必修一集合教案

1．1集合的含义及其表示

一、教学目标

1．知识与技能

领会集合的概念，理解其含义及集合的三要素，掌握集合的表示方法并能简单应用。

2．过程与方法

能正确使用集合及其元素的记号，熟练掌握常见集合的记号，会使用符号∈，?来联系元素与集合的关系；体会各种表示方法的优劣，能够根据具体需求在各种方法中选择最佳。

3．情感、态度与价值观

感受集合的语言特征，培养学生的慎密思维及逻辑思维能力；在方法选择上体会辩证法思想，可以增强我们的理性思维能力及思考探究能力。

二、教学重点和难点

重点：集合的基本概念和表示方法；

难点：运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．

三、教学过程

（一）问题情境，导入新课

1．回顾初中数集的分类 2．调查班级同学的初中毕业学校，选择两所列出同学的名单（二）新知探究

1．问题1：上述实例有什么共同特征？

结论：都是一些不同对象组成的全体．

问题2：下面的全体和上面的全体有什么不同吗？

（1）著名科学家；（2）高一（1）班的所有女生；（3）美丽的花；（4）小朋友

区别：前面一些全体的对象是确定的，而后面一些全体的边界则是模糊的．

2．集合的描述性概念：

集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，集合B等；集合的元素常用小写拉丁字母表示．

一些数集有特殊的记号：

自然数集N 正整数集N＊或N＋整数集Z有理数集Q实数集R

3.元素与集合的关系：a∈A，读作：a属于A；a?A，读作：a不属于A．

4．元素的特性：

（1）确定性，元素a是否在一个集合A里面是确定的。

（2）互异性，集合中没有相同的元素。

（3）无序性，集合中元素的书写顺序是任意的。

注：若两个集合所含元素完全相同，则称这两个集合相等。

5．集合的表示方法：

（1）列举法：把集合中的所有元素都列出来，写在｛｝内，元素间用逗号相隔。

（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（即满足的条件）表示出来，写成{ x | P（x）}的形式（竖线前面左边的x叫作此集合的代表元素，竖线右边的P是元素所具有的公共属性）．

（3）图示法：①Venn图法，用一条封闭的曲线将集合的元素放在一起，元素间用逗号相隔。

②数轴法，不等式的解集常用数轴表示。如集合{x|2＜x≤5}

1，2，3

①②

说明：集合的各种表示方法，各有优点，有些集合只能用其中一种方法表示，有些集合能同时用几种方法表示．

6. 【例题解析】

例1下面的各组对象能组成集合的是（1）（4）（6）

（1）正三角形的全体（2）血压很高的人（3）鲜艳的颜色（4）我校2009级高一新生（5）所有数学难题（6）所有不大于3，不小于0的整数

例2用“=”、“>”、“<”、“∈”、“?”填空

N；（43 R；

（1）3．14 Q；（23 Z；（3）0 *

（5）π 3.14；（6）0 N；（7）0 φ；

N；（43∈R；（5）π>3.14；（6）0∈N；（1）3．14∈Q；（23?Z；（3）0?*

（7）0?φ；

例3（1）求方程x2－1＝0的解集．（2） {x│x－3＞2}表示什么意思？

说明：｛－1，1｝＝｛1，－1｝

（3）{(x，y)│y＝x＋1 }表示什么意思？

说明：认识一个集合要弄清集合的元素是什么，要明确该集合的元素是数、点还是其它

形式.一般地，数集中的元素是数的表示形式，点集、方程组的解集中，元素的形式是有序

实数对．

例4求方程x 2＋x ＋1＝0所有实数解的集合．

说明：方程没有实数解，即原方程解的集合里没有任何元素，称这样的集合为空集．记

为：?．如果一个集合里的元素是有限的，称其为有限集，一个集合不是有限集，称其为无

限集．

思考：集合｛0｝是空集，有限集，还是无限集?

【巩固提高】

1.已知集合A=2{2,25,12}a a a -+，且3-∈A ，求实数a 的值。

解：3A -∈，23a ∴-=-或2253a a +=-

或32

a =-

，但1a =-时，22253a a a -=+=-与集合中元素的互异性矛盾， 32

a ∴=- 2.当a 、

b 满足什么条件时，方程0ax b +=的解构成的集合为有限集、无限集、空集？

解：设集合A 为方程0ax b +=的解集

①若0a ≠，则方程0ax b +=有唯一解，此时A 为有限集；

②若0a =且0b =，则x R ∈即A=R ，A 为无限集；

③若0a =且0b ≠则方程0ax b +=无解，A 为空集. 【课堂检测】

1．下列各组对象不能形成集合的有 ④

①大于2的所有整数 ②所有无理数③正实数 ④《数学必修一》中的所有难题

2．给出下列关系：（1）

12

R ∈；（2Q ；（3）3N -?；（4）Q 其中正确的个数是 3

3．数集2{1,,}x x -中的x 不能取哪些数 。1,0,1-

4．已知m N ∈且(8)m N -∈，则m 的可能值为 0,1,2,3,4,5,6,7,8

5．判断对错： 错、对、对、错

（1）m N ∈，n N ∈且m n ≠，则m n +的最小值是2 （ ）

（2）a Z ∈，b Z ∈则a b Z +∈ （ ）

（3）“个子较高的人”不能构成集合 （ ）

（4）若a N ∈，则21a ≥ （ ）

6．用列举法表示下列集合：

（1）｛x │x 是15的约数，x ∈N ｝；（2）｛(x ，y )| x ∈｛1，2｝，y ∈｛2，3｝｝；

（3）｛(x ，y )| x ＋y ＝3，x －2y ＝0｝；说明：错误表示：｛2，1｝，｛x ＝2，y ＝1｝．

（4）｛x │x ＝(－1)n ，n ∈N ｝；（5）{(x ，y )|x +y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}．

7．用描述法表示下列集合；

（1）偶数集；（2）正奇数集；（3）｛1，4，7，10，13｝；（4）｛－2，－4，－6，－8，－10｝．

8．设A 表示集合2

{2,3,23}a a +-，B 表示集合{3,2}a +，若已知5A ∈，且5B ?，求实

数a 的值。

解：5a ∈，且5B ? 223535

a a a ?+-=∴?+≠?即422a a a =-=??≠?或 4a ∴=- （四）回顾小结

本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念；2．集合的表示方法；3．常用数集的定义

及记法．

（五）课外作业：

1.高中数学教学与测试P1、P41-41

2. 预习下一课有关内容。

1．2子集、全集、补集（1）

一、教学目标

1．知识与技能

理解集合之间包含与真包含的含义，能识别给定集合的子集、真子集，会写出给定集合的所有子集和真子集.

2．过程与方法

体验子集概念的形成过程，初步学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，训练思维的条理性；体验数形结合与化归的思想在数学中的应用。

3．情感、态度与价值观

增强自己的数学理性思维能力，培养良好的数学思维品质；通过学习集合的运算，提高利用集合的观点来分析问题、解决问题的能力，增强学习数学的兴趣。

二、重点和难点

重点：子集、真子集的概念．

难点：弄清元素与子集，属于与包含、真包含之间的区别．

三、教学过程

（一）回顾复习

1．元素与集合的关系表示；

2．集合的表示方法及其注意点。

（二）问题情境，导入新课．

1．观察下列几组集合，它们之间的共同特点是什么？如何用符号描述这种关系？

（1）A＝｛－1，1｝，B＝｛－1，0，1｝；

（2）A＝N，B＝R；

（3）A＝｛x│x是江苏人｝，B＝｛x│x是中国人｝．

A集合中的元素都是B集合中的元素（A集合是B集合的一部分），即：任意x∈A，则x∈B．

（二）新知探究及运用

1．子集的概念及符号表示

对于两个集合A 和B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 为

集合B 的子集，记为：A ?B (或B ?A )，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ” ．

若任意x ∈A ?x ∈B ，则A ?B ．

规定：空集是任何集合的子集．

2．思考：（1）A ?A 正确吗？

（2）A ?B 和B ?A 能否同时成立？

（3）A ?B 和B ?A 意味着什么？

（4）A ?B ，B ?C ，你能得出什么结论？

3．说明：区别∈和?的使用．元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。

如1∈N ，

－1?N ，N ?R ，??R ，{1}?{1，2，3}．

4．例1写出集合｛a ，b ｝的所有子集．

思考：（1）如何书写有限集的所有子集？

5．A ?B 有两种可能：（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合，因此不能把子集说

成是由原来集合中的部分元素组成的集合．

如果A ?B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B （或B A ），

读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”．

6.【练习】写出集合{1，2，3}的所有子集和真子集

解：所有子集为：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}；

所有真子集为：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}

【思考】（1）能说空集是任何集合的真子集吗？（2）如何判别A B ？

【新知探究】一个含有n 个元集的集合的子集有多少个？真子集有多少个？非空真子集有多

少个？

由例1与练习题1，可知

(1)集合{a,b}的所有子集的个数是4个，即?,{a},{b},{a,b}

(2) 集合{a,b,c}的所有子集的个数是8个，即 ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(1624

=)

(2)集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？(n 2) 结论：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n

2，所有真 子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n

【巩固提高】

1.完成课本P9练习第3题，P10习题第2、5题

2.若{}{}A B m x m x B x x A ?+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范

围.)1(-≥m

3.已知{

}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==??.（{}φ或2）

【课堂检测】

1. 用适当的符号填空：

(1)a ＿｛a ｝； (2)a ＿｛a ，b ，c ｝；(3)d ＿｛a ，b ，c ｝；

(4)｛a ｝＿｛a ，b ，c ｝；(5)｛a ，b ｝＿｛b ，a ｝；

(6)｛3，5｝＿｛1，3，5，7｝；(7)｛2，4，6，8｝＿｛2，8｝；(8)Ф＿｛1，2，3｝

2.集合}Z k ,2k x x {A ∈==,}Z k ,24k x x {B ∈+==，则有B A B

A 3.设}2x 1x {A <<=，}a x x {

B <=，若A B ，则a 的取值范围是 2a ≥

4.已知集合A={1,1+x,1+2x},B={1,y,y 2},且A=B ，则实数x=________,y=________.2

1,43-- 5.已知}e ,d ,c ,b ,a {A }b ,a {??，则满足条件的集合A 的个数为___________.8个

6.设集合A={x|x 2+4x=0,x ∈R},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,a ∈R,x ∈R},若B ?A ，求实数a 的值.

解：因为A={x|x 2+4x=0}={-4,0},

又因为B ?A ，所以B=φ，{-4}，{0}，{-4，0}四种情况：

(1)当B=φ时，?=4(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得a<-1;

(2)当B={-4}或{0}时，需?=0，解得a=-1,验证知B={0}满足条件；

(3)当B={-4，0}时，由根于系数的关系是

,)

1a (2041a 042???+-=+--=?-解得=1； 综上可知所求实数a 的值为a =1或a ≤-1.

7．集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B

A ，则实数m 的值是 ． m ＝0 或13或－12;

8．判断下列集合之间的关系：

（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；A ?B ?C.

（2）A={2

|20x x x --=},B={|12x x -≤≤},C={2|44x x x += 解： {12},{2}A C =-=，，∴C A B.

（3）A={10|110x x ≤≤},B={2

|1,x x t t R =+∈},C={|213x x +≥}; 解： {|1},{|1}B x x C x x =≥=≥， ∴A

B=C. （4）11{|,},{|,}.2442k k A x x k Z B x x k Z ==

+∈==+∈ 解：12112,.244424k k k k +++=+=∴当z k ∈时，2k+1是奇数，k+2是整数， ∴A B.

9． 已知集合{}

2|(2)10A x x p x x R =+++=∈，，且?A {负实数}，求实数p 的取值范围． 解： (1)当?<0时，{}A φ=?负实数，符合条件

由2(2)4040p p ?=+-<<<解得－

(2)004p ?==-当时，或

01{}

41{}0

p x A p x A p ==-?=-=?∴=当时，解得，满足负实数当时，解得，不满足负实数

(3)当?>0时，要{}A ?负实数则

1212

0000x x p x x ?>+<>?>?????解得 综上所述，p >-4．

（四）回顾小结 本节课学习了以下内容：1．子集、真子集的有关概念；2．如何写出一个集合的子集、真子

集；3．一个含有n 个元集的集合的子集、真子集、非空真子集个数的探究

（五）课外作业：

1.高中数学教学与测试 P2第1、2、4题和例题1

2.高中数学教学与测试P43 第1、3、5、6题

3. 预习下一课有关内容。

1．2子集、全集、补集（2）

一、教学目标

1．知识与技能

理解集合之间包含与真包含的含义，能识别给定集合的子集、真子集，会写出给定集

合的所有子集和真子集. 理解在一个给定的集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的

补集。

2．过程与方法

体验子集概念的形成过程，初步学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，训练思维的

条理性；体验数形结合与化归的思想在数学中的应用。

3．情感、态度与价值观

增强自己的数学理性思维能力，培养良好的数学思维品质；通过学习集合的运算，提高

利用集合的观点来分析问题、解决问题的能力，增强学习数学的兴趣。

二、重点和难点

重点：子集、补集的概念．

难点：弄清全集与补集，属于与包含、真包含之间的区别．

三、教学过程

（一）【知识再现】

1.子集：B A B x A x ?∈?∈，则若任意

当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ?/B 或B ?/A

注：B A ?有两种可能：（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合

2.集合相等：若A B B A ??与同时成立，则集合A 等于集合B ，记作A=B

3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的

真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A

4子集与真子集符号的方向不同与同义；与B A B A A B B A ????

5.空集是任何集合的子集Φ?A ；空集是任何非空集合的真子集Φ A

若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ?

6.易混符号

①“∈”与“?”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系

如,,1,1R N N N ??-∈Φ?R ，{1}?{1，2，3}

②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合

如 Φ?{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}

7含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非

空真子集数为22-n

（二）问题情境，导入新课．

（课本P8页例2）下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？

（1）S ＝｛－2，－1，1，2｝，A ＝｛－1，1｝，B ＝｛－2，2｝；（2）S ＝R ，A ＝｛x │x ≤0，

x ∈R ｝，B ＝｛x │x ＞0，x ∈R ｝；（3）S ＝｛x │x 为地球人｝，A ＝｛x │x 为中国人｝，B ＝｛x │x

为外国人｝．

（三）新知探究及运用

思考：观察课本例2中每一组的三个集合，它们之间还有一种什么关系？

A ，

B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的元素．

我们定义同时满足这两条性质的A ，B 两个集合在集合S 中互为补集关系．

设A ?B ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为S A (读作

A 在S 中的补集)，即S A ＝｛x │x ∈S ，且x ?A ｝

如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全

集，全集通常用字母U 表示．

如图所示，阴影部分表示集合A 在集合S 中的补集S A ． 如在实数范围内讨论问题时，可以把实数集看作全集U ，那么，有理数集Q 的补集

S Q 就是全体无理数的集合．

【概念探究】

1． 补集的元素的性质 ____________.U x ∈且x A ?

2. 补集的性质：A ∪(C U A)=U A ∩(C U A)=φ C U (C U A)=A C U U=φ C U φ=U

说明：（1）补集是相对全集而言，离开全集谈补集没有意义；

（2）若B ＝S A ，则A ＝S B ，即S (S A )＝A ；

（3）S S ＝?，S ?＝S ．

【例题解析】

例1阅读课本例3

例2已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A

S A

解：∵A R

∴C U A ＝｛x ｜x ＜0，或x ≥4｝

例3 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，

讨论A 与C S B 的关系

解：∵S ＝｛x|－3≤x ＜6｝，A ＝｛x|0≤x ＜3｝， B ＝｛x|3≤x ＜6｝

∴C S B ＝｛x|－3≤x ＜3｝∴A ?C S B

【思考探究】你觉得例1例2首先应该怎样做？在进行补集运算的时候应注意什么？

①应在数轴上画出不等式表示的范围

②注意利用好补集的性质，元素要不重复、不遗漏，尤其是端点值．

【特别提醒】注意全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，不同的问题全集可以不同。

【巩固提高】

1.课本P10习题第3、4题

2.已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 1＜a ≤9

3．已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝如果C U A ＝｛－1｝，那么a 的值为

2

4．集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,且x+y=3｝，

求C U A . ｛（1，1），（2，2）｝

【课堂检测】

1．设U=｛0,1,2,3,4｝，A=｛0,1,2,3｝，B=｛2,3,4｝，则（C U A ）∪（C U B ）= ｛0,1,4｝

2．设全集U=R,M=｛x | x ≥1｝,N=｛x | x ＞5或x ＜0｝,则(C U M)∩(C U N)= ｛x | 0≤

x ＜1｝

3．设全集},|{},,2

1|{Z n n x x A Z n n x x U ∈==∈==，则A C U = 1{|,}2

U C A x x n n Z ==+∈ 4．设全集U=｛1,2,3,4,5｝,A={1,3,5},B={2,3,5}, 则C U (A B)= _____ . {1,2,3,4}

5．设全集U 为R ，A={x ︱x 2+px+12=0}，B={x ︱x 2-5x+q=0}，若(C U A)∩B={2}，

A ∩(C U B)={4},则A ∪B=________________. {2,3,4}

6．设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,则C U A= . ｛不等腰梯形｝

7．若U=R ，A=｛x |x 2+3x+2<0｝, 则C U A= . ｛x |x ≤-2，或x ≥-1｝

8．设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是 M=P

9．设全集U=｛2,3,a 2+2a -3｝，A=｛|2a -1|,2｝，C U A=｛5｝，求实数a 的值．

解：∵C U A={5} ∴5∈U ，且5?A ∴a 2+2a -3=5，解得a =2或a =-4

当a =2时，|2a -1|=3≠5 当a =-4时，|2a -1|=9≠5，此时9?U ，

综上可知，a =2．

10．设全集U={2,3,322

-+a a },A={b,2},A C U ={5},求实数a 和b 的值.

11.不等式组???2x －1＞0，x －3≠0．的解集为A ，U ＝R ，试求A 及U A ，并把它们在数轴上表示出来．

12.已知集合},,{xy y x y x A +-=,}0,,{2222y x y x B -+=,且B A =,求实数x 和y 的值及集合B A 和. {}0,1,1,0,1x y A B ==±==-

13. 设全集1

{,5,3}3U =--, -1/3}053|{2

=-+=∈px x x A 且13

-

}0103|{2=++=∈q x x x B ,求B C A C U U , {}{}3,5U U C A C B =-= 14．已知集合{}|312M x a x a =-<<，{}|13N x x =-<<，若N ?≠M C R ，求实数a 的取值范围.

1,2

a ≤-或1a ≥ （四）回顾小结

本节课学习了以下内容：1.全集、补集的有关概念；2.补集的性质 3. 一些数集的补集运算

（五）课外作业：1.高中数学教学与测试 P2第3题和例题2

2. 高中数学教学与测试P43-44 第2、4、7、8题

3. 预习下一课有关内容。

1.3 交集与并集

Ⅰ．教学目标

1．知识与技能

理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会进行集合的交、并的运算。

2．过程与方法

运用Venn图解释概念，体验数形结合与化归的思想在数学中的应用。

3．情感、态度与价值观

学习集合的运算后，提高用集合思想分析问题、解决问题的能力，增强学习数学的兴趣。Ⅱ．教学重点

1．集合的交集与并集的含义及求法——利用Venn图和数轴．

2．区间的概念．（它与集合在本质上是相同的，只是两种不同的表示方法而已．）Ⅲ．教学难点

1．用不等式表示的集合的交集与并集．（充分利用数轴，贯彻数形结合的思想．）

2．数学建模思想的渗透．

Ⅳ．教学过程

一、复习回顾

集合的补集、全集都需考虑其元素，集合的元素是什么这一问题若解决了，涉及补集、全集的问题也就随着解决.

二、讲授新课

［师］我们先观察下面五个图

请回答各图的表示含义.

［生］图(1)给出了两个集合A、B.

图(2)阴影部分是A与B公共部分；图(3)阴影部分是由A、B两个集合的元素合并而成.

图(4)集合A是集合B的真子集；图(5)集合B是集合A的真子集.

师进一步指出

图(2)阴影部分叫做集合A与B的交集；图(3)阴影部分叫做集合A与B的并集.

由(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义.

1.交集

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集.

记作A∩B（读作“A交B”）即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}

类比此说法，结合图(3)，请同学给出并集定义

2.并集

一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集.

A与B的并集记作A∪B（读作“A并B”）

即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}

学生归纳以后，教师给予纠正.

那么由图(4)、图(5)及交集、并集定义可得：A∩B＝A，A∪B= B {图（4）}，A∩B＝B，A∪B= A {图（5)}

3.【例题解析】(师生共同活动)

例1设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x＜3}，求A∩B.

解析：此题涉及不等式问题，运用数轴即利用数形结合是最佳方案.

解：在数轴上作出A、B对应部分，如图A∩B为阴影部分

A∩B＝{x｜x＞－2}∩{x｜x＜3}＝{x｜－2＜x＜3}

例2设A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，求A∩B.

解析：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B.

解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∩B.

A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝

{x｜x是等腰直角三角形}

例3设A＝{4，5，6，8},B＝{3，5，7，8}，求A∪B.

解析：运用文氏图解答该题

解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∪B

则A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}.

例4设A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n，n∈N}，则A∩B＝_______，A∪B＝_______.

解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B

即对任意m∈A有m∈B，所以A?B，而10∈B但10?A，即A B，那么A∩B＝A，A ∪B＝B.

评述：问题的求解需要分析各集合元素的特征，以及它们之间关系，利用真子集的定义证明A是B的真子集，这是一个难点，只要突破该点其他一切都好求解.

4. 区间的概念．

设a，b∈R，且a＜b，规定

[a，b]＝｛x｜a≤x≤b｝，——闭区间(a，b)＝｛x｜a＜x＜b｝，——开区间

[a，b)＝｛x｜a≤x＜b｝，——半开半闭区间，也读作左闭右开区间

(a，b]＝｛x｜a＜x≤b｝，——左开右闭区间

(a，＋∞)＝｛x｜x＞a｝，[a，＋∞)＝｛x｜x≥a｝，——“＋∞”读作“正无穷大”

(－∞，b)＝｛x｜x＜b｝，(－∞，b]＝｛x｜x≤b｝，——“－∞”读作“负无穷大”

(－∞，＋∞)＝R．

其中a，b是相应区间的端点．方括号表示该区间端点取到，圆括号则表示该区间端点取不到．而“∞”只是一个记号，不代表具体的数，因此在∞处我们使用圆括号．说明：区间与集合在本质上是相同的，只是两种不同的表示方法而已．

【巩固提高】

1.设A ＝{x ｜－1＜x ＜2}，B ＝{x ｜1＜x ＜3}，求A ∪B .

解析：利用数轴，将A 、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求.

解：将A ＝{x ｜－1＜x ＜2}及B ＝{x ｜1＜x ＜3}在数轴上表示出来.如图阴影部分即为所求.

A ∪

B ＝{x ｜－1＜x ＜2}∪{x ｜1＜x ＜3}＝{x ｜－1＜x ＜3}

2.求满足{1，2}∪B ＝{1，2，3}的集合B 的个数.

解：满足{1，2}∪B ＝{1，2，3}的集合B 一定含有元素3，B ＝{3}还可含1或2，其中一个有{1，3}，{2，3}，还可含1、2，即{1，2，3},那么共有4个满足条件的集合B .

评述：问题解决的关键在于集合B 的元素可以是什么数，分类讨论在解题中作用不可忽视.以集合B 元素多少进行分类.

3.A ＝{x ｜x ＜5}，B ＝{x ｜x ＞0}，C ＝{x ｜x ≥10}，则A ∩B ，B ∪C ，A ∩B ∩C 分别是什么?

解：因A ＝{x ｜x ＜5}，B ＝{x ｜x ＞0}，C ＝{x ｜x ≥10}，在数轴上作图，则A ∩B ＝{x ｜0＜x ＜5}，B ∪C ＝{x ｜0＜x }，A ∩B ∩C ＝?

评述：将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.

【课堂检测】

1.满足A B={a,b}的集合A 、B 的不同组数为 4

2满足条件M {1}={1，2，3}的集合M 为 {2，3} {1，2，3}

3设集合A={x ︱x ≤1},B={x ︱x>p},要使?=B A ，则p 应满足的条件是p ≤1

4.设A={x ︱220x -<,x ∈R},B={x ︱5-2x >0, x ∈N},则A B=________________.{0,1}

5. 设a ＝{3，5，6，8}，B ＝{4，5，7，8}，

(1)求A ∩B ，A ∪B.

(2)用适当的符号( 、 )填空：

A ∩

B _____A ，B _____A ∩B ，A ∪B ______A ，A ∪B ______B ，A ∩B _____A ∪B.

解：(1)因A 、B 的公共元素为5、8

故两集合的公共部分为5、8,则A ∩B ＝{3，5，6，8}∩{4，5，7，8}＝{5，8}

又A 、B 两集合的元素3、4、5、6、7、8.

故A ∪B ＝{3，4，5，6，7，8}

(2)由文氏图可知

A ∩

B ?A ，B ?A ∩B ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∩B ?A ∪B

6.设A ＝{x ｜x ＜5}，B ＝{x ｜x ≥0}，则A ∩B= .

解：因x ＜5及x ≥0的公共部分为 0≤x ＜5

故A ∩B ＝{x ｜x ＜5}∩{x ｜x ≥0}＝{x ｜0≤x ＜5}

7.设A ＝{x ｜x ＞－2}，B ＝{x ｜x ≥3}，则A ∪B= .

解：在数轴上将A 、B 分别表示出来，阴影部分即为A ∪B ，故A ∪B ＝{x ｜x ＞－2}

8.已知方程2

0x bx c ++=有两个不等的实根1x ，2x ,设C={1x ，2x }，

A={1,3,5,7,9}，B={1，4，7，10}，若A C=?，C B=C,试求b、c的值。

解:由A C=?，C B=C得: C={4，10},由根与系数关系得:

b=-14,c=40

9.已知M＝{1}，N＝{1，2}，设A＝{（x，y）｜x∈M，y∈N}，B＝{（x，y）｜x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

解析：M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素.

解：∵M＝{1}，N＝{1，2}则A＝{（1，1），（1，2）}，B＝{（1，1），（2，1）}，故A∩B＝{（1，1）}，A∪B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.

10.设A＝{－4，2，a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求A.

解：因A∩B＝{9}，则a－1＝9或a2＝9∴a＝10或a＝±3

当a＝10时，a－5＝5，1－a＝－9

当a＝3时，a－1＝2不合题意；当a＝－3时，a－1＝－4不合题意.

故a＝10，此时A＝{－4，2，9，100}，B＝{9，5，－9}，满足A∩B＝{9}，那么a＝10.

评述：合理利用元素的特征——互异性找A、B元素.

11.已知A＝{y｜y＝x2－4x＋6，x∈R , y∈N}，B＝{y｜y＝－x2－2x＋7，x∈R ,y∈N}，

求A∩B，并分别用描述法，列举法表示它.

解：y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，A＝{y｜y≥2，y∈N}

又y＝－x2－2x＋7＝－（x＋1）2＋8≤8

∴B＝{y｜y≤8，y∈N}

故A∩B＝{y｜2≤y≤8}＝{2，3，4，5，6，7，8}.

评述：此题注意组成集合的元素有限，还是无限.集合的运算结果，应还是一个集合.

12.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A?(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？

解：由题有：A?A∩B，即A?B，A非空，用数轴表示为，

那么

?

?

?

?

?

≤

-

≥

+

-

≤

+

22

5

3

3

1

2

5

3

1

2

a

a

a

a

由方程表示为：6≤a≤9

评述：要使A?A∩B，需A?A且A?B，又A?A恒成立，故A?B，由数轴得不等式.注意A是非空.若去掉这一条件效果如何.求解过程及结果是否会变化.请思考.

三、回顾小结

本节课学习了以下内容：1.交集、并集的有关概念；2. 交集、并集的性质 3.交集、并集的运算

在求解交、并集问题的过程中要充分利用数轴、文氏图进行解题.

四、课外作业：1.高中数学教学与测试 P3

2. 高中数学教学与测试P45-46

集合习题课

【课前热身】

1.已知集合A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，C={x|x 是锐角三角形}，

则A ∩B ,B ∩C= .

2.已知A={x|x ≤5,x ∈N}, B={x|1

3.已知全集U={0,1,2,3,4},M={0,1,2,3},P={2,3,4}, 则（C U M ）∪(C U P)= ()U C M P ?=

4. 设全集∪=R ，A={ x|-5＜x ＜5}, B={ x|0≤x ＜7}. 试求A ∪B ，A ∩B ，（C U A ）∪(C U B)， （C U A ）∩ (C U B)，C U （A ∩B ），C U （A ∪B ），由此，你能获得什么结论？

（结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?）

5．设全集U 为R ，A={x ︱x 2+px +12=0}，B={x ︱x 2-5x +q=0}，若(C U A)∩B={2}， A∩(C U B)={4},则A ∪B=________________. {2,3,4}

6．设全集U=｛2,3,a 2+2a -3｝，A=｛|2a -1|,2｝，C U A=｛5｝，求实数a 的值．

解：∵C U A={5} ∴5∈U ，且5?A ∴a 2+2a -3=5，解得a =2或a =-4

当a =2时，|2a -1|=3≠5 当a =-4时，|2a -1|=9≠5，此时9?U ，

综上可知，a =2．

7.(1)设A={x|-22}，求A∩B，A∪B

(2) 设A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|x-y=4}，求A∩B

8. 已知集合A={x |x 2+4x =0}.B={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0, x ∈R}，（1）若A ∩B=B ，求实数a 的取值范围.（2）若A B B ?=求实数a 的值。

【基础强化】

1.A ＝｛x ｜x 2―4x ―5＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－1＝0｝．

则A ∩B ＝｛－1｝ ，A ∪B ＝｛－1，1，5｝ ．

2.若集合A 、B 满足条件：A ∩B ＝｛正方形｝，你能构造出多少对这样的集合A 、B ？

3.A ＝｛x ｜x 2―3x －4＜0｝，B ＝｛x ｜｜x ｜≤2｝．

则A ∩B ＝｛x ｜－1＜x ≤2｝ ，A ∪B ＝｛x ｜－2≤x ＜4｝ ．

4.已知A ＝｛x ｜a －4＜x ＜a ＋4｝，B ＝｛x ｜x ＜－1或x ＞5｝，且A ∪B ＝R ．则实数a 的取值范围是 ．

5．已知全集{}1,2,3,4,5,U A =?且(C U B ){}1,2,= C U {}4,5A B ?=, ,A B φ?≠

则A= ，B= ．{}{}1,2,3,3,4,5A B ==

6.设集合A ＝｛x 2，2x －1，－4｝，B ＝｛x ―5，1―x ，9｝，若A ∩B ＝｛9｝，求A ∪B ． * 注：考察集合种元素的互异性，先确定x 的值，进而求解．

7．已知集合{}{}{}2220,0,2M x x px N x x x q M N =++==--=?=且，则q p ,的值为 3,2p q =-=

8．设集合A ＝｛（x ，y ）｜4x ＋y ＝6｝，B ＝｛（x ，y ）｜3x ＋2y ＝7｝，则满足C ?A ∩B 的集合C 的个数是 2

9．已知集合{}{}|35|141A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+，，A B B ?=且，B φ≠，则实数a 的取值范围是 01a ≤≤

10.设全集U=R ，集合{}{}()()0,()0,0()f x M x f x N x g x g x =====则方程

的解集是 ． M ∩（C U N ）

11.有关集合的性质:(1) C U (A ?B)=( C U A )∪（C U B ）; (2) C U (A ?B)=( C U A )?（C U B ）

(3) A ? (C U A)=U (4) A ? (C U A)= ? 其中正确的个数有 4 个．

12．已知集合M ＝｛x ｜－1≤x ＜2＝，N ＝｛x ｜x —a ≤0｝，若M ∩N ≠?，则a 的取值范围是 ． ［－1，)+∞

13．已知集合A ＝｛x ｜y ＝x 2－2x －2，x ∈R ｝，B ＝｛y ｜y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R ｝，则A ∩B ＝ ．｛y ｜－3≤y ≤3｝

14.已知全集U={(x ,y )|x R ∈,y R ∈},M={(x ,y )|

432

y x -=-},P={(x ,y )|y =3x -2, x R ∈},则(C U M) ∩P.= {}(2,4)

15．已知集合M={}{}{}2222,2,4,3,2,46,2a a N a a a a M N +-=++-+?=且,求实数a 的的值．

解：∵{}2M N ?=， ∴2,N ∈若 32, 1.a a +==-这时{}{}2,1,3,2,3,11.M N =-= 若222,0.a a +==这时22,a +=不符合集合中元素的互异性．

若22462,440, 2.a a a a a -+=-+==

这时M={}{}2,4,0,5,6,2N =∴1, 2.a a =-=或

16．已知集合{}{}

220,60,,A x x bx c B x x mx A B B A =++==++=?=且B ?={}2，

求实数b,c,m 的值．

解：∵{}2,A B ?= ∴2B ∈ ∴22260, 5.m m +?+==- ∴{}{}25602,3B x x x =-+== ∵,A B B ?= ∴.A B ? 又 ∵{}2A B ?= ∴{}2A =

∴(22)4,224b C =-+=-=?= ∴4,4,5b c m =-==-．

17. 已知A ?B={3}, (C U A)∩B={4,6,8}, A∩(C U B)={1,5},(C U A)∪(C U B)={*

10,,x x x N <∈ 3x ≠},试求C U (A ∪B)，A ，B ．

利用韦恩图求解得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},从而C U (A ∪B)= {2,7,9}, A={1,3,5},B={3,4,6,8}．

18.已知集合A=}{240x R x x ∈+=，B=}{222(1)10x R x a x a ∈+++-=，且A ∪B=A ，试求a 的取值范围．

(1)当B=A 时,可得a =1;(2)当B={0}时,得a =-1; (3)当B={-4}时,不合题意; (4)当B=?时,由0?<得1a <-,综上所述, 1a ≤-或a =1．