大学物理-二维调和函数与平面场 保角变换法
第6章保角变换-数学物理方法
f ( z0 ) 是经过映射Biblioteka f ( z ) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
5
2.共形映射（保角映射）
设函数w f ( z )在区域 D内解析, z0为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
13
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w z n ( n 2).
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原
点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
故
b 1, a 1 i ,
(1 i ) z 1 ( i 1) z 1 所以 w 为所求. z (1 i ) z (1 i )
19
解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为 w e i
z z A , 1 z 1 z
保角变换
复变函数在几何意义上实际上相当于将平 面上的区域变成了平面上的另一个区域（简称 为映射）． 应用：利用复变函数（特别是解析函数）所构 成的映射来实现复杂区域的简单化，这将给实 际问题的研究带来很大的方便．而利用保角变 换法求解数学物理方程边值问题．
1
本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的 映射； 3）典型实例描述保角映射的应用． 重点： 分式线性变换及其映射特点 难点：
保角变换基础理论
一、基础知识 1 定义在自变量域我们对同一个点从两个方向趋近，这两个趋近方向的夹角与在因变量上趋近的方向夹角一致，称为保角变换 2泊松方程与拉普拉斯方程对于泊松方程：20ρϕε∇=（在静电场中，可以表示电势与电荷的分布关系） 同时在没有电荷分布的地方满足拉普拉斯方程：20ϕ∇=3将在原来复杂的区域上的表达式通过一个变换，折射到宁一个区域上，使得某一分布函数得到简化变换的条件是泊松方程与拉普拉斯方程仍然成立22222x y∂∂∇=+∂∂，同时，我们定义x 、y 为ξ、η的函数：(,)x ξη、(,)y ξη 则x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2222222()x x x x x x x x x x ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 其中：222x x x x x ξηξηξξξηξξηξ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222x x x x x ηξηξηηηξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以：222222222222x x x x x x x ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222222222222y y y y y y y ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以拉普拉斯方程变换为：22222222222222222222222x y x y x y xy xy x y y x ξξηηξξηηξηξηξηξηξη ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂要满足保角变换，其实部与虚部都需要满足拉普拉斯方程：20ξ∇=、20η∇= 将实部与虚部要满足的拉普拉斯方程代入上式：2222222222222x y x y x y ξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ ()'f z ix xξη∂∂=+∂∂（对于趋近方向为：0,0x y ∆→∆=） 222222"()f z x x x y y x ξηξξηη ∂∂∂∂∂∂=+=+=+ ∂∂∂∂∂∂将其代入：22222222'()'()'f z f z ξη ∂∂∇=+=∇∂∂也就是说，原坐标下的拉普拉斯方程与泊松方程变换为：220'0ϕϕ∇=⇒∇=222001''()f z ρρϕϕεε∇=⇒∇= 那么对于一个线段，在原坐标系下长度为1，其在新的坐标系下长度为'()f z 二、常用的保角变换1. 线性变换f az b =+，显然'f a =，其几何效果如下：线性变换一般不单独使用：仅对原来的二位分布做了位似2.幂和根式n xn f z = i n in z Ae f A e ϕϕ=⇒=用来处理过原点的射线，原来的射线的长度ρ的取值范围为（0，+∞），求幂或根还是（0，+∞）将原来的自变量求幂次积，几何效果如下：假设有变换3f z =，其效果为：将原来的60°夹角变为180°，并且其中的点的分布也随之扩大角度，假设原来的函数为电势分布函数，求p 点的电势，则通过变换之后，在新的复平面得到了一个平行分布的电势图，设新的电势分布图中，边界上的电势为V 0，则空间中的电势分布为0u V C η=+⋅，其中，C 为常数，C 与介质表面的面密度σ相关，其正负与σ的正负相反我们在新的复平面中求出电势的表达式之后，再求逆变换得到在原来的复平面上的电势表达式：0u V C η=+⋅中，由原来的变换：()()()32332322333(3)(3)i x iy x x iy x iy iy x xy i x y y ξη+=+=+⋅++=−+−由实部对实部，虚部对虚部，得：233x y y η=− 将η代入电势表达式中：()2303u V C x y y =+⋅−得到电势关于x 、y 的表达式同理可以得到将原来的复平面上的表达式开根得到将原来的夹角缩小相应的倍数的变换方法3. 指对数变换（一）、对于指数函数：()z x iy x iy f e e e e +===⋅此处需要注意，这里使用了复变函数的幅角表示法，即：i z Ae ϕ=，所以此处的x e 为幅值，iy e 为幅角其几何空间意义如下： （1），复平面中平行于实轴的直线，其变换后的图像为过原点的射线对于原空间有一条平行于实轴的直线（(,)y const x ∈−∞+∞，），原来的x 的值为幅角，y 的值为幅值。
144《高等渗流力学》—保角变换及应用
从上面对于关系可以看出，w平面上半径为1的单位圆，对 应z平面上长度为2c的裂缝井。 再看w平面上任一圆（等势线）ρ=R，对应Z平面长轴为 c⎛ 1⎞ c 1 a = ⎜ R + ⎟ 短轴为： = ⎛ R − ⎞ 的椭圆。 b ⎜ ⎟ R⎠ 2⎝ R⎠ 2⎝
井径无穷小线段：rw = 假设： L ——
dz dw rw ρw ⇒ ρw = dw dz
z 平面上绕井封闭曲线； dn, dL —— z 平面上L的法线及切线单元； λ —— w平面对应封闭的曲线。 dv, d λ —— w平面上 λ 的法线及切线单元； Q —— z 平面上井产量；
Q =
∫
dφ dn
z
一个点
判断条件
z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值 z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值
根据以上对应关系，有以下逻辑判断成立： 如果单值 在一个平面上完成确定的流动网络（流场图）— —流线和等势线对应于另一个平面流动网络。此时 Φ ， Ψ 值本身是相同的 单值对应
z
w平面等势线 ρ = C2' 圆 w平面流线 θ = C2' 射线
7
保角变换及应用
寻求一个适当变换，把较复杂物平面问题变换为像平面问题，而像平面 复势，产量容易求出。待求出像平面产量公式后，再变换到物平面上。
例二：
直线供给边缘附近一口井。
8
保角变换及应用
取变换：w = ρ e
z 平面井心 w = 0 w平面原点 平面 z 点 x 上总有： = 0 y
w 平面上偏心井产量： Q =
q= 2π ( Φ e − Φ w ) ⎡ πL ⎛ ρa ρ e ln ⎢ e ⋅ e a ⋅ ⎜1 − e 2 ⎢ πρ r ⎜ ρe e w ⎜ ⎢ ⎝ ⎣
大学物理-大学物理思维导图
e1
z
的各阶导数及其在
z
0点的值，故
1
e1 z
e(1
z
3
z2
13 z3
)
1
2! 3!
因为 e1z 的唯一的奇点为 z ，1 故类似于上例可求得其
收敛圆为 z 1
例2 计算积分
I
dz
, 设L为: z 2a (a 0)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
a.指数函数ez （具有周期性）
b.三角函数
cos
z
eiz
eiz 2
, sin
z
eiz
eiz 2i
cos
z,
sin
z
可以大于1
c.双曲函数
cosh z ez ez , sinh z ez ez
2
2
从复变函数意义上说，双曲函数与三角函数基本上是
一个变量代换z iz,二者没有本质区别
（3）导数定义 （4）可导充要条件：
lim R
zn-1 或 lim
1
n zn n n zn
特别提醒：以前在实变级数中
lim
n
zn z n -1
或 lim n n
zn 然后R
1
6.圆形区域的泰勒展开
1.直接计算泰勒系数ak
f k b
k!
2.换元法：常借助 1
tk t 1
1 t k0
3.利用两个绝对收敛的幂级数的乘积和商
所以
f
'' (z)
(3 2z) (1 z)2
f
' (z),
f
二维径向调和函数
二维径向调和函数
1.调和函数(1)定义
满足二维拉普拉斯方程的二元实函数。
(2）判断
f(z)=u(x.y)+ iv(x.y)在区域D内解析，则实部u和虚部v(x，y)都是区域D内的调和函数。
2共轮调和函数
(1)定义
(x，y)u(x，y)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方
程:ap/ax=aqulay
aulex=-ap/ay
(2)判断
f(z)=u(x.y)+ iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是在区域D内，虚部v(x，y)是实部u的共辄调和函数。
(3)性质
3.已知调和函数求解析函数
由于解析函数的实部和虚部是共扼调和函数，且共扼调和函数之间存在两个偏微分方程，故通过一个实部或虚部即可求得整个解析函数。
(1)偏积分法
(2）全微分法
(3）全微分法。
大学 数学物理方法学习教案
§1-3复变函数的导数与解析性、保角映射解析函数：亦称全纯（holomorphic ）函数，正则（regular ）函数，单演（monogenic ）函数 主要内容： 1、导数 C —R 条件2、解析性、解析函数3、保角性、二维调和函数与平面标量场重 点： C —R 条件、解析函数 难 点：解析函数应用于平面标量场一、 复变函数的导数C —R 条件1、复变函数的导数定义：设()z f w =是定义在区域D 内的单值函数，如果对D 内某一点z ，极限()()zz f z z f z ∆-∆+→∆0lim存在，我们就说()z f 在z 点可导，这个极限叫做()z f 在z 点的导数，记作()z f '或zf d d 。
即：()()()zz f z z f z f z f z ∆-∆+=='→∆0lim d d 要求：z ∆在复平面上以任意方式趋于零时，()z f '均存在且相等，而实函数只要求从+→∆0x 和-→∆0x 两个方向趋于零。
2、函数可导的条件C —R 方程（Cauchy —Riemann ）（1）()z f 在z 点可导（必要条件）—— C —R 方程 A ．z ∆沿平行于实轴的方式趋于零 这时，x y i x z y ∆=∆+∆=∆=∆,0故有：()()()zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆0lim()()()()[]xy x iv y x u y x x iv y x x u x ∆+-∆++∆+=→∆,,,,lim()()()()x y x v y x x v i x y x u y x x u x x ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆,,lim ,,lim 00xv i x u ∂∂+∂∂=B ．z ∆沿平行于虚轴的方式趋于零同样有，y i y i x z x ∆=∆+∆=∆=∆,0故有：()()()zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆0lim()()()()[]yi y x iv y x u y y x iv y y x u y ∆+-∆++∆+=→∆,,,,limy ui y v y v i y u i ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-= C ． 由A ，B 可知，()z f 在z 点可导，故有以任意方式0→∆z 时，均有相同的极限()z f '，所以有：yuiy v x v i x u ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂由复数相等的充要条件有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y u xv y v x u C —R 方程（2）函数()z f 可导的充分—必要条件定理1：如果()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内有定义，则()z f 在D 内的一点iy x z +=可导的充分必要条件为：函数()()y x v y x u ,,,在点()y x ,可微，且满足C—R 方程。
《流体力学》课件 3.9 保角变换
d w dW d d z d d z
在无穷远处，有：
d w d z
dW d
d dz
考虑到
dW d
kV
，
d dz
1 k
，有：
dw dz
V
三、环量的确定
1. 补充条件
dw 有限的常数
dz zB 2. 环量的确定
dz
d
E
0
dw 有限常数
dz zB
dw
d
E
w1 z
Q
2
lnz
i
h
Q
2
lnz
i
h
Q ln z2 h2 2
wz
w1 z
w1
a2 z
wz
Q
2
ln z2
a4 z2
h2
a4 h2
dz
d
k
；（其中：
k
是正的实数）
（根据黎曼定理这样的函数存在且是唯一的）
W
kV
w
z
kV R
kV
2
2 i
F z
ln
kV
F z
R
2
F z
ln
2 i
F
z
证明：1. 因W 是在 K D 上连续且在 D 内解析的函数， Fz是在 C D 上连续且在 D 内解析的函数。于是，根据复合函数的性质 wz W F z
一、保角变换的概念
w f z
V f lin w f ei Δz0 z
w wei f eiz f z ei
12
1 2
2 1` 2 1`
黎曼定理：
任何一个单连通区域必可通过某个保角变换 变为另一个任意给定的单连通区域。
3.8 平面渗流场的保角变换方法
3、变换前后井半径的关系
w
d dz
Rw ' ( z0 ) Rw
z0
4、井产量变换前后不变（证明略，见教材p119） 5
5、保角变换可以将一种渗流场图变换为另一种渗流场图
������ B ℎ L
流线:������ = 常数
等势线：������ = 常数
旋转: ������1 = ������������
ξ
z0 x0 iy0 , z0 x0 iy0
通过变换：������平面的z0点映射为ζ的平面ζ=0点，把z
平面半径为Re的圆映射为ζ的平面的半径为1的圆。
20
y
Re
(z)
Z0,Rw
Re ( z z0 ) 2 Re z0 z
x
η
(ζ) 1
d φw
pw, ������������
17
������ y Rw ������������ a ������������
(Z)
������������
(ζ)
ρe
x
ζ
z ia 可借助变换函数： e z ia
将 z=ia 代入，得 ζ=0，即将 Z平面的点z=ia 映射为 ζ 平面的原点
x ia 将 z=x代入，得 e x ia
Re ( z ' z0 ) z ( z z0 )
' '
半径为1
Re z ' z0 Re ' 1 1 ' z z z0 Re
21
d ( Re 2 z0 z ) Re Re ( z z0 ) z0 dz ( Re 2 z0 z ) 2
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平面上区域 D 内解析的复变函数 w = u + i v 的实部或虚部。
例如，可以令 U 等于 w 的实部：
U u
(3-6-6)
设已给定了平面静电场的电势 U ，也就是给定了 w 的
实部 u，利用 (1-3-14) 可以求出 w 的虚部 v 。这样得到的
复变解析函数 w 称为静电场的复电势。
在 w 平面上，两个方程
[u = C1 ] 成为
y2 4C12 (C12 x)
(3-6-13)
这于是一族抛物线，如图 3-6-1 中的虚线。这是带电平板边
沿所产生的电场。
备忘：平面静电场等势线和电场线的共轭关系 因为解析函数的实部与虚部均为调和函数，所以当
用解析函数的实部 u 表示平面静电场的等势线时，其虚 部 v 表示电场线。具体说明如下：
w az b ,
a
b 0
cz d c d
(3-6-25)
式中，a,b,c,d 为常数 (若 ad – bc = 0，则 w 将恒等于常数)。 我们来讨论由它实现的保角变换。若 c ≠ 0，式 (3-6-25)
可改写为
a (cz d ) b ad
w c
c A
B
cz d
zC
(3-6-26)
2v y 2
0
(3-6-1b)
即 v = v (x,y) 也是调和函数。
我们证明了，在区间 D 内解析的复变函数的实部和虚 部都是该区间内的二维调和函数。这两个二维调和函数之 间有关系 (3-6-2)。通常称它们是相互共轭的调和函数。
(二) 平面场的复电势——解析函数的应用
定理一 (教材 p20) 可以用来研究平面上的拉普拉斯方 程。考虑在 xy 平面的区域 D 内的平面静电场，其场强为
记 |B| = R2，R 为正实数，令 z1 = re i 、 z2 =ρe i ，
则变换 z2 = R 2 / z1 可进一步分解为
R2 r ;
(3-6-28)
在图 3-6-2 中的 z1 和 z'1 是在以 R 为半径的圆的一根半径 及其延长线的两个点，它们和圆心距离的乘积等于半径
它是 w 的实部
u x2 y2
因而 w 的虚部就是电势 U：
U v
在§1-3 例1中已经求出了这一复变函数的虚部
v 2xy
故等势线的方程是
2xy C
(3-6-15)
在§1-2的例2中，画过等势线 (3-6-15) 和电场线 (36-14) 的图形，如图1-2-6，这是互相垂直的两块无限大带 电导体平板在两板之间的空间中所产生的场。
而电势为
Ε E(x, y) U U (x, y)
两者之间有关系 E = –grad U，其分量式为
Ex
U x
,
Ey
U y
设在区域 D 内无电荷，则场强 E 满足方程
(3-6-3)
div E Ex Ey 0 x y
(3-6-4)
2U x2
2U y 2
0
(3-6-5)
即 U(x,y) 是二维调和函数。因此，可以将 U 看成是在 z
)2
v
2v y 2
2 v2
(
v y
)
2
2
2 uv
u y
v y
两式相加，得到
2U x2
2U y 2
[(u )2 x
(
u y
)2
]
2 u 2
[(v )2 x
(
v y
)
2
]
2 v2
(2u 2u ) ( 2v 2v ) x2 y2 u x2 y2 v
2(u v u v ) 2 x x y y uv
且
2U
2U
w(z) 2 (2
2 )
x2 y2
u2 v2
(3-6-22)
证：利用复合函数求导的法则，有
U u v x u x v x
2U x2
u
2u x2
2 u 2
(
u x
)
2
v
2v x2
2 v2
(
v x
)
2
2 2
uv
u x
v x
同理，有
2U y 2
u
2u y 2
2 u 2
(
u y
U(x,y)。为此需要一个定理。
定理二 设由 (x,y) 到 (u,v) 的变换 (3-6-19) 为保角变换，即 (3-6-18) w = w(z) 在区域 D 内解析，则：如果 U(x,y) 满足
拉普拉斯方程 (3-6-5)，则 (u,v) 也满足拉普拉斯程。
2 2 0 u2 v2
(3-6-21)
如图3-6-3，将 (3-6-28) 代入，即作变换 z2 = R1 / z1 ，得到
A B eiarg B zC
(A
a c
,
B
bc ad c2
,C
d c
)
这一变换可以分四步实现： (1) z1 = z + C ； (2) z2 = |B| /z1 ； (3) z3 = z2 e iargB ； (4) w = A + z3
(3-6-27)
(1) 和 (4) 是 z 平面和 z3 平面上的平移变换；(3) 是在 z2 平 面上转动角度 argB 的变换。下面着重讨论变换 (2) 。
w f (z) f (x iy) u(x, y) iv(x, y)
在复平面的区域 D 内解析，则它的实部 u (x,y) 和虚部 v(x,y) 都是 (x,y) 平面的区域 D 内的调和函数。 证：因 w = f (z) 在 D 内解析，故它在 D 内可求导任意多次，
则
存在，且有
u v x y
下面来证明变换 (2) z2 = R2 /z1 也有保圆性。
在 z1= re i 平面上，以 z0 = r0 e i 0 为心，A 为半径的圆的 方程是
r 2 r02 2rr0 cos( 0 ) A2
或
r2 ar cos( 0 ) b 0
a 2r0 ,b r02 A2
(3-6-29)
式代入，代替 (3-6-5) 式得到二维泊松方程
2U x2
2U y 2
0
(3-6-17)
求解泊松方程的边值问题，其难易程度主要决定于边界 的形状。当边界有简单的几何形状时，求解比较容易。对于 边界为一般形状的边界问题，可以先设法将它转化为简单形 状边界的边值问题，然后求解。按这一思路解二维泊松方程 的方法称为保角变换法。
v u x y
将第一式对 x 求导，第二式对 y 求导，得
2u x2
2v xy
2v yx
2u y2
再利用
2v 2v xy yx
(3-6-2)
得到
2u x2
2u y 2
0
这就证明了u = u(x,y) 是调和函数。同理，将 (1-3-17) 的第 一式对 y 求导，第二式对 x 求导，可以证明
2v x2
在§1-3中证明了，由解析函数 w = f (z) 实现的从 z 平面 到 w 平面的变换，在 f ' (z) ≠ 0 的点有保角性质。因此，称 这种变换为保角变换。以下将限于讨论具有一一对应关系的 保角变换，即假定 w = f (z) 和它的反函数都是单值函数；或 者，如果它们之中有多值函数，就规定取它的黎曼面的一叶。
3-6 二维调和函数与平面场 保角变换法
(一) 二维调和函数 用 u(x,y) 表示两个实变量 x 和 y 的二元函数。方程
2u x2
2u y 2
0
(3-6-1a)
称为二维拉普拉斯方程 (参看§5-3)。具有连续的二阶导数 并满足二维拉普拉斯方程的函数称为二维调和函数。
关于复变函数与二维调和函数的关系有一条重要定理： 定理一 设复变函数
u C1
(3-6-7)
v C2
(3-6-8)
是相互正交的两个直线族。根据保角映射的原理 (1-3-15)， 上述两个方程在 z 平面的区域 D 内是相互正交的两个曲线 族。其中第一个曲线族
u(x, y) C1
(3-6-9)
是静电场的等势线 [根据 (3-6-6)]，而第二个曲线族
v(x, y) C2
由第二式得
y2 4u2v2
将 v 2 = u 2 + x 代入得
y2 4u2 (u2 x)
将 u 2 = v 2 – x 代入得
y2 4v2 (v2 x)
于是，电场线的方程 (3-6-10) [ v = C2 ] 成为
y2 4C22 (C22 x)
(3-6-12)
这是一族抛物线，如图3-6-1中的实线。等势线的方程 (3-6-9)
在电荷为零的区域中，电势满足拉普拉斯方程 (3-6-5)
2U 2U x2 y2 0 设 w = w(z) = u(x,y) + i v (x,y) 在区域 D 内解析，则
z x iy w u iv
(3-6-18)
的映射是保角映射。将它看成二维变量
(x, y) (u,v)
(3-6-19)
(三) 解平面场问题的保角变换法 用复电势方法可以画出等势线和电力线，但必须先给
定复电势，或给定等势线 (或电力线) 的方程。 系统地求解平面场问题，是在给定电荷分布的情况下
求平面场。此时，代替 (3-6-4) 式，有
E 1 0
(3-6-16)
见式 (5-3-1)。上式中， = (x,y)是二维电荷密度，将(3-6-3)
利用解析函数的 C–R 条件 (1-3-4) 式，即
u v , v u x y x y
以及解析函数实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质，