数学实验怎样计算圆周率

怎样计算

姓名:

学号

班级:数学与应用数学4班

实验报告

实验目的:自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值,并学会计算的近似值的方法。

实验环境:Mathematica软件

实验基本理论与方法:

方法一:数值积分法(单位圆的面积就是,只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值)

其具体内容就是:以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系,则单位圆在第一象限内的部分G就是一个扇

形,

由曲线()及坐标轴围成,它的面积就是,算出了S的近似值,它的4倍就就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图

图一

扇形G中,作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0,1](也就就是扇形在x轴上的半径)分成n等份(n=20),相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分()。每部分就是一个曲边梯形:它的左方、右方的边界就是相互平行的直线段,类似于梯形的两底;上方边界就是一段曲线,因此称为曲边梯形。如果n很大,每个曲边梯形的上边界可以近似的瞧成直线段,从而将近似的瞧成一个梯形来计算它的面积;梯形的高(也就就是它的宽度)h=1/n,两条底边的长分别就

是与,于就是这个梯形面积

可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的与T就可以作为扇形面积S的近似值:

n越大,计算出来的梯形面积之与T就越接近扇形面积S,而4T就越接近的准确值。

方法二:泰勒级数法

其具体内容就是:利用反正切函数的泰勒级数

计算。

方法三:蒙特卡罗法

其具体内容就是:单位正方形的面积=1,只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例,就能立即得到S,从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值,方法就是在正方形中随机地投入很多点,使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等,瞧其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k 的近似值。能够产生在区间[0,1]内均匀分布的随机数,在Mathematica 中语句就是

Random[ ]

产生两个这样的随机数x,y,则以(x,y)为坐标的点就就是单位正方形内的一点P,它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件就是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。

实验内容、步骤及其结果分析:

问题1:在方法一中,取n=1000,通过计算图一中扇形面积计算的

的近似值。

分析:图一中的扇形面积S实际上就就是定积分。

与有关的定积分很多,比如的定积分

就比的定积分更容易计算,更适合用来计算。

梯形公式:设分点,…,将积分区间[a,b]分成n等分,即

,。所有的曲边梯形的宽度都就是h=(b-a)/n。记,则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积。将所有这些梯形面积加起来就得到

这就就是梯形公式。

辛普森公式:仍用分点()将区间[a,b]分成n等分,直线x=()将曲边梯形分成n个小曲边梯形,再做每个小区间的中点。将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)(x)近似的瞧作经过三点(x,f(x))(x=,,)的抛物线段,则可求得

,其中。于就是得到

这就就是辛普森公式。

取n=1000,10000,用梯形公式与辛普森公式计算

=与=

的近似值(取20位有效数字)。将所得的结果与的准确值相比较。其步骤就是:(1)打开Mathematica软件;

(2)分别输入下列语句:

运行后结果如下图:

结果分析:从上面结果可以瞧出,所得到的结果与的准确值非常接近。

问题2:将x=1带入方法二的级数中得到

。

在上面的级数中取n=20000计算的近似值,观察所得的结果与所花的时间。

其步骤就是:(1)打开Mathematica软件;

(2)分别输入下列语句:

运行后,结果如下图:

结果分析:根据实验结果,花费的时间很长,结果准确性较差。

问题3:取n=1000,10000,50000,按方法三所说的随机投点的方法来计算的近似值;对不同的n,观察所得结果的精确度,您发现什么规律？并将精确度与数值积分法作比较。

其步骤就是:(1)打开Mathematica软件;

(2)分别输入下列语句:

运行后,结果如下图:

结果分析:对不同的n,当n的值越大时,所得到的结果越精确,越接近的近似值。而此方法显然没有数值积分法及泰勒级数法精确。附录(源程序)

以下所示的程序在实验中就是按顺序进行的。

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.