新北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》优质课课件(共19张PPT)
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
A
D
O
边 矩形的两组对边分别平行
矩形的两组对边分别相等
B 数学语言
C
∵四边形ABCD是矩 形 角 矩形的四个角都是直角
A B C D 90
∴ ∴ AO= AD =BC CO ， OD CD =AB OB ∴ AD ∥ BC， ， CD= ∥ AB ∴ AC= BD
0
对角线
矩形 的两条对角线相等 矩形的 两条对角线互相平分
边
角
对角线
对称性
平行四 边形
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补
对角线互 相平分
中心对 称图形
对边平行 四个角 对角线互相 中心对称图形 且相等 为直角 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质
试试：用文字叙述 直角三角形斜边上中线的性质
A
┛ O
D
在矩形ABCD中
zxxkw
B
1 2AC=
C
AO=CO=BO=DO=
1 2BD
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
1 则有：AO= BD 2
直角三角形斜边上中线的性质 ：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
解：∵ 四边形ABCD是矩形 o ∴AC与BD相等且互相平分 B ∴ OA=OB ∵ ∠AOB=60° ∴ △AOB是等边三角形 ∴ OA=AB=4(㎝) ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交 于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角 线的长？ A D
C
已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相 交于点O，∠AOD=120°，AC=8cm，求矩 形的边长.
解： 在矩形ABCD中，
A O
B
D
∵ ∠AOD=120° ∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB ∴ △AOB为等边三角形
1 ∴AB=OA= AC=4cm 2
C
在Rt△ABC中， BC= AC2 - AB2 = 82 - 42 =
48
= 4 3 (cm）
方法小结:
如果矩形两对角 线的夹角是60° 或120°, 则其中必有等边三角形.
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矩形具有而一般平行四边形不 具有的性质是 ( C ) A.对角相等
B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
营中寻宝
已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
10 则AC＝_______ ㎝
D O
C
A
B
5 OB=_______ ㎝
4 2.若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
4 3 AB= _____cm
营中寻宝
3.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900， BD是斜边AC上的中线
5、如果矩形的一条对角线的长为8 cm，两条对 角线的一个交角为120°，求矩形的边长
6、如图：矩形ABCD的两条对角线 相交于点O，CE‖OB交AB的延长线 A 于点E，试证明AC与CE的大小关系。
B
E
D
O
C
A
D
从一般到特殊
矩形的定义：
B C
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
边
角
对角线
矩形对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且平分；
对角线 对角线互相平分的四边形；
情 景 创 设
我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质. 同样对于平行四边形来说也有特殊 的平行四边形，这堂课我们就来研 究一种特殊的平行四边形——
矩形
矩形的定义：
组卷网
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
直角三角形斜边上的中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
课后作业:
1．学习之友 P29 第3、 4、 11、
19.2 特殊的平行四边形Βιβλιοθήκη 19.2.1学 科网
矩形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
平行四 边形的 性质： 平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线 平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定定理：
两组对边分别平行的四边形；
边 平行四 边形的 判定： 两组对边分别相等的四边形； 一组对边平行且相等的四边形； 角 两组对角分别相等的四边形；
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝
B A D
┓
C
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝.
㎝，
三、学以致用
1、矩形具有而平行四边行不具有的的性质是（B） （A）对角相等 （B）对角线相等 （C）对角线互相平分 （D）对边平行且相等 2、矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条 对角线相交所成的锐角是（ D） （A）20° （B）40° （C）60° （D）80° 3、两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线（ D） （A）26 （B）13 （C）8。5 （D）6。5 4、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O， ∠AOB=60°，AB=4cm，则矩形对角线的长为 8 cm
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北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
边形是什么图形?
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
1.2 课时2 矩形的判定 课件 (共20张PPT) 数学北师版九年级上册
矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：∵ 四边形ABCD是四边形 ∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
S□ ABCD=BCAB=
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
1.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）A.15cm B.30cm C.45cm D.90cm
矩形的判定方法：
平行四边：2024年9月15日
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴□ ABCD是矩形
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。
几何语言：∵ 四边形ABCD是四边形 ∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
S□ ABCD=BCAB=
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
1.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）A.15cm B.30cm C.45cm D.90cm
矩形的判定方法：
平行四边：2024年9月15日
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴□ ABCD是矩形
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。
最新北师大版初中九年级数学上册《矩形的性质与判定》优质教学课件
大，此时它是矩形，
D
C
即∠DAB2、如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接E
F、AD. 求证：EF=AD.
B
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形.
D
F
C
E
A
B
C
O
E
A
D
课堂小结
矩形的性质和判定的综合应用 运用矩形的性质可以证明线段相等或线段之间的倍分关系，以
及直线的位置关系、角的等量关系，常常与直角三角形的有关知识 综合运用.
归纳总结
1．本节课你学习了什么？ 2．本节课你有哪些收获？ 3．通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
请对自己说出收获，对同
M B
A
EO
FN
CD
典例精析
例5、在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设∠BCA 的平分线交MN于点E，△BCA的外角∠ACD的平分线交MN于点F. (1)证明：EO=FO； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由.
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
总结
学们说注意事项，对老师
说出你的困惑。
课后作业
完成练习册本 课时的习题.
谢谢聆听
A
P
D
E
F
O
B
C
∵AB=3，AD=4，
∴S矩形ABCD=3×4=12，BD==5,
∴S△AOD= S矩形ABCD=3，OA=OC= ,
∵S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA·PE+ OD·PF= ××PE+ × ×PF= (PE+PF)=3,
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)
｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
北师大版数学九年级上册第一章1.2矩形的性质与判定(共31张PPT)
学习目标
1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定 理以及相关结论； 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．
2
复习回顾
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？
边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分．
课程引入
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事 外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形 式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
A
D
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
〔对角线相等且互相平分的四边形是矩形。〕
几何语言：
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
O
AC=BD
〔或OA=OC=OB=OD〕
∴四边形ABCD是矩形
B
C
12
知识小结
两组对边 四边形 分别平行
平行
对角线
四边形 相等
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
有一个角是直角
甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是 直角。所以我这个四边形门就是矩形〞。
乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的 长度相等，所以我这个四边形门就是矩形〞。
1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定 理以及相关结论； 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．
2
复习回顾
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？
边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分．
课程引入
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事 外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形 式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
A
D
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
〔对角线相等且互相平分的四边形是矩形。〕
几何语言：
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
O
AC=BD
〔或OA=OC=OB=OD〕
∴四边形ABCD是矩形
B
C
12
知识小结
两组对边 四边形 分别平行
平行
对角线
四边形 相等
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
有一个角是直角
甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是 直角。所以我这个四边形门就是矩形〞。
乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的 长度相等，所以我这个四边形门就是矩形〞。
北师大版九年级数学上册 1.2.1 矩形的性质 课件(共31张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
1. 理解矩形的概念，探索矩形的轴对称性质，探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.2.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2：矩形的性质定理
归纳总结
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
归纳总结
矩形定理1：矩形的四个角都是直角；矩形定理2：矩形的对角线相等．矩形定理3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
具有平行四边形的一切性质
1. 四个内角都是直角2. 两条对角线互相平分且相等
3.直角三角形斜边上的中线等于______的______.
直角
直角
相等
轴对称
斜边
一半
知识点一 矩形的定义
1.在平行四边形 中，添加条件__________，可得四边形 是矩形.
知识点二 矩形的性质
2.一个矩形的邻边长之比为 ，对角线长为 ，则其周长为( )
B
A. B. C. D.
（2） 已知 ， 是 的平分线，若 ，则 的面积为_ _____．
完成学生用书对应课时练习
（第3题图）
3.如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 .若 ，则 的大小是( )
C
A. B. C. D.
（第4题图）
4.如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ， .若 ，则四边形 的周长为____.
24
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
（1） 求证： .
（2） 若 ， ，求矩形 的面积.
（1） 求证： .证明Leabharlann 四边形 为矩形， ， . . ， .
1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT) 北师版九年级上册
习题解析
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定课件(共16张PPT)
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你能证明上述结论吗？ 本节课你的收获与困惑是什么？
下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
新知总结
矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
D
证明：如图，∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°， ∠ B +∠C=180°，
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定(二）
知识回顾
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形.
平行四边形 一个角是直角
矩形
矩边
矩形的对边平行且相等.
形
的 角 矩形的四个角都是直角.
性
质 对角线 矩形的两条对角线相等
且互相平分.
第一环节：创设情境，提出问题
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮 筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点 时，平行四边形的形状会发生什么变化？
∴AD∥BC，AB ∥CD，
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
新知总结
小结：用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件 的个数上有何区别？
定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
D
CA
4．举例说明人体的激素参与生命活动 的调节 。
5．进行资料分析，认同研究激素功能 的基本 方法。 6．举例说明激素调节受神经系统的调 控，人 的生命 活动主 要受神 经系统 调节， 但也受 激素调 节的影 响
北师大版九年级数学上1.2 矩形的性质与判定 (共39张PPT)
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
北师大版数学九年级九年级上册1.2.1 矩形的性质 课件(共30张PPT)
△OAD≌△OCB
2020/6/19
16
例1 如图1-10，在矩形ABCD中，两条对角线相交 于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角 线的长.
A
D
O
B
C
图1-10
2020/6/19
17
解 ：Q 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ，
D A B = 9 0 °( 矩 形 的 四 个 角 都 是 直 角 )，
矩形的问题常
可以转化为直角 三角形或等腰三 角形的问题来解 决.
2020/6/19
22
矩形之歌
脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门. 对角线段皆相等，相互交叉且平分. 内有直角三角形，斜边中线半斜边. 若要牢记其定义，直角平行四边形.
2020/6/19
23
课堂小结
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
6
矩形有什么性质？
有平行四边形 的所有性质
还有其它特 殊的性质
2020/6/19
7
推进新课
矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）
A
D 边： 矩形的对边平行且相等.
O
角： 矩形的对角相等.
B
C 对角线：矩形的对角线互相平分.
2020/6/19
8
矩形的特殊性质
A
D
B
C
边： 猜想1：矩形的四个角都是直角． 角： 对角线： 猜想2：矩形的对角线相等．
则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别 为_6_0_°_、_1_2_0_°、 _6_0_°_ 、 _1_2_0_°. （3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角 线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 ___5___ cm， _5___3 cm， ___5___ cm，5___3_ cm.