【步步高 学案导学设计】高中数学 2.3.1-2.3.2等比数列的概念、等比数列的通项公式(一)

2.3.1 等比数列的概念(一) 2.3.2 等比数列的通项公式(一)
课时目标 1.理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式并能简单应用.3.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．
1．如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母____表示(q ≠0)．
2．等比数列的通项公式：__________. 3．等比中项的定义
如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G ＝__________.
一、填空题
1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为________． 2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于________．
4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.
5．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10
a 7＋a 8
等于
________．
6．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2
－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.
7．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为________． 8．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.
9．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5
a 4＋a 6
等于________．
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
二、解答题
11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝20
3
，求{a n }的通项公式．
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13
(a n －1) (n ∈N *
)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{a n}是等比数列．
能力提升
13．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，
(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；
(2)求a n的表达式．
§2.3等比数列
2．3.1 等比数列的概念(一)
2．3.2 等比数列的通项公式(一)
答案
知识梳理
1．2 比公比q 2.a n＝a1q n－1 3.等比中项±ab
作业设计
1．27
解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2．4·(32
)n －1
解析 由已知(a ＋1)2
＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32
，
∴a n ＝4·(32
)n －1
.
3．64
解析 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2
＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26
＝64. 4．－3 9
解析 ∵b 2
＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号．
∴ac ＝b 2
＝9. 5．3＋2 2
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1，1
2
a 3,2a 2成等差数列，
∴a 3＝a 1＋2a 2，
∴a 1q 2
＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2
－2q －1＝0， ∴q ＝1± 2.
∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 6．18
解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5
a 4
＝3.
∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32
)×32
＝18.
7.53
解析 设这个数为x ，则(50＋x )2
＝(20＋x )·(100＋x )，
解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝5
3
.
8．5
解析 设公比为q ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
3q n －1
＝483q 2n －4
＝192⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
q n －1
＝16
q 2n －4
＝64⇒q 2
＝4，
得q ＝±2.由(±2)n －1
＝16，得n ＝5.
9.5－12
解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4
， ∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2
－q －1)＝0 (q ≠1)，
∴q 2
－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52
<0舍)
∴
a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－1
2
. 10.
5－1
2
解析 设三边为a ，aq ，aq 2
(q >1)，
则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2
＝5＋12.
较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－1
2
.
11．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.
a 2＝a 3q ＝2
q
，a 4＝a 3q ＝2q ，
∴2q ＋2q ＝203
. 解得q 1＝1
3，q 2＝3.
当q ＝1
3
时，a 1＝18，
∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －1＝2×33－n
.
当q ＝3时，a 1＝2
9
，
∴a n ＝29
×3n －1＝2×3n －3
.
综上，当q ＝13
时，a n ＝2×33－n
；
当q ＝3时，a n ＝2×3n －3
.
12．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝1
3
(a 1－1)，
∴a 1＝－1
2.
又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14
.
(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－1
3
(a n －1－1)，
得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12
， 所以{a n }是首项为－12，公比为－1
2
的等比数列．
13．－9
解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－3
2
，∴6q ＝－9. 14．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1
＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
(2)解由(1)知{a n＋1}是等比数列．公比为2，首项a1＋1＝2.
∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴a n＝2n－1.。