进行回顾与复习,重点让学生复习回顾二次根式的性质,为本节课的学习打下基础.问题导入思考:长方形的面积是√20,它的长是√5,宽是多少?教师追问:该怎么计算呢?提示:根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题.设计意图:通过思考问题,引出二次根式的除法,从而切入正课:如何进行二次根式的运算.探究新知探究1同类二次根式教师提出问题,学生思考,小组交流,最后总结.化简下列二次根式,观察他们的特点,并进行分类:√8; √18; √80; √0.5; √18; √20. 解:分别化简为2√2; 3√2; 4√5;√22; √24; 2√5. 分成两组:一组是2√2,3√2,√22,√24;另一组是4√5,2√5. 问题:这样分类的依据是什么呢?解:将二次根式中带有相同根式的分为一组,如第一组中都含有√2,第二组中都含有√5.小结:化简后,被开方数相同的二次根式被称为同类二次根式. 探究2 二次根式的乘除运算根据二次根式的性质,等号的左边与右边对换,就能得到二次根式的乘法法则和除法法则.二次根式的性质1:√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0); 二次根式的乘法法则:√a ·√b =√a·b (a ≥0,b ≥0). 二次根式的性质2:√a b =√a √b (a ≥0,b >0);二次根式的除法法则:√a√b =√ab (a ≥0,b >0).追问:问题导入中的长方形的宽该如何计算呢? 解:宽=√20√5=√5√5=2. 问题:从上面的运算中,你发现了什么?总结:二次根式的乘法法则:√a ·√b =√a·b (a ≥0,b ≥0);二次根式的除法法则:√a √b=√a b (a ≥0,b >0). 提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式. 探究3 二次根式的分母有理化问题:√5是最简二次根式吗?如果不是,如何化简呢?解:不是.√5=√5√5×√5=√55. 总结:形如m √n 的式子,分子、分母同乘以√n ,可以使分母不含根号.思考:√5+√3如何化简呢?解:√5+√3=√5-√3(√5+√3)(√5-√3)=√5-√32. 总结:形如m√a±n √b的式子,分子、分母同乘以m √a ①n √b ,构成平方差公式,可以使分母不含根号.探究4 二次根式的加减运算问题1:你能直接写出下列式子的结果吗? (1)3x 2+4x 2;(2)x 2+3x 2+y. 解:(1)7x 2.(2)4x 2+y.问题2:类比合并同类项的方法,想想如何计算√80-√45? 解:√80-√45=4√5-3√5=√5.问题3:√3+√5能不能再进行计算?为什么?解:不能,因为它们都是最简二次根式,被开方数不相同,所以不能合并. 二次根式的加法、减法法则:(1)先化为最简二次根式;(2)再合并同类二次根式.提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式. 探究5 二次根式的四则混合运算计算下列式子,观察运算过程,你从中发现了什么?(1)3√2×2√3;(2)√12×√3-5;(3)(√5+1)2;(4)(√13+3)(√13-3); (5)(√12-√13)×√3;(6)√8+√18√2. 解:(1)3√2×2√3=3×2×√2×3=6√6. (2)√12×√3-5=√12×3-5=√36-5=6-5=1. (3)(√5+1)2=(√5)2+2√5+12=5+2√5+1=6+2√5. (4)(√13+3)(√13-3)=(√13)2-32=13-9=4. (5)(√12-√13)×√3=√12×√3-√13×√3=√36-√1=6-1=5. (6)√8+√18√2=√8√2+√18√2=√82+√182=√4+√9=2+3=5.总结:实数的运算律同样适用于二次根式,我们在进行二次根式的混合运算时,可以用到乘法交换律、结合律和分配律,也可以用到完全平方公式和平方差公式.探究6 二次根式化简求值化简(√1a -√b )·√ab ,其中a =3,b =2.你是怎么做的? 解:方法一(先代入,后化简):把a =3,b =2代入代数式中, 原式=(√13-√2)·√3×2=√13×3×2-√2×3×2=√2-2√3. 方法二(先化简,后代入):原式=√1a ·√a ×b -√b ·√a ×b =√b -b √a , 把a =3,b =2代入代数式中,原式=√2-2√3. 追问:哪种方法更简便?归纳 二次根式化简求值的方法:解决二次根式的化简求值问题时,直接代入求值比较麻烦,可先化简已知条件,再用乘法公式变形,最后代入求值即可.设计意图:给出问题,激发学生思考,小组讨论,教师引导学生从数学现象发现数学规律.通过探究中具体例题的学习,获得二次根式加减乘除运算的有关技能.典例精讲 例1 计算:(1)√48+√3;(2)√5-√15;(3)(√43+√3)×√6.解:(1)√48+√3=√16×3+√3=√16×√3+√3=4√3+√3=5√3. (2)√5-√15=√5-√525=√5-√55=45√5.(3)(√43+√3)×√6=√43×6+√3×6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.例2 已知a =√5-2,b =√5+2,求√a 2+b 2+2. 分析:先化简已知条件,再利用乘法公式变形,即a 2+b 2=(a +b )2-2ab ,最后代入求解.解:①a =√5-2=√5+2(√5-2)(√5+2)=√5+2,b =√5+2=√5-(√5+2)(√5-2)=√5-2, ①a +b =2√5,ab =1,①√a 2+b 2+2=√(a +b)2-2ab +2=√(2√5)2-2+2=√20=2√5.设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的运算法则.巩固训练1.下列各式正确的是( B )A.√(-2)2=-2B.√(-2)×(-2)=2C.3√2-√2=3D.√8+√2=√10 2.填空.(1)计算√2×√3= √6 ;√36×9= 18 .(2)长方形的宽为√3,面积为2√6,则长方形的长为 2√2 .(3)计算(√48-3√27)÷√3= -5 .(4)若两个最简二次根式√5和√2m -5能够合并,则m = 5 .3.计算:(1)(√6-√38)×√2;(2)(2+√2)(2-√2);(3)√27×√3=√100;(4)√183+√32-15√50. 解:(1)(√6-√38)×√2=√6×√2-√38×√2=√6×2-√38×2=2√3-√32=3√32. (2)(2+√2)(2-√2)=22-(√2)2=4-2=2. (3)√27×√3-√100=3√3×√3-10=3×3-10=-1.(4)√183+√32-15√50=√2+4√2-√2=4√2. 设计意图:通过实时练习,学生在系统归纳整理了二次根式四则运算的相关知识的基础上,进一步加深了对二次根式四则运算法则的理解,提高学生解决问题的能力,并培养学生的应用意识.课堂小结1.二次根式的四则运算法则是什么?2.二次根式化简求值的方法有哪些?设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.课堂8分钟.1.教材第45页习题2.10第1,2题,第48页习题2.11第1,2,3题.2.七彩作业.第2课时二次根式的运算1.二次根式乘除法法则.2.同类二次根式.3.例题:4.练习:教学反思。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计1
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要地位，它不仅是学习更高深数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习二次根式，学生可以更好地理解和掌握数学的本质。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数的运算也有一定的了解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质需要学生通过实例去感受和理解。
同时，学生需要将已有的知识运用到新的领域，进行二次根式的运算。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过设置问题和实例，引导学生主动探索和理解二次根式的概念和性质。
同时，通过小组讨论和合作交流，培养学生解决问题的能力和团队协作精神。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置问题：“你能用已学的知识解释水的沸腾吗？”引导学生思考和探索二次根式的概念和性质。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，展示二次根式的实例，引导学生观察和分析，总结出二次根式的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用刚学的知识进行分析和运算。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，如计算物理中的速度、路程等问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固二次根式的概念和性质，以及运算方法。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生进一步巩固和提高二次根式的理解和运用能力。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它不仅出现在代数、几何等领域，还是学习高中数学的基础。
本节内容为学生提供了理解二次根式的基础知识，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质与已有知识有很大的不同，需要学生进行一定的适应和理解。
同时，学生需要掌握二次根式的运算方法，这需要他们在课堂上进行充分的练习和思考。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够应用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例教学法、练习法、小组合作学习法等。
通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件；2.练习题；3.小组讨论工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：“一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT课件展示二次根式的图形和性质，让学生理解和掌握二次根式的基本概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，提供一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用二次根式的概念和运算方法，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，提供一些实际问题，让学生思考如何运用二次根式解决这些问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾和巩固所学知识。
北师大版八年级数学上册：2.7二次根式教学设计
在学习二次根式的性质与运算法则时，教师可设计具有启发性的问题，引导学生自主探究。在此基础上，组织学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生对二次根式的认识。
3.精讲精练，突破难点
对于二次根式的化简、应用等难点，教师应进行详细的讲解和示范，让学生掌握解题方法和技巧。同时，设计梯度性、层次性的练习题，让学生在练习中逐步突破难点。
1.学生对二次根式定义的理解程度，是否能够熟练运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.学生在解决二次根式相关问题时，对性质与运算法则的掌握情况，是否存在混淆或错误。
3.学生在运用二次根式解决几何问题时，空间想象能力和直观想象能力的表现，是否能够将二次根式与几何图形有机结合。
4.学生的学习兴趣和动机，对二次根式的学习是否存在恐惧或抵触情绪。
4.拓展延伸，提高能力
结合二次根式的几何应用，设计拓展性题目，提高学生解决问题的能力。同时，引导学生从不同角度思考问题，培养学生的创新意识和数学思维能力。
5.课堂小结，巩固提升
通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识体系。同时，鼓励学生提出疑问，及时解答，巩固所学知识。
6.课后作业，分层设计
-教师应及时批改作业，给予反馈，帮助学生发现和纠正错误，巩固所学知识。
-关注学生作业完成情况，根据学生的表现调整教学策略，确保教学效果。
难点：二次根式的化简，特别是含有分母、能开尽方的二次根式的化简；二次根式在几何图形中的应用。
2.重点：培养学生运用二次根式解决问题的能力，提高数学思维。
难点：引导学生将二次根式与几何图形相结合，解决实际问题，培养学生的空间想象能力和直观想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
北师大版八年级数学上册：2.7二次根式优秀教学案例
4.多元化的评价方式，关注学生的全面发展：在评价学生的学习成果时，我采用了多元化的评价方式，关注学生的全面发展。不仅关注学生的知识掌握程度，还关注他们的思维能力、问题解决能力等多个方面。这样的评价方式能够给予学生全面的反馈，帮助他们认识到自己的进步和成长。
（二）过程与方法
1.通过生活实例引入二次根式的概念，使学生在具体的情境中感受数学与生活的紧密联系。
2.采用启发式教学，引导学生主动探究二次根式的性质和运算方法，培养他们的数学思维能力。
3.设计丰富的课堂活动和练习题目，让学生在实践中掌握二次根式的运算方法，提高他们的实践操作能力。
在教学过程中，我会注重启发学生思考，引导学生主动探究。例如，在讲解二次根式的性质时，我会提出一些问题，引导学生进行思考和讨论，从而帮助他们发现二次根式的性质。在教授二次根式的运算方法时，我会设计一些实际操作题目，让学生在实践中掌握运算方法。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入新课，激发学生的兴趣和好奇心。例如，通过展示一个实际问题，如测量一个物体的高度或计算一个物体的体积，引导学生思考如何使用二次根式来解决这个问题。
2.设计一个有趣的数学问题或游戏，引导学生思考二次根式的概念和性质。例如，设计一个数学谜题，要求学生通过解答谜题来发现二次根式的性质。
3.结合实际问题，展示二次根式在实际中的应用，引导学生理解二次根式的意义和价值。例如，通过给出一些实际问题，让学生思考如何运用二次根式来解决问题，从而培养他们的应用意识。
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案 新版北师大版
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握二次根式的加减乘除运算，以及能够熟练运用二次根式进行实际问题的解决。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的运算方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但是，对于二次根式的混合运算，部分学生可能会感到困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。
三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的乘除运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲练结合的方法，通过实例和练习，引导学生掌握二次根式的运算方法。
同时，注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个圆的半径为根号2，求这个圆的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算方法，并通过PPT课件展示实例。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些二次根式的运算练习题，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，巩固学生对二次根式运算的掌握。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，让学生能够运用二次根式解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，使学生对二次根式的运算有一个清晰的认识。
7.家庭作业（5分钟）布置一些二次根式的运算练习题，让学生进行巩固。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和公式，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案2
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节课的主要目的是让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材通过引入二次根式，让学生在已有的一次根式知识基础上，进一步拓展对根式的认识。
本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，也是后续学习更高阶根式的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一次根式的相关知识，对根式的概念和运算方法有一定的了解。
但二次根式与一次根式在概念和运算上有很大的区别，学生可能需要一定的时间来消化和理解。
此外，学生可能对二次根式的实际应用场景还不够了解，需要在课堂上进行引导和拓展。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算方法，能够进行二次根式的化简和计算。
3.能够运用二次根式解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解二次根式的应用，通过小组合作学习法让学生在讨论中巩固知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和练习题。
3.小组合作学习的相关材料。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念：某立方体体积为8立方厘米，求该立方体的棱长。
解决这个问题需要用到二次根式，从而引出本节课的主题。
呈现（15分钟）1.介绍二次根式的概念，讲解二次根式的性质。
2.通过PPT展示二次根式的各种形式，让学生对二次根式有一个直观的认识。
3.通过案例讲解二次根式的运算方法，让学生学会如何进行二次根式的化简和计算。
操练（10分钟）1.让学生进行一些二次根式的化简和计算练习，巩固所学知识。
2.引导学生发现二次根式运算的规律，提高运算速度和准确性。
巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用二次根式进行解决问题，巩固二次根式的应用。
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二次根式及其性质
一、学生起点分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．
二、教材任务分析
本节分为三个课时。
第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．
为此，确定本节课教学目标是：
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；
第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：明晰概念
问题1 ：5，11，2.7，121
49
，
)
)(
(b
c
b
c-
+
（其中b=24，c=25），上述式子
有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
介绍二次根式的概念。
一般地，式子
)0
(≥
a
a叫做二次根式。
a叫做被开方数．强调条件：
≥
a．
问题2：二次根式怎样进行运算呢？
答：这是我们本节课要解决的新问题．
意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．
第二环节：探究性质
（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，b a b
a
=
．
具体过程如下：
（1）94⨯＝ ______，94⨯＝ _________；
2516⨯＝ ___________，2516⨯＝ _________________；
94
＝ ________，94
＝ ________ ； 2516＝ ___________ ，2516＝ _________．
（2）用计算器计算：
76⨯＝ ______，76⨯＝_______；76
＝ _______，76
＝ ________．
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？
意图：最终归纳出b a b a •=
⋅（a ≥0，b ≥0），b a
b
a
=
（a ≥0， b ＞0）．
说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略． 第三环节：知识巩固
例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
例2 化简：（1）45；（2）27；（3）31
；（4）98；（5）16125
．
答案：（1）5353595945=⨯=⨯=⨯=
；
（2）3333393927=⨯=⨯=⨯=；
（3）
31
=333
33
1=
••；
（4）
32
23223243
2
498
98=⨯=⨯=⨯==；
（5）
45
545545254
5
2516125
16125=⨯=⨯=⨯==．
问题：
（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断714
是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．
反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简． 第四环节：知识拓展
说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去． 练习：
1.下列平方根中， 已经简化的是（ ）
A. 31
B. 20
C. 22
D. 121
2.判断下列各式是否成立。
你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号 。
=（ ） ；
=③
=（ ）；
=你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并说明n 的取值范围？
第五环节：课堂小结 本节课主要内容：
（1）掌握并会运用公式：b a b a ⋅=
⋅（a ≥0，b ≥0），b a
b
a
=
（a ≥0，b ＞0）．
（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结． 五、教学反思
（一）关注类比，提出重点
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系． （二）对运算技能要求恰当定位
根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求。
（三）分层教学
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．。