外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法
知识回顾：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系：．
球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫
球的表面积表面积S＝；球的体积V＝．
球与棱柱的组合体问题
1．正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。
如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得
2
a
R=；
2．与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH的外接圆，易得a
R
2
2
=。
3．正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面
1
AA作截面图得，圆O为矩形C
C
AA
1
1
的外接圆，易得a
O
A
R
2
3
1
=
=。
一、公式法
例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
小结本题是运用公式222
R r d
=+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
图3 图4
图5
二、多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
三、补形法
例3
，则其外接球的表面积是 .
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）
A ．26a π
B ．29a π
C ．212a π
D ．2
24a π
四、寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思
想方
法值得我们学习.
C D A B S O 1图3
变式1：
求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
变式1：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为3
32π，则该三棱柱的体积为
五、确定球心位置法
1：三棱锥P ABC -中，底面ABC ?是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）
A ．2
B ．5
C ．2
D ．3
21 六．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
练习
1、球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
图6
2、.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.
3：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为()332
6243
a a V ==）
4、（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
5 、（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
6、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
7、（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
8、（2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C.
D. 6π
9、（2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
，则球O 的体积等于 .
10、已知球面上的三点A 、B 、C ，AB =6，BC =8，AC =10，球的半径为13，求球心到平面ABC 的距离.
11、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是（ ） A.
9π16 B.3π8 C.4π D.9π64
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =.∴外接球的 半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 .
外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5
二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．2 24a π 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思 想方 法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 C D A B S O 1图3
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 多面体几何性质法 例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例2 ，则其外接球的表面积是 . 解 正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 2 2 2 2 29R =++=.∴294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 寻求轴截面圆半径法 例3 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴ 由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球 的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . ∴ 12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43 V π =球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆， C D A B S O 1图3
2021年多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的 5种求法 欧阳光明（2021.03.07） 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为. 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是. 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()222 229R =++=.∴294 R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长
四面体外接球的球心、半径求法
四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为 2 2 2 c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2 2 22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++= 1663142 2 22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 A C D B E
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ， 5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。 解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22 210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ， 在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 52 1 == AC R 所以该外接球的体积为3 500343π π==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?=∠120BAC ， 2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。 解：由已知建立空间直角坐标系 )000(，， A )002(，， B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，-C O A B C P A B C D z x y
多面体外接球半径内切球半径常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =
多面体外接球半径常见的几种求法
多面体外接球半径常见的几种求法
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多面体外接球半径常见的几种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为３,则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ,则有 263,1,2936,38 4x x x h h =?? =?? ∴?? =???=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =,球心到底面的距离3 2 d =．∴外接球的半径221R r d =+=.43 V π ∴= 球． 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B.20π C.24π Ｄ.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ,则有 2416x =,解得2x =. ∴222222426,6R R =++=∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()()()()2 2 2 2 23339R =++=.∴ 294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2222R a b c =++.
多面体外接球半径常见的5种求法(汇编)
精品文档 多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离2d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径.. 小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A. B. C. D. 解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得. ∴.∴这个球的表面积是.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为，则有.∴. 故其外接球的表面积. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. 练习1 （2003 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） 3π B. 4π C. D. 6π 2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A. 27 B. 2 C. 8 D. 24 3 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ， DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥ ，O 的体积等于 . 4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上， B BCD A ⊥平面，B C DC ⊥，
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 二：常见几何体的外接球小结 1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R = ； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2 = 。 （3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 3 1= =。
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心） 内切球半径为： 6r a = 外接球半径为：a R 4 6= 三：常见题型 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 2. 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c = ++. 图1 图2 图3
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为 8 T 6x=3,T 1 I ' I x =— 解设正六棱柱的底面边长为x，咼为h，则有丿9 V3 2 2’ _=6汉——xh, 石 8 4 小一x/3 ???正六棱柱的底面圆的半径r =-，球心到底面的距离d二上3.二外接球的半径 2 2 R=、r2d2「=1. . V球二—. 3 小结本题是运用公式R2-r2 d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表 面积是 A. 16二 B. 20 二 C. 24 二 D. 32 二 解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R，则有4x2 = 16，解得x = 2. 二2R = J22+22+42=2屈,二R = T6. ???这个球的表面积是4兀R2=24兀.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是. 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，I把这个三棱锥可以补成一个棱长 为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 设其外接球的半径为R，则有（2R f =（応行（亦丫+（73$ =9.二R2=9. 4 故其外接球的表面积S =4二R2=9二. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c，则就
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直
几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)
几何体外接球常用结论及方法（如何求几何体的外接球半径） 一、在涉及球的问题中，经常用到结论： （1）在三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，则该三棱锥的外接球的半径 2R = （2倍． （3）直角三角形的三角形外接圆的半径等于斜边的一半． （4）一般的三角形ABC 可由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为外接圆半径）求得外接圆半径，内切圆的半径通过：12 S C r =?多边形多边形的周长（r 为内切圆的半径）求得． （5）已知三棱锥P ABC -，PA ⊥面ABC ，若PA a =，ABC △的外接圆半径为r ，则该三棱锥 P ABC -的外接球半径为()()22222R r a =+． （6）正方体的外接球、内切球、棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R =、棱长2R a =、 面对角线长2R =． （7）在四面体P ABC -，若90APC ∠=?，90ABC ∠=?，则四面体P ABC -的外接球的直径是 AC ． （8）对于正棱锥的外接球的半径计算，也可借用几何法求出.如针对正三棱锥V ABC -，可根据平 面几何中的射影定理22VA VO VH Rh '=?=（h 为正三棱锥的高，VA 为侧棱长，即正棱锥侧棱长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积． （9）正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间的关系： ①高：a h 36=；②球心把高分成3：1；③内切球半径：a 126；外接球半径：a 4 6. （10）有内切球的多面体的内切球的半径计算方法：13V S r = 全． （11）三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情 形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ?，BCD ?的外接圆半径分别记 为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：( )()()222 212222R r r a =+- 证明：分别在ABD ?，BCD ?所在的圆面上调整这两个三角形的开关，如图
多面体外接球半径内切球半径常见几种求法复习过程
多面体外接球半径内切球半径常见几种求 法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =.∴外接球的 半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.
∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 . 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294 R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ， 如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . C D A B S O 1图3
最新专题 多面体的外接球问题
专题 多面体的外接球问题 一、考点分析： 有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积： 3 4 13球、V R π= 224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等(R ) 2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型： (一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题） 例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是 111120ABC A B C -∠1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（ ） (二)对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱； A A 1 C 1B B C 1A
第62讲 几何体外接球的半径的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练
【知识要点】 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法. 模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法. 解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '?,再解Rt OO A '?求出球的半径OA . 【方法讲评】 【例1】已知四面体中， ， ， ， 平面 ，则四面体 外 接球的表面积为__． 【点评】(1)本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型,但是通过推理分析得到了 PA PB PC 、、两两垂直,所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径. （2）利用模型法解答时，一定 要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个. 【反馈检测1
上，则球的体积为___________. 3 【点评】(1)由于本题的几何体不宜放在长方体模型中,所以用解三角形法解答. （2）利用解三角形法求几何体外接球的半径，先要找到球心O 的位置，要找球心O 的位置，没有固定的规律，要结合几何体的特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，如果是其它的几何体就不是这个位置了. 找到球心O 的位置后，再确定截面圆的圆心1O 位置，再表示出球心O 到截面圆圆心1O 的距离1OO ，这个是难点，要结合几何图形分析.最后是解1Rt OO A ?，求出球的半径R . （2）如果几何体底面是三角形，求截面圆的半径r ，一般利用正弦定理
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的 5 种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体， 这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考 考查的一个热点 . 研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识， 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系， 而多面体外接球半径的求 法在解题中往往会起到至关重要的作用 . 公式法 例 1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同 9 一个球面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 8 x 1, x, 2 h 3． 13 ∴正六棱柱的底面圆的半径 r ，球心到底面的距离 d . ∴外接球的半径 22 2 2 4 R r 2 d 2 1. V 球 . 3 222 小结 本题是运用公式 R 2 r 2 d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 . 多面体几何性质法 例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16，则这个球的表面 积是 A.16 B. 20 C. 24 D. 32 解 设正四棱柱的底面边长为 x ，外接球的半径为 R ，则有 4x 2 16 ，解得 x 2. ∴2R 22 22 42 2 6, R 6 . ∴这个球的表面积是 4 R 2 24 .选 C. 小结 本题是运用 “正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径” 这一性质来求解的 . 补形法 例 3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， 且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知， 该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 . 2 2 2 设其外接球的半径为 R ，则有 2R 2 3 3 3 9.∴R 2 9 . 4 故其外接球的表面积 S 4 R 2 9 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a 、 b 、 c ，则就 可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直 径. 6x 3, x ，高为 h ，则有 9 3 2 6 x 2 h, 84 解 设正六棱柱的底面边长为
多面体的外接球半径常见求法
多面体的外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体 的。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体 的。 球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关 系：． 球的表面积表面积S＝；球的体积V＝． 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底 8面周长为3，则这个球的体积为 . 小结本题是运用公式222 =+求球的半径的，该公式是求球的半 R r d 径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、寻求轴截面圆半径法 例3 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都 S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的 体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为332π ，则该三棱柱 的体积为 C D A S O 1 图3
四、确定球心位置与球心在截面上的投影 例4：三棱锥P ABC ?是边长为2的正三角形，PA⊥底-中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为（） 21 A．2 B．5C．2 D． 3 变式1：三棱锥P ABC ?中AB=3，BC=4，AC=5 PA⊥底 -中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为 变式2：三棱锥P ABC ?中AB=4，BC=5，AC=6 PA⊥底 -中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为 变式3：已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O的表面积为 . 五、补形法 例5 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别
多面体外接球半径常见的5种求法111
多面体外接球半径常见的5种求法 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =?? =?? ∴?? =???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径1 2 r = ，球心到底面的距离2d =. ∴外接球的半径 1R ==.43 V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 . 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 . 故该球的体积为. 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。 长方体体对角线长为14π. 例4、（2006年全国卷I ） 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
多面体外接球半径常见的5种求法(柯建华)
多面体外接球半径常见得5种求法 如果一个多面体得各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体就是球得内接多面体,这个球称为多面体得外接球、有关多面体外接球得问题，就是立体几何得一个重点,也就是高考考查得一个热点、研究多面体得外接球问题，既要运用多面体得知识，又要运用球得知识,并且还要特别注意多面体得有关几何元素与球得半径之间得关系,而多面体外接球半径得求法在解题中往往会起到至关重要得作用、知识回顾： 1、球心到截面得距离ｄ与球半径Ｒ及截面得半径r有以下关系 2、球面被经过球心得平面截得得圆叫．被不经过球心得平面截得得圆叫 ３、球得表面积表面积S＝;球得体积Ｖ= 4、球心一定在过多边形（顶点均在球面上)外接圆圆心且垂直此多边形所在平面得垂线上 方法一:公式法 例1一个六棱柱得底面就是正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,且该六棱柱得体积为,底面周长为３，则这个球得体积 为、 解设正六棱柱得底面边长为,高为,则有 ∴正六棱柱得底面圆得半径，球心到底面得距离、 ∴外接球得半径、、 小结：本题就是运用公式求球得半径得,该公式就是求球得半径得常用公式、（R-球得半径;d—球心到球截面圆得距离，注意球截面圆通常就是顶点在球上多边形得外接圆;r-顶点在球上多边形得外接圆得半径)
方法二：多面体几何性质法 例2已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4，体积为16，则这个球得表面积就是( ） Ａ、Ｂ、 C、D、 解：设正四棱柱得底面边长为,外接球得半径为,则有，解得、 ∴、∴这个球得表面积就是、选C、 小结：本题就是运用“正四棱柱体(包括正方体、长方体)对角线得长等于其外接球得直径"这一性质来求解得、 方法三:补形法 例３：若三棱锥得三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是、 解:据题意可知,该三棱锥得三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为得正方体,于就是正方体得外接球就就是三棱锥得外接球、 设其外接球得半径为,则有、∴、 故其外接球得表面积、 小结:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径、设其外接球得半径为,则有、 PＡ、PB、PC两两垂直采用补形法