(证明大全)证明垂直的众多方法技巧
证明两个平面垂直的方法
证明两个平面垂直的方法
线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行于或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2。
平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2。
通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的。
面面垂直判定定理
定理
如果一个平面与另一个平面的垂线相交，则这两个平面相互垂直。
推论1
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。
推论2
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
(可以理解为法向量垂直的平面互相垂直)
面面垂直性质定理
定理1
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面上垂直于它们的交点的直线就垂直于另一个平面。
定理2
如果两个平面互相垂直，那么垂直于第二个平面并通过第一个平面中的一点的直线在第一个平面中。
定理3
如果两个相交的平面垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个成对垂直平面的相交是成对垂直的。
定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线平行于另一个平面。
(判定定理的推论1的逆定理)
推论:如果两个平面互相垂直，那么垂直于这两个平面的两条垂线互相垂直。
(判定定理的推论2的逆定理)。
怎么证明垂直
怎么证明垂直第一篇：怎么证明垂直怎么证明垂直1、利用勾股定理的逆定理证明勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、利用“三线合一”证明要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、利用菱形的对角线互相垂直证明菱形的对角线互相垂直。
6、利用全等三角形证明主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.赞同5|评论1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
证明两直线垂直的几种常用方法
数学篇解题指南两条直线垂直是两直线间的一种特殊位置关系.证明两条直线垂直，实际上就是证明两条相交直线所成的角为直角.因为直接判定两条直线垂直的定理不多，且较为分散，所以证明两条直线垂直问题是初中几何证明题中难度较大的一类问题.下面结合一些经典例题就这类问题的证明方法进行剖析.一、证明两条直线所成的角等于已知直角在证明两条直线互相垂直时，若题目中存在明显的已知直角，同学们要注意善用已知条件中的直角，灵活运用三角形全等的知识，证明两条直线相交所成的角等于已知直角，从而得出两条直线垂直.例1如图1所示，已知MN =MP ，NR =PQ ，NQ ⊥MP .求证：PR ⊥MN .分析：本题中要证明PR ⊥MN ，需要证明∠MRP =90°.因为NQ ⊥MP ，所以可知∠MQN =90°，故而需要证明∠MRP =∠MQN ，也就是证明△MRP ≌△MQN .证明：因为MN =MP ，NR ＝PQ ，所以MN -NR ＝MP -PQ ，即MR ＝MQ .在△MRP 和△MQN 中，ìíîïïMN =MP ,∠M =∠M ,MR =MQ ,所以△MRP ≌△MQN （SAS ），所以∠MRP =∠MQN .因为NQ ⊥MP ，所以∠MQN =90°，所以∠MRP =90°，所以PR ⊥MN .评注：本题中的已知直角较为明显，直接利用三角形全等即可得证.但有时直角条件不明显，要证明某个角等于已知直角，需要挖掘隐含条件，或添加辅助线构造直角，然后再利用三角形全等证明两角相等.二、证明两条直线相交所成的邻补角相等两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.一个角与它的邻补角的和等于180°.它们相等就是两个角分别为180°2=90°，由此即可证明这两条直线是互相垂直的.所以，要证明两条直线垂直，可以借助两条直线相交所成的邻补角相等来证明.例2如图2所示，已知△ABD 与△BDC 均为等边三角形，连接AC ，交BD 于点E .求证：AC ⊥BD .分析：要证明AC ⊥BD ，需要证明∠BEC =90°或∠BEA =90°，即证明∠BEA 与其邻补角∠BEC 相等，而要证明∠BEA =∠BEC ，只需要证明△BAE ≌△BCE .证明两直线垂直的几种常用方法江苏省宿迁市泗洪姜堰实验学校刘为芹图1图219数学篇解题指南证明：因为△ABD 与△BDC 均为等边三角形，所以可知AB =BD =BC ，∠ABD =∠CBD =60°.在△BAE 和△BCE 中，ìíîïïBA =BC ,∠ABD =∠CBD ,BE =BE ,所以△BAE ≌△BCE （SAS ），所以∠BEA =∠BEC =12×180°=90°，所以AC ⊥BD .评注：两条直线相交所成的四个角中，有一组邻补角相等时，可根据邻补角互补，得出这两个角都是90°，由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直．三、证明两相交直线的夹角所处的三角形中，另外两个锐角互余相加等于90°的两个角称作互为余角.直角三角形中的两个锐角是互余的.因此，要证明两条直线垂直，可以证明两条相交直线的夹角所在的三角形中，另外两个锐角互余，那么两条相交直线所成的夹角即为90°.例3如图3所示，已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，BE 、AD 相交于点F .求证：BE ⊥AD .分析：本题中要想证明BE ⊥AD ，只需证明∠EFD =90°，也就是需要证明∠1+∠2=90°，又∠3+∠4=90°，∠2=∠3，这样只需要证明∠1=∠4.而要证明∠1=∠4，只需要证明△BCE ≌△ACD .证明：因为∠BCA =∠DCE =90°，所以∠BCA +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，ìíïïCE =CD ,AC =CB ,所以有∠4=∠1.又因为∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠1=90°，所以∠EFD =90°，所以BE ⊥AD .例4如图4所示，已知在△ABC 中，AB =BC ，高AD 、BE 交于点F ，BG =GF ，DH ⊥AC 于H ，M 在BE 的延长线上，EM =DH .求证：AG ⊥AM .分析：要想证明AM ⊥AG ，需要证明∠GAM =90°，也就是需要证明∠AGM +∠M =90°.因为∠EAM +∠M =90°，所以只需要证明∠EAM =∠AGM .证明：连接DE 、DG .因为AD 、BE 为△ABC 的高，所以∠EBC =90°-∠C =∠DAC .因为AE =DE ，所以∠DEH =2∠DAC .因为BG =GF =GD ，所以∠DGE =2∠EBC ，所以∠DEH =∠DGE .因为DH ∥BE ，所以∠EDH =∠DEG ，所以△DEH ∽△GED ，所以ED DH =GE ED ，AE EM =GE AE .因为∠AEG =∠AEM =90°，所以△GAE ∽△AME ，所以∠AGM =∠EAM .因为∠EAM +∠AEM =90°，所以∠AGM +∠M =90°，所以∠GAM =90°，所以AG ⊥AM .评注：证明三角形中的两个锐角互余，是证明三角形的一个内角为直角的常用方法，我们由此即可证明三角形的直角边所在的两图3图4。
初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全
初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全
三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
1初中证明直线垂直平行的方法
1初中证明直线垂直平行的方法
初中证明直线垂直和平行的方法常见有以下几种：
证明直线垂直的方法：
1.垂直交线法：如果两条直线交于一点，并且交角为90度，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.垂直斜交线法：如果两条直线的斜率乘积为-1，则可以证明这两条直线是垂直的。
根据斜率的定义，可以求出两条直线的斜率，然后计算斜率的乘积，若为-1则证明两条直线垂直。
3.垂直平移法：如果一条直线上的所有点按照垂直方向平移得到的点仍然在另一条直线上，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以分别求出两条直线上的点的坐标，然后将其中一条直线上的点按照垂直方向平移，如果得到的点在另一条直线上，则证明两条直线垂直。
证明直线平行的方法：
1.平行性质法：根据平行线的性质，如果两条直线与第三条直线的交角分别相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.斜率法：如果两条直线的斜率相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以分别求出两条直线的斜率，如果相等则证明两条直线平行。
3.互补角法：如果两条直线间的相邻内角和为180度，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器求出相邻内角和，如果等于180度则证明两条直线平行。
以上是一些常见的初中证明直线垂直和平行的方法，学生可以根据具体问题选择合适的方法进行证明。
证明过程中需要使用几何图形的性质和一些基本的几何知识，同时需要运用一些几何推理的方法。
初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全[五篇范例]
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初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全[五篇范例]初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全三、证明两直线平行1.垂直于同一条线的线是平行的。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.如果切割三角形的两条边(或延长线)得到的线段成比例，则该线平行于第三条边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.当两条直线相交成直角时，它们是垂直的。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.用半圆上的圆角作为直角。
证明两条直线垂直（直角）的常用方法（一）相交线与平行线1.定义:当两条直线相交成直角时，它们是垂直的。
2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
即：若a‖b，a⊥c，则b⊥c。
3.邻补角的平分线互相垂直。
4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（二）三角形5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。
①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。
③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。
8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。
（三）四边形9.矩形的两邻边互相垂直。
10.菱形的两条对角线垂直等分，每个对角线组等分。
垂直线的证法
垂直线的证法论证两直线垂直常从如下几个方面考虑。
从角考虑：相交成直角的两直线垂直。
相交得邻补角相等的两直线垂直。
直径所张圆周角的两边垂直。
从线考虑：分别与两互相垂直的直线平行的两直线垂直。
一条直线和两平行线中的一条垂直也和另一条垂直。
同圆中夹弧和为半圆的两相交弦垂直。
等腰三角形的顶角平分线和底边垂直。
过三角形顶点和垂心的直线与顶点所对的边垂直。
两圆相交的连心线与公共弦垂直。
从形考虑：与直角三角形相似对应于直角的角的两边垂直。
从有关结论考虑：满足勾股定理逆定理条件的三角形两短边垂直。
一线段的两端到另一线段两端距离的平方差相等时此两线段垂直。
还可从其他方法方面考虑：如同一法、反证法、几何变换等。
一、证明两直线垂直常用的方法：（1）等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线或底边的中线垂直于底边；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）勾股定理的逆定理；（4）全等和相似三角形的利用；(5) 射影定理的逆定理。
二、例题1、在ABC ∆两边AB 和AC 上向外作正方形,ABDE ACFG ，设,,H K M 各为,,BE CG BC 的中点。
证明,MH MK MH MK ⊥=。
2、分别以ABC ∆的边,,AB BC CA 为斜边向外作等腰直角三角形,,DAB EBC FAE 。
求证：（1）AE DF =（2）AE DF ⊥。
3、延长圆内接四边形两组对边至相交，则其交角的平分线互相垂直。
4、设四边形ABCD 同时有外接圆和内接圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直。
5、设H 是等腰ABC ∆的垂心，K 为AH 的中点，D 是BC 边中点，BH 交AC 于E ，EF BC ⊥于F ，并延长AD 至G 使DG EF =，求证：BK BG ⊥。
6、如图，从等腰三角形ABC 的底边AC 的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 是MH 的中点，证明：AH BP ⊥7、如图，在ABC 中，边BC 等于其余两边之和的一半。
证直线垂直的方法
证直线垂直的方法直线的垂直性是一个基础几何概念，是指两条直线在交点处的夹角为90度，即成为直角。
在数学中，有多种方法可以判断两条直线是否垂直。
下面将介绍几种常用的方法。
方法一：斜率判断法对于两条直线L1和L2，首先需要计算它们的斜率。
斜率是指直线在坐标平面上的倾斜程度。
两条直线L1和L2垂直的条件是，它们的斜率的乘积为-1。
具体步骤如下：1. 计算直线L1的斜率k1。
直线L1可以表示为y = k1*x + b1，其中k1是斜率。
2. 计算直线L2的斜率k2。
直线L2可以表示为y = k2*x + b2，其中k2是斜率。
3. 判断斜率的乘积是否为-1，即k1 * k2 = -1。
如果成立，则两条直线垂直；如果不成立，则两条直线不垂直。
方法二：向量判断法向量也可以用来判断两条直线的垂直性。
两条直线垂直的条件是，它们的方向向量的内积为0。
具体步骤如下：1. 找到直线L1和直线L2的方向向量v1和v2。
方向向量是指直线的方向所对应的向量。
2. 计算方向向量的内积v1·v2。
如果v1·v2 = 0，则两条直线垂直；如果v1·v2 ≠0，则两条直线不垂直。
方法三：距离判断法两条直线也可以通过它们和一个公共点的距离来判断是否垂直。
具体步骤如下：1. 找到两条直线L1和L2的一个公共点P0。
可以通过联立直线方程求解得到。
2. 计算点P0到直线L1的距离d1。
3. 计算点P0到直线L2的距离d2。
4. 如果d1 * d2 = 0，则两条直线垂直；如果d1 * d2 ≠0，则两条直线不垂直。
方法四：正交变换法正交变换是一种保持垂直性的变换。
通过将两条直线进行正交变换，如果变换后的直线重合，则原先的两条直线是垂直的。
具体步骤如下：1. 将直线L1和直线L2表示为矩阵形式。
对于一条直线L：ax + by + c = 0，可以表示为矩阵形式：[a, b, c]。
2. 构造一个正交变换的矩阵T。
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证明垂直的众多方法技巧
垂直是几何的知识，那垂直该怎么证明呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是百分网给大家整理的怎么证明垂直内容，希望大家喜欢。
证明垂直的方法
1、
利用勾股定理的逆定理证明
勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、
利用“三线合一”证明
要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、
利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、
圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、
利用菱形的对角线互相垂直证明
菱形的对角线互相垂直。
6、
利用全等三角形证明
主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.
wps演示启用垂直标尺的方法
一、在电脑桌面的wps文字程序图标上双击鼠标左键，将其打开运行。
如图所示;
二、在打开的wps表格窗口中，点击左上角的“wps演示”命令选项。
如图所示;
三、在弹出的“wps演示”命令选项对话框中，选择并点击“选项”命令选项。
如图所示;
四、点击“选项”命令选项后，这个时候会弹出工作簿的“选项”对话框。
如图所示;
五、在“选项”对话框中，选择左侧窗格的“视图”选项并点击它。
如图所示;
六、在“视图”选项的右侧窗格中，找到“显示”组中的“垂直标尺”选项，并将其勾选，然后再点击“确定”按钮即可。
如图所示;
用垂直造句
1)实际证明，贮冷设备中蒸发端以螺旋沿垂直上下延伸结构造型结冰效果最好。
2)阐述哈锅超超临界锅炉的设计特点，对蒸汽参数垂直水冷壁设计过热器与再热器的布置和高热强钢启动系统等作了分析与讨论。
3)还可以设置组合框下拉部分的垂直大小。
4)利用JGYW2型双单摆振动示波装置对两个相互垂直方向的同频率欠阻尼振动的合成进行了实验研究和理论分析，得到了欠阻尼振动合成的部分图形和表达式。