摄像机标定
摄像机标定 方法
摄像机标定方法摄像机标定是计算机视觉领域的一项重要任务，主要目的是确定摄像机的内外参数，以便将图像中的像素坐标转换为世界坐标。
摄像机标定有多种方法可供选择，其中包括使用标定物体、使用棋盘格、使用角点等。
下面将详细介绍其中的几种方法。
第一种方法是使用标定物体进行摄像机标定。
该方法需要摄像机拍摄带有已知尺寸的标定物体，例如固定尺寸的棋盘格或标尺。
通过测量图像中标定物体的像素坐标和已知尺寸，可以计算出摄像机的内外参数。
这个过程通常涉及到图像坐标和世界坐标的转换，以及通过最小二乘法进行参数求解。
第二种方法是使用棋盘格进行摄像机标定。
这种方法是比较常用且简单的一种标定方法。
首先，在摄像机拍摄的图像中绘制一个棋盘格，然后使用摄像机内参数和外参数将棋盘格的世界坐标与图像坐标建立对应关系。
通过采集多幅图像并测量每幅图像中的棋盘格角点的像素坐标，可以得到摄像机的内外参数。
这个过程通常使用角点检测算法来自动检测图像中的棋盘格角点。
第三种方法是使用角点进行摄像机标定。
这种方法也是比较常用的一种标定方法。
和使用棋盘格类似，该方法也是通过摄像机内参数和外参数将角点的世界坐标与图像坐标建立对应关系。
角点通常是由几条直线的交点或者是物体的尖锐边缘。
通过采集多幅图像并测量每幅图像中的角点的像素坐标，可以得到摄像机的内外参数。
这个过程通常也使用角点检测算法来自动检测图像中的角点。
除了上述几种常用方法，还有其他一些比较新颖的摄像机标定方法。
例如，基于模板匹配的方法可以在不需要标定物体的情况下估计摄像机的内外参数。
这种方法需要摄像机拍摄多幅图像，并在每幅图像中定位模板。
通过比较模板在不同图像中的位置，可以估计摄像机的内外参数。
此外，还有基于结构光的方法和基于手眼标定原理的方法等。
总之，摄像机标定是计算机视觉领域的一项重要任务，有多种不同的方法可供选择。
使用标定物体、棋盘格、角点等进行摄像机标定是常见的方法。
这些方法可以通过采集多幅图像并测量像素坐标，计算摄像机的内外参数。
摄像机标定的基本原理实现及性能分析_小论文
摄像机标定的基本原理实现及性能分析_小论文1.采集标定图像：通过摄像机拍摄一系列已知的标定板图像，标定板上通常有明确的特征点或者标定物体，这些特征点被用来进行摄像机标定的计算。
2. 特征点提取：使用图像处理算法，如Harris角点检测或SIFT算法等，从标定图像中找到特征点，并提取其特征描述子。
3.特征点匹配：将标定板图像中的特征点与实际世界坐标点进行匹配，建立特征点之间的对应关系。
4.摄像机的内参数标定：通过已知的标定板图像和其对应的实际世界坐标点，利用摄像机模型的投影关系，计算出摄像机的内参数，包括焦距、主点和畸变参数等。
5.摄像机的外参数标定：利用摄像机的内参数和特征点的对应关系，通过最小化重投影误差的方法，估计出摄像机的外参数，包括旋转矩阵和平移矩阵。
6.误差评估：对标定结果进行误差评估和优化，例如通过重投影误差的计算和最小化、重复采样一致性算法（RANSAC）等方法，对标定的准确性进行验证和改进。
1.精度：即标定结果与实际情况之间的误差。
精度的评估通常通过计算摄像机内外参数的重投影误差来进行，重投影误差较小则说明标定结果较为准确。
2.稳定性：即标定结果对输入数据的变化的稳定性。
稳定性的评估可以通过在不同条件下进行多次标定实验，计算不同实验结果之间的差异之来进行。
3.鲁棒性：即标定方法对噪声和异常值的容忍能力。
鲁棒性的评估可以通过向标定图像中加入噪声或异常值，并观察标定结果的变化情况来进行。
4.计算效率：即标定过程所需的计算时间。
计算效率的评估可以通过记录标定过程的耗时来进行。
5.实际应用：即标定方法在实际应用中的可行性和有效性。
实际应用的评估可以通过将标定结果应用到三维重构、姿态估计等任务中，观察其效果和性能来进行。
总之，摄像机标定是计算机视觉领域中的一个重要研究课题，其基本原理是通过建立摄像机内外参数与实际世界坐标的对应关系，实现图像坐标与实际世界坐标之间的转换。
标定的实现包括采集标定图像、特征点提取与匹配、摄像机内外参数标定和误差评估等步骤。
摄像机标定原理
摄像机标定原理摄像机标定是指确定摄像机内参数和外参数的过程，它是计算机视觉和机器视觉中的重要环节。
摄像机标定的目的是为了将摄像机拍摄到的图像与真实世界的坐标系进行对应，从而实现对图像中物体的测量和分析。
摄像机标定原理是基于摄像机成像的几何关系和摄像机的内外参数进行计算和推导的。
首先，我们需要了解摄像机成像的基本原理。
摄像机成像是通过透镜将三维空间中的物体投影到二维图像平面上。
透镜会引起透视失真，因此需要进行校正。
在进行摄像机标定时，我们需要考虑到透镜的畸变、焦距、主点等内参数，以及摄像机的位置、姿态等外参数。
摄像机的内参数包括焦距、主点坐标和畸变参数。
焦距决定了摄像机成像的大小，主点坐标则决定了成像的中心位置，畸变参数则用于校正透镜引起的径向和切向畸变。
这些内参数可以通过摄像机标定板进行标定，通过观察标定板在图像中的投影位置和真实世界中的坐标位置进行计算和推导。
摄像机的外参数包括摄像机的位置和姿态，通常用旋转矩阵和平移向量来表示。
通过摄像机标定板上已知的特征点的位置和摄像机拍摄到的图像中的对应点，可以通过解PnP（Perspective-n-Point）问题来计算摄像机的外参数。
摄像机标定的过程可以分为内参数标定和外参数标定两个部分。
内参数标定是通过摄像机标定板进行的，而外参数标定则是通过摄像机观察到的真实世界中的特征点来进行的。
在进行标定时，需要注意选取合适的标定板和特征点，以及保证摄像机在不同位置和姿态下的观察角度，从而获得更准确的标定结果。
摄像机标定的原理和方法是计算机视觉和机器视觉中的重要内容，它为后续的三维重建、姿态估计、目标跟踪等任务提供了基础。
通过准确的摄像机标定，可以提高计算机视觉系统的精度和稳定性，从而更好地应用于工业自动化、智能监控、无人驾驶等领域。
总之，摄像机标定原理是基于摄像机成像的几何关系和摄像机的内外参数进行计算和推导的，它是计算机视觉和机器视觉中的重要环节。
通过准确的摄像机标定，可以实现对图像中物体的测量和分析，为后续的视觉任务提供基础支撑。
摄像机标定的几种方法
摄像机标定的几种方法摄像机标定是计算机视觉和机器视觉领域中的一项重要技术，用于确定相机的内参矩阵和外参矩阵，从而实现图像的准确测量与三维重建。
本文将介绍几种常用的摄像机标定方法，包括直接线性变换（DLT）、Zhang的标定法、Tsai的标定法、径向畸变模型等。
1.直接线性变换（DLT）方法：直接线性变换方法是摄像机标定最基础的方法之一，通过在物体平面上放置多个已知几何形状的标定物体，测量它们的图像坐标和真实坐标，通过最小二乘法求解相机的投影矩阵。
DLT方法简单直接，但对噪声敏感，容易产生误差。
2. Zhang的标定法：Zhang的标定法是一种常用的摄像机标定方法，通过在平面上放置一系列平行的标定板，根据不同位置姿态下的标定板的图像坐标和物理坐标，运用最小二乘法求解相机的内参矩阵和外参矩阵。
Zhang的标定法提高了标定的精度和稳定性，但要求标定板在不同位置姿态下具有较大的变化。
3. Tsai的标定法：Tsai的标定法是一种基于摄像机的投影模型的标定方法，通过摄像机的旋转和平移矩阵，以及曲率和径向畸变的参数，对图像坐标和物理坐标之间的映射关系进行数学推导和求解。
Tsai的标定法可以对畸变进行校正，提高图像测量的精度。
4. Kalibr工具包：Kalibr是一个开源的摄像机标定和多传感器校准工具包，结合了多种摄像机标定方法，例如DLT、Tsai、Zhang等。
Kalibr工具包不仅可以标定单目相机，还可以标定双目和多目视觉系统，对相机的内参、外参、畸变等参数进行标定和优化，同时还能进行相机的手眼标定、IMU与相机的联合标定等。
5. Di Zhang的自标定方法：Di Zhang提出了一种基于相对边界点的自标定方法，通过提取图像中的特定点边界，通过对这些边界点位置的检测与分析，实现对相机内参和外参的求解。
这种方法不需要使用标定板等外部标定物体，只需要相机自身可以看到的物体边界即可进行标定。
6.径向畸变模型：径向畸变是摄像机成像中常见的一种畸变形式，主要表现为物体边缘呈弯曲的形式。
摄像机标定原理
摄像机标定原理摄像机标定是计算机视觉和机器视觉中的一项重要技术，它通过数学模型和算法，将摄像机的内部和外部参数精确地估计出来。
摄像机标定的目的是为了使摄像机能够准确地捕捉和测量物体的三维信息，从而实现精确的视觉测量、姿态估计、目标跟踪等应用。
在摄像机标定中，内部参数指的是摄像机的内部结构和参数，例如焦距、主点位置等；外部参数指的是摄像机的位置和朝向。
通过标定摄像机的内外参数，可以将摄像机坐标系与世界坐标系之间的转换关系建立起来，从而实现摄像机对物体的精确测量。
摄像机标定的原理基于投影几何和图像处理技术。
投影几何是研究摄像机成像原理的数学理论，它描述了摄像机将三维物体投影到二维图像平面上的过程。
图像处理技术则是利用计算机对图像进行处理和分析的方法，通过对图像中的特征点进行提取和匹配，可以实现对摄像机的标定。
摄像机标定的过程通常包括以下几个步骤：1. 收集标定图像：在标定过程中，需要收集一组具有已知三维空间坐标的标定物体的图像。
这些标定物体可以是特殊的标定板或标定棋盘，其具有已知的形状和大小。
2. 提取特征点：在每张标定图像中，需要通过图像处理技术提取出一些特征点，例如角点或线条交点。
这些特征点在不同图像中具有一致的几何关系，可以用来进行摄像机标定。
3. 特征点匹配：对于多张标定图像，需要将它们之间的特征点进行匹配，找出它们之间的对应关系。
这种匹配可以通过计算特征点之间的距离或使用特征描述子的相似度来实现。
4. 计算内部参数：通过已知的三维空间坐标和对应的图像坐标，可以使用数学模型和算法计算出摄像机的内部参数。
常用的数学模型包括针孔模型和多项式模型。
5. 计算外部参数：通过已知的三维空间坐标和对应的图像坐标，可以使用数学模型和算法计算出摄像机的外部参数。
外部参数包括摄像机的位置和朝向，通常使用旋转矩阵和平移向量表示。
6. 优化与评估：在标定过程中，可能存在一些误差和不确定性。
通过优化算法和评估指标，可以对标定结果进行优化和评估，以提高标定的准确性和稳定性。
标定的方法有哪些
标定的方法有哪些标定是指对计算机视觉系统的相机或者传感器进行定位、校准和配置，以使其能够准确地感知和测量物体的位置、形状、大小等特性。
标定的方法有很多种，常见的包括摄像机标定、传感器标定、相机内参标定、相机外参标定、立体标定等。
下面将对这些标定方法逐一进行详细解释。
1. 摄像机标定摄像机标定是指对相机的内部参数进行标定，包括焦距、主点坐标、畸变系数等，以及相机的外部参数，即相机在世界坐标系中的位置和方向。
摄像机标定的目的是为了纠正图像畸变，提高图像的几何度量精度。
摄像机标定方法主要有直接线性变换（DLT）方法和Tsai标定方法。
直接线性变换方法是通过将空间点与图像点之间的关系建立为一个线性方程组来求解相机的内部参数和外部参数；而Tsai标定方法则是在DLT方法的基础上加入非线性优化过程，通过最小化重投影差来求解相机的内部参数和外部参数。
2. 传感器标定传感器标定是指对某种传感器（如激光雷达、惯性测量单元等）的内外参数进行标定，以便正确地将其测量结果与实际空间坐标相对应。
传感器标定的目的是消除传感器的误差，提高测量的精度和准确性。
传感器标定方法根据传感器的类型和特点有所差异。
常见的传感器标定方法包括激光雷达标定、惯性测量单元标定、相机-激光雷达标定等。
激光雷达标定主要针对激光雷达的扫描点云数据进行标定，通过与真实的靶标或者地面控制点进行对比，求解出激光雷达的内外参数；惯性测量单元标定则是针对惯性测量单元中的三轴加速度计和三轴陀螺仪，通过对比其测量结果与真实运动进行优化求解内外参数。
3. 相机内参标定相机内参标定是指对相机的内部参数进行标定。
相机的内部参数包括焦距、主点坐标和畸变系数等，它们决定了相机成像的质量和精度。
相机内参标定的目的是为了提高相机的成像质量和测量精度。
相机内参标定可以通过使用标定板或者棋盘格来进行。
标定板一般是由黑白相间的方格组成的，通过在不同的位置和姿态下拍摄标定板，利用标定板上的方格来计算相机的内参矩阵。
摄像机标定
摄像机标定一、 概述计算机视觉的基本任务之一是从摄像机获取的图像信息出发计算三维空间中物体的几何信息，并由此重建和识别物体，而空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系是由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型参数就是摄像机参数。
在大多数条件下，这些参数必须通过实验与计算才能得到，这个过程被称为摄像机定标(或称为标定)。
标定过程就是确定摄像机的几何和光学参数，摄像机相对于世界坐标系的方位。
标定精度的大小，直接影响着计算机视觉（机器视觉）的精度。
迄今为止，对于摄像机标定问题已提出了很多方法，摄像机标定的理论问题已得到较好的解决，对摄像机标定的研究来说，当前的研究工作应该集中在如何针对具体的实际应用问题，采用特定的简便、实用、快速、准确的标定方法。
二、 摄像机标定分类1 根据是否需要标定参照物来看，可分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法。
传统的摄像机标定是在一定的摄像机模型下，基于特定的实验条件，如形状、尺寸已知的标定物，经过对其进行图像处理，利用一系列数学变换和计算方法，求取摄像机模型的内部参数和外部参数（分为最优化算法的标定方法、利用摄像机透视变换矩阵的标定方法、进一步考虑畸变补偿的两步法和采用更为合理的摄像机模型的双平面标定法）；不依赖于标定参照物的摄像机标定方法，仅利用摄像机在运动过程中周围环境的图像与图像之间的对应关系对摄像机进行的标定称为摄像机自标定方法，它又分为：基于自动视觉的摄像机自标定技术（基于平移运动的自标定技术和基于旋转运动的自标定技术）、利用本质矩阵和基本矩阵的自标定技术、利用多幅图像之间的直线对应关系的摄像机自标定方以及利用灭点和通过弱透视投影或平行透视投影进行摄像机标定等。
自标定方法非常地灵活,但它并不是很成熟。
因为未知参数太多,很难得到稳定的结果。
一般来说，当应用场合所要求的精度很高且摄像机的参数不经常变化时，传统标定方法为首选。
而自标定方法主要应用于精度要求不高的场合，如通讯、虚拟现实等。
摄像机标定原理
摄像机标定原理
摄像机标定是计算机视觉中的一个重要步骤，它是指通过对摄像机进
行一系列的测量和校准，来确定摄像机内外参数的过程。
这个过程可
以分为两个部分：内部参数标定和外部参数标定。
1. 内部参数标定
内部参数是指摄像机本身的一些特性，如焦距、主点位置等。
这些参
数是固定不变的，但在计算机视觉中必须知道它们的值才能进行后续
处理。
内部参数标定通常使用棋盘格来实现。
首先需要拍摄多张棋盘格图像，在每张图像中都要确保棋盘格在不同位置、不同角度下都有足够清晰
的拍摄。
然后，通过对这些图像进行处理，提取出棋盘格角点的坐标，并将其与实际物理坐标对应起来。
最后，使用相应的数学模型（如针
孔相机模型）来求解出相机内参矩阵。
2. 外部参数标定
外部参数是指摄像机与被拍摄物体之间的空间关系，包括相对位置和
姿态等信息。
外部参数通常需要在已知内参矩阵的情况下求解。
外部参数标定也可以使用棋盘格来实现。
首先需要在棋盘格上放置至少三个不同位置的标志物，如球体或圆柱体。
然后，通过拍摄多张包含这些标志物的棋盘格图像，在每张图像中都要确保标志物在不同位置、不同角度下都有足够清晰的拍摄。
接着，通过对这些图像进行处理，提取出每个标志物在图像中的坐标，并将其与实际物理坐标对应起来。
最后，使用相应的数学模型（如PnP算法）来求解出相机外参矩阵。
总结：摄像机标定是计算机视觉中非常重要的一个步骤，它可以帮助我们确定摄像机内外参数，为后续处理提供重要的基础。
内部参数和外部参数分别通过棋盘格实现，并使用相应的数学模型求解。
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——摄像机标定
李**
标定有什么用？
1、工业元件尺寸测量系统
2、基于机器视觉的四轮定位系统
3、数字博物馆虚拟体验
标定什么？
外参 内参
1、物距
1、像素
2、焦距
2、角度
3、图像原点
4、畸变
一、综述
（一）什么是摄像机标定 在图像测量过程以及机器视觉应用中，为 确定空间物体表面某点的三维几何位置与其在 图像中对应点之间的相互关系，必须建立摄像 机成像的几何模型, 这些几何模型参数就是摄 像机参数。在大多数条件下这些参数必须通过 实验与计算才能得到，这个求解参数的过程就 称之为摄像机标定。
一个基准坐标系，用于描述摄像 机放置在拍摄环境中的位置和被 拍摄物体的位置。
(五)摄像机坐标系与图像坐标系转换
摄像机坐标系：O-XcYcZc 图像坐标系：O1-XY
Yc
Y
根据三角形相似原理，有
m( x, y )
M ( xc , yc , zc )
x x f c zc
yc y f zc
o
XcfBiblioteka O1摄 像 机 标 定 技 术
线性标定方法
优点：标定精度高 缺点：模型复杂计算量过大
非线性优化标定方法
优点：参数求解简易 缺点：标定成本高
Tsai的经典两步法 两步标定法 张正友的标定方法
(一)线性标定方法
u ZC v M 1M 2 X w MX w 1
将
写成如下形式：
T r 根据旋转矩阵的性质，即 1 r2 0 和 r 1 r2 1 ，每
幅图象可以获得以下两个对内参数矩阵的基本约束
h1T K T K 1h2 0 T h1T K T K 1h1 h2 K T K 1h2
由于摄像机有5个未知内参数，所以当所摄取得的图象数 目大于等于3时，就可以线性唯一求解出H。
1 1 1 f u v
一般情况下
u
f
所以
v f
即相距与焦距相近
空间中任何一点Pw在图像上的成像位置可以用针孔模 型近似表示，即任何点Pw在图像上的投影位置p，为光心 Oc与Pw点的连线OcPw与图像平面的交点。由三角形相似性 可知： fxc
x zc fyc y zc
0 f 0
使用其次坐标和矩阵表示可写为：
(四)摄像机坐标系、世界坐标系
摄像机坐标系是由点OC与XC、 YC和ZC轴组成的直角坐标系 (OC
点称为摄像机的光学中心，简称
光心), XC、YC和x轴y轴平行，ZC 轴为摄像机的光轴，它与图像平 面垂直，光轴与图像平面的交点， 即为图像坐标系的原点，OcO1 为 摄像机焦距。
世界坐标系(Ow,Xw,Yw,Zw) 是
v
u x
v
y
（二）图像物理坐标系(O1,X,Y)
由于像素直角坐标系中(u , v )只表示像素 位于数组中的列数与行数，并没有物理单位表示 出该像素在图像中的位置，因此需要建立以物理 单位表示的图像物理坐标系(O1,X,Y)。
(三)物理坐标系与像素坐标系转换
如图若O1在u，v坐标系中 的坐标为（u0，v0），每一个像 素在x轴与y轴方向上的物理尺寸 为dx，dy则图像中任意一个像素 在两个坐标系下的坐标有如下关 系： x y u u0 v v0 dx dy 上式可表示为下面的矩阵：
m13 m23 m33 X m14 w Yw m24 Z w m34 1
u m11 m12 m ZC v 21 m22 1 m31 m32
整理消去 Zc 得到两个关于 mij 的线性方程：
求解摄像机模型参数
令：
经过推导可得：
有：
非线性最优化摄像机参数
由于图像噪声等因素的影响，上述过程求得的 CCD 摄像 机参数与真实值之间还存在着差距。因此，需要对所有的摄 像机参数进行最优化求解，优化目标函数为：
其中， 像模型投影得到的, 点。
是由世界坐标点M通过摄像机成 是通过角点检测得到的像素坐标
x f 0 Zc y 1 0 Xc 0 0 Yc 0 0 Z c 1 0 1
根据以上论述可知世界坐标系表示的Pw点坐标与 其投影点p的坐标(u,v)的对应关系为：
x f Zc y 0 1 0 0 f 0 X 0 0 c Yc 0 0 Z c 1 0 1
四、摄像机镜头畸变
由于摄像机物镜系统设计、制作、装配所 引起的像点偏离其理想位置点位误差称为光学 畸变，如下图所示：
1、径向畸变、偏心畸变
光学畸变分为径向畸 变和偏心畸变。径向畸 变像点沿径向方向偏离 标准理想位置；偏心畸 变使像点沿径向方向和 垂直径向方向偏离理想 位置，径向畸变称为非 对称径向畸变，垂直径 向方向的畸变称为切向 畸变。
薄棱镜畸变是指由光学镜头制造误差和成像敏感阵列制 造误差引起的图像变形，这种变形是由径向变形分量和 切向变形分量共同构成，其数学模型为：
2 2 X p s1 ( xd yd ) 2 2 Y s ( x y ) p 2 d d
五、传统的摄像机标定技术
优点：运算速度快 缺点：标定的精度不高
二、摄像机标定涉及到的坐标系
（一）图像像素直角坐标系
摄像机采集图像后以标准电视信 号的形式输入计算机，在计算机中以M × N矩阵(M 行 N 列的图像中的每一个 元素的数值被称为图像点的灰度)保存。 在图像上定义图像像素直角坐标系(Ot, u, v)，每一个像素的坐标(u,v)分别表 示该像素在数组中的列数与行数。
X wm11 Ywm12 Z wm13 +m14 uX wm31 uYwm32 uZ wm33 um34 X wm21 Ywm22 Z wm23 +m24 vX wm31 vYwm32 vZ wm33 vm34
1.已知像素坐标，将mij看作未知 数，则共有 12个未知数
参考文献
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摄像机坐标系向世界坐标系的变换，包括 X、Y轴和Z轴的旋转以及坐标平移，故根据以 上坐标变换知识可得摄像机坐标系和世界坐 标系的齐次坐标系变换矩阵：
其中
R中各个参数r1…r9可由旋转变换矩阵得到， 且只含有α、β和γ三个参数
三、摄像机针孔模型
透镜成像原理： 物距μ，焦距f，相距v三者之间满足如下关系
2 4 6
xd
2 2 r xd yd
xr x
由于镜头装配误差，组成光学系统的多个光学镜头的 光轴不可能完全共线，从而引起偏心畸变，这种变形 是由径向变形分量和切向变形分量共同构成，其数学 模型为：
2 2 X d p1 (3xd yd ) 2 p2 xd yd 2 2 Yd 2 p1 xd yd p2 ( xd 3 yd )
（二）摄像机标定的意义 无论是在图像测量或者机器视觉应 用中，摄像机参数的标定都是非常关键 的环节，其标定结果的精度及算法的稳 定性直接影响摄像机工作产生结果的准 确性。因此，做好摄像机标定是做好后 续工作的前提，是提高标定精度是科研 工作的重点所在。
（三）摄像机标定的目的
是利用给定物体的参考点坐标（x，y，z） 和它的图像坐标（u，v）来确定摄像机内部的 几何和光学特性（内部参数）以及摄像机在三 维世界中的坐标关系（外部参数）。内部参数 包括镜头焦距f，镜头畸变系数（k、s、p）， 坐标扭曲因子s，图像坐标原点（u0，v0）等参 数。外部参数包括摄像机坐标系相对于世界坐 标系得旋转矩阵R 和平移向量T 等参数。
式中
2 2 r0 xr2 yr2 r xd yd
Ki为畸变系数
由于径向畸变只跟像素点离图像中心的距离有关，因此在直 xd xr 角坐标系中有： yd yr yd yr o y 将该式带入上式得：
X r xd (k1r k2 r k3r ) 2 4 6 Yr yd (k1r k2 r k3r )
求解方法
拟 线 性 化 方 法
最速下降法
遗传算法
高斯牛顿法
神经网络算法 Levenberg-Marquard算法
完 全 非 线 性 法
(三)两步标定法
1. Tsai的经典两步法
概念：Tsai 基于 RAC 约束（Radial Alignment Constrain）提 出的两步法，在求解过程中将CCD（电耦合器件）阵列感光元的横向间 距和纵向间距当作已知参数，求解的摄像机内部参数：有效焦距f；镜 头径向畸变系数k1,k2；非确定性尺度因子xs ；图像中心或主点u0,v0。 外部参数：世界坐标系与摄像机坐标系之间的旋转矩阵R与平移向量t。
求解：首先利用最小二乘法求解超定线性方程组，求得模型外部 参数；然后求解内部参数，如果摄像机无透镜畸变，可通过一个超定 线性方程组解出，如果存在一个以二次多项式近似的径向畸变，则利 用一个包含三个变量的目标函数进行优化搜索求解。