系统辨识在自适应控制中的应用
模糊系统的辨识与自适应控制
模糊系统的辨识与自适应控制在现代控制理论研究中，模糊控制是一种重要的控制方法。
模糊控制是对非线性系统的一种解决方案，这种控制方法利用模糊逻辑来处理不确定性和信息丢失问题，从而提高了控制的效率和精度，因此在自适应控制中得到了广泛的应用。
一、模糊系统辨识模糊系统辨识是指对模糊控制系统进行参数辨识和模型识别，目的是为了找到最佳的控制方案。
模糊系统的辨识过程也是确定模糊控制系统结构和参数的过程。
模糊控制系统需要依赖于模糊规则库和隶属函数来完成参数辨识和模型识别。
模糊规则库是一个包含了各种规则的数据库，其中每个规则由一组条件和一组相应的控制动作组成。
隶属函数用来描述输入变量和输出变量之间的映射关系。
在模糊系统辨识的过程中，需要收集大量的数据来分析和处理，以便从中提取有用的信息。
这里的数据包括输入数据和输出数据，输入数据包括控制输入和环境输入，输出数据包括控制输出和系统响应。
通过对这些数据进行分析、模型识别和参数辨识，可以得到一个模糊控制系统的模型，并对其进行优化调整，以使其更好地适应所需的控制任务。
二、自适应控制模糊系统的自适应控制是利用模糊控制系统的动态特性，不断根据控制系统的变化自动调整控制参数，以达到最优的控制效果。
因此，自适应控制算法是一种重要的控制算法，它可以自动调整控制参数以快速响应外部变化。
自适应控制有多种方法，包括自适应模糊控制、自适应神经网络控制、自适应PID控制、自适应模型预测控制等。
其中，自适应模糊控制是一种广泛应用的控制方法，它可以自动调整模糊规则库、隶属函数以及控制输出，以适应不同的控制任务和环境条件。
三、结论总之，在现代控制领域中，模糊控制方法是一种重要的控制方法之一，具有较高的鲁棒性和鲁棒性。
模糊控制方法除了能够处理非线性系统，还可以处理模糊系统，因此在实际控制中被广泛应用。
模糊系统的辨识和自适应控制是模糊控制方法的两个基本方面，它们为模糊控制的优化和应用提供了基础和保障。
系统辨识与自适应控制 教材
系统辨识与自适应控制教材
系统辨识与自适应控制是一门涉及自动化控制、信号处理、人工智能等多个领域的交叉学科。
这门学科主要研究如何从系统的输入输出数据中，通过一定的方法和技术，辨识出系统的数学模型，进而实现对系统的有效控制。
系统辨识的主要方法包括：基于频率响应的方法、基于时间序列的方法、基于状态空间的方法等。
这些方法可以通过对系统的输入输出数据进行处理和分析，提取出系统的模型参数和结构。
自适应控制是一种特殊的控制系统，它可以根据环境的变化或者系统参数的变化，自动调整控制参数，以实现最优的控制效果。
自适应控制的主要方法包括：模型参考自适应控制、自校正控制、多变量自适应控制等。
系统辨识与自适应控制教材有很多种，以下是一些经典的教材：
1. 《System Identification and Adaptive Control》（第二版）- John H. Holland
2. 《Adaptive Control of Linear Systems》- Michael C. Corsini
3. 《Nonlinear System Identification and Control》- Massimo Ippolito
4. 《System Identification: Theory for the User》- Jack W. Newbold
5. 《Introduction to System Identification》- Mark H. Sager
这些教材都是系统辨识与自适应控制的经典之作，它们详细介绍了系统辨识与自适应控制的基本概念、方法和技术，以及它们在各个领域的应用。
如果您想深入学习系统辨识与自适应控制，建议阅读这些教材。
系统辨识与自适应控制MATLAB仿真第5章模型参考自适应控制
[ky]
k
(t)
(t)
(5-13)
10
由式（5-13）和上式有
(t) k(t) (t)
(5-14)
式中，k(t) k(t) k。 于是可以看到，当 k(t) k 时， (t) 0
现给出规范化的性能指标函数：
J
(k)
1 2
2 (t)
m2
式中，m 1 2(t) 为规范化信号。
按优化理论，k变化使 J (k) 极小的方向应按负梯度确定：
梯度设计法来叙述。
例5.1.3 设有被控对象式（5-1），仍采用参考模型式（5-2）
和控制器结构式（5-6）。设aˆp (t) 是未知对象参数 ap的估计值，式
（5-6）中的 k(t) 由下式计算：
k(t) aˆp (t) am
(5-16)
为了产生参数估计aˆp (t) ，选择一个稳定的滤波器
系统辨识与自适应控制 MATLAB仿真
第5章模型参考自适应控制
1
模型参考自适应控制是一种不同于自校正控制的另一类自适应 控制形式。根据被控对象结构和控制要求，设计参考模型，使其输 出表达对输入指令的期望响应，然后通过模型输出与被控对象输出 之差来调整控制器参数，使差值趋向于零，也就是使对象输出向模 型输出靠近，最终达到完全一致。根据控制器参数更新方法的不 同，模型参考自适应控制可分为直接自适应控制和间接自适应控制 两种。推演参数自适应规律的方法有两种：梯度法和稳定理论法。 5.1简单自适应控制系统
本节目的：1）给出直接自适应控制和间接自适应控制的概 念；2）自适应控制系统的两种基本设计方法：李亚普诺夫法和2梯
度法。
5.1.1直接自适应控制
直接自适应控制是指控制器参数直接从一个自适应规律中获取
机械工程中的系统辨识与控制方法研究
机械工程中的系统辨识与控制方法研究引言：机械工程是涉及制造、运用和维护机械设备的工程领域，其中系统辨识与控制方法是关键技术。
系统辨识是通过观测和处理系统的输入和输出数据来估计系统的动态特性，而控制方法则是利用这些特性来设计和实现控制系统。
本文将探讨机械工程中的系统辨识与控制方法的研究。
一、系统辨识方法1. 传统方法传统的系统辨识方法主要基于数学模型和统计方法，通过对系统进行建模和对实验数据的分析来估计系统的参数。
这种方法的优点是理论基础扎实，可靠性高，并且适用于各种不同类型的系统。
然而，传统方法在处理复杂和非线性系统时存在一定的局限性，因为这些系统的数学模型较为复杂，很难找到合适的数学表达式。
2. 基于人工智能的方法近年来，随着人工智能的发展，机械工程中的系统辨识方法也得到了很大的进展。
基于人工智能的方法利用神经网络、模糊逻辑和遗传算法等技术来建立和优化系统模型，从而提高系统辨识的准确性和效率。
这种方法具有很好的适应性和鲁棒性，可以处理非线性和复杂系统，并且不需要事先了解系统的具体数学模型。
二、控制方法研究1. PID控制PID控制是最常用的控制方法之一，它通过调节比例、积分和微分参数来实现对系统的控制。
PID控制具有简单、稳定和易于实现等优点，在机械工程中广泛应用于伺服系统、温度控制和流量调节等方面。
然而，PID控制方法对系统的参数变化和非线性响应较为敏感，因此在某些特定的应用中存在一定的局限性。
2. 模糊控制模糊控制是基于模糊逻辑理论的一种控制方法，它可以模拟人类的思维过程和决策规则。
模糊控制方法通过将模糊集合和模糊规则应用于系统控制中，实现对非线性和复杂系统的控制。
相比于传统的控制方法，模糊控制具有更好的适应性和鲁棒性，可以处理具有不确定性和模糊性的问题。
3. 自适应控制自适应控制是一种通过对系统的参数进行实时调整来实现对系统的控制的方法。
它可以根据系统的变化和外部环境的干扰实时调整控制策略，从而提高系统的控制性能。
系统辨识与自适应控制论文
XXXXXXXXXX系统辨识与自适应控制课程论文题目：自适应控制综述与应用课程名称：系统辨识与自适应控制院系：自动化学院专业：自动化班级：自动化102姓名： XXXXXX学号: XXXXXXXXX课程论文成绩：任课教师： XXXXX2013年 11 月 15 日自适应控制综述与应用一．前言对于系统辨识与自适应控制这门课，前部分主要讲了系统辨识的经典方法（阶跃响应法、频率响应法、相关分析法）与现代方法（最小二乘法、随机逼近法、极大似然法、预报误差法）。
对于系统辨识，简单的说就是数学建模，建立黑箱系统的输入输出关系；而其主要分为结构辨识（n）与参数辨识（a、b）这两个任务。
由于在课上刘老师对系统辨识部分讲的比较详细，在此不再赘述，下面讨论自适应控制部分的相关内容。
对于自适应控制的概念，我觉得具备以下特点的控制系统，可以称为自适应控制系统：1、在线进行系统结构和参数辨识或系统性能指标的度量，以便得到系统当前状态的改变情况。
2、按一定的规律确定当前的控制策略。
3、在线修改控制器的参数或可调系统的输入信号。
二．自适应控制综述1.常规控制系统与自适应控制系统比较（1）控制器结构不同在传统的控制理论与控制工程中，常规控制系统的结构主要由控制器、控制对象以及反馈控制回路组成。
而自适应控制系统主要由控制器、控制对象、自适应器及反馈控制回路和自适应控制回路组成。
（2）适用的对象与条件不同传统的控制理论与控制工程中，当对象是线性定常、并且完全已知的时候，才能进行分析和控制器设计。
无论采用频域方法，还是状态空间方法，对象一定是已知的。
这类方法称为基于完全模型的方法。
在模型能够精确地描述实际对象时，基于完全模型的控制方法可以进行各种分析、综合，并得到可靠、精确和满意的控制效果。
然而,有一些实际被控系统的数学模型是很难事先通过机理建模或离线系统辨识来确知的,或者它们的数学模型的某些参数或结构是处于变化之中的.对于这类事先难以确定数学模型的系统,通过事先整定好控制器参数的常规控制往往难以对付。
系统辨识及自适应控制实验..
Harbin Institute of Technology系统辨识与自适应控制实验报告题目：渐消记忆最小二乘法、MIT方案与卫星振动抑制仿真实验专业：控制科学与工程姓名：学号： 15S******指导老师：日期： 2015.12.06哈尔滨工业大学2015年11月本实验第一部分是辨识部分，仿真了渐消记忆递推最小二乘辨识法，研究了这种方法对减缓数据饱和作用现象的作用；第二部分是自适应控制部分，对MIT 方案模型参考自适应系统作出了仿真，分别探究了改变系统增益、自适应参数的输出，并研究了输入信号对该系统稳定性的影响；第三部分探究自适应控制的实际应用情况，来自我本科毕设的课题，我从自适应控制角度重新考虑了这一问题并相应节选了一段实验。
针对挠性卫星姿态变化前后导致参数改变的特点，探究了用模糊自适应理论中的模糊PID 法对这种变参数系统挠性振动抑制效果，并与传统PID 法比较仿真。
一、系统辨识1. 最小二乘法的引出在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。
设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为：()()()()()101123n n x k a x k a k n b u k b u x k n k +-+⋯+-=+⋯+-=，，，， (1.1) 错误!未找到引用源。
式中:()u k 错误!未找到引用源。
为控制量；错误!未找到引用源。
为理论上的输出值。
错误!未找到引用源。
只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。
错误!未找到引用源。
的观测值错误!未找到引用源。
可表示为： 错误!未找到引用源。
(1.2)式中:()n k 为随机干扰。
由式(1.2)得错误!未找到引用源。
()()()x k y k n k =- (1.3)将式(1.3)带入式(1.1)得()()()()()()()101111()nn n i i y k a y k a y k n b u k b u k b u k n n k a k i n =+-+⋯+-=+-+⋯+-++-∑ (1.4)我们可能不知道()n k 错误!未找到引用源。
控制系统中的系统辨识与自适应控制
控制系统中的系统辨识与自适应控制在控制系统中，系统辨识与自适应控制是两个关键的方面。
系统辨识是指通过实验或推理的方法，从输入和输出的数据中提取模型的参数和结构信息，以便更好地理解和控制系统的行为。
而自适应控制是指根据系统辨识得到的模型参数和结构信息，实时地调整控制器的参数以适应系统变化，以提高控制性能。
一、系统辨识1.1 参数辨识参数辨识是指确定系统动态模型中的参数。
常用的方法包括最小二乘法、极大似然估计法等。
最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，通过最小化实际输出与模型输出之间的误差平方和来确定参数。
1.2 结构辨识结构辨识是指确定系统动态模型的结构，包括确定系统的阶数、输入输出关系等。
常用的结构辨识方法有ARX模型、ARMA模型等。
ARX模型是指自回归外部输入模型，适用于输入输出具有线性关系的系统。
ARMA模型是指自回归滑动平均模型，适用于输入输出关系存在滞后效应的系统。
二、自适应控制自适应控制是根据系统辨识得到的模型参数和结构信息，动态地调整控制器的参数以适应系统的变化。
常用的自适应控制方法有模型参考自适应控制、模型预测控制等。
2.1 模型参考自适应控制模型参考自适应控制是建立在系统辨识模型基础上的控制方法。
通过将系统输出与参考模型输出进行比较，通过调整控制器参数来减小误差。
常见的模型参考自适应控制方法有自适应PID控制、自适应模糊控制等。
2.2 模型预测控制模型预测控制是一种基于系统辨识模型的控制策略，通过对系统未来的状态进行预测，以求得最优控制输入。
模型预测控制可以同时考虑系统的多个输入和多个输出，具有较好的控制性能。
三、应用案例3.1 机械控制系统在机械控制系统中，系统辨识和自适应控制可以被应用于伺服控制系统。
通过系统辨识可以得到伺服电机的动态模型，然后利用自适应控制方法调整PID控制器的参数，以提高伺服系统的响应速度和稳定性。
3.2 化工控制系统在化工控制系统中，系统辨识和自适应控制可以被应用于控制某个反应器的温度。
系统辨识与自适应控制结课论文
系统辨识与自适应控制结课论文目录一、自适应控制系统的由来二、自适应控制系统的定义三、自适应控制系统的组成和特点四、自适应控制的方案五、自适应控制方法在工业生产等领域的应用六、发展前景自适应控制系统一、自适应控制系统的由来在控制工程中，控制的目标是设计控制器使被控对象满足某种性能指标，或使系统运动轨迹按某种理想的轨迹运行，达到一种最优的运行状态。
在线性系统理论和最优控制理论中，人们对这些问题进行了深入的研究，得到了非常丰富的成果，形成了完整的理论体系。
不过，这里要求被控对象的模型都是已知的，并且在多数情况下还要求被控对象具有线性是不变的特征。
在实际的控制过程中，控制对象往往存在不确定性。
有时人们对被控对象的数学模型了解并不完全，模型结构存在某种不确定性；或者是对模型结构（如模型的阶数、传递函数零极点的个数等）已经了解，但是由于环境、工况的影响，被控对象模型的参数可能在很大范围内发生变化。
当系统存在不确定性时，按照确定性数学模型所涉及的控制器就不可能得到良好的控制性能，有时系统会出现不稳定的现象。
因此，需要一种新的控制系统，她能够自动补偿系统由于过程对象的参数，环境的不定性而造成的系统性能的变化，自适应控制系统应运而生。
自适应控制最初(20世纪50年代末期)主要应用于航天航空领域,此时相应的理论和方法还不成熟,应用上遇到一些失败,但部分人仍然坚持研究,并将其应用推广至其他工业部门;到七十年代随着控制理论和计算机技术的发展,自适应控制取得重大进展,在光学跟踪望远镜、化工、冶金、机加工和核电中的成功应用也充分证明了其有效性;此后,自适应控制技术的应用更得到大幅度扩展;目前从美国新的登月计划到临床医学领域,自适应控制技术的应用都方兴未艾。
二、自适应控制系统的定义自适应控制系统尚没有公认的统一定义，一些学者针对比较具体的系统构成方式提出了自适应控制系统的定义。
有些定义得到了自适应控制研究领域广大学者的认同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 系统辨识在自适应控制中的应用-自校正调节器（ Self-Tuning Requlator 简称 STR ）§8 —1 最小方差控制器 ( Minimal Variance Control 简称 MVC )1. 考虑 CARMA 过程A(z -1) ⋅y(k) = z -d B(z -1) ⋅u(k)+λ C (z -1) ⋅ε(k) 式（8-1-1）{ ε(k) } 为 N (0,1) 白噪声，滞后量 d ≥ 1 。
A(z - 1) = 1+ a 1z - 1 +…+ a n z - nB(z - 1) = b 0+b 1z - 1 +…+ b n z - n （b 0 ≠ 0）C(z - 1) = 1+ c 1z - 1 +…+ c n z - n设A 、B 、C 均为稳定多项式(过程稳定且逆稳定)。
有：式（8-1-2）2. 将C /A 分解成两部分令：式（8-1-3）其中：F(z - 1) 为d 项的商多项式CA F z G A d =+-. )()()()()()()(1111k z A z C k u z A z B z k y d ελ-----+=F(z - 1) = 1+ f 1z - 1 +…+ f d -1 z - d+1 ( d 项 )G (z - 1) 为余数多项式，有n 项G(z - 1) = g 0+g 1z - 1 +…+ g n -1 z - n+1 ( n 项 )例：A = 1-1.7 z - 1+0.7 z - 2 ; C = 1+1.5 z - 1+0.9 z - 2 ；d=2 ; n=23. 证明以下多项式恒等式成立式（8 -1- 4）证明：式（8-1-3）将左右同 ⨯ A同 ÷ C同 ÷ A同 ⨯ B4． 向前d 步最优预报 y * ( k+d ∣k )由式（8-1-2）向前移d 步，有：B FC B A z G C d .(.)=--1 CA F z GA A F C z G A F C z GC F C A z GC B FC B A z GC d d dd d =+⋅⋅=-⋅⋅=-⋅=-⋅⋅=-⋅-----1111()()y k z B z A z u k C z A z k d ()()()()()()()=+-----1111λε考虑到式（8-1-3），有：式（8 -1- 5）由过程式（8-1-1）有：带入上式右项有将式（8 -1- 4）代入上式，有： 式（8 -1- 6）其中 λ F ⋅ ε(k+d) 项由ε(k+d)、ε(k+d-1)、..、ε(k+1)，共计d 项组成，均为未来的干扰作用项，与前两项统计无关。
用y * ( k+d ∣k ) 表示k 时刻向前d 步的最优预报（最小方差预报），y k d B A u k F k d G Ak ()()()()+=+++λελε λε()()()k C A y k z B C u k d =-⋅- y k d B A u k G A A C y k z G A B C u k F k d G C y k B A z B G C A u k F k d d d ()()()()()()()()+=+⋅-⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥++=+-⋅⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥++--λελεB FC B A z G Cd .(.)=--1 )()()()(d k F k u CF B k y CG d k y +⋅⋅+⋅+=+ελ即：E [ y(k+d)- y * ( k+d ∣k ) ] 2 ≤ E [ y(k+d)- y ( k+d ∣k ) ] 2由式（8 -1- 6）有：则k 时刻向前d 步的最优预报为：式（8 -1- 7）5． 最小方差控制率（MVC ）令 y r 为输出设定值，要求k 时刻的控制量u(k)使得：将y * ( k+d ∣k ) = y r 代入式（8 -1- 7）得出MVC 为：[]22222)]([)()()()()()()()()(d k F E k d k y k u C BF k y C G E k d k y d k F k u C BF k y C G E k d k y d k y E +⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅++==+-+ελελ)()()(k u C F B k y C G k d k y ⋅+=+*[]*==-+)()(2m in)(k u k u r y d k y E式（8 -1- 8）若y r = 0 ，则：式（8 -1- 9）存在零极点对消，要求B 为逆稳定7． MVC 的调节误差与方差定义调节误差为 y (k+d) = y (k+d) - y rF B k yG y C k u r⋅⋅-⋅=*)()()()(k y F B Gk u ⋅⋅-=*由式（8 -1- 6）将MVC 控制率式（8 -1- 8）代入上式得出： y (k+d) = y r + λ F ε (k+d)则：y (k+d) = y (k+d) - y r = λ F ε (k+d) 式（8 -1- 10）调节误差的方差为：E y 2 (k+d) = E[ y (k+d) - y r ] 2 = λ2 E [F ε (k+d)] 2= λ2 (1+f 12+f 22+…+f d-12 ) 式（8 -1- 11） 因为 F(z - 1) = 1+ f 1z - 1 +…+ f d -1 z - d+1 (共 d 项 )可见：d 愈大调节误差的方差也愈大。
8． 举例 A y(k) = z -d Bu(k)+λ C ε(k)A = 1-1.7 z - 1+0.7 z - 2 ;B = 1+ 0.5z - 1 ;C = 1+1.5 z - 1+0.9 z - 2 ；d=2 ; n=2由长除法得：F = 1+ 3.2 z - 1 ; G = 5.64- 2.24 z - 1MVC 率，当y r = 0时：)()()()(d k F k u C FB k yC Gd k y +⋅⋅+⋅+=+ελC B k y G y C k u r ⋅⋅-⋅=*)()(=++--=-=---*)()2.31)(5.01(24.264.5)()(111k y z z zk y BF G k u当y r ≠ 0时：y(k)= λ F ε (k) = λ(1+3.2z -1) ε (k)E y 2 (k) = λ2 (1+f 12 )= λ2 (1+3.2 2 )=11.24 λ2习题：已知过程A = 1-1.6 z - 1+0.8 z - 2 、B = 1- 0.5z - 1+0.2 z - 2 、C = 1-0.95 z - 1+0.5 z - 2 、y r = 0 , 求d= 1、2、3时的MVC 控制率和y(k)与E y 2(k) ？9． MVC 小结a) MVC 是使向前d 步控制方差为最小的随机控制，算法简单，容易实现；)(6.17.3124.264.5)(211k y zz z k u ---*++--=211216.17.31)()24.264.5()9.05.11()()(-----*++--++==⋅-⋅=z z k y z y z z BFk y G y C k u r r )()()()()()()(1111k z A z C k u z A z B z k y d ελ-----+=b) 其本质上是向前d步的最优预报，适用于强随机干扰和大滞后的场合；c) 只适用于逆稳定（最小相位）过程，由此限制了它的应用范围；d) 指标中仅考虑使得E y2为最小，没有对u的约束，有可能因导致过大的控制动作而不能实现；要求过程模型已知，因此它还不是自适应控制。
§8 —2 自校正调节器（Self-tuning Regulator）参数在线辨识与MVC的结合，1973年首次提出，后经不断改进，并获得广泛应用。
1．STR框图自校正调节器示意框图MVC框图STR（隐式）框图2. 向前d步预报方程可以通过在线估计A、B、C的参数，计算得出G和F，再计算出α(z-1)和β (z-1)，构成STR的显示算法，而更为简洁的是直接辨识以下向前d步预报方程：y(k+d)= α(z-1)y(k)+β(z-1)u(k)+w(k+d) 式（8-2-1）其中：α(z-1)= α1+α2 z-1+…+αp z-p+1共p项（p=n）β(z-1)= β0+β1 z-1+…+βq z-q共q+1项（q=n+d-1）即：y(k+d)=α1y(k)+…+αp y(k-p+1)+ β0u(k)+ β1u(k-1)+…+ βq u(k-q)+w(k+d) w(k+d) ——预报误差将式（8-1-12）预报方程向后位移d步，得出：y(k)= α(z-1)y(k-d)+β(z-1)u(k-d)+w(k) 式（8-2-1-a）即：y(k)= α1y(k-d)+…+αp y(k-d-p+1)+ β0u(k-d)++β1u(k-d-1)+…+βq u(k-d-q)+w(k)因为q=d+p-1，所以上式还可写为y(k)= α1y(k-d)+…+αp y(k-q)+ β0u(k-d)+β1u(k-d-1)++…+βq u(k-d-q)+w(k) 式（8-2-1-b）3. STR的计算步骤10在线估计引入向量θ = [ α1、…、αp、β1、…、βq ]T(2n+d-1)⨯1维ξ(k)=[ y(k),…,y(k-p+1),u(k-1),…,u(k-q) ]T预报方程为y(k+d)= β0u(k)+ θ Tξ(k)+w(k+d) 式（8-2-2）或：y(k)= β0u(k-d)+ θ Tξ(k-d)+w(k) 式（8-2-2-a）由上式（8-2-2-a），用RLS法可在线估计出θ的参数。
为避免闭环不可辨识问题发生，β0不参加在线辨识，而是事先确定的。
20确定控制量u(k)控制的目标是使得y(k+d)的最小方差预报y(k+d|k)等于y r , 即：y(k+d|k) = β0u(k)+ θk Tξ(k) = y r则：u(k) = [y r- θk Tξ(k) ] /β0 式（8-2-3）4. 仿真结果：举一简单例子：y(k) = y(k-1)+u(k-1)+ ε(k)-0.7ε(k-1)这里的：d=1, A= 1-z-1, B= 1, C= 1- 0.7z-1。
解出F= 1, G= 0.3 。
对于参数已知情况下的MVC控制率为：u(k) = -0.3y(k) , 最优反馈系数为0.3。
以下两图给出STR的仿真结果。
STR 参数在线估计仿真结果STR 与MVC 累计损失函数V k 的比较5. 收敛性问题：STR → MVC ?已证明：当p 和q 足够大、而且α(z -1)与β(z -1)间无公共因子，则STR∑==ki k i y V 12)(→MVC（当n→∞时）。