9利用Matlab和SPSS实现主成分分析
最新主成分分析及matlab实现
1．将原始数据标准化。这里不妨设上边矩阵已 标准化了。
2．建立变量的相关系数阵：
rij
n
(xki xi )(xkj xj )
k1
n
n
(xki xi )2 (xkj xj )2
k1
k1
3．求R的特征根 及相应的单位特征向量：
主成分分析及matlab实现
问题的提出：
在实际问题研究中，多变量问题是经常 会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题 的难度与复杂性，而且在许多实际问题中， 多个变量之间是具有一定的相关关系的。
因此，人们会很自然地想到，能否在相 关分析的基础上，用较少的新变量代替原来 较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽 可能多地保留原来变量所反映的信息？
1 1 .9 9 9 ,2 0 .9 9 8 ,3 0 .0 0 3
前2个主成分的累计贡献率在99%以上，故取2个主成分（ x
* i
表示xi的标准化变量）：
Z10.7063x* 10.0435x2 *0.7065x3 *,
Z20.0357x* 10.9990x2 *0.0258x3 *
由主成分回归得到的标准化回归方程为
第一步 将原始数据标准化。 第二步 建立指标之间的相关系数阵R如下
第三步 求R的特征值和特征向量。
从上表看，前3个特征值累计贡献率已达89．564％， 说明前3个主成分基本包含了全部指标具有的信息，我们 取前3个特征值，并计算出相应的特征向量：
因而前三个主成分为： 第一主成分：
第二主成分：
x1
149.3 161.2 171.5 175.5 180.8 190.7 202.1 212.4 226.1 231.9 239.0
如何正确应用SPSS软件做主成分分析
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主成分分析及matlab程序
举例：
某人要做一件上衣要测量很多尺寸，如身长、 袖长、胸围、腰围、肩宽、肩厚等十几项指标， 但某服装厂要生产一批新型服装绝不可能把尺寸 的型号分得过多 ，而是从多种指标中综合成几 个少数的综合指标，做为分类的型号，利用主成 分分析将十几项指标综合成3项指标，一项是反 映长度的指标，一项是反映胖瘦的指标，一项是 反映特体的指标。
2195.7 1408 422.61 4797 1011.8 119.0
5381.72 2699 1639.8 8250 656.5 114.0
1606.15 1314 382.59 5105 556.0 118.4
364.17 1814 198.35 5340 232.1 113.5
3534.00 1261 822.54 4645 902.3 118.5
111.6 1396.35
116.4 554.97
111.3 64.33
117.0 1431.81
117.2 324.72
118.1 716.65
114.9
5.57
117.0 600.98
116.5 468.79
116.3 105.80
115.3 114.40
116.7 428.76
1.将原始数据标准化。 2.建立指标之间的相关系数阵R如下:
正交化特征向量（通常用Jacobi法求特征向量）：
a11
a12
1
=
a21
,
2
=
a22
,
a
p1
a
p
2
a1p
,
p
=
a2
p
,
a
用SPSS进行详细的主成分分析步骤
用SPSS进行详细的主成分分析步骤主成分分析是一种常用的多元统计分析方法，用于降低数据的维度从而简化数据集。
SPSS（统计软件）提供了强大的主成分分析功能，以下是详细的主成分分析步骤。
步骤1：打开数据集首先，打开SPSS软件并加载需要进行主成分分析的数据集。
选择“文件”>“打开”>“数据”，浏览并选择要进行主成分分析的数据文件，然后点击“打开”。
步骤2：选择变量在SPSS中，主成分分析可以应用于数值型变量。
在“数据视图”中，选择需要进行主成分分析的变量。
你可以按住Ctrl键选择多个变量，或者按住Shift键选择连续的变量。
步骤3：进行主成分分析在SPSS的主菜单中，选择“分析”>“降维”>“因子”（或者“主成分”）。
这将打开主成分分析的对话框。
步骤4：选择成分数量在主成分分析对话框中，选择“主成分”选项卡。
在该选项卡，你需要指定要提取的主成分数量。
通常，一个好的经验是提取具有特征值大于1的主成分。
步骤5：选择成分提取方法在同一选项卡，你可以选择主成分的计算方法。
最常用的方法是“主成分”和“因子”，但在大部分情况下，“主成分”方法效果更好。
步骤6：选择旋转方法在主成分分析对话框的“旋转”选项卡中，你可以选择使用特定的旋转方法。
主成分的旋转可以帮助解释和可解释性。
最常用的旋转方法是“变量最大化”（Varimax）或“正交旋转”。
步骤7：输出选项在主成分分析对话框的“输出”选项卡中，你可以选择需要输出的结果。
例如，你可以选择输出成分系数矩阵、方差解释和旋转后的成分矩阵等。
步骤8：点击运行完成以上设置后，点击“确定”按钮来运行主成分分析。
SPSS将执行主成分分析，并在输出窗口中显示结果。
步骤9：解释结果通过分析输出结果，你可以解释每个主成分的方差解释比例、因子载荷和特征值等。
方差解释比例表示每个主成分对总方差的贡献程度。
因子载荷表示每个变量对每个主成分的贡献程度。
步骤10：绘制因子图在SPSS中，你还可以绘制因子图来可视化主成分分析的结果。
主成分分析在SPSS中的实现和案例
主成分分析在SPSS中的实现和案例
主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，可以将多个相关变量转化为少数几个无关的主成分。
在SPSS中实现PCA的步骤如下：
1. 打开SPSS软件，并打开需要进行PCA分析的数据集。
2. 选择“分析”菜单下的“降维”选项，再选择“因子”。
3. 在弹出的窗口中，选择需要进行PCA分析的变量，添加至“因子”列表中。
4. 点击“提取”按钮，选择提取主成分的方式，可以选择保留的主成分个数或者保留的方差比例。
5. 点击“确定”按钮，返回因子分析结果窗口，可以查看提取的主成分特征根、方差贡献率以及旋转后的载荷矩阵等信息。
下面介绍一个PCA的案例：假设研究人员要对顾客满意度进行研究，数据集包括顾客的年龄、性别、消费金额、服务态度、产品质量等变量。
为了降低变量维度，可以进行PCA分析。
在SPSS 中进行该分析的步骤如上述操作。
结果表明，经过PCA分析，可以选择保留3个主成分，解释总方差达到了80%以上。
第一主成分代表消费水平，第二主成分代表服务品质，第三主成分代表年龄和性别。
这说明顾客的满意度受到这3个方面的影响较大。
总之，主成分分析在SPSS中的实现方法简单易行，可以有效地解决多变量相关性较强的问题，为研究提供更加深入的解释和认识。
主成分分析的SPSS实现
数据标准化：
（四）确定主成分个数m：用SPSS软件中表 “Total Variance Explained(总方差解释)” 的主成分方 差累计贡献率 %、结合表“Component Matrix(初始因 子载荷阵)”中变量不出现丢失确定主成分个数m。
（SPSS中选取主成分的方法有两个：一是根据特征根≥1来选 取； 另一种是用户直接规定主成分的个数来选取。）
），得到特征向量Ui，由
（六）主成分Fi命名：用SPSS软件中表 “Component Matrix”中的第 i 列中系数绝对值大的对 应变量对Fi命名(有时命名清晰性低)。
（七）主成分与综合主成分得分(评价值) （这是 SPSS软件及其教科书中没完善的地方）：主成分得分是根据 表达式将标准化后的相应数据代入得到的， 在 “transform_compute”中输入主成分的表达式（特征向 量与标准化后的数据相乘），确定后即可得到各主成分 的得分Fi 。
（五）主成分Fi表达式（这是SPSS软件及其教科书中没完善
的地方）：经过FACTOR 过程产生的是因子载荷阵，但主 成分分析模型需要的不是因子载荷量而是特征向量，所以 还需将因子载荷量输入数据编辑窗口，利用 “主成分相 应特征根的平方根与特征向量乘积为因子载荷量”的性质 用TRANSFORM——COMPUTE 来计算特征向量，得到主成 分的线性表达式。
主成分分析法和SPSS软件应用时 一对一的正确步骤：
（一）指标的正向化。 指标最好有同趋势化，一般为了评价分析的方便，需
要将逆指标转化为正指标，转化的方式为用逆指标的倒数 值代替原指标。 （二）指标数据标准化（SPSS软件自动执行，下图）。 （三）指标之间的相关性判定：用SPSS软件中表 “Correlation Matrix(相关系数矩阵)”判定。
主成分分析报告matlab程序
主成分分析报告matlab程序主成分分析报告 Matlab 程序在数据分析和处理的领域中，主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用且强大的工具。
它能够将多个相关变量转换为一组较少的不相关变量，即主成分，同时尽可能多地保留原始数据的信息。
在 Matlab 中，我们可以通过编写程序来实现主成分分析，这为我们的数据处理和理解提供了极大的便利。
主成分分析的基本思想是找到数据中的主要方向或模式。
这些主要方向是通过对数据的协方差矩阵进行特征值分解得到的。
最大的特征值对应的特征向量就是第一主成分的方向，第二大的特征值对应的特征向量就是第二主成分的方向，以此类推。
在 Matlab 中，我们首先需要导入数据。
假设我们的数据存储在一个名为｀data` 的矩阵中，每一行代表一个观测值，每一列代表一个变量。
｀｀｀matlabdata ＝ load(＇your_data_filetxt'）；％替换为您的数据文件路径｀｀｀接下来，我们需要对数据进行中心化处理，即每个变量减去其均值。
｀｀｀matlabcentered_data ＝ data repmat(mean(data)， size(data, 1)， 1)；｀｀｀然后，计算协方差矩阵。
｀｀｀matlabcov_matrix ＝ cov(centered_data)；｀｀｀接下来进行特征值分解。
｀｀｀matlabV, D ＝ eig(cov_matrix)；｀｀｀｀V` 是特征向量矩阵，｀D` 是对角矩阵，其对角元素是特征值。
我们对特征值进行从大到小的排序，并相应地对特征向量进行重新排列。
｀｀｀matlablambda, index ＝ sort(diag(D)，＇descend'）；sorted_V ＝ V(：， index)；｀｀｀此时，｀sorted_V` 的每一列就是一个主成分的方向。
为了计算每个观测值在主成分上的得分，我们可以使用以下代码：｀｀｀matlabprincipal_components ＝ centered_data sorted_V;｀｀｀我们还可以计算每个主成分解释的方差比例。
主成分分析的SPSS实现
主成分分析的SPSS实现SPSS（统计软件包的科学和科学分析系统）是一种常用的数据分析工具，它提供了许多统计技术，其中包括主成分分析（PCA）。
主成分分析是一种用于研究多个变量之间关系的统计方法。
它是一种无监督学习方法，可以帮助我们理解数据集中的变量之间的模式和结构。
主成分分析通过将原始数据转换为新的变量，称为主成分，来实现这一目标。
这些主成分是原始变量的线性组合，具有最大方差。
在SPSS中进行主成分分析需要以下步骤：1. 打开SPSS软件，并加载您的数据集。
您可以使用数据菜单中的打开选项或使用快捷键Ctrl+O。
3.转到“分析”菜单，选择“降维”选项，然后选择“主成分”。
4.在打开的主成分分析对话框中，将您感兴趣的变量移动到右侧的变量框中。
这些是您希望在主成分分析中考虑的变量。
5.在“提取”选项卡中，您可以选择提取的主成分数量。
根据自己的要求，您可以选择提取的主成分数量或使用默认选项“因子特征值>1”。
6.还可以在“先决条件”选项卡中选择执行平均化、归一化等数据转换方法。
7.单击“OK”按钮开始分析。
8.SPSS将为您生成主成分分析的结果。
其中包括与每个主成分相关的方差解释、因子载荷和特征值等。
9.可以使用这些结果来解释主成分之间的关系和每个主成分对原始变量的解释力。
除了上述步骤外，您还可以使用SPSS的图形工具来可视化主成分分析的结果。
您可以通过画出散点图或因子载荷图来查看主成分之间的关系，帮助您更好地理解数据集中的模式和结构。
总结起来，SPSS提供了一种简便的方式来执行主成分分析。
通过遵循上述步骤，您可以将主成分分析应用于自己的数据，并获得有关数据集结构和模式的有用信息。
无论是进行学术研究、市场调研还是业务决策，主成分分析都可以为您提供洞察力和指导。
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§9. 利用Matlab 和SPSS 实现主成分分析1.直接调用Matlab 软件实现在软件Matlab 中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab 中自带程序实现。
通过直接调用Matlab 中的程序可以实现主成分分析：)(]2,var ,,[X princomp t iance score pc =式中：X 为输入数据矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m x x x x x x x x x X 212222111211（一般要求n>m ）输出变量：①pc 主分量f i 的系数，也叫因子系数；注意：pc T pc=单位阵②score 是主分量下的得分值；得分矩阵与数据矩阵X 的阶数是一致的； ③variance 是score 对应列的方差向量，即A 的特征值；容易计算方差所占的百分比percent-v = 100*variance/sum(variance); ④t2表示检验的t2-统计量（方差分析要用） 计算过程中应用到计算模型:ξ+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m T p x x x A f f f 2121 (要求p<m )例：表1为某地区农业生态经济系统各区域单元相关指标数据，运用主成分分析方法可以用更少的指标信息较为精确地描述该地区农业生态经济的发展状况。
表1 某农业生态经济系统各区域单元的有关数据样本序号 x 1：人口密度(人/km 2) x 2：人均耕地面积(ha) x 3：森林覆盖率(%) x 4：农民人均纯收入(元/人) x 5：人均粮食产量 (kg/人) x 6：经济作物占农作物播面比例(％)x 7：耕地占土地面积比率(％) x 8：果园与林地面积之比(％) x 9：灌溉田占耕地面积之比(％)1 363.912 0.352 16.101 192.11 295.34 26.724 18.492 2.231 26.262 2 141.503 1.684 24.301 1 752.35 452.26 32.314 14.464 1.455 27.066 3 100.695 1.067 65.601 1 181.54 270.12 18.266 0.162 7.474 12.489 4 143.739 1.336 33.205 1 436.12 354.26 17.486 11.805 1.892 17.534 5 131.412 1.623 16.607 1 405.09 586.59 40.683 14.401 0.303 22.932 6 68.337 2.032 76.204 1 540.29 216.39 8.128 4.065 0.011 4.861 7 95.416 0.801 71.106 926.35 291.52 8.135 4.063 0.012 4.862 8 62.901 1.652 73.307 1 501.24 225.25 18.352 2.645 0.034 3.2019 86.624 0.841 68.904 897.36 196.37 16.861 5.176 0.055 6.167 10 91.394 0.812 66.502 911.24 226.51 18.279 5.643 0.076 4.477 11 76.912 0.858 50.302 103.52 217.09 19.793 4.881 0.001 6.165 12 51.274 1.041 64.609 968.33 181.38 4.005 4.066 0.015 5.402 13 68.831 0.836 62.804 957.14 194.04 9.110 4.484 0.002 5.790 14 77.301 0.623 60.102 824.37 188.09 19.409 5.721 5.055 8.413 15 76.948 1.022 68.001 1 255.42 211.55 11.102 3.133 0.010 3.425 16 99.265 0.654 60.702 1 251.03 220.91 4.383 4.615 0.011 5.593 17 118.505 0.661 63.304 1 246.47 242.16 10.706 6.053 0.154 8.701 18 141.473 0.737 54.206 814.21 193.46 11.419 6.442 0.012 12.945 19 137.761 0.598 55.901 1 124.05 228.44 9.521 7.881 0.069 12.654 20 117.612 1.245 54.503 805.67 175.23 18.106 5.789 0.048 8.461 21122.7810.731 49.102 1 313.11 236.29 26.724 7.162 0.092 10.078对于上述例子，Matlab 进行主成分分析，可以得到如下结果。
① 以及每一个主成分的贡献率和累计贡献率，如表2和图1。
表2. 特征根及主成分贡献率主成分特征值贡献率％累积贡献率％14.66151.79151.7912 2.089 23.216 75.0073 1.043 11.589 86.5964 0.507 5.638 92.2345 0.315 3.502 95.736 6 0.193 2.140 97.8767 0.114 1.271 99.1478 4.533E-02 0.504 99.650 93.147E-020.350100.000E i g e n v a l u e1特征根② 前3几个主成分的载荷系数如表3所示。
表3 前三个主成分在原变量上的载荷123X1 0.158 -0.255 -0.059 X2 0.026 0.424 -0.027 X3 -0.207 0.046 0.091 X4 0.009 0.415 0.036 X5 0.174 0.212 -0.011 X60.1760.0860.120X7 0.200 -0.064 -0.241X8 0.042 -0.048 0.930X9 0.207 -0.012 0.0882. 直接调用SPSS软件实现多元分析处理的是多指标的问题。
由于指标太多，使得分析的复杂性增加。
观察指标的增加本来是为了使研究过程趋于完整，但反过来说，为使研究结果清晰明了而一味增加观察指标又让人陷入混乱不清。
由于在实际工作中，指标间经常具备一定的相关性，故人们希望用较少的指标代替原来较多的指标，但依然能反映原有的全部信息，于是就产生了主成分分析、对应分析、典型相关分析和因子分析等方法。
调用Data Reduction菜单的Factor过程命令项，可对多指标或多因素资料进行因子分析。
因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量，这与上一章的聚类分析不同），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。
基本操作以以上例子来说明在SPSS中进行因子分析的整个过程。
将以上数据导入到数据窗口中，先定义各变量为numberic型。
①激活Analysis菜单选Data Reduction的Factor...命令项，弹出Factor Anal ysis对话框（图1）。
在对话框左侧的变量列表中选变量X1至X9，点击➢钮使之进入Variables框。
图 1 因子分析对话框点击Descriptives...钮，弹出Factor Analysis:Descriptives对话框（图2），在Statistics中选Univariate descriptives项要求输出各变量的均数与标准差，在Cor relation Matrix栏内选Coefficients项要求计算相关系数矩阵，并选KMO and B artlett’s test of sphericity项，要求对相关系数矩阵进行统计学检验。
点击Conti nue钮返回Factor Analysis对话框。
图2 描述性指标选择对话框点击Extraction...钮，弹出Factor Analysis:Extraction对话框（图3），系统提供如下因子提取方法：图3 因子提取方法选择对话框Principal components：主成分分析法；Unweighted least squares：未加权最小平方法；Generalized least squares：综合最小平方法；Maximum likelihood：极大似然估计法；Principal axis factoring：主轴因子法；Alpha factoring：α因子法；Image factoring：多元回归法。
本例选用Principal components方法，之后点击Continue钮返回Factor Ana lysis对话框。
点击Rotation...钮，弹出Factor Analysis:Rotation对话框，系统有5种因子旋转方法可选：None：不作因子旋转；Varimax：正交旋转；Equamax：全体旋转，对变量和因子均作旋转；Quartimax：四分旋转，对变量作旋转；Direct Oblimin：斜交旋转。
旋转的目的是为了获得简单结构，以帮助我们解释因子。
本例选正交旋转法，之后点击Continue钮返回Factor Analysis对话框。
点击Scores...钮，弹出弹出Factor Analysis:Scores对话框，系统提供3种估计因子得分系数的方法，本例选Regression（回归因子得分），之后点击Continue 钮返回Factor Analysis对话框，再点击OK钮即完成分析。
结果解释在输出结果窗口中将看到如下统计数据：系统首先输出各变量的均数（Mean）与标准差（Std Dev），并显示共有21例观察单位进入分析；接着输出相关系数矩阵（Correlation Matrix），经Bartlett 检验表明：Bartlett值= 159.767，P<0.0001，即相关矩阵不是一个单位矩阵，故考虑进行因子分析。
Correlation Matrix人口密度人均耕地面积森林覆盖率农民人均纯收入人均粮食产量经济作物占农作物播面比例耕地占土地面积比率果园与林地面积之比灌溉田占耕地面积之比人口密度 1.000 -.327 -.714 -.336 .309 .408 .790 .156 .744 人均耕地面积-.327 1.000 -.035 .644 .420 .255 .009 -.078 .094 森林覆盖率-.714 -.035 1.000 .070 -.740 -.755 -.930 -.109 -.924 农民人均纯收入-.336 .644 .070 1.000 .383 .069 -.046 -.031 .073 人均粮食产量.309 .420 -.740 .383 1.000 .734 .672 .098 .747 经济作物占农作物播面比例.408 .255 -.755 .069 .734 1.000 .658 .222 .707耕地占土地面积比率.790 .009 -.930 -.046 .672 .658 1.000 -.030 .890果园与林地面积之比.156 -.078 -.109 -.031 .098 .222 -.030 1.000 .290灌溉田占耕地面积之比.744 .094 -.924 .073 .747 .707 .890 .290 1.000使用主成分分析法得到3个因子，因子矩阵（Factor Matrix）如下，变量与某一因子的联系系数绝对值越大，则该因子与变量关系越近。