小学数学奥数基础教程(六年级)--28

小学数学奥数基础教程(六年级) --第28讲本教程共30讲运筹学初步（二）本讲主要研究分配工作问题。

实际工作中经常会碰到分配工作的问题。

由于工作任务的性质不同，每个人的工作能力不同，因而完成这些任务所需的时间和花费的代价也不同。

我们希望通过合理分配工作，使所用时间最少或花费代价最小。

例1甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服。

两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？分析与解：应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长。

甲厂生产上衣和裤子的时间比为8∶7，乙厂为2∶3，可见甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。

因为甲厂 30天可生产裤子 448÷14×30＝960（条），乙厂30天可生产上衣720÷12×30=1800（件），960＜1800，所以甲厂应专门生产裤子，剩下的衣裤由乙厂生产。

设乙厂用x天生产裤子，用（30-x）天生产上衣。

由甲、乙两厂生产的上衣与裤子一样多，可得方程960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），960＋40x＝1800-60x，100x＝840，x=8.4（天）。

两厂合并后每月最多可生产衣服960＋40×8.4＝1296（套）。

例2某县农机厂金工车间共有77个工人。

已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个。

每3个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。

问：分别安排多少人加工甲、乙、丙三种部件时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？分析与解：如果采用直接假设，那么就要用三个字母分别代替加工甲、乙、丙三种部件的人数，这已经超出了我们的知识范围。

由题目条件看出，每套成品中，甲、乙、丙三种部件的件数之比是3∶1∶9，因为是配套生产，所以生产出的甲、乙、丙三种部件的数量之比也应是3∶1∶9。

设每天加工乙种部件x个，则加工甲种部件3x个，丙种部件9x个。

从而加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。

例3有4辆汽车要派往五个地点运送货物，右图○中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。

如果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？分析与解：可用试探法。

因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，所以如果每辆车跟5个工人，那么每辆车到达任何一个地点，都能正常进行装卸。

由此得到，跟车人数的试探范围是1～5个人。

若每车跟车5人，则各点不用安排人，共需20人；若每车跟车4人，则原来需5人的点还需各安排1人，共需18人；若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的点还需各安排1人，共需17人；同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19人。

可见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需4人的点安排1人，这时所用的装卸工总人数最少，需17人。

在例3中，我们采用试探法，逐一试算，比较选优。

事实上，此类题目有更简捷的解法。

假设有m个地点n辆车（n≤m），m个地点需要的人数按从多到少排列为A1≥A2≥A3≥…≥A m，则需要的最少总人数就是前n个数之和，即A1＋A2＋…＋A n。

这时每车的跟车人数可以是A n＋1至A n之间的任一数。

具体到例3，5个点4辆车，5个点中需要人数最多的4个数之和，即5＋5＋4＋3=17（人）就是需要的最少总人数，因为A4=A5=3，所以每车跟车3人。

若在例3中只有2辆车，其它条件不变，则最少需要 5＋5=10（人），因为A2=5，A3=4，所以每车跟车5人或4人。

当每车跟车5人时，所有点不再安排人；当每车跟车4人时，需要5人的两个点各安排1人，其余点不安排人。

注：如果车辆数大于地点数，即n＞m，则跟车人数是0，各点需要人数之和就是总共需要的最少人数。

例4 有17根11.1米长的钢管，要截成1.0米和0.7米的甲、乙两种长度的管子，要求截成的甲、乙两种管子的数量一样多。

问：最多能截出甲、乙两种管子各多少根？分析与解：要想尽量多地截出甲、乙两种管子，残料应当尽量少。

一根钢管全部截成1.0米的，余下0.1米，全部截成0.7米的，余下0.6米。

如果这样截，再要求甲、乙管数量相等，那么残料较多。

怎样才能减少残料，甚至无残料呢？我们可以将1.0米的和0.7米的在一根钢管上搭配着截，所得残料长度（单位：米）见下表：由上表看出，方法3和方法10没有残料，如果能把这两种方法配合起来，使截出的甲、乙两种管子数量相等，那么就是残料最少的下料方案了。

设按方法3截x根钢管，按方法 10截 y根钢管。

这样共截得甲管（9x ＋2y）根，乙管（3x＋13y）根。

由甲、乙管数量相等，得到9x＋2y＝3x＋13y，9x-3x＝13y-2y，6x=11y。

由此得到x∶y= 11∶6。

用方法3截11根钢管，用方法10截6根钢管是符合题意的截法，共可截得甲、乙管各9×11＋2×6=111（根），或3×11＋13×6=111（根）。

例5 给甲、乙二人分配A，B两项工作，他们完成这两项工作所需要的时间如下表：怎样分配工作才能使完成这两项工作所需的总时间最少？分析与解：因为不同的人要做不同的工作，所以上表中不同行、不同列的两数之和对应一种方案，共两种：（1）甲做 A、乙做 B，需要 7＋6=13（时）；（2）甲做 B、乙做 A，需要 4＋8=12（时）。

显然后一种方案优于前一种方案。

为了能够处理更复杂的问题，我们将上例的数量关系尽量简化。

如果把表中第一行的两数都减去该行的最小数7，变成0和1，那么上面（1）（2）各式也各减少7，不影响它们之间的大小关系，即不影响最优方案的确定。

同理，第二行都减去该行的最小数4，变成0和2，也不影响最优方案的确定。

经上述变换后，原表变成左下表：此时，再将第二列都减去该列的最小数1，变成0和1，同样不影响最优方案的确定，原表变为右上表。

不同行、不同列的两个数之和代表一种方案，因为0＋0＜0+1，所以最优方案为乙做A、甲做B。

上面的化简过程可表示为：总结上面的方法：对于n个人n项工作的合理分配问题：（1）先将各行都减去该行中最小的数；（2）再将各列都减去该列中最小的数；（3）最后选择不在同一行，也不在同一列的n个0即可。

在实施上述变换后，如果仍选不出n个不同行也不同列的0，因为我们的目的是选取一组不同行、不同列的n个数，使这n个数之和尽量小，既然得不到n个0，可用表中最小的数代替0（见例6）。

例6给甲、乙、丙三人分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工作的时间如下表：完成这三项工作所需总时间最少是多少？分析与解：因为没有三个不同行也不同列的0，我们用右下角的1代替0，此时，○内的三个数就是我们要找的最佳方案，即甲做B、乙做A、丙做C。

所需总时间为9＋7＋9=25（时）。

练习281.某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。

已知两个车间都生产这种现在两个车间联合起来生产，每月最多能生产多少套健身球？2.某车间有铣床5台、车床3台、自动机床1台，生产一种由甲、乙两种零件各1个组成的产品。

每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；每台自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个。

这些机器每天最多可生产多少套产品？3.车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。

某天过河的车、马数目的比为2∶9，马、人数目的比为3∶7，共收得渡费945元。

问：这天渡河的车、马、人的数目各多少？4.有4辆汽车要派往七个地点运送货物，右图中的数字分别表示这七个地点完成任务需要的装卸工人数。

如果装卸工可以跟车，那么最少要安排多少名装卸工才能完成任务？5.有一批长4.3米的条形钢材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种毛坯，要求截出的甲、乙两种毛坯数量相同。

如何下料才能使残料最少？6.用10米长的钢筋做原材料，截取3米和4米长的钢筋各100根，至少要用多少根原材料？7.给甲、乙、丙分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工作的时间如下表。

怎样分配工作才能使完成这三项工作所需总时间最少？最少用多少时间？答案与提示练习281.600套。

因为450＜900，所以应安排甲车间专门生产黑球，剩下的由乙车间生产。

乙车间生产450个白球后，剩下的时间还能生产白球900-450=450（个），因为乙车间生产1个黑球与生产2个白球的时间相同，450÷（1＋2）=150，所以这段时间还能生产黑、白球各150个。

两车间联合生产每月最多生产（450＋150）=600（套）。

2.100套。

甲零件。

安排自动车床专门生产乙零件，车床专门生产甲零件，铣床两种零件都生产，并使其配套。

自动车床一天生产乙零件80个，车床一天生产甲零件20×3=60（个）。

铣床一天可生产10×5=50（个）甲零件，补上车床与自动车床的差后，还有生产50-20=30（个）甲零件的时间，这个时间可生产甲、乙零件各20个。

所以，每天最多生产80＋20=100（套）产品。

3.42辆车，189匹马，441个人。

解：这天过河的车、马、人的数量之比是2∶9∶21。

以2车9马21人为一组，每组收渡费3×2＋2×9＋1×21=45（元）。

这天共渡河945÷45=21（组），由此得到，这天渡河的数量为车：2×21=42（辆）；马：9×21=189（匹）；人：21×21=441（个）。

4.26人。

提示：每车跟5人。

5.解：每根钢材有下表所示的7种截法：无残料的有第2和第6两种方法。

用第2种方法的条形钢材数量与用第6种方法的条形钢材数量之比是8∶3，就可使截出的甲、乙两种毛坯的数量相同，且无残料。

6.75根。

解：有三种截法：（1）截成3米、3米、4米，无残料；（2）截成3米、3米、3米，残料1米；（3）截成4米、4米，残料2米。

尽量用方法（1）。

50根用方法（1），截出3米的100根，4米的50根，还差50根4米的。

再用方法（2）截25根原材料，截出50根4米的。

共用原材料50＋25=75（根）。

7.20时。

解：由此得到，丙做A，甲做B，乙做C。

所需时间为6＋6＋8=20（时）。